開発土木工学教室山本宏 Fundamental Equations of Tran＄fer Matrix Method

九州工業大学研究i報告（工学）N◇・26戊973年3月      ユ3

円弧部材に対する伝達マトリクス法の基本式

（昭和47年9月7日 原稿受理）

開発土木工学教室山本宏

Fundamental Equations of Tran＄fer Matrix Method

by Hiroshi YAMAMOTO

  In the analysis of structures， the Finite Elemellt Method is widly used in a recent year， On the other hand， the Transfer Matrix Method is used toα

  In this paper， the fundamelltal equation＄of Transfer Matrix Method for circular arc bow member are show駄These equati◎ns are t◎be apPlied f◎ズthe structures constructed by circular arc bowmembers．

  A司furthe欝m◎τe， it is sh◎陥that the equati◎ロs f◎妥c辻c曲玄aピc b◎w member in thi＄paper can be used for straight membeL

1． ま え が き

 筆者は，先に円弧部材によって構成される構造 物の解析を変形法の手法を用いて検討した（有限 要素法）が（文献1），ここでは伝達マトリクス

法を適用するものとし，必要な基本式を誘導す

       図一1

 2 部材座標鶏節点九節点変位など      左端＿＿せん断力ρは座標軸の正方向に作用

平面内で円弧をなし，かつ材軸を含む面に直角な  7▼は座標軸の正方向にむいて時計まわりの向きを 方向から荷重が作用するものとする。       もつものを正とし，変位もそれに共役な節点力と  （b） また，ねじりモーメントが作用する場合  同じ向きをもつ場合を正とする。

に，平面を保っていた断面はもとのままの平面を   右端……Ωは座標軸の負方向に作用する場合 保つものとし，そりの影響は無視することができ  を正，Mおよびrは軸の負方向にむいて時計ま

