共通因数による因数分解

(1)

日付 ݄೔༵೔ 

名前 ʣ

例題

共通因数による因数分解

１

ڞ௨Ҽ਺ͷݟ͚ͭํ

ʼୈ̍ষ਺鱭ࣜʼୈ̍અࣜ鱳ܭࢉʼୈ̏ߨɿҼ਺෼ղ

਺I

੔ࣜʹؚ·ΕͯΔಉ͡਺ɾจࣈͷ͜ͱ

ྫ

࣍ͷࣜΛҼ਺෼ղ͠ͳ͍͞ɻ

(1) (2)

(3) (4)

(a − b)x + (b − a)y

4ab

³

− 6a

²

b

²

ղ

3x

³

y + 2x y

²

(1)

(2)

(3)

(4) ڞ௨Ҽ਺ʜ

ಉ͡਺ ಉ͡਺ͰׂΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δ਺

ಉ͡จࣈ ಉ͡จࣈͷछྨΛ͢΂ͯબͿ

Ҽ਺෼ղ

੔ࣜΛੵͷʢɹɹɹʣͷܗʹͰ͖ΔݶΓ෼ղ͢Δ͜ͱ

= x

²

+ 5x + 6 (x + 2)(x + 3)

ల։

Ҽ਺෼ղ

x

²

+ 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) 3ab(a + c) = 3a

²

b + 3abc

3a

²

b + 3abc = 3ab(a + c)

ྫ

6a

²

b

−

8ab = 2ab (3a

−

4)

3x

³

y + 2x y

²

= x y (3x

²

+ 2y)

_{࢒ΓΛ ʹೖΕΔ}

4ab

³−

6a

²

b

²

= 2ab

²

(2b

−

3a) (x − y)a − (x − y)b

(a− b)x + (b −a)y = (a− b)x −(a− b)y

= (a− b)(x −y) (x −y)a− (x − y)b = (x − y)(a− b)

(2)

練習問題１練習問題２

ղ

(1)

(2)

(3)

(4)

mn

²

+ m = m (n

²

+ 1)

−

2x

²

y

−

6x y

²

=

−

2x y(x + 3y)

− 2 x

²

y − 6x y

² (1) (2)

(3) (4)

x( y − 2) + y − 2

6a

²

x − 2a

²

y − 4az

ղ

5ab − 2ac

(1)

(2)

(3)

(4)

= a(5b

−

2c) (a − 3) + 2(a − 3)

²

= x(y− 2) + (y −2)

= (y− 2)(x + 1)

= (a −3){1 + 2(a −3)}

(1) (2)

(3) (4)

mn

²

+ m

(a + b)x + y (a + b) (a − 3b)c + (3b − a)d

(a +b)x + y(a + b) = (a +b)(x +y)

(a− 3b)c + (3b − a)d = (a− 3b)c − (a −3b)d

= (a− 3b)(c −d)

5ab

−

2ac

6a

²

x

−

2a

²

y

−

4az = 2a(3a x

−

ay

−

2z)

(a− 3) + 2(a− 3)²

x(y −2) +y −2

日付 ݄೔༵೔ 

名前 ʣ

共通因数による因数分解

１

਺I

= (a− 3)(2a −5)

(3)

例題

たすきがけの因数分解

͖͕͚ͨ͢ͷ΍Γํ

ղ ʼୈ̍ষ਺鱭ࣜʼୈ̍અࣜ鱳ܭࢉʼୈ̏ߨɿҼ਺෼ղ

਺I

acx

²

+ ( ad + bc ) x + bd = ( a x + b )( cx + d )

a x cx

ᶃ͔͚ࢉΛߟ͑Δ ᶄΫϩε͢Δ ᶅͨ͠ࢉ͢Δ

ᶃ

b d

ᶃ ᶄ

bcx

ad x

ᶅ

(ad + bc)x

ྫ

ࣦ ഊ

ྫ

3 x

²

+ 14 x + 8 3x

x

4 2

4 x 6x 10x

3x x

2 4

2x 12x 14 x

੒

ޭ

ྫ

= (3x + 2)(x + 4)

