山 岸 亘★
On the Method of Transforming a Time‑Variable Linear system to Canonical (Phase‑Variable) Form
Wataru Yamagishi
l.
ま え が き最近,制御対象が完全可制御または一様可制御である線形制御系のベ ク トル微分方程式を 正規形へ変換す る方法が盛んに議論 されている
｡
( l H 9 )
Wo nha n,J o hns o n
両氏が最適化の問題に関連 し,.正規形‑の変換行列を求め得ることを 示 したが 的,具体的に示 さなかったので後に固有値が異なる場合に求める方法を示 した く竹o 重複度のある場合はMuf t i
氏( 8 )
が, さらによ り簡単な方法をChi d a mb a r a
氏が 発 展 さ せ た｡( 9 ) To u
氏 ￠ゆBr ul e
氏A
Dは変換行列を求める際のVa n de r mo n d e
行列を論 じ,寄与 し た｡複素固有値の場合は計算が面倒になるので これを実数の範囲で扱 う方法を山岸は工夫 し以上はいずれ も固有値,固有ベ ク トルを求め,変換行列を求める方法を とった｡ しか し, この方法は計算量が多 くなる欠点を もっていた｡ この欠点を克服 した方法が
Si l ve r ma n ( 1 ) Tue l
(3),Ra ne
(4),J o nhs o n & Wo nha m
(5),Mo r ga n ( 6 )
の各氏に よって 次 々に発表 され た｡si l ve r ma n
氏は非定常系が一様可制御(1)の とき変換行列を求める方法を考え, 定常の場 合を特殊な場合 として含み, これに成功 したが,固有多項式の係数を求めねはな らずその方 法が複雑になる欠陥を もっていた｡ しか し,完全可制御 棚 脚 の概念を拡張 し,非定常系 における正規形への変換可能の必要十分条件を よく発見す ることがで きた｡Tu e l ,Ra ne
の両方法は本質的に同一なものである｡可制御行列の列ベ ク トルの一次独立 性を使い変換行列の列ベ ク トルを漸次求める方法を考案 した｡J o nhs o n & Wo nha m
の方法はその系の完全可制御性を検定す る方式を内蔵 してい る｡Mo r ga n
の方法はLe ve r r i e r･ Fa d d e e v
の計算方式を有効に使 った外はRa ne
の方法に塀似 している｡Ra ma s wa mi & Ra ma r
(2)の方法は上の(1 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 )
の方法が固有多項式を必要 としたが, この必要をな くし, しか も系の可制御性を点検する方式を含んでいる｡ これは変換行列の行 ベ ク トルの性質を明らかに し,行ベ ク トルを漸次求めることに より解決 している｡著者は
Si l ve r ma n
氏の得た主要な事項を含み, かつ固有多項式の係数を求める必要な く,Si l ve r ma n
とRa ma s wa mi & Ra ma r
の両方法をすべて包含 し,非定常,定常 のどちらにも適用できる変換行列の求め方を得た｡その方法を本文で発表す る｡
斗数学科
2 2 4
長野工業高等専門学校紀要 ･第3
号2.
定理の証明と変換行列の求め方単一 入力の非定常な線形
制御系は次のベクトル微分方程式で記述される｡丘‑Ax
+b u
(1)ここで x
‑ (x X; : ' ( : ;)対象の状態
ベクトル;A‑〔::,I.Ill.I.1.aa;〜〕対象の係数行列･a
. I ( i ) E D ‑( a) ( l i ･ = =1 1 ･ .. . ‑ : .
nn
)∂‑
(::日 駆
動ベ ク トル,b . ･ ( E ) E D∞( 3 2 )( i ‑1 ,･ ･
･n);a‑u(i)スカラー制御関数‑孟 ;Dは
( 時間) tの変域 ;D0 0( 5 2 )は3 2上で無
限回微分可能な関数全体の集合正規形 y‑
Ay+b u ( 2 ) 0 1 0･ ･ ･ ･ ‑‑‑･ ‑‑0 0‑‑‑･ ‑‑･ ‑‑‑ 0
1‑
al‑a2 a3' ' 'lan ̲1
‑an /＼ただ し A‑
/ ヽ
a
.
