生体システム（石川顕一担当）冬休みレポート

生体システム（石川顕一担当）冬休みレポート

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2007 年 12 月 20 日。提出は 1 月 17 日の講義時。（学期末試験は 3 月 6 日）

問１  12/6 の講義では、チューリングモデルを

f(A, I ) = 5A − 6I + 1, g(A, I ) = 6A − 7I + 1 (1)

の場合について説明し、拡散誘導不安定化の起こる活性因子と抑制因子の拡散係数 d

, d

の条件を求めた。

ここでは、化学反応が

f (A, I ) = 6A − 7I + 1, g(A, I ) = 7A − 8I + 1 (2)

と表される場合について、同様に拡散誘導不安定化の起こる拡散係数 d

, d

の条件を求め、横軸に d

、縦 軸に d

をとった座標平面上にその範囲を図示せよ。

問２  12/13 の講義で、細胞性粘菌の子実体形成シミュレーションの説明の中でとりあげた Glazier & Graner モデルでは、アメーバの全エネルギー H は、

H = ∑

J

+ ∑

s

λ(v

− V )

(3)

と表される（各文字の意味は講義で述べた）。ランダムに１つのます（細胞の一部）をピックアップし、隣 接するますの状態をそのますにコピーした場合のエネルギー変化 ∆H を計算する。∆H < 0（エネルギー が減少）であればコピーし、∆H > 0 であれば e

の確率でコピーする。以上の手続きを繰り返して 各細胞の動きをシミュレーションする。

1. 以下のうち正しい方を選べ。

• λ(> 0) が大きいほど細胞の体積が変わりやすい。

• λ(> 0) が小さいほど細胞の体積が変わりやすい。

2. ∆H > 0 の場合、以下のうち正しいものを２つ選べ。

• ∆H が大きいほど変形しやすい（コピーが起こりやすい）。

• ∆H が小さいほど変形しやすい（コピーが起こりやすい）。

• T (> 0) が大きいほど変形しやすい（コピーが起こりやすい）。

• T (> 0) が小さいほど変形しやすい（コピーが起こりやすい）。

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問３ あるタンパク質（あるいは細胞性粘菌の cAMP 受容体）は、活性状態（あるいは cAMP が結合して いる状態）と不活性状態（あるいは cAMP が結合していない状態）の間を確率的に行き来している。時刻 t でそのタンパク質が活性状態にある確率を a(t)、不活性状態にある確率を b(t) とする。微小時間 ∆t の間 に、活性から不活性に遷移する確率が p∆t、不活性から活性に遷移する確率が q∆t であるとき、

1. 時刻 t + ∆t での各状態の確率 a(t + ∆t), b(t + ∆t) を時刻 t での確率 a(t), b(t) と p, q, ∆t を用いて表 せ。ただし、微小時間 ∆t の間に２回状態遷移することはないとする。

2. ∆t → 0 の極限をとり、a(t) の満たす微分方程式を導け。ただし、a(t) + b(t) = 1 に注意せよ。

3. 時刻 t = 0 においてタンパク質が活性状態にある場合、すなわち a(t) = 1 の条件のもとで、(2) の微 分方程式を解け。このときの解を、a

(t) と書くことにする。

4. (3) で得られた a

(t) と t の関係を表すグラフの概形をかけ。

5. 時刻 t = 0 において活性状態であったタンパク質が、じゅうぶん時間が経過した後に活性状態にある 確率 µ = a

( ∞ ) はいくらか。

6. 時刻 t = 0 において不活性状態であったタンパク質が（このときの a(t) を a

(t) と書くことにする）、

じゅうぶん時間が経過した後に活性状態にある確率はいくらか。

7. このタンパク質が活性状態にあるときには値 1、不活性状態にあるときには値 0 をとる時間の関数を f (t) とする。f (t) のとる値は 0,1 のいずれかであるが、多数のタンパク質に対する f(t) の平均 h f (t) i は (5) で得られた µ である。f (t) の µ からのずれ g(t) = f (t) − µ の時間相関関数 φ(t) = h g(0)g(t) i は、以下の式によって計算できる。

φ(t) = µ(1 − µ)(a

(t) − µ) + (1 − µ)( − µ)(a

(t) − µ) (4)

この式によって、g(t) の時間相関関数 φ(t) を求めよ。