高校電磁気学 ~ 電磁誘導編 ~ 問題演習

高校電磁気学

~電磁誘導編~

問

₁

・ 導体棒の間隔 _L R m 滑車 θ B a b

(1)おもりの落下速度がvのとき、

導体棒

abに生じる誘導起電力の

大きさを求めよ。

・ 導体棒の間隔 _L ・ 導体棒の速度 _{v、水平方向の速度 vcosθ} ・ _{Δtの時間に回路を貫く磁束の変化ΔΦは、ΔΦ = BΔS = BLvcosθΔt} ・ ファラデーの法則 _{V = − N　　　　より、 　　| V | = BLvcosθ} 補足　_{V = ( v × B ) L} R m 滑車 θ B a b ΔΦ Δt → _{→   →}

・ 導体棒の間隔 _L R m 滑車 θ B a b

(2)おもりの落下速度がvのとき、

導体棒

abを流れる電流が磁場か

ら受ける力を求めよ。

・ 導体棒の間隔 _L V = BLvcosθ より、　I = 　　= F = ( I × B ) L より、 F = (　　　　　　　× B ) L 　 ₌ R m 滑車 θ B a b V R BLvcosθ R → _{→   →} BLvcosθ R B2_L2_vcosθ R

・ 導体棒の間隔 _L R m 滑車 θ B a b

(3)おもりの落下速度v=一定のと

き、導体棒

abの速さvを求めよ。

・ 導体棒の間隔 _L 力のつりあいより、おもりの重力 − 導体棒の重力 = 磁場から受ける力 　　　　　　　_{mg − Mgsinθ =　　　　　　　　　cosθ} ∴ _{v =} R m 滑車 θ B a b B2_L2_vcosθ R (mg− Mgsinθ)R B2_L2_cos2_θ

・ 導体棒の間隔 _L R m 滑車 θ B a b

(4)おもりの落下速度v=一定のと

き、単位時間あたりにおもりが

失った力学的エネルギーを求め

よ。

・ 導体棒の間隔 _L 失った力学的エネルギーは、位置エネルギーのみ ※運動エネルギーは速度が変化していないので、減少していない。 単位時間あたりに失った位置エネルギー _mgv ∴_{mgv =} R m 滑車 θ B a b m2_g2_R B2_L2_cos2_θ

・ 導体棒の間隔 _L R m 滑車 θ B a b

(5)おもりの落下速度v=一定のと

き、単位時間あたりに抵抗

Rで発

生する熱エネルギーを求めよ。

・ 導体棒の間隔 _L P = RI2 　_{= R ( 　　　　　　 )}2_{= 　　　　　　　 v}2 _{= 　　　　　　　　(　　　　　　　)}2 　₌ R m 滑車 θ B a b m2_g2_R B2_L2_cos2_θ BLvcosθ R mgR B2_L2_cos2_θ B2_L2_cos2_θ R B2_L2_cos2_θ R

・ 導体棒の間隔 _L R m 滑車 θ B a b

(6) (改題)エネルギーの保存を示

せ。

・ 導体棒の間隔 _L ・ 単位時間あたりおもりが失った位置エネルギー ・ 単位時間あたりに抵抗_{Rで発生する熱エネルギー} ・単位時間あたりに導体棒_{abが得る位置エネルギー Mgvsinθ} = R m 滑車 θ B a b Mg(mg− Mgsinθ)Rsinθ B2_L2_cos2_θ (mg−Mgsinθ)2_R B2_L2_cos2_θ mg(mg−Mgsinθ)R B2_L2_cos2_θ

・ 導体棒の間隔 _L

・ エネルギー保存より、

　　　　　　_{= 　　　　　　　 +}

右辺の分子は、 _{= (mg−Mgsinθ)}2_{R + Mg(mg− Mgsinθ)Rsinθ}

　　　　　 _{= (m}2_g2_−2Mmg2_sinθ+M2_g2_sin2_θ+Mmg2_{sinθ− M}2_g2_sin2_θ)R

　　　　　 _{= (m}2_g2_−Mmg2_{sinθ)R 　　　　　 = mg(mg−Mgsinθ)R = 左辺の分子} ∴　エネルギー保存が成り立つ。 R m 滑車 θ B a b Mg(mg− Mgsinθ)Rsinθ B2_L2_cos2_θ (mg−Mgsinθ)2_R B2_L2_cos2_θ mg(mg−Mgsinθ)R B2_L2_cos2_θ