1(i) E D . " ( 3 2 ) ( i ‑ 1 ,･ ･ ･ n );b‑
系(1)は系(2)に同
値 ( e qui val ent )とす る
｡(1)
すなわち系 ( 1 ) と 系 ( 2 ) の 間に y‑Kxなる変換 が存在するO ただ し,K‑(k k : ･ 1 . 1 . ' : : . k k l i " . 〕Ik･ ･
}(I,ED‑ (l i ･ ‑ ‑ l l , ･ ･ ･ ･ ･ ･ n n ) か ‑Kは‑ のすべての
tに対 して正則 な行列である｡y‑Kx+Kまであるから( 2 ) に 代 入し ,
Kx+Kk‑A Kx+^ b u 丘‑K‑
1(A^K‑A)x + K ‑ 1 ^ b u
同値なることによ
り,これは( 1 ) となるか ら
/ ヽ / ＼
K‑ I ( AKIK)
‑AK‑1 b‑b
/ ＼ / ＼
/ . AK‑K
‑K
A( 3 ) A‑( KA+K) K‑ 1 ら Z !
b‑Kb ( 5 )
K‑[ :: ) ( K. ･ はK
のi行ベ
クトル)とすると( 3 ) より
K, ･ A+Ki ‑K
.I+1(i‑1 ,2 . ‑,n‑1 ) ●
‑al Kl ‑a2 K2 ‑‑‑a" Kn‑K" A+K"
( 5 ) より
K, ･ b‑0 ( i ‑1 ,2
,‑,n‑1 ) ( 8 ) Kn b‑1
01 ‑b QL ' 1 ‑‑AQL +QL ( I ‑1 ,2
,･･･ ,n‑1 )
で列ベ ク トル
Q
.･( i ‑1 ,2 ,･ ･ ･ n)を定義 し,系( 1 )
の 可制御行列( Cont r o l l a bi l i t yma t r i x) Q
を定義す る｡Q‑〔 Q IQ2 ‑Q" 〕 / ＼ 〈/ ＼
/＼帥
同様に系
/ ＼ / ( 2 ヽ )
の可制御行列/ ＼ Q‑〔0 1 〈/ 0 ＼ / 2 ･ ･ ･
Q"● ＼
〕が定義できる.ただ し
01 ‑b QL + 1 ‑‑AQL +QL ( l‑1 ,2
,･･･ .n‑1 )
補題
1 i
,J lが 1
以上の整数のとき( 6 )
(7)
(9)
08
8分
K.･Qj‑ 汁 ノ
≦
邦 の ときO
i+)A‑n+1のとき(‑1))A‑1
証明 個 の証明 KIQl‑Klb‑0(
● /( 8 ) )
よ ってi‑1,)'‑1のときな りたつ｡右辺が意味を もつ整数 Jに対 し
K,･Q,I‑(‑1)JK,1.10,I.t (i+j≦n)
的
がな りたつ｡ ●
個の証明は,K,LOj‑(K,･̲1A+K,.‑1)Oj‑K,● A‑1AQブ+KE‑1Q,･ しか るに,K.･‑1Q,A‑0(帰 納法の仮定) よりK,･llQ,I‑‑K,･‑1Qjこれを代入 し,●
KEQ,･‑K,･11AQ,A‑K,･‑10,･‑K,･‑1(AQ,I‑Q,･)‑(‑1)lK,･‑1
0 , . '1
よって
7 ‑1
のときな りたつ｡Jの ときな りたつ としよ う｡ ●
K,･Q,･‑(‑1)JK.･‑tQ,･'t‑(‑1●)tL(Kトt‑1A+KE‑I‑1)Q
j ' L I
●‑(‑1)I(KL‑I‑1AQj't+K.I‑ト10,･.I)‑(‑1)I(K,･‑L‑1AQj't‑K,･‑I‑10
, ･ 't )
‑(‑1)L'lK,.̲I̲1(‑AQ,･+t+Qj+I)‑(‑1)I+1K.･‑(L'1) (帰納法の仮定 K.A̲I̲10j+I‑0使用)
ゆえに的がな りたつ｡ 一方(8)よりK2Ql‑K2b‑0, ･･‑･･,Kn‑1Ql‑K"‑)b‑0であるか ら的 とあわせて個がな りたつ｡
左辺が意味を もつ整数 Jに対 して, Kn̲LQl.L‑(′‑1)L 鯛
尽尋の証明 K"̲102‑K"̲1(‑AQ】●+Ql)ニーKnllAQl+Kか1Ql K"‑101‑0か ら Kn‑101‑‑K〃‑1Ql
