4S 数理物理学 ( 概論 )III 標準 H002-1
担当教員
:
浜中 真志 研究室:
理学部A
館327 E-mail:[email protected]
補足資料 (2020 年 7 月 3 日 )
作成日: July 2, 2020 Updated : July 2, 2020 Version : 1.0 実施日: July 3, 2020
3
次元空間R
3での内積・外積, ベクトル解析空間ベクトル
⃗a =
a
1a
2a
3
, ⃗b =
b
1b
2b
3
に対して,
内積⃗a · ⃗b,
外積⃗a × ⃗b
を次のように定義する：
⃗a · ⃗b := a
1b
1+ a
2b
2+ a
3b
3, ⃗a × ⃗b :=
a
2b
3− a
3b
2a
3b
1− a
1b
3a
1b
2− a
2b
1
.
定義より
, ⃗a × ⃗a = ⃗ 0
が成り立つ.
外積⃗a × ⃗b
は⃗a
と⃗b
とも直交し：⃗a · (⃗a × ⃗b) = 0, ⃗b · ( ⃗a × ⃗b) = 0,
その大きさは
⃗a
と⃗b
の張る平行四辺形の面積に等しい．(θは2
つのベクトルのなす角)：∥ ⃗a × ⃗b ∥ = ∥ ⃗a ∥∥ ⃗b ∥| sin θ |
ベクトル解析序論(
勾配,
発散,
回転)
定義
1. (
関数の勾配,
ベクトルの発散, 3
次元ベクトルの回転)
n
次元空間R
nを考え,
その上の関数f (⃗ x) := f (x
1, x
2, · · · , x
n),
およびn
成分ベクト ル値関数⃗ v(⃗ x) := ⃗ v (x
1, x
2, · · · , x
n)
を考える(すべて C
∞級とする). また微分演算子 の記号として∇ :=
( ∂
∂x
1, ∂
∂x
2, · · · , ∂
∂x
n)
を導入しておく. (
∇
は「ナブラ」と読む. )関数
f
の勾配(gradient) grad f ,
およびベクトル⃗ v
の発散(divergence) div ⃗ v
は以下 のように定義される：grad f :=
( ∂f
∂x
1, ∂f
∂x
2, · · · , ∂f
∂x
n)
= ∇ f, div ⃗ v := ∂v
1∂x
1+ ∂v
2∂x
2+ · · · + ∂v
n∂x
n= ∇ · ⃗ v.
特に
3
次元空間においては,
ベクトル⃗ v
の回転(rotation) rot ⃗ v
というものが以下の ように定義される：rot ⃗ v :=
( ∂v
3∂x
2− ∂v
2∂x
3, ∂v
1∂x
3− ∂v
3∂x
1, ∂v
2∂x
1− ∂v
1∂x
2)
= ∇ × ⃗ v.
以下の恒等式が成り立つ：
rot (grad f ) = ∇ × ( ∇ f) = ⃗ 0, div (rot ⃗ v) = ∇ · ( ∇ × ⃗ v) = 0.
また,以下の公式が成り立つ
(興味ある人は確かめてみるとよい)：
∇ × ( ∇ × ⃗ v) = ∇ ( ∇ · ⃗ v) − ( ∇ · ∇ )⃗ v. (1)
標準
H0-4S20-02
難易度: C
名古屋大学・理学部4S 数理物理学 ( 概論 )III 標準 H002-2
担当教員
:
浜中 真志 研究室:
理学部A
館327 E-mail:[email protected]
双曲線関数の公式集双曲線関数は以下のように定義される：
cosh z := e
z+ e
−z2 , sinh z := e
z− e
−z2 , tanh z := sinh z
cosh z = e
z− e
−ze
z+ e
−z.
次の関係式が成り立つ.
(1) cosh
2z − sinh
2z = 1, 1 − tanh
2z = 1 cosh
2z
(2) cosh( − z) = cosh z, sinh( − z) = − sinh z, tanh( − z) = − tanh z (3) sinh(z + w) = sinh z cosh w + cosh z sinh w, sinh 2z = 2 sinh z cosh z (4) cosh(z + w) = cosh z cosh w + sinh z sinh w
(5) cosh 2z = cosh
2z + sinh
2z = 2 cosh
2z − 1 = 2 sinh
2z + 1 (6) tanh(z + w) = tanh z + tanh w
1 + tanh z tanh w , tanh 2z = 2 tanh z 1 + tanh
2z (7) cosh
2z
2 = cosh z + 1
2 , sinh
2z
2 = cosh z − 1 2
(8) sinh 3z = 3 sinh z + 4 sinh
3z, cosh 3z = − 3 cosh z + 4 cosh
3z (9) cosh iz = cos z, sinh iz = i sin z, tanh iz = i tan z
(10) d
dz cosh z = sinh z, d
dz sinh z = cosh z, d
dz tanh z = 1 cosh
2z
標準