問

₂

磁場中を回転する導体棒

に関する問題

・ 導体棒の角速度 _ω ・ 導体棒の長さ _L ・ _{Oは円の中心で固定} ・ 磁束密度 _{B : 上向き} O ω B

(1) 導体棒が角速度ωで回転して

いるとき、点

O,Pのどちらの電位

が高いか。

V = ( v × B ) L VはOからPの向き、すなわちPの方が電位が高い。 (別解&補足) ・ 導体棒_{OP上の電子は、O,Pのどちらに移動するか。} OP内の電子は F = −e ( v × B )のローレンツ力を受ける。 PからOの向き　ゆえに、O側に電子が寄る。 ∴ _{P側の電位が高い} ・ 導体棒の角速度 _ω ・ 導体棒の長さ _L ・ _{Oは円の中心で固定} ・ 磁束密度 _{B : 上向き} O ω B P R → _{→   →} →   → →  

・ 導体棒の角速度 _ω ・ 導体棒の長さ _L ・ _{Oは円の中心で固定} ・ 磁束密度 _{B : 上向き} O ω B

(2) 導体棒が角速度ωで回転して

いるとき、誘導起電力の大きさ

V

を求めよ。

V = −N 　　　 , ΔΦ = BΔSより、 | V | = B　　　　　　　　 = ・ 導体棒の角速度 _ω ・ 導体棒の長さ _L ・ _{Oは円の中心で固定} ・ 磁束密度 _{B : 上向き} O ω B P R ΔΦ Δt O 弧 : LωΔt 半径 : L ΔS ½ LωΔt・L Δt BωL2 2

・ 導体棒の角速度 _ω ・ 導体棒の長さ _L ・ _{Oは円の中心で固定} ・ 磁束密度 _{B : 上向き} O ω B

(3) 導体棒を一定の角速度で回

転させるために、点

Pに一定の力

FをOPに対して垂直に加えた。F

を求めよ。

単位時間あたりに抵抗で発生する熱エネルギー P = 　　　 = P点における仕事率 Fv = FLω F = 　　 = ・ 導体棒の角速度 _ω ・ 導体棒の長さ _L ・ _{Oは円の中心で固定} ・ 磁束密度 _{B : 上向き} O ω B P R B2_ω2_L4 4R V2 R P Lω B2_ωL3 4R

問

₃

磁場中を通過するコイル

に関する問題

・ 磁束密度_{Bの領域:長さ3b} ・ 長さ_{a,bの長方形コイル} ・ コイルの速度 _v

(1) コイルを貫く磁束の時間変化

のグラフを描け。コイルが磁場中

に入る時刻を

t = 0とする。

・ 磁束密度_{Bの領域:長さ3b} ・ 長さ_{a,bの長方形コイル} ・ コイルの速度 _v b a B v 3b ・ コイルが全て磁場中に入る時刻は、 ・コイルが磁場中から出始める時刻は、 ・コイルが磁場中から出終わる時刻は、 b v 3b v 4b v

・ 磁束密度_{Bの領域:長さ3b} ・ 長さ_{a,bの長方形コイル} ・ コイルの速度 _v b a B v (i) 0 < t < 　　 のとき コイルを貫く磁束_{Φ(=BS)は一様に増えていく。} t = 　　のとき、Φ = Bab b v b v 0 _b 時刻  t v 磁束 _Φ Bab 3b

・ 磁束密度_{Bの領域:長さ3b} ・ 長さ_{a,bの長方形コイル} ・ コイルの速度 _v b a B v (ii) 　　 < t < 　　 のとき コイルを貫く磁束_{Φ=Babは一定。} b v 0 _b 時刻  t v 磁束 _Φ Bab 3b v 3b v 3b

・ 磁束密度_{Bの領域:長さ3b} ・ 長さ_{a,bの長方形コイル} ・ コイルの速度 _v b a B v 3b (iii) 　　 < t < 　　 のとき コイルを貫く磁束_{Φは一様に減っていく。} 3b v 0 _b 時刻  t v 磁束 _Φ Bab 4b v 3b v 4b v

