Uber die Axiomatik von Mittelbildungen,

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Uber die Axiomatik von Mittelbildungen,

著者 MATSUMURA Soji

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奈良学芸大学紀要

volume 7

number 2

page range 1‑2

year 1957‑12‑15

URL http://hdl.handle.net/10105/4874

(r) Üb"t die Axiomatik von Mittelbildungen,

von Söji Me:rsuuune.

(Eingegangen am 1 October, 1957)

Das f-mittel x ^(x1) von n Grössen x7,"',xn wird durch die Mittelfunktion f fol-

gendermassen definiert:

(D) f (*,*,"',x):f (*r,*2,"',xo).

Je nach cler Wahl der Postula.te, denen diese Mittelfunktion genügen soll, erhält man die verschiedenen Arten der Mittelbildung. Das einfachste davon ist das arithm- etische, zu dessen Begründung beispielsweise die Postulate genügen: (r)

(1) Es sei f (x1+9r,"',x^+y^):f (xt,"' ,x^)+f Qt,"',!^).

O Die Mittelfunktion ist ^{gegenüber jeder} Permutation ihrer Argumente invariant.

(3) Es ist .f (x ,x , ... ,x):rc (Normierung von /) ^.

Bei gleichzeitiger Benutzung von ⁽¹⁾ bis ⁽³⁾ ist die Herleitung der Gestalt von f

geradezu trivial : Nach ⁽²⁾ ist

f(*t,... ,*;:]r t'j^

f (*,,, x,2,...,x,^),

"' r1r"'rn wobei über aIIe Permutationen zu summieren ist.

Nach ⁽¹⁾ ist die rechte Seite gleich

f ^(>A . Ix, . ^{.... X's,\,}

' \ n ,t n /' nach (3) also

f ^{(xr, ..',} *):to /".n/

Diese triviale Herleitung ist nur möglich, weil wir ^zuviel in die Postulate hinein- gesteckt haben.

Vor kurzer Zeit ^habe ich bei Behandlung der Minkowskischen Stützfunktion dar- auf aufmerksam ^gemacht, wie weittragen gelegentlich die Annahme sein kann, dass

die untersuchte Funktion einer Beschranktheitsbedingung genügt. Ich will nun hier ze-

igen, dass sich das Postulat (3) daburch ersetzen lässt, dass rvir fordern:

@) In dem Bereich lx2 l=R s,si lf (*t,"',*^11M, und f ⁽¹ ,1,"',1): ^{I .}

Dass man unter Voraussetzung der Stetigkeit allein mit ^{(1) schon} weit kommen kann, darauf hat an der ^genannten Stelle L.Teodorin(1)hingewiesen.

Dies ist übrigens längst bekannt. Unter Postulat (4) verlangt aber offenbar viel weniger als Stetigkeit. ^Zunachst folgt aus (l) für ^{ganzes n}

f ^(nx1):nf (xt), f ^{(x1):nf (*o} /n), also für rationale Zahlen r f (rx1):nf ^(x1).

Wir ^setzen nun C(s):/(sxi) ^{-- sf (rc).}

(2) Söji Mersuuune Dann ist für s:r (rational) g(r):0.

Ferner ist nach ^(tr) und der Definition von ^g:

(I) g(s+t):g(s)'re(t), also 8(s ^+- r) :g(s) _,

a.h. g(r) _nimmt schon in der Nähe von s:0 alle lVerte an, welche g überhaupt annehmen kann.

Wäre nun fiil ^{s:s': g(s/)\0,} so wäre nach ⁽ I ) g(rst):ng(st)

lg(s)l müsste also überhaupt und dann auch in der Nähe von s:0 ^jede vorgegebene Schranke übersteigen. Aus (4) aber folgt fur ^genügend kleine Werte lsl(l:

g(s) </(s,c' ₎ r (sll/(i{t) _| <M(I + lsl) <2M.

In einer vollen ^Umgebung von s:0 muss dann g beschränkt sein, was in Widerspruch zumvorigen Schluss steht.

Es muss also g(s)=o _{sein, d.} h.

(u) f(sx5)=sf(x1).

Bisher wurden nur die Postulate ⁽¹⁾ und ({) ^benutztt. Nimmt man Postulate ⁽²⁾ hinzu, so folgt nach den am Anfang ^gemachten Bemerkungen (4 und ⁽ u ) ^:

f (Nr):f (2xt/n)=:i-]' 3*o _"f(1, ^1, "',1)

(n) f (x):-L$Yr, _{r. t=l} ^{w, z, b, u;.}

Man kann auch so vorgehen, dass man auch (4 _und (tr) direkt folgert:

.f (x,"',x):xf ⁽¹ ,"',1):x;

heirmit ist ⁽³⁾ aus ⁽¹⁾ und ⁽⁴⁾ bewiesen.

Auch bei der Begrundung anderer Mittelbildungen wie überhaupt bei der ^Lösung

von Funktionalgleichungen und Funktionalungleichungen lassen sich in ^{analoger Weise}

meist die Voraussetzung der Stetigkeit oder ^andere starke ^Annahmen durch das ^sch- wache ^{Postulate ersetzen.}

(1) Vgl. z-8.L. Teodorin : Sur la döfinition axiomatique de la moyenne, Mathematica, S,