∴ K〝̲102‑‑Kn̲1AQ1‑Kn̲101
‑(
ll)1(K"̲lA+
K.̲1)01‑(‑1)lK"01‑(‑)1Knb‑(‑
1)1
同様に して
● ●
K n‑( I .1 ) Ql .( I .1 )
‑Kn‑( I .I )(‑
AQl
+I+Ql.I)ニ
ーK肘 (t'1)AQl+I+K.‑(t'1)Ql+I●
‑
‑(Kn̲(L+1)AOl+t+Kn̲(I
+1)Ql+I
)ニ ー(Kn̲(I+))A+
Kn‑(t +
1))Ql+t‑(‑1)KかLQl.L‑(‑1)(
‑1
)I‑(ll)L '1 ( 9)
と尽卵こより直ちに鯛が証明される.補 題
2
K,‑b‑KID.･ (i‑1 ,2
,･‑,n‑1) KIQn‑(‑1
)〜‑1
的証明 補題
1
の的 より(14が得られ,鯛 より的が得 られ る｡補題
1
により〔0
102‑0
〝〕‑0 ‑
⁚‑0 1 1 Ei iZ 1 1
rLへ∴ deiK･deiO‑(‑1)("‑O･
# '
iE32とき,detK≒0からIE32のときdeiQ
*0 C Z D
0 (
‑1) 〝1
すなわち可制御行列 馴
ま
32においてつねにRank
はn
であるか ら系(1)は一様可制御2 2 6
長野工業高等専門学校紀要 ･第3
号( Uni f o r ml yc o n t r o l l a b l e )
である｡(8)胸 より
〔 Kl b, K2 b
,‑･･･,Kn ̲
1b , KI Qn 〕‑(
0, 0 , ･ ･
0,(‑1
)n1 )
(17)
より〔 KI
Ol , KI
O2
,‑･,KI Qn ‑ 1 , KI Qn
〕‑(0,0,･･･0,(‑1)" ‑1 )
∴ Kl 〔
01 , 02
,･‑,Qn
̲1 , 0" 〕( 0,0
,･･･‑0
,(‑1)〜 l l ) ￠1 )
(
1纏うよりKl ‑( k
ll,k1 2
,･･･ , ki n )‑( 0
0･10(‑1)n ‑1 ) Q 1‑〔 0‑
1の最後の行〕×(ll)〜‑1
一霊 若
( de i O( 1 n , ,de i Q
(2"),･･････ , de i Q( n n ) ) e 9
ただ し
Q (･ '
j)はQの (ij)元素の余因子行列である｡以上の議論に より系(
1 )
と系(2 )
が同値ならば系(1 )
は一様可制御であることが証明で きた｡一様可制御性が同値であるための必要条件である̲
′ ＼ 〈
.Iことのみを示すためな らば以上の方法 は迂遠である｡KQl‑Kb‑b‑Ql ( ( 5 )
09を用 う)●
/ ＼ / ＼
KQhl ‑K( ‑AQL ･
QL )‑‑ AKQL ･KQL ･KQL ‑‑A ^Q ^I . d S( KQL )‑QL ･1
/
＼/ ヽ /
＼/ ＼
(( 3 )
㈹鋤を用 う) よりK〔 Ql
/,
＼Q2
,･･･ , Qn
〕‑〔
Ql ,
02,‑,
Qn
〕すなわちQ‑KQを得る｡ 計
/＼
算を実行 してわかるようにQの形か ら
de i Q
キ0ゆえにde t Q
キ0 となる｡ ここで この ような証明を しなか ったのは変換行列を求める方法が証明中に内包 しているからである｡逆が成 りたち次の定理が成 り立つ｡
定理 系(1)が系(2)に同値である必要十分条件は系(1)が‑様可制御である｡
十分なることの証明.系(1)が一様可制御であるとす る｡ QはL2で
Ra n k
が常にn
である か ら,dei Q ≒
0 よって紛に よりKlが求まる｡ (
6)よりK2K3 ‑Knを求め K
を定める.K
の行ベ ク トルK
.･とQの列ベ ク トル Q
J･について前の補題1
が この場合にもなりたつ｡くその証明> 餌 より求め られた
Kl
は糾)を満足するか ら,KI Qi ‑
0(i‑1 ,2
