多変数の関数と偏微分

(1)

第

1

章

多変数の関数と偏微分

1.1

多変数の関数

独立変数がひとつの関数

y = f(x)

は，

1

変数の関数という．

独立関数がふたつ以上の関数を考えることができる．

とくに独立変数が二つの関数，つまり数のペア

(x, y)

に対して，ひとつの数を対応させる規則

f : (x, y) 7→ z (1.1)

を

2

変数関数という．これを

,z = f (x, y)

ともかく．

独立変数が

3

つ，

4

つ，一般には

n

個ある関数も考えられる．

n

変数の関数は

y = f (x 1 , x 2 , . . . , x n )

などとあらわす

.

例

1.1.1 (2

変数関数の例

)

• f (x, y) = x ² + y ²

• f (x, y) = ax ² + 2bxy + cy ²

• f (x, y) = x

¹³

y

²³

• f (x, y) = exp( − x ² + y ² )

• f (x, y) = ln x + ln y

• f (x, y) = x ln y

2

変数の関数のグラフは，

(x, y, f (x, y))

というすべての点の集まりで，図にすると

x − y

平面上の点に高さ

f (x, y)

を対応させて書いた空間内の曲面になると考え

てよい．

例

1.1.2 (

グラフ

)

f (x, y) = − x ² − y ² + 15

のグラフは図

1.1

ようになる．

1.2

偏微分

1.2.1 2

変数の関数を

1

変数の関数と見る

2

変数関数

z = f (x, y)

は，

2

つの変数のうち

1

つを固定すると

1

変数の関数になる．

-2 -1

0 1

2 x

-2 -1

0 1

2 y

8 10 12 14

z

-2 -1

0 x 1 -2

-1 0 y 1

図

1.1 f(x, y) = − x

²

− y

²

+ 15

のグラフ

y

を

y ₀

に固定して

x

だけを変数とすると

f (x, y ₀ )

は

x

に関する

1

変数の関数になり，

x

を

x 0

に固定して

y

だけを変数とすると

f (x 0 , y)

は

y

に関する

1

変数の関数になる．このときのグラフは空間内の曲線になる．

例

1.2.1 f (x, y) = − x ² − y ² + 15

において

y = − 1

として固定すると

f (x, − 1) = − x ² − ( − 1) ² + 15

= − x ² + 14 x = 0

として固定すると

f (0, y) = − y ² + 15

z = f (x, − 1)

のグラフは図

1.2

での曲面上の線分のようになります．

1.2.2

偏微分

2

変数関数

z = f (x, y)

は，

y

を

y ₀

に固定して

x

だけを変数と考えた関数

f (x, y 0 )

が

x = x 0

で微分できるとき，

(x 0 , y 0 )

で

x

に関して偏微分可能といいます．

その微分係数を関数

f

の

x

に関する

(x 0 , y 0 )

における

(2)

2

第

1

章多変数の関数と偏微分

-2 -1

0 1

2 x

-2 -1

0 1 y 2

8 10 12 14

z

-2 -1

0 1

2 x

-2 -1

0 1 y 2

図

1.2 1

変数の関数にすると

偏微分係数といって

f x (x 0 , y 0 )

，

∂f (x 0 , y 0 )

∂x

^，

∂f

∂x (x 0 , y 0 )

などとかきます．

2

変数関数

z = f (x, y)

は，

x

を

x 0

に固定して

y

だけを変数と考えた関数

f (x 0 , y)

が

y = y 0

で微分できるとき，

(x 0 , y 0 )

で

y

に関して偏微分可能といいます．その微分係数を関数

f

の

y

に関する

(x 0 , y 0 )

における偏微分係数といって

f _y (x ₀ , y ₀ ), ∂f(x ₀ , y ₀ )

∂y

^，

∂f

∂y (x ₀ , y ₀ )

