不偏推定量

不偏推定量

N

個の母集団の平均が

分散が

であるとする

N

個のうち

個をサンプリングして

と

を予想したい

標本分散

不偏分散

平均

自由度

n

個のデータのうちいくつが変わりうるか？

平均の計算では

個すべてが，別の値をとりうる

分散の計算では，あらかじめ平均がわかっている必要がある

x₁

～

が決まれば

は自動的に決まってしまう

自由度は

である

不偏分散は偏差二乗和を自由度で割ったものである

点推定と区間推定

点推定

区間推定

n

個のサンプリングを繰り返し信頼区間を何度も決めたとき 繰り返し決めた信頼区間の中に真の平均

が含まれる確率が



（例えば

）になるように

を決める 信頼区間

信頼限界

（例えば

）

信頼区間を決める統計的根拠は？

標本平均の分布と基準値

母集団の分散

は，あらかじめ正確にわかっているとする 母集団の平均

はわからない

z

は，平均

，分散

の標準正規分布にしたがう

0z

n

個のサンプルの平均　　　は，平均

，分散

の正規分布にしたがう 中心極限定理

分散の平均と平均の分散を混同しないこと

信頼限界の設定

信頼限界を

と決める（信頼限界

なら

0 z

zC

zC

 



標準正規分布の関数で

斜線の部分の面積の和が  になるように

を決める

））） z_C = 1.960 ））））

Excel

の関数

が使える

=NORMSINV(P) で， P に  を入れれば

の値が表示される

z

を何度も決め直したとき

z_C

～ 

の範囲に入る確率が 

信頼区間の計算

カッコの中を変形する

を何度も決め直したとき

z_C

～ 

の範囲に入る確率が 

z

推定

母集団の分散

が正確にわかっている系について

サンプル数

のサンプリングを行い標本平均　　　を求めた サンプリングを繰り返し行ったとき，

次の計算で求めた区間に母集団の平均

が含まれる確率は

である

ここで

の値は， の値によって，標準正規分布から決まる

検定

今度は，母集団の平均について，ある仮説を立てる（無帰仮説）

「母集団の平均は

である」

ここで

個のサンプリングを行い，標本平均 　を得た 標本平均の値から判断して，無帰仮説は正しいといえるか？

母集団の分散

が正確にわかっている場合について考える

仮説が正しいなら，次のように定義した

は標準正規分布にしたがう

信頼限界の設定

信頼限界を

と決める（信頼限界

なら

0 z

zC

zC

 



標準正規分布の関数で

斜線の部分の面積の和が  になるように

を決める

））） z_C = 1.960 ））））

Excel

の関数

が使える

=NORMSINV(P) で， P に

を入れれば

の値が表示される

z

を何度も決め直したとき

z_C

～ 

の範囲に入る確率が 

採択区間の計算

カッコの中を変形する

を何度も決め直したとき

z_C

～ 

の範囲に入る確率が 

mz ( /n) m

C 2 1/2 x mz (_C ² /n)^1/2

 



採択 棄却 棄却

z

検定

母集団の分散

が正確にわかっている系について

サンプル数

のサンプリングを行い標本平均　　　を求めた

　　が次の区間に含まれていれば，仮説は

ここで

の値は， の値によって，標準正規分布から決まる

このとき，「母集団の平均は

である」と仮説をたてた