,･･･ ,n‑1 )
鰯KI Q"‑(
‑1)n ‑ 1 K
,.+L QJ . ̲t ‑(
‑1)tKi Qj
(i+j≦n) eS)e カ
がな りたつ｡
K
E+ 1 QJ 1 ‑ 1 ‑( KE A + K, ･ )QJ ･ ‑ 1 ‑KL AQ, ･ ‑ 1 + K, ･ Qj ‑ 1
帰納法の仮定K, ･ QJ ･ ̲ 1 ‑
0 よりK, ･ Qj ̲ 1 ‑‑K. ･ Q, ･ ̲ 1
∴ Ki + 1 0) ･ 1 1 ‑K, ･ AQJ ･ 1 1 ‑Ki QJ L1 ‑‑K, ･ (‑AQJ l ‑ 1 +QJ ･ ‑ 1 )‑(ll) 1 K. ･ Qj
同様にKl +L Qn ̲I ‑(
ll)〜 ‑L1
鍋がな りたつ｡C23)糾餌鯛 より容易に補題
1
が成 りたつ ことがわかる｡ したが って89がな り たつか らiE32の ときde i K≒0 飼
すなわち
K
は正則行列であ り,k, I ) ･ ( i ) E D
00(32)('/ de i Q ≒0 ,a, ･ ) ･ ( i ) E D
co(32),b . I ( i )E D
叩(32))である｡朗 よりK1が存在す る か ら
K‑1 ‑〔PI P2 ‑Pn
〕とお くと,KK‑1 ‑E ( E
は nXnの 単位行列)K, ･ P) ･ ‑ SE J ･ ( ∂i
)･は クロネ ッカーの記号) ゆえに(4 ) ( 6 )
より鍋
KI A+Kl g2 A+∬2
K" A+Kn / ＼
A‑( KA+K) K‑ 1 ‑
補題
1
が成 りたつ ことより0 0 0 ⁚ ･ 0 1 0 0 ⁚ ･0
〔 PIP2 ･ ‑P〃 〕‑
0 1 0 ‑
K2 K3 A"
Kn A+K "
0 0 1
o･
･･.･････････‑:;‑ :L /:‑ : ; ･ ･ 1 0
〔 PI P2 ･ . ･ ‑Pn 〕
●
( K" A+K" ) Pl ( K" A+Kn ) P2 ( K" A+K" ) P3 ‑･ ‑･ . ･ ･ ･ ( Kn A+K" ) Pn ( Kn A二 十Kn ) P
.1(i
‑1,‑,7 2 )はスカラー関数で D ぬ ( 3 2)に属することは容易にわかる｡
以上にき り定理は証明された｡証明 よりわかるように系(
1 )
を系(2 )
に変換す る計算方法を 示す ことが可能にな った｡その手続は1 ) Ql ‑b ,Q
E' 1 ‑‑AQL +Q L
,(I‑1,2 ,‑ ,n‑1 )
よりQl , Q2 ,･ ･ ･ ,Qn
を求めQ ‑〔 Ql , Q2
,･ ‑, Qn
〕を定める｡2) de t Q
を計算す る｡ これに よって一様可制御性を検定す ることがで きる｡3) Kl ‑ 亡 謡 二( de i Q
(ln , , de i Q( 2
〝,,･･･ ‑ , de i
O(‑,)を求める04) KE + 1 ‑K, ･ A+K
,･(i
‑1 ,2 ,‑･ ･ ･ ,n‑1 )
よ りK2 ,K3 ,‑‑,Kn
を計算 し〟‑
l
K !
ijを確定す る｡
以上は変換行列且の求め方である｡
/＼
Aの求め方は
1 ) KA
を計算す る｡2) K
を求める.3) KA+K
を計算する｡● 4) de t K
を計算LK‑
1を求める｡5)
最後に( KA+K) K‑
1を計算すれば よい｡/＼
注意 として
Kb‑b
を確めることはK
が正 しい変換行列であるか否かをみるに必要である｡以上の方法は
Si l ve r ma n
氏に よる方法 よりはるかに計算は簡略である｡ Si l ve r ma n
氏の方 法では αJを求める手続 きが複雑で実用的でない｡ この方法は 仇 を必要 とせず過程において 一様可制御性を検定 している｡ この2
点がSi l ve r ma n
氏の欠陥を改良 した点 といえよう｡3.