(1) (2)

(3)

2x

²

− 5x − 3 25a

²

− 20ab + 4b

²

a x

²

+ (1 + ab)x + b

(1)

(2)

2x²−5x− 3

2x

x −3

1 x

−6x

−5x

= (2x + 1)(x − 3)

25a²−20ab + 4b²

5a 5a

−2b

−10a b

−20a b

= (5a −2b)(5a −2b)= (5a −2b)²

(3) a x²+ (1 +ab)x +b

a x

x b

1 x

a bx (1 +a b)x

= (a x + 1)(x +b)

２

^{日付 ݄೔༵೔}_名前_ʣ

(4)

２

ղ

਺I

ղ

(1) (2)

(3)

2x

²

− 7x + 3 6a

²

− ab − b

²

abx

²

+ (2a

²

− b

²

)x − 2ab

(1) 2x²−7x + 3 = (2x − 1)(x −3)

たすきがけの因数分解

(1) (2)

(3)

x

²

+ 8x + 12

(1)

(2)

(3)

x²+ 8x + 12 = (x + 6)(x + 2)

x

x 2

6 6x 2x 8x

9a

²

− 42ab + 49b

²

abx

²

+ (a − b)x − 1

9a²− 42ab + 49b²

3a 3a

−7b

−21a b

= (3a− 7b)(3a−7b)= (3a−7b)²

−42a b

abx²+ (a −b)x −1

a x

bx 1

−1 −bx a x (a−b)x

= (a x −1)(bx + 1)

2x

x −3

−1 −x

−6x

−7x (2)

(3)

6a²−ab −b²= (3a +b)(2a −b)

3a

−b

b 2a b

−3a b

−a b 2a

abx²+ (2a²−b²)x −2ab

a x

bx 2a

−b −b²x 2a²x (2a²−b²)x

= (a x −b)(bx + 2a)

日付 ݄೔༵೔ 

名前 ʣ

(5)

例題１

置き換えを利用した因数分解

ஔ͖׵͑Δ΂͖΋ͷ

ղ ʼୈ̍ষ਺鱭ࣜʼୈ̍અࣜ鱳ܭࢉʼୈ̏ߨɿҼ਺෼ղ

਺I

ᶄಉ͡จࣈͷ૊Έ߹ΘͤΛɹͱ͓͍ͯҼ਺෼ղ͢Δ

A

ᶃಉ͡૊Έ߹ΘͤʹͳΔ΋ͷΛͭ͘ΔͨΊʹల։͢Δ

2( x − y )

²

+ 5( x − y ) + 2

2(x − y)²+ 5(x − y) + 2

= 2A²+ 5A+ 2

= (2A+ 1)(A+ 2)

= {2(x −y) + 1}(x − y + 2)

= (2x −2y + 1)(x + y + 2)

ྫ

(x − 1)(x − 2)(x + 3)(x + 4) − 36

= (x

²

+ 2x − 3)(x

²

+ 2x − 8) − 36

A A

ผղ 2(x −y)²+ 5(x −y) + 2

2(x−y)

(x−y) 2

1 (x−y) 4(x−y) 5(x−y)

= {2(x −y) + 1}(x− y + 2)

日付 ݄೔༵೔ 

名前 ʣ

３

(6)

例題３例題２

置き換えを利用した因数分解

਺I

ղ

(x − 1)(x − 2)(x + 3)(x + 4) − 36

ղ

x

⁴

− 3x

²

− 4

x⁴− 3x²−4

= A²− 3A−4

= (A+ 1)(A−4)

= (x²+ 1)(x²−4)

= (x²+ 1)(x + 2)(x− 2)

= (x²)²− 3x²− 4

A A

ผղ

x⁴− 3x²−4

x² x²

1

−4 −4x² x²

−3x²

= (x²+ 1)(x²−4)

(x −1)(x − 2)(x + 3)(x + 4)− 36

= (x −1)(x + 3)(x −2)(x + 4)−36

= (x²+ 2x −3)(x²+ 2x − 8)− 36

= (A− 3)(A−8)−36

= A²−11A+ 24−36

= (A+ 1)(A− 12)

