潮汐による海岸地下水位の変動に関する研究
一一透水係数の異なる二領域の場合一一
松 原 茂*
On Fluctuations of Groundwater Level in Unconfined Aquifers Consisting of Two Zones of Different
Permeability Caused by Tide
by
Shigeru乱!1ATSUBARA (Department of Civil Engineering)
As is well known， the fluctuations of groundwater level in the aquifers in contact with the ocean or the river occur in reponse to tide or to correlative change of stream storage. The problem has been solved by analogy to heat conduction in a semi ‑infinite solid subject to periodic temperature normal to the infinite dimension. The available solution which is derived from the approximate partial differential equation of groundwater level fluctuation in unconfined aquifers consisting of two zones of different coefficients of permeability (Fig.l) is used for the analysis of groundwater movement. The coefficient of permeability in each zone can be determined by this solution. The effects of the zone such as the dike or reclaimed land contiguous to the sea or the river on the inland groundwater level are elucidated. The solution is applied to the analysis of the data of groundwater level observation in situ.
古くから海岸地方の耕地では浅層地下水が利用され てきた.その割には地下水調査は充分に行なわれてい るとは云い難い.その結果.過剰揚水による塩水の侵 入，水源の枯渇あるいは地盤沈下などの被害が各地で 生じている.こうした被害を未然に防ぎ，地下水を有 効に利用するには，前もって充分な地下水調査を行な い，その分布および存在形態を明らかにする必要があ る.本研究は潮汐および河川水位の変動が不圧帯水層 内の地下水中を伝播するに伴ない減衰する現象を利用 して，透水係数の異なる二つの領域より成り立ってい る場合の帯水層特性を解明しようとするものである.
潮汐を利用して不圧帯水層の定数を推定する方法は比 較的簡便であり，広い範囲をかなりの精度で推定でき る点で有用である1) また直接的な面で，地下水位の 高い沿岸耕地(地表面下50cm程度)で塩害防止のため の客土をしているが，その厚さなどを決めるためには 本土木工学科
地下水位変動の振巾を計算に入れて考えるべきである ところが今まで推定に利用されている基本式の適用に は，海岸から内陸に向かつて一様な土質より成り立っ ていることが要求されている. しかし実際の海岸では 陸地の外側に内陸部と透水係数の異なる堤防などが築 造されていることが多い.従って図1のような単純な 二領域模型を考えて，潮汐による地下水位の変動を理 論的に解析し，観測によって不圧帯水層の定数を求め るため手がかりを与え，これを実測に適用した.さら に堤防などの存在によって地下水位の変動がどのよう に影響されるかについても論及した.
1)基本方程式とその解
図1のような模型に対して連続の方程式はz軸を内 陸に向って平均水面上にとりを時間，変動水位の 値を3とすると次式で示される.ここに H，kおよ びnはそれぞれ不圧帯水層の厚さ，透水係数，空際率
である．4は第1領域の巾である．サフィックス1，
をは第1，第H領域を示す．ただしH》θの場合を 取扱うものとする．
第順域で駕1一響・∂誰・・一・……一（・）
第皿領域で讐一罪・嶺L・・………（2）
境界条件は第1領域と第皿領域の境では次式で与えら
れる．
81（4，の＝82（4，の （3）
一々1（∂81（∬，の ∂￠）露々・（∂82募 の）撒（4）
灘＝0では外潮位の変動値をθ1（0，彦）として
81（0，の＝＝θo∫∫η（ω∫十9）o） … ……… （5）
とする．ωは角振動数を示す．
これらの解2）は0く諾く4の第1領域では θ・（切一θ回一芳1〉・∫・（ωト云
＋ψD＋晦（D1）血（ω・
＋苛＋望1）・……・……・…・……・・（6）
で与えられ，境界条件を満足するために反射波が加わ っている点が均一領域の場合と異なっている．