定常横形制御系の場合変係数を定係数になおす ことは容易である｡ この ときは種 々の関係が簡単になる｡
/ ヽ / ＼
(4)は
A‑KAK‑ 1 的 ( 5 )
は形はかわ らないb‑Kb ej ) ( 6 )
はK
,.+ 1 ‑K. ･ A ( i ‑1 ,2 , ･ ･ . n‑1 )
となるのでK, ･ + 1 ‑KI A･ ' ( i ‑1 ,2 ,‑ ,n‑1 )
銅 が得 られる｡的は
O
L+ 1 ‑‑AQL ( l ‑1 ,2 ,･ ･ ･ ,n‑1 )
よって
QL + 1 ‑(‑ 1 ) t AL b ( I‑0,1 ,･ ･ ･ ,n ‑1 )(ただ し AO ‑E) 的
2 2 8
長野工業高等専門学校紀要 ･第3
号CZl)は
,Kl 〔 Ql ,
02
,‑,Qn ‑ 1 ,Qn 〕‑( 0,0
,･･･ ,
.0
,(‑1 ) "1 )
〔 K
lb,K
l(
‑1 ) Ab
,‑‑,K
l(
‑1
)n ‑ 1 A" l l b 〕‑( 0,0
,‑,0
,(‑1)か1 )
しかるにK l ( ‑ 1 ) t AL b‑0
からK
l(
‑1 )L At b‑K
l(
‑1
)n ‑ 1 Al b (I‑0
,1,･‑,n‑ 1 )
∴ (‑
1 ) 〜 ‑ 1 Kl 〔 b,Ab
,･･････,An2 b,An ‑ 1 b〕‑( 0,0
,･･････,0
,(‑1
)〜 ‑ 1 )
よってKl
〔b,Ab
,‑･･･,An ‑ 2 b,A" ‑ 1 b 〕‑( 0 ,0
,‑･････.･･･ ,0
,1)となる｡可制御行列Qを
O‑
〔b,Ab
,‑･･･,An2 b,Anl b
〕と定義する｡K
l‑( A
ll , k1 2
,‑･･･ , k l n )‑Q
の最後の行‑｣=( de i Q
(1n), de t Q
(2n),州, de
iQ(‑))鍋
de t Q
A
の固有多項式de t ( } E IA)
‑1n +an スn+‑+a2 ス+al
の係数ベ ク トル( a
l,a2
,‑‑,an )ニーKI An K‑ 1
的 または鰯 より( al , a2
,‑, an )‑(‑( K〃 A+K" ) P
l,‑( Kn A+Kn ) P2
,‑,‑( K" A+K" ) P" ) 的
以上の手続はRa ma s wa mi& Ra ma r
両氏の方法,結果を完全に包含 している｡ なお証明した定理を定常系に適用するとき
Ka lma n
氏 的お よびWonha m & J o hns o n
両氏的( Appe ndi x
1) が示 した系(1 )
が同値な系(2 )
が存在するための必要十分条件は系(1 )
が完全可 制御であるとい う命題 も含んでいることを指摘 してお く｡4.
計算
例4 ‑1
非 定 常系 の 例si l ve r ma n
(1)の提出 した例をとる｡系(1)のA,b
をA ‑ L I ̲ ; :̲ i E I… ) b ‑ 〔
e‑g
〕とするo 01‑bQ
2‑ ‑AQl+Q l ‑
. ' . O‑l Ql , Q2 , 03 ]
‑e ‑ i
O 0 ク) 0
C....〇＼
｣0 0 即 ク)
● Q3
‑‑AQ2 +Q2 ‑
de i 0‑‑e ‑ S L
よって系(1)は一様可制御である｡Q‑
1‑e E 0 0 0 0 e
2E0 c 2 I
0∴ Kl ‑(
‑1) 2 ( 0
,e
2E,0 )‑( 0
,e
2L,0)
K2 ‑KI A+Kl ‑( 0, e
21 ,‑e 2L ) K3 ‑K2 A+K2 ‑( e t ,e 2 E ‑e
L,‑e ‑ 2 E )
これすなわち変換行列である｡
∬
1‑
e ‑ 2L ‑e ‑ i e
♂ ‑ 2J 0
c ‑ : L ‑e ‑ 2E
C2L
e 2 t ‑e 2 E
e 2 E ‑et ‑e 2 E
/ ＼
A‑( KA+K) K‑ 1 ‑
ガム ‑
0
e2 L ‑e2E
e t e 2 E
‑eE ‑e2L
e t e 2 L ‑
e2L+ eE
0
g2I
00 e 2 E ‑ e 2 E et e