= (x²+ 2x + 1)(x²+ 2x− 12)

= (x + 1)²(x²+ 2x − 12)

A A

日付 ݄೔༵೔ 

名前 ʣ

３

(7)

਺I

置き換えを利用した因数分解

ղ

a

⁴

− 16b

⁴

(1) a⁴− 16b⁴

= A²− B²

= (A+ B)(A−B)

= (a²+ 4b²)(a²−4b²)

= (a²+ 4b²)(a + 2b)(a− 2b)

= (a²)²−(4b²)²

A B

ผղ

a⁴− 16b⁴

a² a²

4b²

−4b² −4a²b² 4a²b²

0

= (a²+ 4b²)(a²− 4b²) ղ

( x

²

+ x )

²

− 8( x

²

+ x ) + 12

(x²+x)²−8(x²+x) + 12

= A²−8A+ 12

= (A− 2)(A−6)

= (x²+x −2)(x²+x −6)

= (x −1)(x + 2)(x + 3)(x − 2)

A A

(x²+ x)²− 8(x²+ x) + 12

x²+x

−6

−2 −2(x²+x)

ผղ

x²+x

= (x²+ x −2)(x²+x −6)

−6(x²+x)

−8(x²+x)

日付 ݄೔༵೔ 

名前 ʣ

３

(8)

練習問題３練習問題４

਺I

置き換えを利用した因数分解

ղ

( x − 1)( x − 3)( x − 5)( x − 7) + 15

ղ

a

²

+ 2ab + b

²

− c

²

(x −1)(x − 3)(x −5)(x − 7) + 15

= (x −1)(x − 7)(x −3)(x− 5) + 15

= (x²−8x + 7)(x²− 8x + 15) + 15

= (A+ 7)(A+ 15) + 15

= A²+ 22A+ 120

= (A+ 10)(A+ 12)

= (x²−8x + 10)(x²− 8x + 12)

= (x²−8x + 10)(x −2)(x − 6)

A A

a²+ 2ab +b²−c²

= (a+ b)²−c²

A

= A²− c²

= (A+ c)(A− c)

= (a+ b + c)(a +b − c)

日付 ݄೔༵೔ 

名前 ʣ

３

(9)

例題

ղ

x

²

+ x y + x + 2y − 2

因数分解を考える順序

Ҽ਺෼ղͷ༏ઌॱҐ

̍ɽڞ௨Ҽ਺͕͋Δ͔

̎ɽ࠷௿࣍਺ͷจࣈͰ੔ཧͰ͖Δ͔

̏ɽ߱΂͖ͷॱͰ੔ཧͰ͖Δ͔

̐ɽֻ͖͚͕߱ͨ͢Մೳ͔

ྫ

6a

²

b

−

8ab = 2ab (3a

−

4)

̍ɽڞ௨Ҽ਺͕͋Δ͔

̎ɽ࠷௿࣍਺ͷจࣈͰ੔ཧͰ͖Δ͔

x

²

+ x y + x + 2y

−

2

2x²+ 5x y + 3y²+ 2x +y − 4

࠷௿࣍਺ͷจࣈɿ

y

̏ɽ߱΂͖ͷॱͰ੔ཧͰ͖Δ͔

x

_{·ͨ͸ Ͱ·ͱΊΔ}

y

x

²

+ x y + x + 2y

−

2 = (x + 2)y + (x

²

+ x

−

2)

= (x + 2)y + (x + 2)(x

−

1)

= (x + 2){y + (x

−

1)}

= (x + 2)(x + y

−

1)

࠷௿࣍਺ͷ൑அ͕Ͱ͖ͳ͍ͱ͖͸߱΂͖ͷॱ

࠷௿࣍਺ͷ௿͍ͷจࣈɹͰ͘͘Δy ʼୈ̍ষ਺鱭ࣜʼୈ̍અࣜ鱳ܭࢉʼୈ̏ߨɿҼ਺෼ղ

਺I

日付 ݄೔༵೔ 

名前 ʣ

４

(10)

例題３

４

例題２

਺I

ղ

a(b + c)

