金融（補足説明）
為替レート
現代における貨幣（通貨）は、各国（または複数国が協調して）の政府ないし中央銀 行が発行し、当該国の法律などにより裏付けを与えられ通用しているものが一般に用 いられているが、その通貨は一般に当該国・地域の外では通用しないため、貿易や資 本移動など国境を越える取引においては、当該国・地域で通用する通貨へ交換する必 要が生じる。その際、自国・地域と相手国・地域との通貨の交換比率を決定するため の概念が為替レートである。ここで注意したいのは、基軸通貨である米ドルに対し固 定相場制や変動の緩慢な通貨バスケット制を採用している国が多く存在する事である。
米ドルと連動するそれらの国の為替レートを考慮したレートのネットが、変動相場制 を採用している国々との正確な現米ドル為替レートとなっているか考慮する必要があ る。
一般に、為替レートはその制度いかんに関わらず経済情勢の変化によって変動する。
ある通貨Aに対して、変動相場制の下で通貨Bの価値が増大した場合、BはAに対し て増価 (appreciation)したという。また、AはBに対して減価 (depreciation)した という。
政府や中央銀行などの通貨当局は外国為替市場に介入して当該国家の為替レートに影 響を与えることができる（為替介入）が、中央銀行による介入が最も影響力が強い。
中央銀行以外の介入は当該国の通貨流通量を劇的に変化させないからである[1]。固 定相場制において為替介入や固定相場レートの変更などで、為替相場の水準が人為的 に変更された場合は、自通貨が増価した場合を切り上げ (revaluation)、減価した場 合を切り下げ (devaluation)と呼ぶ。
為替レートに対しては、例えば「為替は国力を表すはずだ。少子高齢化で衰退してい く国の通貨が上昇するのはおかしい」というような誤解を持たれることがある。為替 レートというのは基本的に2つの通貨の交換価値に過ぎず、長期的には購買力平価に 沿った動きになる。[2]すなわち、インフレ率が高ければ通貨の価値が下がり、イン フレ率が低ければ上がると考えることができる。
金利の期間構造
（１）金利と債券価格
・（利付）債券とは、毎期一定の利息（クーポン、利札）を支払い、一定期間後に額 面（元本）の償還をする債務証書（貸付金も経済効果は類似だが条件は複雑）である。
クーポンと元本の支払いが確実な債券（例えば国債）は、割引率（金利）が与えられ れば価格が計算できる。
・ここでは、毎年の金利が異なる場合を考える（ｓkはｋ年間に適用される金利；ス ポット金利という）
●利付債 PV C
s
F
k s
t k
m
m
k tm
(1 ) (1 )
1 （離散）
PV Ce s t Fe
k m
k k s tm m
1 （連続）
●連続ｷｬｯｼｭﾌﾛｰ
PV ct ts dt c f u t du dt
T
t t
T t
0 0 0
exp( ) exp( ( , ) )
・途中のクーポンがない債券を割引債（ゼロクーポン債）という満期のない（永久に クーポンを支払う）債券をコンソル債（永久債）というコンソル債の価格は利付債の m→∞としたもの（金利がフラットならPV=C/ｓ）
・一般に投資期間や貸付期間が異なると年利換算レートが異なる。横軸に期間をとり、
縦軸に金利水準（スポットレート）をとったものをイールドカーブ（金利の期間構 造）と呼ぶ。一般には長期になるほど金利水準は高くなる（順イールド）が、たまに 逆転することがある．（逆イールド）
・利付債の場合には困った問題が起こる．金利を期間に関わらず一定と置くことは、
IRRの計算をしてr*を求めることに等しいが、これは途中キャッシュフローを反映し た数字で歪みがある（高クーポン債の利回りが低く出る）割引債のみ考え、利付債は、
それぞれのスポットレートを使って割り引いた価格の合計と考えればこのような問題 はなくなる
ポートフォリオ理論
株式オプション
( 1 ) オプションとは？
・ 金融デリバティブの一つ
・ ①特定の商品を、②将来のある時点（満期日またはそれ以前に）に、③あらかじ め決まった価格（行使価格）で売買する権利をいう
・ 買う権利をコールオプション、売る権利をプットオプションという
・ 行使時期が満期であるものをヨーロピアン、満期以前のいつでも良いものをアメ
リカンという
（２）仕組み
・オプションは「原資産」と呼ばれる資産から｢派生して｣作られたバーチャル証券で ある。株式オプションは株式を原資産とする取引である。日本で、最もよく取引され ているのは日経平均オプションである。契約条件には、契約日t、満期T、行使価格K などが要素となる。ヨーロピアンコールでは満期時点でmax(ST-K,0)が受け取れ（下 の図）、ヨーロピアンプットではmax(K-ST,0)が受け取れる。すなわち、コールでは 行使価格より高くなければ利益は得られない。
5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0
5 0 0 5 5 0 6 0 0
契約日 T：満期
（３）Black=Sholes式
株価の従う運動方程式を確率微分方程式の一つであるドリフト付き幾何ブラウン運動 と考える。Fは株価（配当は無視する）,fは期待収益率（ドリフト）,vはボラティリ ティ項、ｄWは標準ブラウン運動の微分と考える。ｃ＝ｃ(F,t)はヨーロピアンコー ルオプションの価格式とする。伊籐の公式を適用すると、
dF
F =fdt+vdW⇒dc=∂c
∂FdF+1 2
∂2c
∂F2v2F2dt+∂c
∂t dt 利益 K=550円
これから、ｄFの項にあるｄWを消去するためにｃのFによる偏微分の枚数を売り
建てると、 c−∂c
∂FdF=1 2
∂2c
∂F2v2F2dt+∂c
∂t dt
となるが、これは確実な収益を生む
ポートフォリオであるはずである。これから、
1 2
∂2c
∂F2v2F2dt+∂c
∂t dt=rcdt⇒∂c
∂t =rc−1
2v2F2 ∂2c
∂F2
これを変形すると熱方程式の標準形になる。これを解くとBlack -Sholes式が導かれ る。
Call=SN(d1)−Ke−rtN(d2), Put=−SN(−d1)+Ke−rtN(−d2) d1=(log(S/K)+(r+σ2/2)t)/σ√t ,d2=d1−σ√t