露≧4の第皿領域では
θ・（切一θ1畷一品）・ゴ・＠一三
2 2 ＋9、）……一……・・………（7）
となる．∬＝4を原点として考えると均一の領域の時 と似た形式である．Dは減衰長とも呼ばれるべきもの である．
ここにD−V禦一》讐………・…・…・……一（8）
で，々H／π＝KでKは滲透拡散係数とも名づけ られる べきものである．Hとωは第1，第野領域でも同じ 値をとる．（6），（7）式の振巾と位相は次のような値をと
る．
3｛一3。〔・＋。・，一44／D・＋2。，一24／D、・
、。、（24／D、）〕一｝6＿＿．＿＿＿＿＿＿．．．（9）
β 一3。〔1＋。一2，4〃D1＋2，一・，24／D・．
1
。。、（24／D、）〕｝要6一θ1。θ一24／D・…（1・）
ノ
従って諾＝4の境界の第H領域の振巾は8 となるの で
2
垢＝81（1＋・）・一4／D、・…・・………（11）
となる．
位相については次の関係式が得られる．
・ ガ24／D・．蝋24／D、）
ψ1一ψo＝ ㎏、＋ガ24／D・．。。、（24／D1）
……（12）
卿・…窃・一溜鷲論）
ノ
＝9）1−90一（24／D1）……… （13）
ノ
92＝ψ、一4／D、・………・……・・∴……・…・・…（14）
rは次式で定義されている．
弓篶i』揶髑D㍊…・・……・…（・5）
亨
ぶ
ZOne（1） zone（E＞
@ H
・imper＞iOus IGyer
Fig．1 Response of groundwater level in an unconfined aq｛1ifer to tide
ここに一》1霧一葺・礁一㌘／舟
・… 一 （16）
で示される．位相が均一の領域の場合と異なり形が複 雑である．
2）滲透拡散係数の求め方
土質が均一な領域の場合は⑮式より〃z＝1，プ＝0と
ノノ ノ
なりD、＝D，（』），8 1＝θ。，θ1＝0，θ，＝31×
・一4／D・，gl一ψ。，ψて一9。一2・4／D1，ワ，一ψ。一4／D1
となり（6），（7）式は周知の次式となる．
θ（三一θ…ρ（一毛）蝋・・一岩＋9・）
… 一・ （17）
内陸へ向っての振巾の減少と位相の遅れから滲透拡散 係数が⑰を利用して求められている．二領域の場合で も誠≧4の第皿領域内では均一領域の場合と同様な方 法で（7）式より滲透拡散係数が求められる．灘く4の第 1領域内では（6）式を使って滲透拡散係数の値を求めよ うとするとそう簡単ではない．それでこの目的に沿う ように次のような簡略化を行なってみよう．（9）式と⑪ ノ 式より潮汐の振巾¶・90と灘＝4の境の点の振巾θ2の 比をgとすると
81 ， （・＋・）・一4／瓦
可＝q＝t・＋商姻＋2ガ247瓦・…（24D1）
…………・・……・………（18）
となるがこの式でみD1が小さい量の場合を考えると 近似的に
1
9＝Y1＋2・癩／D1＋2（励D，）・
1
＝7葦…馳アガ …… … ……（19）
となり位相の方も次式で与えられる．
，（9）2一9）o）＝一伽一1メ・・・………・・…（20）
ここで
！＝祝・4／D1…………・∴・・…・…………・…・…・（21）
で示されている．⑲式による計算結果を図2に示して ある．今，潮汐および諾＝4点の地下水位の実測を調 和分析して 8 2／θoを求め，図2よりこれに対する
！を求めることができる．この∫を仮に述とすると
孟一が密画……・・…・…………（23）
第皿領域では（7）式が均一領域で得られる式と同様なの に注目すれぽ実測値の調和分析を行うことにより第皿 領域の実測より巡が算出される．従って鱒式より
K・一N4一去馳………（24）
となる．Pは周期を示す．内陸に進むにつれて振巾が 減衰する地下水波の平均の速度ηは
2同一㌍………・…・…………（25）
となり，この波の波長λは次式で与えられる．
λ，＝21／π1（P ・・・… 一・・・・・・・・・・・・・… 。・・。・・・・・・・・… （26）
半日周期Pd／2，一日周期Pd，年周期P・，それに対 応する波長をそれぞれλ￠ 2，㌔，λ・とすると
λ雇
7
λα λα
となる．
λ一2／丞互一一L≒、．4・4＿．＿．．＿（27）
q O
2／・礁、，一v
÷藷一誌≒赤…・∴…（28）
f
1．0
Q8
Q6
，q4
Q2
Q5 10
9 あヵ
％ Q！7メ
五一 ・舞・亟回天こ4・一・・………（22）
となるがここでη2／π1≒1とみると
0 2 4 6 8 10 12 14 f
Fig．2 The diagram for evaluating K 1．
In order to evaluate K1，ffor q＝％／θo must be determined by the harmonic analysis of the materials in situ．80 andθをare the amplitudes at灘＝o and認＝4， respectively．
KI is determined by the expression（23）
by using K20btained from the harmonic
analysis of observed values．
3）実 旧例