²

+ b(c + a)

²

+ c (a + b)

²

− 4abc

ղ

2x

²

+ 5x y + 3y

²

+ 2x + y − 4

因数分解を考える順序

2x

²

+ 5x y + 3y

²

+ 2x + y

−

4 = 2x

²

+ (5y + 2)x + (3y

²

+ y

−

4)

= 2x

²

+ (5y + 2)x + (3y + 4)(y

−

1)

= (2x + 3y + 4)(x + y

−

1)

2x x

3y + 4 y − 1

3x y + 4x 2x y− 2x (5y + 2)x

߱΂͖ͷॱͰ੔ཧ͢Δ

࠷௿࣍਺͕x, y

ͲͪΒ΋ಉ͡ a(b + c)²+ b(c +a)²+c(a +b)²− 4abc ^{࠷௿࣍਺͕}

͢΂ͯಉ͡

ҰͭͷจࣈͰ 

੔ཧ͢Δ

= (b +c)²a + b(c²+ 2ca +a²)

+c(a²+ 2ab +b²) −4abc

= (b +c)²a + bc² + 2abc +a²b

+a²c + 2abc +b²c − 4abc

= (b +c)a²+ {(b + c)²+ 2bc + 2bc− 4bc}a + bc²+ b²c

= (b + c)a²+ (b +c)²a+ bc(b +c)

= (b + c){a²+ (b +c)a +bc}

= (b + c)(a +b)(a +c)

日付 ݄೔༵೔ 

名前 ʣ

(11)

=

−

(x

−

y)z + (x

−

y)(x + y)

਺I

ղ

x

²

− y

²

− z x + yz

ղ

2x

²

+ 5x y + 2y

²

− x + y − 1

2x

²

+ 5x y + 2y

²−

x + y

−

1 = 2 x

²

+ (5y

−

1)x + (2y

²

+ y

−

1)

= 2x

²

+ (5y

−

1)x + (2y

−

1)(y + 1)

= (2x + y + 1)(x + 2y

−

1)

2x x

y + 1 2y −1

x y +x 4x y− 2x (5y− 1)x

߱΂͖ͷॱͰ੔ཧ͢Δ

࠷௿࣍਺͕x, y

ͲͪΒ΋ಉ͡

x

²−

y

²−

z x + yz

= (

−

x + y)z + (x

²−

y

²

)

= (x

−

y){

−

z + (x + y)}

= (x

−

y)(x + y

−

z)

࠷௿࣍਺ͷ௿͍ͷจࣈɹͰ͘͘Δz

４因数分解を考える順序

^{日付 ݄೔༵೔}^名前^ʣ

(12)

練習問題３練習問題４

਺I

ղ

a(b

²

− c

²

) + b(c

²

− a

²

) + c(a

²

− b

²

)

ղ

a

²

(b + c) + b

²

(c + a) + c

²

(a + b) + 2abc

a(b²− c²) +b(c²− a²) +c(a²−b²) ^{࠷௿࣍਺͕}

͢΂ͯಉ͡

ҰͭͷจࣈͰ 

= a(b²−c²) +bc²− a²b + ca²−b²c ੔ཧ͢Δ

= (c −b)a²+ (b²− c²)a +bc²−b²c

= (c − b)a²−(c²−b²)a +bc(c − b)

= (c −b)a²− (c − b)(c + b)a + bc(c −b)

= (c −b){a²− (c + b)a+ bc}

= (c −b)(a−b)(a− c)

a²(b + c) +b²(c +a) +c²(a + b) + 2abc ^{࠷௿࣍਺͕}_͢΂ͯಉ͡

= (b +c)a²+ b²c +b²a + c²a + c²b + 2abc

= (b + c)a²+ (b²+ 2bc +c²)a +b²c + bc²

= (b +c)a²+ (b + c)²a +bc(b + c)

= (b + c){a²+ (b +c)a +bc}

= (b + c)(a +b)(a + c)

ҰͭͷจࣈͰ 

੔ཧ͢Δ

４因数分解を考える順序

^{日付 ݄೔༵೔}^名前^ʣ