ここで

∂

はラウンド

D

などと読みます．

例

1.2.2 (

偏微分係数

)

f (x, y) = − x ² − y ² + 15

において

y = − 1

として

f (x, − 1) = − x ² + 14

である．これは

1

変数の関数で導関数は

− 2x

なので，

f(x, y)

の

(1, − 1)

における

x

に関する偏微分係数は

− 2

である．

f (x, y) = − x ² − y ² + 15

において

x = 0

として

f (0, y) = − y ² + 15

である．これは

1

変数の関数で導関数は

− 2y

なので，

f (x, y)

の

(0, − 1)

における

y

に関する偏微分係数は

2

である．

■グラフ上の意味うえでの述べたように

2

変数関数のふたつの独立変数のうちひとつの変数を固定すると曲線になるのでその曲線のについて接線を変数が変化する方向にとって，その接線の傾きが考えられる．この接線の傾きが偏微分係数になる．

例

1.2.3

図

1.3

は，

f (x, y) = − x ² − y ² + 15

において，

x = 0

と固定してできる曲線と，その曲線の

y = − 1

つまり

-2 -1

0 1

2 x

-2 0 y 2

7.5 10 12.5 15 17.5

z

-2 -1

0 1

2 x

-2 0 y 2

図

1.3

曲面上の曲線とその接線

(0, − 1)

における接線を示している．この接線の傾きが

f (x, y)

の

(0, − 1)

における

y

に関する偏微分係数であり，

2

である．

1.2.3

偏微分係数の定義

1

変数の関数

y = f (x)

については，

h → 0

のとき

f (x 0 + h) − f (x 0 )

h → α

のとき

x = x ₀

で微分可能といって，

α

を微分係数とよんだ．

2

変数関数の偏微分は，

1

変数関数と考えて微分しているから定義は以下のようになる．

定義

1.2.1 (

偏微分係数の定義

) h → 0

のとき

f(x 0 + h, y 0 ) − f (x 0 , y 0 )

h → α

となるならば，

2

変数関数

z = f (x, y)

は，

(x ₀ , y ₀ )

で

x

に関して偏微分可能であるといい，

α

を関数

f

の

x

に関する

(x ₀ , y ₀ )

における偏微分係数という．

h → 0

のとき

f (x 0 , y 0 + h) − f (x 0 , y 0 )

h → β

となるならば，

2

変数関数

z = f (x, y)

は，

(x ₀ , y ₀ )

で

y

に関して偏微分可能であるといい，

β

を関数

f

の

y

に関する

(x 0 , y 0 )

における偏微分係数という．

1.3

偏導関数

1

変数関数

y = f (x)

の導関数とは，任意の

x

にたいして，その点での微分係数を対応させる関数

f

^′

: x −→ f

^′

(x)

(3)

のことでした．

2

変数関数

z = f (x, y)

に対して，任意の

(x, y)

に対して，その点での

f

の

x

に関する偏微分係数を対応させる関数

f x : (x, y) −→ f x (x, y)

を

f

の

x

に関する偏導関数といって

f x (x, y), ∂f (x, y)

∂x

^，

∂f

∂x (x, y)

同じように，任意の

(x, y)

に対して，その点での

f

の

y

に関する偏微分係数を対応させる関数

f y : (x, y) −→ f x (x, y)

を

f

の

y

に関する偏導関数といって

f y (x, y), ∂f (x, y)

∂y

^，

∂f

∂y (x, y)

などとかきます^*1．

1.4

偏導関数の計算

具体的な関数で偏導関数は固定している方の変数を定数とみなして

1

変数の関数の導関数を求める計算すればもとめられます．

1

変数関数の導関数を計算すればよいので，

1

変数関数の導関数の公式はすべて使えます．

例

1.4.1 (

偏導関数をもとめる

) 1. f (x, y) = 2x − 3y

x

に関する偏導関数をもとめるときは

y

を定数とみて，

x

だけが変数の関数として微分する．したがって，

f x (x, y) = 2

y

x

y

だけが変数の関数として微分する．したがって，

f _y (x, y) = − 3

．

2. f (x, y) = 2xy ²

x

y

x

だけが変数の関数として微分する．

f (x, y) = (2y ² )x

であり，

2y ²

の部分が定数で

x

の係数となっているので

f x (x, y) = 2y ²

y

x

y

*1関数は作用のことですから，変数は書かずに，fyや

∂f

∂y

が導関数とあらわすとも考えます

f (x, y) = (2x)y ²

であり，

2x

y ²

の係数となっている

.