・ 磁束密度_{Bの領域:長さ3b} ・ 長さ_{a,bの長方形コイル} ・ コイルの速度 _v

0

_b

時刻

t

v

磁束

_Φ

Bab

3b

v

4b

v

・ 磁束密度_{Bの領域:長さ3b} ・ 長さ_{a,bの長方形コイル} ・ コイルの速度 _v

(2) コイルに発生する誘導起電力

の時間変化のグラフを描け。ただ

し、時計回りに電流を流す方向を

正とする。

・ 磁束密度_{Bの領域:長さ3b} ・ 長さ_{a,bの長方形コイル} ・ コイルの速度 _v b a B v (i) 0 < t < 　　 のとき コイルに発生する誘導起電力の大きさ _{V = vBaは一定。} レンツの法則より、 手前向きの磁場を作る方向に 電流を流すので、 誘導電流の向きは反時計回り。 b v 0 b v −vBa 3b 時刻  _t 起電力  _V  

・ 磁束密度_{Bの領域:長さ3b} ・ 長さ_{a,bの長方形コイル} ・ コイルの速度 _v b a B v (ii) 　　 < t < 　　 のとき コイルを貫く磁束_{Φ=Babは一定で、磁束Φが変化しないため、} 誘導起電力_{V=　　　 =0} b v 3bv 3b dΦ dt 0 b v −vBa 3b v 時刻  _t 起電力  _V  

・ 磁束密度_{Bの領域:長さ3b} ・ 長さ_{a,bの長方形コイル} ・ コイルの速度 _v b a B v 3b (iii) 　　 < t < 　　 のとき コイルに発生する誘導起電力の大きさ _{V = vBaは一定。} レンツの法則より、 奥向きの磁場を作る方向に 電流を流すので、 誘導電流の向きは時計回り。 3b v 4bv 4b v 0 時刻  _t b v 起電力  _V   −vBa 3b v vBa

・ 磁束密度_{Bの領域:長さ3b} ・ 長さ_{a,bの長方形コイル} ・ コイルの速度 _v ・ コイルの抵抗 _R

(3) コイルの速度を一定に保つた

め、外部から加える力

_{Fの時間変}

化のグラフを描け。ただし、コイル

の抵抗を

_{Rとし、Fの正の向きはv}

と同様、右向きとする。

・ 磁束密度_{Bの領域:長さ3b} ・ 長さ_{a,bの長方形コイル} ・ コイルの速度 _v ・ コイルの抵抗 _R b a B v (i) 0 < t < 　　 のとき 長さ_{bの辺2つが受ける合力は0。∴長さaの右の辺だけ考える。} コイルが磁場から受ける力の大きさ_F=IBa I = 　　 =　　　　　∴F = 右の辺の電流は上向きなので、 コイルが磁場から受ける力は左 これに逆らう力を加えるので、右 b v 3b V R vBa R vB2_a2 R 0 _b 時刻  t v 力  _F vB2_a2 R

・ 磁束密度_{Bの領域:長さ3b} ・ 長さ_{a,bの長方形コイル} ・ コイルの速度 _v ・ コイルの抵抗 _R b a B v (ii) 　　 < t < 　　 のとき 磁束変化がなく、誘導電流が流れないので、 (F=IBLより、I=0なので、) F=0 b v 3bv 3b 0 _b 時刻  t v 力  _F vB2_a2 R 3b v

・ 磁束密度_{Bの領域:長さ3b} ・ 長さ_{a,bの長方形コイル} ・ コイルの速度 _v ・ コイルの抵抗 _R b a B v 3b (iii) 　　 < t < 　　 のとき (i)と同様に考える。長さaの左の辺だけ考える。 F = 左の辺の電流は上向きなので、 コイルが磁場から受ける力は左 これに逆らう力を加えるので、右 3b v 4bv vB2_a2 R 0 _b 時刻  t v 力  _F vB2_a2 R 3b v 4b v

・ 磁束密度_{Bの領域:長さ3b} ・ 長さ_{a,bの長方形コイル} ・ コイルの速度 _v ・ コイルの抵抗 _R

(4) コイルが磁場中を通過し終え

るまでに外力がした仕事を求めよ。

・ 磁束密度_{Bの領域:長さ3b} ・ 長さ_{a,bの長方形コイル} ・ コイルの速度 _v ・ コイルの抵抗 _R b a B v 3b 外力_{Fが仕事をするのは、回路が入るときの距離b、出るときの距} 離_{b、合わせて2bの区間である。} 外力_{Fのする仕事 W = Fx = 　　　　 ・2b =} vB2a2 R 2vB2_a2_b R

