電源の内部インピーダンス(抵抗)とは?

電源の内部インピーダンス ( 抵抗 ) とは ?

もし、等価回路がこのようなら、

E (1.5V)

+

-

この電池に 1Ωの抵抗 R を繋いだ場合、

抵抗 R で消費される電力 P は、

R =1Ω

] W [ 25 . 1 2

5 . 1 ²

2





 R P E

この電池に 0.1Ω の抵抗 R を繋いだ場合、

抵抗 R で消費される電力 P は、

] W [ 5 . 1 22

. 0

5 . 1 ²

2





 R P E

この電池に 1μΩ の抵抗 R を繋いだ場合、

抵抗 R で消費される電力 P は、

] MW [ 25 . 10 2

5 . 1

6 2 2





 _

R P E

R =0.1Ω R =1μΩ

乾電池の等価回路は、現実的には このような形で表すことはできない

乾電池 (1.5V) の等価回路を描いてみよう

それでは、実際の乾電池の等価回路は、

どのように描くべきか ?

供給電力最大の法 則

E

Z₀=R₀+jX₀

Z=R+jX

Z Z

I E

 

0

I R

jX

負荷で消費される電力 P は、

2 0

2 0

2 2

0 2 2

) (

)

(R R X X

E R Z

Z R E

I R P





 

 



Y=G+jB Y₀=G₀+jB₀

J

V Y Y

V J

 

0

G jB 負荷で消費される電力 P は、

2 0

2 0

2 2

0 2 2

) (

)

(G G B B

J G Y

Y G J

V G P





 

 

 電源側 負荷側

電源の内部インピーダンス

負荷インピーダンス

電圧源型

電流源型

負荷 ( インピーダンス Z ) に流れる電流 I は、

リアクタンスは電力を消費しない

負荷 ( アドミタンス Y ) の両端の電圧 V は、

サセプタンスも電力を消費しない 負荷

負荷

[1] R 一定、 X 可変の場合

供給電力最大の法 則

2 0

2 0

2

) (

)

(R R X X

E R

P     より、 X = −X₀ の時に P が最大となる

[2] R 可変、 X 一定の場合

2 0

2 0

2

) (

)

(R R X X

E R

P     を R について微分し、 dP/dR = 0 から、

E

R₀

R jX jX₀

E

R₀

R jX₀ jX

電源の内部インピーダンス

電源と負荷とのインピーダンス整合　　　　　　から上記が求まる 電源側 負荷側

ここでは電圧源型についてのみ扱うが、電流源型についても同様に扱える

もっと簡単に求めるには、

2 0

2

0 (X X)

R

R    と求まる

2 2

0 2

0 (X X) R

R   

つまり、電源から負荷に供給される電力が最大となる 負荷で消費される電力 P はが最大となる条件を、以下の場合について考えて みよう

矢印は、素子の値が 可変であるという意

味

供給電力最大の法

[3] R 、 X 両者可変の場合

則

E

R₀

R jX

jX₀ 0 ²

2 0

2

) (

)

(R R X X

E R

P     で、

取り出し得る最大電力を電源から取り出したいのなら、電源の内 部インピーダンス Z₀ の複素共役の値の負荷インピーダンス Z₀^* を繋げばよい。ただしその場合、半分の電力は電源内部で熱に なって消費される。

X = −X₀ 、 R = R₀ の時に最大となり、

0 2

max E 4R

P 

P_max は、電源から取り出し得る最大の電力で、電源の固有電力ま たは有能電力と呼ばれる。

この場合、電圧源 E が発生している電力は、　　　　　　　　　

であるから、 P₀ の半分が電源自身のインピーダンス (R₀) で、残り が負荷で消費される。

0 2

0 E 2R

P 

乾電池の経済的な使い 方

乾電池の等価回路 E

r_i +

-

単一、単二、単三乾電池などの場合、 E =1.5V r_i の値は電池のサイズや種類によっても異な るが、一般的に r_{i ( 単一 )} < r_{i ( 単二 )} < r_{i ( 単三 )} 、 r_{i ( アルカリ乾電池 )} < r_{i ( マンガン乾電池 )} となる