を含む面に直角な方向を考え，これを部材座標系  まわりに回転する場合を正とする。

にえらび，図一1に示す方向を正とする。

       3。変位と断面力

端と右端をきめ，節点力と節点変位を次のように   図一2は，垂直下向きの等分布荷重gをうけ

考える。       る線要素である。これについて力のつり合いを考

えると次のようになる。      微小長ABを直線と見なせば，

      ・    M．醐      4θ＝＿⊥4ぷ

  M      五1       ぷヘ

ノ③   ＼… ∠ψ＝「』

      、      ／        ここに・E1およびGJは・それぞれ曲げ剛性，

      ＼φ    ／      ねじり剛性である。したがって，

       ＼       ／

       ＼   ／       ．  ゴθ≡θ8一θ十4θ         s、 d伊 ／

      ノ

      ・     一θ・C・SW一ψ・・iW＋一夢4・

         図一2

       4ψ＝ψβ一ψ十∠ψ

∵㌫㍗ρ戸 …①上式∴㌘：鷺：㌢ら

（b）

蕊驚㌢隠1㌢ ばθ一艶一w

   −・       4ψ一雀「∂・＋θ・輌

微少頃を無視して，

      これより，

   4M十τ・4ψ一〇・4ぷ＝0

   ∴誓＋菱一ρ一・ …（2） M一班（畏＋妥）

⑥こ麗欝蕊＋の⑭ 

   ＋9・冶・2R・i啓一・   T−G」（旦＿4ψR4ぷ）

   ∴吾一晋一・ …（3） 一一畏際＋｛絵） …（6）

式（2）に式（1）を代入すると，         ただし・

（すなわち，たわみ角とねじり角）を，それぞれ  である。

θおよびψで表わせば，ABが剛体的に変位す   式（5），（6）を式（2）に代入すると，

る場

h㌔鷲lin4，  Ω一牛1

ぷ㌶；二鷲巖B両綱の 一畏（跳一λ砦一（仁λ）％）

たわみ角およびねじり角の変化量は，       ，      …（7）

   4θ一45／ρ （ρ：曲率半径）      λ＝G Eノ       …（8）

   4ψ＝ω・4ぷ（ω：ねじり率）       式（3）に代入すると，

1：4

  （1十λ）陽再λ｛謬一・…（9） −C・・c・sψ一己＠・sψ＋貴・i碑）

式④に代入O      一宇誓 一 …（・7）

まを ＝＝影…但）M畏（喘・sr 

  万一R・θ一一R・晋        ＋誓）   ・・恨）

   一一R蒜一一砦  …（・・）  r一妥（一ρ＋ρ孟鋤

式（9）と（・・）よりW耐を消去するカ・は   橘晶…針鑑り…（・9）

ず式（9）より，

  多裏一一卑筈＋誓     ρ一一r綴（スc一寄り ・一（2・）

これを式（・・）に代入すると，    上式恰軌る積分定数C・〜C・は境界条件から        求められる。部材の右端および左端に，それぞれ

戸☆謬＋爵砦一晶誓 （M門馬・㌦馬原のならびに（眠

       …（12）   TL，ぴ；萄L，θL，ψL）が存在するものとすれば，

式（12）を式（9）に代入して，         次の諸式を得ることができる。

袈畷＋筈＝唱（鵠夢） …（13） ω：鶯ご㌶∴）

いま等分楠甦考えている聴式（13）は・ @一顎（・＋λ）（・in□…ψ）．

      一（1十ス）ψC◇S亨｝）

て，この式の一般解は，

  閲一q＋C，．鵬輌＋q．ψ。inψ  ＋蒜（4＋2λ《・＋λ）輌一ψ・

    ＋C・…s針ぱ・ψ・・sψ芸筈    二2（2＋λ）c°sψ） （21）

       …（・5） ∂一万Lc・sぽ・inψ＋（1＋嘉釜2τLψ・・sψ 変位と断面力は，式（5）（6）（7）（且）および      R2ML    ．

（、2）より次のように求めることができる。   −2酬（（1＋λ）（sln輌c°s妨一2si碑）

万一一硲

   ＋CボslnいC、（cosψ一ψslnの

   ÷器ρ  …（・6） 、＋蒜（（・＋λ）（・i卿＋ψ・・sの

      一2（2十λ）sinψ十2ψ）   ・ （22）

輪r…汕＋ぴ（輌苛葺ス・・sり       一

ぽ・・inψ＋研・c・Sψ一（1＋壼芸斑卿ψ断霊二㌫．、inψ＋α．R、inψ 顎（（・一λ）・i碑＋（・＋λ）ψ・・sψ） T一ご㌫鵬＋ぴR（、一。。sψ）

づ鑑（1十λ）（sinψ一ψcosψ）  ρ一；驚s 卿） …（24）

  一撒（・＋λ）（2一ψ・・i碑一2・・sψ） ここでも・□とお嚇眠丁馬ρRの式

       が求められる。

      …（23）

上式で，ψ一αとおけば，晦，孤，森の式を得   4・格間伝達式

ることができる。      以上によって，円弧部材に対する格間伝達式が        式（25）のように求められる。

ω

万

万

M

τ ρ

1

‥・inα仁・・sαiを芸D芸Fi ・・

… sα一・inαi歪1β一蓋」C昔メi統・

・・inα・・sα 鴛H｝C蓋」E揚Di砺・

0   0     0  i cosα 一sinα  Rsinα  i 2MloR

O   O     O  isinα  cosα R（1−cosα）i 70R

◎   0      0   ｛ ◎    ◎     1    ｛ ＠o査

◎    0      ◎   i  O     ◎     0    ｛  1

脚

万

百

M

T

ρ

1

…（25）

ただし，

ぷ一1ﾌλα・甑α一子（レe㈱の一一

β一ｻ・i負α一宇（s1紅α十α・cosα）

c＝＝ ＿1十λα◎sin｛宴

D＝（1＋ス）（α・cosα一siM）

E＝一（1一λ）sinα一（1＋λ）α・cosα

F−1ﾜλ（・inα一α…Sα）一そ（α一・』）

    、＋乎α・inα］  （

