回転軸重心

(1)

Q & A

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Q：エンジンの最高出力や最大トルクのデータは何に使うのですか？

A：車を購入する際には、色々な車を比較して検討したりします。同じ１８００ｃｃの排気量のエンジンでもメーカーや、種類によって出力やトルクは異なるので、これらのデータを見て判断材料にする人もいると思います。

Q：グラスハープは摩擦と振動の話なのですが、振動は力学ではないので採点が辛くなりますか？

A：振動は、授業でもバネの単振動や振り子の振動を勉強しましたが、力学だと思いますよ。採点が辛くなることはありません。

Q：機械式腕時計が振られることによってゼンマイがまかれるのは何故でしょう。

A：下の図のような非対称な歯車は、重心が回転軸とズレているので、時計に力が作用して時計が加速すると、歯車が回転する（動く）。歯車に取り付けられたマジックレバーは、ゼンマイをまく歯車を押したり引いたりして、一方方向に回す。

重心回転軸

日本時計協会HPより転載

(2)

8.3 剛体の平面運動

p100

剛体の平面運動：剛体のすべての点が一定の平面に平行な平面上動く運動

例：左の図のように斜面の上を滑らずに転がり落ちる運動どの剛体もすべての点が、xy平面に平行な平面上を動く

例題２：斜面の上を滑らずに転がり落ちる剛体の運動

質量M，半径Rの球が水平面と角bをなす斜面の上を滑らずに転がり落ちる場合剛体の重心の運動方程式

M d²X = Mgsinb^－F dt²

剛体の回転運動の方程式 I_G = N

MA= F

d²q dt²

I_Gd²q = FR dt²

・・・①

・・・②

②より F= I_G R

d²q dt²

上の式を①に代入して M d²X + = Mgsinb ・・・③ dt²

I_G R

d²q dt²

剛体の直線運動と回転運動の間には、V= dX = Rw= R という関係がある。（X= Rq） dt

dq dt 上の式をtで微分すると d²X = R

dt²

d²q dt²

M d²X + = Mgsinb dt²

I_G R²

d²X dt²

(M+ ) = Mg^I^G sinb R²

d²X dt²

滑らないのでXとqは独立でない。

（どちらか一方を消去できる。）

球の場合、I_G= MR2 ² 5

(M+ M2 ) = Mgsinb 5

d²X dt²

M d²X = Mgsinb dt²

7 5

( = I_Ga)

d²q dt² = 1

R d²X

dt² これを③に代入して

力のモーメントNと混同するので垂直抗力の記号はTになっている

打ち消し合う

X はRq大きくなる XはqのR倍 q回転するとRq進む

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(3)

第25回（7/17） 3ページ

M 例題２のつづき

M

b

球が転がる場合剛体が摩擦のない斜面を滑り落ちる場合 M d²X = Mgsinb

dt² M d²X = Mgsinb

dt² 7

5

球が斜面を転がる場合、加速度は滑る場合の 5 7

MA= Fの形

d²X

dt² = gsinb d²X

dt² =gsinb 5

7

剛体の運動エネルギーは、 1 MV²+ I_Gw²= MV²+ MR²w²= MV²+ MV² 2

1 2

球の場合、I_G= MR2 ² 5

1 2

2 5

1 2

1 5

剛体の位置エネルギー

重心運動のエネルギー回転運動のエネルギー 5

7

2 7

剛体の位置エネルギー

重心運動のエネルギー剛体が斜面を転がり落ちる速度は、剛体が摩擦のない斜面を滑り落ちる速度より遅い。

それは、剛体の位置エネルギーの一部が物体の回転運動のエネルギーに変換されているからである。

重心運動のエネルギー回転運動のエネルギー

５：２

摩擦等による力学的エネルギーの散逸がない場合、力学的エネルギーは保存する

（熱の発生、空気抵抗・・・）

MV²+ I_Gw² +Mgh= 一定 1

2

1 2

問題：上の例題において、転がり落ちる物体が球（中身有）ではなく、球殻（中身無）の場合、

物体の位置エネルギーが、回転運動のエネルギーになる割合を求めよ。（球の場合は2/7）

V= Rw

重心回転

球が斜面を転がる場合滑る場合

すべて

問題：転がる速度は球と球殻でどちらが速い？球

重心運動のエネルギー回転運動のエネルギー

例：ピンポン玉

約２９％

（斜面を転がる球の場合）

例：斜面を転がり落ちている時左辺は一定

（半径Rは無関係）

円環,円筒の場合は1:1（50%）

(4)