内部抵抗

今仮に、 E = 2V 、 r_i = 1 の電池を考えてみよう この電池に R = 1 の負荷抵抗を繋いだ場合

E =2V r_i =1

R =1

負荷抵抗 R に流れる電流は、 1A

従ってこの場合、 負荷抵抗 R で消費される電 力も内部抵抗 r_i で消費される電力も共に等しく 1W となる

1A

つまりこの場合、電池から取り出し得る最大 電力を取り出していることになる

電池の性能として重要なものに電池の容量がある。容量とは電池に蓄えられ ているエネルギー量のことで、容量（ mAh ）＝放電電流（ mA ） × 放電時間

（ h ）で与えられる　

例えば 1000mAh の容量の電池の場合、 1A の電流を流し続けると、 1 時間でなくなる

従って上の例の場合、電池がなくなるまでに負荷が消費する電気エネルギーは 1Wh 同じく 1Wh のエネルギーが、電池の内部抵抗で熱となって消費される

1Wh1W 1Wh1W

内部抵抗 r_i の複素共役

乾電池の経済的な使い

次に、この電池に R =3

方

E =2V r_i =1

R =3 この場合、負荷抵抗 R に流れる電流は 0.5A

従ってこの場合、 R で消費される電力は 0.75W である

0.5A

1000mAh の容量の電池の場合、 0.5A の電流なら 2 時間流し続けることができる

従ってこの場合、電池がなくなるまでに負荷が消費する電気エネルギーは 1.5Wh 一方、 電池の内部抵抗では、 0.5Wh のエネルギーが熱となって消費される

1.5Wh 0.5Wh0.25W 0.75W

一方、内部抵抗 r_i で消費される電力は 0.25W となる

じゃあ、負荷抵抗 R が 9 の場合どうなるのか

、考えてみてください

E =2V r_i =1

R =9

0.2A 1.8Wh

0.2Wh0.04W 0.36W

1000mAh の容量の電池の場合、 0.2A の電流なら

5 時間流し続けることができる

この場合、電池がなくなるまでに負荷が消費する 電気エネルギーは 1.8Wh

一方、 電池の内部抵抗では、 0.2Wh のエネルギーが熱となって消費される

インピーダンス整 合

E

Z₀= R₀+jX₀

Z= R+jX 左側 右側

|Z| = |Z₀|

特に、 Z = Z₀^* 即ち、 R = R₀, X = −X₀ の時を 共役整合と言い、この時電源か ら最大電力を取り出せる

を反射係数と言う インピーダンス整合条件とは、

0 0

Z Z

Z Z



 



0

*

' 0

Z Z

Z Z



  或いは 

Z₀ = R₀ の時、 = ’

' 2

 : 電力 ( パワー ) 反射率

Z = R+jX P: 負荷で消 費　　される電 力

P_max を負荷に向かう電力

負荷から反射 される電力

max 2P

'

max

1 2

*

1 P

' P '

'   

   _{の関係が成り立つ} P を負荷で消費される電力とすると、

インピーダンス整合条件においては、負荷で 消費される電力は最大となり、特に共役整合 においては、負荷に向かう電力 P_max は全て 負荷で消費され (P = P_max ) 、反射電力はゼロ となる

max 2

max P ' P

P    より、

信号源からの電力取り出

例えば放送局などで、送信機から信号電力を取り出してアンテナへ送る場合

し

← 　アンテナの記号 送信機

送信機の終段真 空管の出力イン ピーダンス Z₀ は通常数 k と 高い

一方、アンテ ナのインピー ダンス Z は通 常 50 や 75

と低い 従って、これらを直接接続し ても |Z₀| ≫ |Z| のため、信号 電力はアンテナに殆ど伝わら ない

そこで整合回路を用い、整合回路の左右の インピーダンスが等しくなるようにしてや れば、送信機の電力を効率よくアンテナに 伝えることができる整合回路

Z jL Z

C j

1

C j

1

ただし、このインピーダンス整合がとれるのは、ある特定の周波数 の近 傍のみ。周波数が大きくずれると、インピーダンス整合条件は崩れる

Z₀ Z₀

また、アンテナに送られる電力に等しい電力が、送信機内で熱となって消費される 真空管の場合

プレート損失と言う

インピーダンス整合回 路

( マスプロ社製 )

TV アンテナ用各種インピーダンス整合器 (75⇔300Ω 変換用 )