玩・R一含多li：［畢（si・ぼα＋α・cosζ慧）         1

     一そ（2＋λ）・』詞

面…怨5［（・＋λ）（2一α・・i蕊α一2・・sの］

M。尺＝gR2（1−c◎sの

τoR＝47R2（α一sinα）

       ＿（26） ρ・RrRα

⇒［2（2十λ λ）（・一）一誓／式（25）』＿こともでき：127）

17

   匹 乙   ゜ （28）   一旦．ρ・一．L4

式中，γは状態量ペクトル，Fは格間伝達マト         2E1  6E7

リクスである・      4輌・一ψ・一ぴ一音丁・

 なお，式（25）の極限値を求めると，

1im脚・r・＿θ・．1＋上M・

ひ奪         2E1

    ＋晶c・＋壷、4 鞠伊一θ・一θL音M・

鵯M・−M・＋＠・1＋争

1imτ忍＝7膓

α→0

1imρL＝ぴ十4

α→§

釦

θ

ψ

M

r

o

1

…（29）

となって，これは直線部材の場合の式である。た だし，式中∫は直線部材の長さである。式（29）

をマトリクス表示すると，

・一匡・i嘉 ・ 晶i耐

…   irlr ・一嘉｛θ㌍

…  i・一÷・iψ許

［

…  11 ° zi嫌

o o oi O  1  0 i駕R

o  o  o i  O   O   l iαR

o o oi o  o  o i1

ω

θ

ψ

M

τ

0

1 L

…（30）

となる。すなわち，直線は円弧の特別な場合であ

るという考えによって，上記のように，式（25）  とおいて，式（25）より荷重頃を省いて，

 なお，式（25），（30）の格間伝達マトリクスの      」         」  一 最後のi列は荷重頃であって，荷重によってきまる  ただし，

ものである（ここには，等分布荷重が作用する場

合を示している）。        五一 1−・inα1−c・Sα

       O  cOSα  一Slnα  5．変位と断面力の関係

       O  smα   c◎sα

の関係式を得ることができる。

五情ニー璽二璽これよi こ鶉；㌫㎡

       …（33）

   α盈＝五gL十五〇L

   o・一五・α      式（33）が部材両端の断面力と変位の間の関係式

      であるが，これを詳細に示せば式（34）のように       なる。

     2 ハぜL ＝      R2

rL

ρL

MR

rR

ρR

＝元一竺こ㌘i二ll≡IR二i！R l巴

 一4  ∫   72  ；  α    4   ￠     斑R

∴㌫；Ri：：R∴一：副：

…（34）

ただし，

  α＝2」E1λ（1−cosα）［（1一λ）sinα一α（1十λ）］／ぷ

  c＝＝E7λ［α2（1十λ）2−（1一ス）2sin2α］／ぷ

  4＝21ロス【α2（1十λ）十α（1一ス）sinα・c◎sα一2sin2α！｝／ぷ

  松＝2EZλ［（2−−2cosα一αsinα）sinα一（1一λ）（1−cosα）（α一sinα）1／5   ∫−2酬［α2σ＋λ）c・sα械c・sα（1−2λ÷2λc・sα一λcos・の一2sin・α］／・

  g＝＝2」E∬λ（1十λ）［α2・sinα一（1−cosα）（α＋sinα）］／ぷ

  ゐ＝＝2G♂［一α（（1一λ）si】【120》一（1十λ）（1−c◎sα））十（3一鴨λ）（1−−cosα）sinα］／5

  〃‡＝GJ［（1十λ）｛α2（3十λ）一・4α・sinα一（1十λ）sin2α｝−2cosα｛α・sinα・（1一λ）−4（1−cosα）｝］／ぷ ＿

・−2ω（・一・・sα）［（・＋λ）（一α・、豊。：α＋α＋・inα）一αλ・・sα（・一・・sα）］／・

  θ＝GJ［α2（1十λ）（1十λ十2cosα）−2α（3十λ）sinα十8（1−cosα）一（1＋λ）2sin2α］／ぶ   〃＝2Eゾλ［一α2（1十λ）cosα一α（1一λ）sinα十2sin2α］／ぷ

  ぷ＝2［α（1十λ）｛α2（1十λ）一一4（1−cosα））一（1一λ）sinα〔α（1一λ）sinα一4（1−cosα）日   …（35）

式．（34）は格点伝達式を導くときに必要な式である。式（25）の場合と同様に，式（34）もその極限値 が直線部材に対する式となる。すなわち，．次の式（36）がそれである。

19

ML

欠L

ρL

MR

！l：

一Ψ ・ 竿i畢  ・ 2…11㎡

・ スゾ ・］・ 一♀ ・ 桝

・2班。週i−・2班。旦ぴ

 13     12 1  13      ∫2

畢 ・一竿i一早  ・一竿

・♀ ・i・」子 ・

1響 ・一雫i−1響 ・一警

z〃没

θR

ψ驚

…（36）

      伝達マトリクス法の式に一致する。

6・あ と が き      なお，ここには，格点伝達マトリクスや境界マ

 （a） 円弧部材によって作られる構造物を解く   具体的な構造型式に対する適用については・稿 場合には，ここに示した式を使用すればよいこと  を改めて報告することと致したい・

は申すまでもないが，       参考文献

（b）醐鯛と醜綱の齢こよって作ら ユ）山本宏、格子げたの締について，九州工業大 れる構造物の場合には・直線部材に対しては円弧    学研究報告（工学）第24号

部材の式の極限値を用いればよく，         2）R．Kersten：Das ReduktioDsverfahren deτ

（c）髄物縫綱とも醜醐で作られて 3）B㌶義灘欝瀧嗣クス法（コンピ

いる場合には・全部材に極限値を適用すればよ    ユ＿タにょる構造工学講座 1−2−B），培風館 い。この場合には，直線部材を対象とする従来の   4）山崎徳也：構造力学 輻共立出版