2L‑
et ‑e 2 E
e‑2E
‑e ‑ I
e‑2E0
e‑2
E ‑e ‑ 2E
4 ‑2 定 常系 の例
固有値が実数で重複 している例
この例は
Mu f t i ( 8 ) chi d a mb r a ( 9 ) si l ve r ma n ( 1 ) Ra n e ( 4 ) Ra ma s wa mi
&Ra ma r(
2)が と り あ げ た もので これ らの論文 の方法 と比較す ことがで きる｡A‑
1 6 ‑3
‑1 ‑1 1
‑2 2 0
固有多項式
de i ( l E‑A)‑
13 ‑3 1+2‑ (i‑ 1) 2 ( i+2) Q‑l b, Ab, A2 b] ‑
1 4 ‑2 1 ‑1 ‑3 1 0 ‑1 0
よ りK
l‑ ( 0 ･ 0 , 1 ) Q 〜 ‑ 3 1 6 ( 1 ･
K
‑li3 :
日K K ;A L2 〕 ‑
志〔 1 … / ＼
A‑KAK‑ 1 ‑ 0 0
‑2
0 1 0
1 0 3
de t Q‑3 6 ‑ Q‑ 1
=f6 (
1; ‑4…‑ ̲
1…〕‑
5 4
‑
6 ‑ 1
‑1 3 0
･ ( a l ,a2 ,a3 )‑( 2
,‑3 ,0 )
または‑KI A3 K‑ 1 ‑
一志( 1 9,‑3 2 ,1 3) Kl l
‑ ( 2 ,‑
3,0)固有値
が
複素数
の例この例は
山 岸 的の
提出
したものであ る .
A
‑F … ー 4 : 二 2
7] b
‑〔…〕固
有
多項
式d e i ( l E ‑ A )
‑1
3‑7
12
+19
1‑
13 (i ‑ 1
,3± 2 i
;i‑
/= 了) O‑ l
bA b
A2b ] ‑
1 ‑ 7 ‑ 2 3
1 ‑ 3 ‑ 3 1
1 21 8 1]
0‑ ‑
*o
lK1 ‑ 義 ( 6
･‑7 ･1)
K
b‑k o
lt:4 0 8
84‑
1 1 2
1042 4
‑ 286
‑ 7 114
‑23 986 ‑ 781
8
淵 ‑k o
L 63 日 … 戸
( ￠ 舶カ )
2 3 0
長野工業高等専門学校紀要 ･第3
号 とな りK
は求める変換行列である.14 ‑23 9 KA‑ 姦 L 86 ‑7 81
414 297 409
〕.＼
A
‑KAK‑
1‑0 0 0 1 13 ‑1 9
0 1 7
固有値が複素数の場合で も計算は全 く同様に行えば よい途中で複素数があ らわれることはな
い｡
5.
まと
めこの論文は
Si l ver man
の方法 とRamas wami
&Ramar
の方法を完全に 吸収 しそれを 拡張 した方法を示 している｡ しか もその際計算を複雑に しない とい う利点を持 っている｡注 目すべきことは可制御行列の行ベ ク トルの性質に着 日してこの成果を得た ことである｡ した が って可制御行列の列ベ ク トルの性質を究明すれば別な利益がえられるものと期待 している｡この考え方で著者は
Si l verman
の方法 とRane,Tuel
の方法を包含 した拡張を試み,現在 まとめている｡入力が単一でな く多入力の系の場合に もこの方法が適用可能にす るための方策をも考案 中 である
｡Tuel
氏は定常系について多入力の場合に一般化が出来た と述べている｡ ( a )
Ramas wami & Ramar
両氏は自己の方法のFort r anPr ogr am
の作製の必要を感 じている｡本論文の方法が何 らかの発展を促す ことになるようさらに探究を続けたい｡
参 考 文 献
( 1 ) LM. Si l ve r ma n
," Tr a ns f o r mat i o no ft i me‑ va r i a bl es ys t e m t oCa n o ni c a l ( Pha s e‑ va r ia b l e )f o r m
",I EEETr a ms .OnAut oma t i c
.Cont r o l ,vo l .AC‑
ll,PP. 3 0 0
‑80 3,Apr i l1 9 6 6.