例題 8.7 L 型インピーダンス整合回路の例 jX₁

jX₂

Z_in Z_out

jX₂ jX₁

Z_in Z_out

|Z_in| < |Z_out| の時 |Z_in| > |Z_out| の時

( マスプロ社製 ) ( ビクター社製 ) インピーダンスが不整合状態の左右

の回路間で、電力または信号を効率 良く伝達させるために、インピーダ ンス整合 ( マッチング ) 回路が用い られる

Z_R Z_L 整合回路Z_L ≠ Z_R

L 形インピーダンス整合

問題

回路

特性インピーダンスの値が 300 のフィーダーを、特性インピーダンスが 75 のアンテナに L 形インピーダンス整合回路を介して繋ぎたい、具体的 にどのような整合回路となるか ? 　ただし、使用する周波数は 1MHz であ る。|Z_in| > |Z_out| なので、以下の L 形整合回路を用いる

ヒント

jX₂ jX₁

Z_in= 300 Z_out= 75

フィーダー アンテナへ

1

1’

端子 1-1’ から右を見たインピーダンスが 300 となるような X₁, X₂ の 値を求め、それに対する具体的素子をあてはめれば良い。

X₁ がコイル L, X₂ がキャパシタ C の場合と、その逆の X₁ が C, X₂ が L の場合の 2 通りの実現方法が考えられるので、両方の場合について求 めよ。

Z_in, Z_out などは、リアクタンス分を含まない実抵抗 R と考えてよい

整合回路

L 形インピーダンス整合

解答

回路

jX₁

R₁= 300 R₂= 75

1

1’

インピーダンス整合を行うに は、端子 1-1’ から右を見たイ ンピーダンスが R₁(300) に なればよい

従って、

1 1

2 2

2 2

1( )

jX R jX

R

jX R

jX 





   X₁X₂  jR₂X₁  R₁R₂  j(R₁X₂  R₁X₁)

上式が成り立つには、

2 1

1 2

1

2 1 2

1

R R

R X

X

R R X

X

 







上式から X₁, X₂ を求めると、

) ( _{1 2}

2 2

2 1

2 1

1

R R R X

R R R R X





 



 ( ただし、複合同順 )

L 形インピーダンス整合

X₁ > 0, X₂ < 0 の場合、右に示すよ

回路

うな L と C からなる整合回路と なる

jX₂

jX₁ C

L

X₁ < 0, X₂ > 0 の場合、右に示すよ うな L と C からなる整合回路と なる

jX₂

jX₁ C L

2 1

2 1

1 2

R R R R L f L

X     

] H [ 10

76 . 75 2

300 300 75

10 1 2

1 2

1 ₅

6 2

1 2 1

 

 



 

 

  R R 

R R L f

27.6 H

) 2 (

1 1

2 1 2

2 R R R

C f

X  C   



 1.23 10 [F]

) (

2

1 ₉

2 1 2

 

 



 C f R R R



1230 pF

2 1

2 1

1 2

1 1

R R R R C f X C

 



  

] F [ 10

19 . 9 2

1 ₁₀

2 1 1 2

 









R R R R f C



919 pF

) (

2 _{2 1 2}

2 L fL R R R

X      ( ) 2.07 10 [H]

2

1 ₅

2 1 2

 







 R R R

L f



20.7 H

[4] X/R 一定、 |Z| 可変の場合

インピーダンス整 合

Z E

Z₀= R₀+jX₀

Z= R+jX ( 一定 )

n²Z

n : 1

E

Z₀

Z= 8

高インピーダンス アンプ

スピーカー

マッチングトランス n : 1

E

Z₀

Z 左側 右側

左側を見たインピーダンス : Z₀ 右側を見たインピーダンス : n²Z

つまり n²|Z|=|Z₀| の時、インピーダンス整合条件 従って、負荷 Z で消費される電力は最大となる

左右を見たインピーダンスの絶対値が等しい時、

消費電力最大の問題

演習問題 (8.17)

E

r

R −jX

jx

R で消費される電力が最大となるように R の値を定めよ

E

r

R

−jX jx

電源側 負荷側

−jX を電源側に含めて考え、電源側と負荷側とのインピーダンス整合条件 を求めればよい

2 2

2 2

) (x X r

x X r

R  

  jX jx

r

jx r jX







 ( )

電源側のインピーダンスは、

これの絶対値に R を等しくとると、

消費電力最大の問題

例題 8.8 以下の回路で、 R で消費される電力が最大となる可変回路素子の値を求めよ

E

R₀

R

(a)

E

jX₀

R

(b)

