相対論的運動量と
運動方程式
問題（矛盾点）
運動量の保存が成り立たない？
p ! 1 i + !
p i 2 ! !
p 1 f + !
p 2 f " ?
p !
1ip !
i2p !
1fp !
2f簡単な説明
p !
1i+ !
p
i2= !
p
1f+ !
p
2f のｙ成分m1 dyi1
dti1 + m2 dyi2
dti2 = m1 dy f1
dt f1 + m2 dy f 2 dt f 2
（１）
時空座標にそれぞれの粒子のラベルがついていることに注意
ローレンツ変換
!
t = t " (u / c
2)x
1 " #
2!
x = " ut + x
1 " #
2!
y = y, z ! = z
簡単な説明
p !
1i+ !
p
i2= !
p
1f+ !
p
2f のｙ成分m1 dyi1
dti1 + m2 dyi2
dti2 = m1 dy f1
dt f1 + m2 dy f 2 dt f 2
別の座標系では
m1 dy1!i
dt1!i + m2 dy!2i
dt!2i = m1 dy1! f
dt1! f+ m2 dy2! f dt!2f
yはLorentz変換のもとで不変だが、t は変換される このため、Lorentz変換で（１）と（２）は相容れない
（１）
（２）
時空座標にそれぞれの粒子のラベルがついていることに注意
相対論的運動量
p ! = m d ! x d ! =
m ! v
1 " #
2!
は固有時間相対論的運動量
p ! = m d ! x d ! =
m ! v
1 " #
2!
は固有時間相対論的運動方程式
F ! = d ! p
dt = d
dt m d ! x d !
"
#$ %
&'
例：一定の力を受けて加速する粒子
力と運動の方向は同じとする
F = d
dt m dx d!
"
#$ %
&' = m d
dt
dx
1( )2 dt
"
#$$ %
&
'' = m
1( v2 c2
"
#$
%
&'
3/2
dv dt
! = v c
例：一定の力を受けて加速する粒子
力と運動の方向は同じとする
F = d
dt m dx d!
"
#$ %
&' = m d
dt
dx
1( )2 dt
"
#$$ %
&
'' = m
1( v2 c2
"
#$
%
&'
3/2
dv dt
! = v c
この式を解くと
v = at
1+ a2t2
, a = F m
速度の時間変化
v
t
相対論 Newton
無限大へ
光速度へ 1
0.5
0
エネルギー
K = d!
s ! !
"
F ="
ds! ! ddtp! , p! = 1m#v!$2運動エネルギー
K =
0
!
x dxF = 0!
t dx dtd mv1" v2 / c2
= 0
!
v vd mv1" v2 / c2
#
$%
&
'(
計算：力と移動の向きを同じに取る
K = mc2
1! v2 / c2
! mc2 " E = mc2
1! v2 / c2
静止エネルギーとして E = mc2
四元運動量
(E, !
p) = mc2
1! "2 ,
m! v
1 ! "2
#
$%% &
'((
d! = dt 1" #2 なので
(E, !
p) = m c2 dt d! ,
d! x d!
"
#$ %
&' (c((=1) m d
d! (t,
x!)
τ とmはローレンツ変換の元で不変なので
(E, !
p) (t, ! x)
は と同じように変換する
四元運動量（四元ベクトル）
ベクトル
（１）成分をもった量（物理量＝観測される量）
（２）座標変換の元で一定の規則に従って移り変わる量
(E, !
p) のように、ローレンツ（座標）変換の元で
(t, !
x) と同じように変換する量を、四元ベクトルという
スカラー
座標変換の元で変換しない、一定（固有）の量
一般にはテンソル
T
ijk!問題：化学反応の前後における質量保存の法則は厳密には成り立 たない。どの程度の破れが生じるか。
問題：100 V/mの電場で電子、陽子を１秒間加速したときのそれぞ れの速さと獲得するエネルギーを求めよ。
問題：阪大核物理研究センターの加速器は陽子の運動エネルギー
を400 MeVまで加速する。そのときの陽子の速さを光速度の比で求
めよ。
問題：Spring-8のシンクロトロンでは電子が8GeVのエネルギーで運 動している。この電子の速さを光速度の比で求めよ。
問題：50光年離れた場所まで、1年で着いて1年滞在し1年で戻って きたいと思う（合計3年）。往復の際は一定の速さで飛行するとして、
その速さを求めよ。また、エネルギー効率を100％として、動力は原 子力を使うとしてそのために必要な核燃料の量を推定してみよ。
