Copyright © by Takeshi Kawabata
統計的計算手法
確率分布の平均と分散
•
二項分布
B(n,p)•
ポアソン分布
P(λ)•
正規分布
N(μ,σ2)二項分布 B(n,p)(k) の平均
np k
p n
B np
p k p
n k
np n
p p
k p n
k k
n k n
p k p
n k k n k
p x X
E
n
k n
k
k n k
n
k
k n k
n
k
k n k
n
k i
i i
1
0 1
1
) 1 ( ) 1 ( 1
1
) 1 ( ) 1 ( 1
1 0
) 1 )(
, 1 (
) 1
))! ( 1 (
) 1 ((
)!
1 (
)!
1 (
) 1
))! ( 1 (
) 1 ((
)!
1 (
)!
1 (
) 1
)! ( (
! ) !
(
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統計的計算手法
二項分布 B(n,p)(k) の分散
) 1
( )
( ) 1 )
1 ((
) ( ) 1 )(
, 1 (
) 1 ) 1 ((
) ( )
1 ))! (
1 (
) 1 ((
)!
1 (
)!
1 (
) ( )
1 )! (
(
!
! ) ( )
( )
(
2 1 2
0 1
2 1
) 1 ( ) 1 ( 1
2 1
2 0
2
2 2
p np
np p
n np
np k
p n
B k
np
np p
k p n
k k n np
np p
k p n k k n k
X E X
E X
V
n
k n
k
k n k
n
k
k n k
n
k
ポアソン分布の平均と分散を 求めるための補題（その 1 ）
e e
e e
k k k e
e k
k
k k
k
! 2
! 1 1
! 3 3
! 2 2 1 1
!
!
2
2 0
1
1 1
1
i
x x
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統計的計算手法
ポアソン分布の平均と分散を 求めるための補題（その 2 ）
2 2 2
2
2 0
2 1
2
1 2 1
! 2
! 1 1 0
! 3 4
! 4 2 3
! 3 1 2
! 2 0 1
1
) ! 1
! ( )
1 (
e e
e e
k k k k e
e k
k
k
k k
k
ポアソン分布の平均
e e
e k
e k k p
k X
E
k k e
p
k
k
k
k k
k k k
1
1 1 1
)!
1 (
) ! (
) , , 1
! (
補題（その１）
より
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ポアソン分布の分散
2 2
1
2 1
2 2
1
2
) 2 1 (
) ! )
2 1 ( )
1 (
(
) ! 2
( )
( )
(
) , , 1
! (
e k k
k k
e k k
k p
k X
V
k k e
p
k
k
k
k k
k k
k
補題（その１）
＆（その２）より
中心極限定理
•
独立な
n個の確率変数
X1, X2,…,Xnが 平均
μ1, μ2, …,μn、
分散
σ21, σ22, …,σ2nの
「任意の」分布に従うとき、合成確率変数
n
i i
n
i Xi i
Y
1 2
1( )
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統計的計算手法
中心極限定理
(2)•
ある確率変数が他の無数の変動要因によっ て影響され、
「その変数は正規分布すると考えられる」
近似的に