J

jX₀

R R₀

(c) 電源側 負荷側

電源側、負荷側で のインピーダンス 整合 ([4] のケース ) と考えて、

R = R₀

電源側 負荷側

電源側、負荷側で のインピーダンス 整合 ([4] のケース ) と考えて、

R = X₀

電源側 負荷側

電源側、負荷側で のインピーダンス 整合 ([4] のケース ) と考えて、

2 0 2

0 X

R R  

消費電力最大の問題

例題 8.8 以下の回路で、 R で消費される電力が最大となる可変回路素子の値を求めよ

(d) E

jX₀

R E −jX

jX₀

R

(e) (f)

J jX₀ R

−jX

R 一定、 X 可変の [1] のケースと考え ると、

X₀ = 0

この問題を電圧源型で考 えると、実部も虚部も X の変数となってしまい、

解析的に解けない。その 場合は、電圧源を等価な 電源源に変換し、電流源 型として考えると、解析 的に解けるようになる。

この問題も (e) と同様に 電流源型として考える。

消費電力最大の問題

E −jX

jX₀

R

まず、 (e) の問題を電圧源型 ( インピーダンス ) で考えてみよう。

電源側 負荷側

E

jX₀

Z

2 2

2 2

X R

X jR RX

jX R

Z jRX



 



 

E

jX₀

2 2

2

X R

RX



2 2

2

X R

X j R

 

この場合、負荷の実部も虚部も X の 変数となってしまい、解析的には解け ない。

従って、アドミタンスで考えてみよう。

負荷インピーダンス

消費電力最大の問題

E −jX

jX₀

R

電源を等価な電流源に変換して、アドミタンスで考えてみよう。

電源側 負荷側

−jX

jX₀ R

J

電源側 負荷側

jX0

J  E

電源側、負荷側のアドミタンスを各々 Y₀, Y とすると、

2 0

2 0

2

0 2

0 2

) (

)

(G G B B

G X

E Y

Y G J

P    

 





 

0 0

0

1 1

j X Y  jX  

jX Y  R1  1 2 枚目のスライドの電流源型で考えると、

0 0

1 B   X

0  0

G G  R1

B  X1 に相当するので、 R で消費される電力が最大となる X の値は、

より、 B  B0 即ち、 X  X0

消費電力最大の問題

次に、 (f) の問題を考えてみよう。まず、電圧源型 ( インピーダンス ) で考えてみる。

J jX₀ R

−jX 電源側 負荷側

jX₀

R

−jX

E

電源を等価な電圧源に変換すると、

J jX E  ₀

 

0 2

0 2 2 0

0 2

) (

)

(R R X X

J R Z X

Z R E

P    

 

電源側、負荷側のインピーダンスを各々 Z₀, Z とすると、Z0  jX0 Z  R jX 従って、 R で消費される電力が最大となる X₀ の値は、

となり、簡単には求められない。

消費電力最大の問題

そこで、アドミタンス ( 電流源型 ) で考えてみる。

J jX₀ R

−jX

電源側 負荷側 電源側 負荷側

B

jX₀ G

J

電源側、負荷側のアドミタンスを各々 Y₀, Y とすると、 1 _{2 2} X R

jX R

jX Y R



 

 

0 0

1 j X Y  

0 0

1 B   X

0 0

即ち、 G _{2 2}

X R

G R

  _{2 2}

X R

B X

 

2 0

2 0

2 2

0 2

) (

)

(G G B B

J G Y

Y G J

P    

 

R で消費される電力が最大となる X₀ の値は、

より、 B  B0 即ち、

X X X R

2 2

0

 

電力の保存

ある回路中の各電源 (理想電源 )が発生する瞬時電力の総和と、その他全

則

ての回路素子が受け取る瞬時電力の総和は相等しい　 ( 言い換えると、回 路中の全ての素子が出す瞬時電力の総和はゼロである )

コイルやキャパシタ、変成器などのリアクタンス素子は電力を消費しない ( 一時的に蓄積することはある )ことを考えると、電源の実効電力の総和は

、抵抗素子で消費される電力の総和に相等しい

テレゲン（ Tellegen ）の定理

回路の各枝を流れる電流と、枝間の電位差の積の和は 0 となる

例えば、 N 本の枝を持つ回路で、 i 番目の枝を流れる電流を I_i (t) 、枝間 の電位差を V_i (t) とし、電流の流れる方向に電圧降下が起こるとすると、

0 ) ( ) (

1







t I t

V _i

N i

i

が成り立つ