潮汐の変動による内陸地下水面の変動調査を徳島県 鳴門市大津町徳長で行なった．径20cmのオーガで孔 をあけ土管を入れて観測井を設置した．この配置は旧 吉野川から内陸に向って400mの範囲に10ケ所設け た．これは図3に示す通りである．各説の海岸からの 距離は図4に示してある．水位変化の読み取りを昭和 29年2月24日10時30分より1時間2分（1太陰時）毎 に25日16時28分まで行なった．この結果を図4に示す．
水路内の水位は潮汐と無関係である．これは側壁，底 面がヘドロで覆われ，地下水とは絶縁している．図4
の結果を調和分析して（7）式の振巾を利用して半日項
（1周期12一問25分）より減衰長D2ならびに滲透拡 散係数K2を求めた3）．ここでは電探より求めた帯水 層の厚さHを20mとし，空隙率η＝0．35と仮定し た．これを表1に示す．⑲式より認＝0の所の潮汐の 振巾と灘＝4（＝17．4m）の所の地下水位振巾の比を求
ditch（4）
No．10 メ
ノめると半日項，一日項についてそれぞれ32／θo＝
0．128と0．192となり，図2よりこれに対して孟＝
5．0と3．1となり⑳式より第1領域の地下水常数を求 めると表1のようになる．ところで⑲式の略算の有効 性を検討するために表1の半日項について
⊥＿塑＝0．497≒0．5 D1
35 とすると
二一5・・一
̀一一…5
より祝＝10となりr＝一〇．818を得るが，これらの ノ値を略算しない⑱式に代入するとθ2／θo＝0．126とな ノり略算式に使ったθ2／30＝0．128とほぼ一致する．こ れによって略算式の有効性が立証される．表1に波速，
波長を㈲，鋤より求めたものを掲げておく．波長は教 科書などの図に示されているように短いもののように 思われがちであるが長いものである．
4）堤防の存在効果 ⑳式によると
！一・ﾒ「一野手・／π（ 4K1η1）
となるが堤防巾4を大きくし滲透係数K1，空隙率π1 ノ
を小さくすれぽノが大きくなり⑲式よりθ2／80＝gが
も・蟹習
ロ 唱 ！むdltch 3）
醒 メNQ9
．＿一をNQβ．一．．＿
6萎
4葦5
柔3 1旧 ditch（丁
躬e傷ti（ね
oditch（2）
色繊）朝％
0 100200300（m）
S31／1QOOO
Fig．3 Arrangement ot observation auger wells at Tokunga Ootsu・cho， Naruto・
shi， Tokushima−ken
Table l The aquifer constants caluated from the amplitudes of semi−diurnal and diurnal t6rm
D2（m）
K2（m2／day）
k2（cm／sec）
D、（m）
K1（m2／day）
k1（cm／sec）
v（m／day）
λ（m）
zone（1）
zone（2）
zone（1）
zone（2）
from semi−
diurnal term 100 6．07×104
1．23
35 2．11×103
0．043 425 1214
λ￠
喜
117 628
from diurnaI term
250 1．90×105
3．84 37 4．26×103
0．086 225 1518
λd
235 1571 D＝damping distance， K：diffusivity， k：
coefficient of permeability， v：wave velocity，
λ：wave length
ノ
小さく堤防内側の地下水位の局勢θ2を小さくするこ とができる．この関係が図2に示されている．』この図 によれば年変化の場合，周期が長いのでωは小さく，！
の値が小さく，堤防の構造をかえて（例えば巾4を2
ノ
倍にして）！を2倍にしてもq＝θ2／30は渥にはな ら．ない．同じ堤防において！は／ωに比例する．すな わち周期の．ｽ方根に逆比例するはずで，急速な振動ほ
ど！が大きく従って振巾減衰比82／θoが小さく堤防
〇 4 ． 8
time（lun（ユr hour）
12 16 20 24
llミニ調墨ニニ＝二；《＝l
l 、 I l l i 、 』 ．l I l i l・
Φ（crn
T0 S0
R0）P〔ここ：〕二こ逢三3≦1ざ・ξ：乏を≧二二：二二二二二こ二二」二≡箋1≡＝i：＝」〜1二〜＼馬＼…
℃ ロ 。一 一亀 囑、
一 一 鰯
←
20｛ diゆ≦≧L
！ 「、 、 一、！
101
1
0L、 ／ ｛・一
1 、、 ， 1 6 8 1 l
l r繭、一馬，
1 1 l l l
ditch（3）
、、 、
、q鴨、「P一一一一陶働唱
ditch（4）
一一一一一一一一一＿＿＿ 1
馬一 の隔繭陶殉鴨、＿一＿＿＿舳」
1 ．．（． l l l ■陰、 ，一一一一1 2 1 1 一一隔 、
、 一 口臨 陶 鱒ノ 一 噌臨r亀
「 1 1 1 一噛鴫r。一一一一＿ ＿」
1 l I
Fig．4 04812162024
Pesponse of groundwater Ievels in wells caused by tide．The fluctuation of ground−
water levels was obser▽ed at interval of two lunar hours fr6m 10：30 Feb．24 to 16：28Feb．25，1954． The designations in the figure mean the numbering of the we11 and its distance from the water storage． For example，（1）17。4m means