・ 磁束密度_{Bの領域:長さ3b} ・ 長さ_{a,bの長方形コイル} ・ コイルの速度 _v ・ コイルの抵抗 _R

(5) コイルが磁場中を通過し終え

るまでに消費した電力量を求めよ。

・ 磁束密度_{Bの領域:長さ3b} ・ 長さ_{a,bの長方形コイル} ・ コイルの速度 _v ・ コイルの抵抗 _R b a B v 3b 電力量_{W = P t = I V t =　　 ・ vBa ・　　 =} 外力がした仕事とコイルが消費する電力量_{(ジュール熱)が同じ。} ∴外力がした仕事は最終的に全て熱エネルギーに変換される。 2vB2_a2_b R vBa R 2b v

問

₄

コイル・コンデンサーを含む回路

に関する問題

・ スイッチ開 ・ コンデンサーの電気量 _{0 C}

(1.1)スイッチを入れた直後、コン

デンサーの電気量を求めよ。

・ スイッチ開 ・ コンデンサーの電気量 _{0 C} V C L R S コンデンサー手前の抵抗を通って電流が流れるため、 コンデンサーの電荷は急に変化しない。_{(過渡現象)} ∴ _{スイッチを入れる直前と同様、0 C}

・ スイッチ開 ・ コンデンサーの電気量 _{0 C}

(1.2) スイッチを入れた直後、コイ

ルに流れる電流の大きさを求め

よ。

・ スイッチ開 ・ コンデンサーの電気量 _{0 C} V C L R S コイルは自己誘導のため、コイルを流れる電流の変化を妨げるは たらきがある。 ∴　コイルを流れる電流は _0A

・ スイッチ開 ・ コンデンサーの電気量 _{0 C}

(1.3) スイッチを入れた直後、コイ

ルにかかる電圧の大きさを求め

よ。

・ スイッチ開 ・ コンデンサーの電気量 _{0 C} V C L R S LとCは並列なので、コイルの電圧V_Lはコンデンサーの電圧_VCと常 に等しい。 コンデンサーの電圧 _{VC=Q/C は、Q=0より、VC=0} ∴　コイルの電圧_VL=0

・ スイッチ開 ・ コンデンサーの電気量 _{0 C}

(1.4) スイッチを入れた直後、抵抗

に流れる電流の大きさを求めよ。

・ スイッチ開 ・ コンデンサーの電気量 _{0 C} V C L R S V_C=0、V_L=0より、抵抗Rには電圧Vだけかかる。 ∴ _{IR =} V R

・ スイッチ開 ・ コンデンサーの電気量 _{0 C}

(1.5) スイッチを入れた直後、コン

デンサーに流れる電流の大きさ

を求めよ。

・ スイッチ開 ・ コンデンサーの電気量 _{0 C} V C L R S Lには電流は流れない。よって、抵抗の電流=コンデンサーの電流 また、抵抗に流れる電流 _{IR = 　　　より、} コンデンサーに流れる電流 _{IC =} V R V R

・ スイッチ閉

(2.1) スイッチを入れて充分時間

が経ったとき、コイルにかかる電

圧の大きさを求めよ。

・ スイッチ閉 V C L R S コイルに流れる電流は充分に時間が経つと、変化しなくなる。 コイルの自己誘導による誘導起電力 _{VL = −L 　　 より、 　　　= 0 なので、} V_L = 0 dI dt dI dt

・ スイッチ閉

(2.2) スイッチを入れて充分時間

が経ったとき、コンデンサーの電

気量を求めよ。

・ スイッチ閉 V C L R S LとCは並列なので、V_L = 0より、V_C = 0

・ スイッチ閉

(2.3) スイッチを入れて充分時間

が経ったとき、抵抗に流れる電流

の大きさを求めよ。

・ スイッチ閉 V C L R S V_C=0、V_L=0より、抵抗Rには電圧Vだけかかる。 ∴ _{IR =} V R

・ スイッチ閉

(2.4) スイッチを入れて充分時間

が経ったとき、コンデンサーに流

れる電流の大きさを求めよ。

・ スイッチ閉 V C L R S 充分に時間が経つと、コンデンサーに流れる電流は _0A

・ スイッチ閉

(2.5) スイッチを入れて充分時間

が経ったとき、コイルに流れる電

流の大きさを求めよ。

・ スイッチ閉 V C L R S Cには電流は流れない。よって、抵抗の電流=コイルの電流 また、抵抗に流れる電流 _{IR = 　　　より、} コイルに流れる電流 _{IL =} V R V R