したがって，

f _y (x, y) = 4xy

．

3. f (x, y) = y ² e ^x

x

y

x

f (x, y) = (y ² )e ^x

であり，

y ²

e ^x

.

f x (x, y) = y ² e ^x

y

x

y

f (x, y) = (e ^x )y ²

であり，

e ^x

y ²

.

したがって，

f _y (x, y) = 2ye ^x

．

4. f (x, y) = xy ² e ^x

x

, f (x, y) = (xy ² )(e ^x )

とみて積の微分公式を使う．

f _x (x, y) = (xy ² )

^′

e ^x + xy ² (e ^x )

^′

= y ² e ^x + xy ² e ^x

= (xy ² + y ² )e ^x

ここで^′は

x

で微分していることをあらわす．

f (x, y) = xe ^x y ²

なので

f _y (x, y) = 2xye ^x

．

1.5

限界概念と偏微分

ふたつの経済変量

x

と

y

のあいだに

y = f (x)

という関係があるとき，

x

を

x 0

から

1

単位（あるいは微少量）増加させたときの

y

の増加量

∆y = f (x 0 + 1) − f (x 0 )

を限界的増分といって，これは微分では微分係数

f

^′

(x 0 )

に対応するのでした．

例

1.5.1 (

限界費用と限界効用

)

1.

生産量

q

とコスト

C

のあいだに

C = C(q)

という関係があるとき，

C

^′

(q ₀ )

を生産量

q ₀

における限界費用，導関数

C

^′

(q)

を限界費用関数という．

2.

財の消費量

x

に対して，その消費からえられる効用を

u = u(x)

とするとき，

u

^′

(x 0 )

を消費量

x 0

に

(4)

4

第

1

章多変数の関数と偏微分

おける限界効用，導関数

u

^′

(x)

を限界効用関数という．

偏微分はひとつの変数を固定して，もう一方の変数を変化させる微分だったので，偏微分係数についても限界概念があてはまります．

2

変数関数

z = f (x, y)

の場合には，一般的に

∆z = f (x 0 + ∆x, y 0 ) − f (x 0 , y 0 )

≈ f _x (x ₀ , y ₀ )∆x

∆z = f (x 0 , y 0 + ∆y) − f (x 0 , y 0 )

≈ f y (x 0 , y 0 )∆y

です．ここで

≈

は近似的に等しいという記号でした．

x

の増分

∆x

を

1

単位あるいは

y

の増分

∆y

を

1

単位として，これらが小さな変化量とみなせるときは

∆z = f (x 0 + 1, y 0 ) − f (x 0 , y 0 )

≈ f x (x 0 , y 0 )

∆z = f (x ₀ , y ₀ + 1) − f (x ₀ , y ₀ )

≈ f y (x 0 , y 0 )

となり，限界概念が偏微分係数であらわせます．

例

1.5.2

1.

ふたつの財の消費を考える．第

1

財の消費量

x

と第

2

財の消費量

y

の組み合わせからえられる効用を

u = u(x, y)

とする

. u x (x 0 , y 0 )

を消費量

(x 0 , y 0 )

における第

1

財の限界効用，偏導関数

u _x (x, y)

を第

1

財の限界効用関数という．

u _y (x ₀ , y ₀ )

を消費量

(x ₀ , y ₀ )

における第

2

財の限界効用，偏導関数

u _y (x, y)

を第

2

財の限界効用関数という．

2.