NO．1 well at a distance of 17．4m from the watef storage to inland．
の振巾抑制作用が顕著である．一日振動のんと半日 振動の！1／2の比は毒：毛／2r／1／2≒0・7になるはず である．徳島の観測では3．1／5．0＝0，62で理論値より
1割の喰い違いが生じている．しかし観測の精度およ び調和分析の結果の精度を考えてみれば，この程度ま での一致は今までの近似計算によって大体の傾向が示 されることを裏書きしているともいえる．㈲式より海 面の年変化の内陸地下水位の影響を考えるに，日変化 のノをん，年変化の∫をルとすると
ル＿！乙＿．」一＿
万一吾．1一／爾
従ってあ・＝0．16…………・・…・…………・…・…・…（29）
31
ま姻2より正＝0・86 … …………（30）
となる．堤防の存在によってすでに述べたように半日 ノ
項ではθ2／θoが0．128，一日項では0．192で潮汐の振 巾は1割から2割程度にまで減衰するが，年変化の項 では堤防の減衰効果は只の1割程度にしか及ばない．
さらに堤防内側の陸地内（第H領域）では地下水位の 振巾は（・）式よりθ1・一（紀）／D・となるので年変化 に対しては
D，一（D，）。一》K・P・一・・．78／石＠）
π
……（31）
でK2＝1．90×105 m2／dayを用いるとD2＝4．70×
102mで1／D2＝2．13×10−4（1／m）となり，なかなか 減衰しない．また年振動における第旺領域内の潮汐に 対する位相の遅れを％とすると（7）式と⑳式より次式 で与えられる．
ノ 92＝◎一の／（D2）・＋伽一1ん………（32）
ここに，（κ一4）／（D2）αの項は距離に比例する遅れ で如η一1ルは堤防の存在によっておこる一定の位相の 遅れである．実測値を入れると次の式が得られる．勿 論サフィックスαはことわるまでもなく年変化に対す るものである．
ψ1＋4）・VK舞＋伽一・ル
＝0．00021●（灘一4）十〇．16 ・・・… 。・… 。・・。・・。 （33）
これを時間の遅れτ（day）に換算すると年振動に対し ては次のようになる．
ψ1
τ（day）＝365d・y×薪r＝0・012 （諾一の＋9・29 （34）
従って灘一4＝100mでは堤防のある場合でも位相の遅 れは10日程度であるから，地下水位の季節的変動は潮 位の年変動に較べてほとんど遅れなしに進行している
ことになる．この点，地温の年変化と語脈的である．
5）結 び
透水係数を求めるためによく用いられる方法に
Hansenなどの公式による方法，揚水試験などがある が，これらは粒度分析，試験設備などにかなりの手間 が必要であるうえに，局所的な値しか得られない．そ うした意味で潮汐による地下水波の内陸に進むにつれ ての振巾の減衰を利用して帯水層定数を推定する方法 は比較的簡便であり，広い範囲をかなりの精度で推定 できる点で有利であり，最近注目を浴びている．しか し実際の海岸では堤防，埋め立てなど内陸部と透水係 数を異にする領域が存在する．この事実に注目し，こ こではこうした領域の存在する場合，潮汐によって惹 起こされる地下水波の伝播を支配する現象を解析した．
まず近似化した方程式をたて，これに熱伝導の方程式 の解を適用し，それの実用化を可能ならしめた．この 結果，従来直観的に旧注領域内での水波の内陸への減 衰より滲透拡散係数を求める方法は，第H領域のみに 注目した場合，均一の領域から出来ていると考えた時
と同様に無雑作に取扱われてきているが，正鵠を得た ものであるという正当な理由づけを式の上から明らか にした．第1領域内での滲透拡散係数を求めることは 非常に困難とされているが，高い近似でそれを求める 方法を示した．第1領域内の透水係数の値は内陸の第
皿領域内の地下水の貯溜，排水などに大きな影響を持 つのでその意義は大きい．そのほか，第1領域が存在 するために潮汐の変動が第皿領域の内陸にどのように 抑制されて伝わるかを，各周期波について計算する基 本式を示した．
ここに示した方程式の解への著老の実測の適用はご く限られたものである．将来多くの実測の解析にこの 解が充分に活用されることを期待する．
参考文献
1）近森邦英，上森千秋：海岸付近帯水層の透水量係 数の推定について 農業土木学会論文集 42号 1972 P．13−20
近森邦英，近藤雅春：沖積地の地下水に関する研究 皿．潮セキおよび河川水位変動の減衰による不圧帯 水層定数の推定について 一奈半利町地区一 高知 大学学術研究報告 21巻 自然科学 第20号P．329 −340
2）小平吉男：物理数学 第二巻 岩波書店 昭和8 年7月20日P．400−408
Van Wilk， W． R，，Physics of Plant Environ・
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Carslaw， H． S． Mathematical Theory of The Conduction of Heat in Solids，2nd． edn．，Mac・
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