(2)
B. Ra ma s wa m i a ndK. Ra m
ar,a Tr a ns f o r mat i o nt ot heph a s e･ va r i a b l ec a no ni c a lE o r m"
,I EEETr a ns .OnAut o mat i cCo nt r o l ,v ol .AC‑1 3,PP. 7 4 6 ‑7 4 7,De c e mb e r1 9 6 8 .
( 3 ) W. G. Tue l , J r .
," Ont h et r a ns f o r ma t i ont o( ph a s e･ va r i a b l e )c a no ni c a lf o r m
'', I EEETr a ms . Aut o mat
icCont r o l ,
γo l .AC‑
ll,P. 6 0 8,J ul y1 9 6 6.
( 4 ) D. S. Ra ne
." A s i mpl i f i e dt r a ns f o r ma t i ont o( ph a s e･ va r ia b l e )c a no ni c a l f o r m, nI EEETr a ms . Aut o mat i cCo nt r
ol ,vo l . AC‑
ll,P. 6 0 8,J ul y1 9 6 6.
( 5 ) C. DJo h ns o na ndW. M. Wo nha m
,̀ ̀ Ano t h e rno t eo nt h et r a ns f o r mat i o nt oc a n o ni c a l( pha s e‑
va r i a bl e )f o r m
,' 'I EEE Tr a ns .Aut o ma t i cCo nt r o l ,vo l .AC⊥
11,PP. 6 0 9 ‑づ
l°.J ul y1 9 6 6.
( 6 ) B. S. Mo r ga n,J r .
,uSe ns i t i v it ya na l ys i sa nds ynt he s i so fmul t i va r ia bl es ys t e ms
,nI EEETr a ms . Aut o mat
icCont r
ol ,
γo l .AC‑
ll,PP. 5 06 ‑5 1 2,J ul y1 9 6 6 .
( 7 ) C. D. J o l ms ona ndW. M. Wo nh a m
," A not eo nt het r a ns f o r ma t i ont oc a no ni c a l ( ph a s eva r ia bl e ) f o r m
,"I EEETr ams .Aut o mat i
cContr
ol ,
γol .AC‑9,PP. 31 2 ‑31 3,J ul y1 9 6 4.
( 8 ) I . H. Mu
fti,̀ ̀ Ont her e duct i o nofas ys t e m t oc a no ni c a l( ph a s e･ va r i a bl e )f o r m
,' 'I EEETr a ms . Aut o mat
icCont r o l ,
γo l .AC‑1 0,PP. 20
6‑2 0 7,Apr i l1 9 6 5.
( 9 ) M. R. Chi da mba
ra
," Thet r a ns f o r ma t i o nt o( pha s e･ v a r i a b l
e)ca noni c a lf o r m
,' 'I EEETr a ms . Aut o mat
icCo nt r o l ,Vo l .A
C‑1 0,PP. 49 2 ‑4 9 4,Oc t o be r1 9 6 5.
8
ゆ J. T. To u,l t De t e r m ini a t i o no fi nr e r s eVa nd e r mo ndema t r
ix, 〟I EEETr a ns .Aut oma t i cCont r o l Vo l . AC‑9 ,P. 3 1 4,J ul y1 9 6 4.
帥
J. D. Br ul e,t t A not eo nt h eVand e r mond ed e t e r mi na nt , ' 'I EEETr a
ms ,Aut o ma t i cCo nt r o lVo
l.AC‑9,PP. 31 4 ‑31 5 ,J ul y1 9 6 4.
8
う R. E. Ka lma n,t t Ma t h e mat i c a lde s c r i pt i o nofl i ne a rdy na mi c a ls ys t e ms
,' 'SI AM J.o nCo nt r o l
,Vo l
.1 ,PP. 1 5 2 ‑1 9 2,1 96 3.
的
W. M. Wo nha r na ndC. D. J o hns
on
,' ̀ Opt i mum ba ng･ ba ngc ont r o lw it hqua d r at i cpe r f o r ma nc e i nde x
,' 'AS
ME Tr ams . ,J. ofBa s i cEngr g. ,vo l .8 6,PP. 1 0
7‑1 1 5
,Mar c h1 9 6 4.
84
J. T. You;Mb de r nCont r o lThe o
ry,Ne w Yor k,Mc Gr a w･ H
ill ,1 9 6 4 ,PP. 5 1 ‑5 3, PP･ 1 4 9 ‑1 5 4･
89 高橋 安人 ;システムと制御,岩波書T