ふたつの生産要素を投入して生産がおこなわれるとする．第

1

の生産要素の投入量を

x

，第

2

の生産要素の投入量を

y

として，生産量は

F(x, y)

になるとする．

F x (x 0 , y 0 )

を投入量

(x 0 , y 0 )

における第

1

要素の限界生産力，偏導関数

F x (x, y)

を第

1

要素の限界生産力関数という．

F y (x 0 , y 0 )

を投入量

(x 0 , y 0 )

における第

2

要素の限界生産力，偏導関数

F _y (x, y)

を第

2

要素の限界生産力関数という．

例

1.5.3 (

数値例

)

f (x, y) = x ² + xy + y ³

とする．

f x (x, y) = 2x + y f y (x, y) = x + 3y ²

です．

f (201, 100) − f (200, 100) = 501 f _x (200, 100) = 500

なので

f (201, 100) − f (200, 100) ≈ f _x (200, 100)

です．

f (200, 101) − f (200, 100) = 30501 f y (200, 100) = 30200

となり，絶対的な誤差は大きいのですが，相対的な誤差は

30501 − 30200

30501 = 0.00986853 = 1%

となっているので，この意味で

f (200, 101) − f (200, 100) ≈ f y (200, 100)

です．

1.6

変数が２つより多い関数

独立変数が

n

個ある関数を

n

変数の関数といいます．

これは

n

個の数の組み合わせにたいして１つの数を対応させる規則です．

f : (x 1 , x 2 , . . . , x n ) −→ y

これを

y = f (x 1 , x 2 , . . . , x n )

などとあらわす

.

偏微分や偏導関数は２変数のときと同じように考えることができます．たとえば

多変数の関数と偏微分

1

多変数の関数と偏微分

1.1

y = f(x)

1

(x, y)

f : (x, y) 7→ z (1.1)

2

,z = f (x, y)

3

4

n

n

y = f (x 1 , x 2 , . . . , x n )

.

1.1.1 (2

)

• f (x, y) = x 2 + y 2

• f (x, y) = ax 2 + 2bxy + cy 2

• f (x, y) = x

y

• f (x, y) = exp( − x 2 + y 2 )

• f (x, y) = ln x + ln y

• f (x, y) = x ln y

2

(x, y, f (x, y))

x − y

f (x, y)

1.1.2 (

)

f (x, y) = − x 2 − y 2 + 15

1.1

1.2

1.2.1 2

1

2

z = f (x, y)

2

1

1

1.1 f(x, y) = − x

− y

+ 15

y

y 0

x

f (x, y 0 )

x

1

x

x 0

y

f (x 0 , y)

y

1

1.2.1

f (x, y) = − x 2 − y 2 + 15

y = − 1

f (x, − 1) = − x 2 − ( − 1) 2 + 15

= − x 2 + 14 x = 0

f (0, y) = − y 2 + 15

z = f (x, − 1)

1.2

1.2.2

2

z = f (x, y)

y

y 0

x

f (x, y 0 )

x = x 0

(x 0 , y 0 )

x

f

x

(x 0 , y 0 )

2

1

1.2 1

• f (x, y) = x ² + y ²

• f (x, y) = ax ² + 2bxy + cy ²

• f (x, y) = exp( − x ² + y ² )

f (x, y) = − x ² − y ² + 15

y ₀

f (x, y ₀ )

f (x, y) = − x ² − y ² + 15

f (x, − 1) = − x ² − ( − 1) ² + 15

= − x ² + 14 x = 0

f (0, y) = − y ² + 15

y ₀

f _y (x ₀ , y ₀ ), ∂f(x ₀ , y ₀ )

∂y (x ₀ , y ₀ )

f (x, y) = − x ² − y ² + 15

f (x, − 1) = − x ² + 14

f (x, y) = − x ² − y ² + 15

f (0, y) = − y ² + 15

f (x, y) = − x ² − y ² + 15

x = x ₀