問題（１）：大きな鉄球と小さな鉄球では転がり落ちる速さはどちらが速いか。ただし、空気抵抗等は無視し

、力学的エネルギーは保存するものとする。

問題（２）：同じ大きさの鉄球と木製の球では転がり落ちる速さはどちらが速いか。ただし、空気抵抗等は無視し、力学的エネルギーは保存するものとする。

[実験参照]

材質・大きさによらず、均一な球はすべて同じ速度で転がる。

問題（３）：全く同じ木製の球が３個（Ａ,Ｂ,Ｃ）ある。そのうちの２つ（Ｂ,Ｃ）の中心部分をくりぬき、Ｃにはその空洞に鉄球を入れた。３個の球の転がる速度は異なるか？異なる場合は速い順に並べよ。

（参考）自由落下の時は、大きな鉄球も小さな鉄球も同じ速度で落下する。

大きな鉄球も小さな鉄球も位置エネルギーの5/7 が重心の運動エネルギーになる

→同じ速度で転がる。（大きくても小さくても同じ。）

（参考）自由落下の時は、鉄球も木製の球も同じ速度で落下する。（真空なら鳥の羽根も）

鉄球も木製の球も位置エネルギーの5/7 が重心の運動エネルギーになる

→同じ速度で転がる。（大きくても小さくても同じ。）

→材質・大きさによらず、均一な球はすべて同じ速度で転がる。

薄い円筒，円柱，球

問題：速く転がる順に並べよ。（公式を見ずに）

ただし、半径R はすべて等しいとする。

① ② ③

P97の公式をみなくても、慣性モーメントの定義

I = Sm

_i

l

_i²

より判断できるようになって下さい。

実演参照

形状のみに依存し、材質（ただし均一）・大きさに依存しない。

木木

空木

鉄

ＡＢＣ

球 ^球殻

に近い

質量で重みをつけたl²の平均が大きいほうが転がりにい。M は関係ない。

MR² 1/2MR² 2/5MR²

第25回（7/17） 4ページ

(5)

例題３：一様な円板（半径R，質量M ）のまわりに糸を巻きつけ、図のように糸の端を天井に固定して はなしたときの張力Sと剛体の重心の加速度A を求めよ。慣性モーメントの公式（p99 ）を使ってよい。

剛体の重心の運動方程式

剛体の重心のまわりの回転運動の方程式 I_Ga= N MA= F

・・・②

・・・①

重心運動と回転運動の関係式：X= Rq ・・・③ この種の問題（例題２、３、４）は、上の３つの式より解ける。

（下向きを正）

円板がq回転すると重心はRq落下する

例題２の斜面の角度を垂直にしても滑らなければこの問題と同じ。違いは、

球→円板（慣性モーメントが違う）

問題：公式はどれを使えばよい？

答：糸の張力S= 重心の加速度A=

x

第25回（7/17） 5ページ

(6)

回転板上・宇宙空間での方向転換，猫ひねりの解答①

私はできるのでやってみたいという希望者は？

解答例の実演

第25回（7/17） 6ページ

http://www.page.sannet.ne.jp/ikenoue/type2/cat/cat.html より転載

猫の体を上半身と下半身の２つの部分に分けて考える。

前足は胴体に引き付け上半身の慣性モーメントを小さくする。

後ろ足としっぽを伸ばし、下半身の慣性モーメントを大きくする。

そうすると、上半身を大きく回転させても、

反動による下半身の反対方向への回転は少ない。

１８０度ひねって、上半身の足が下を向いたところでこんどは逆に前足は伸ばし、上半身の慣性モーメントを大きく、

後ろ足は胴体に引き付け、下半身の慣性モーメントを小さくする。

下半身を大きく回転させても、上半身の反動は少なくてすむ

[実験・実演]

回転板を使って人間ひねり（上の方法で）

猫ひねり・動画で確認

着地にも注目：クッション（運動量の変化＝力×時間）

慣性モーメントによる教育的な方法

実際はこれほど、単純ではない。

しっぽを回転させる等、しっぽを有効に使っている猫もいるし、

別の説明の方が適切な場合も多い。

時間があったら、ねこひねり解説②で説明します。

皆さんも考えてみて下さい。

足としっぽを伸ばす足を縮める

足としっぽを縮める

足を縮める

I = Sm

_i

l

_i²

i