コーシーの積分定理・コーシーの積分公式 (2020 年 7 月 7 日 )

コーシーの積分定理・コーシーの積分公式 (2020 ^年 7 ^月 7 ^日 )

作成日: July 6, 2020 Updated : July 12, 2020 Version : 1.0 実施日: July 7, 2020

準備とウォーミングアップ

例題

1. (

実積分の極限評価

) t > 0

とする

.

以下を示せ

. (1) lim

t→∞

∫

^π

2

0

e

^−tsinx

dx = 0 (2) lim

t→∞

∫

π

π 2

e

^−tsinx

dx = 0

【解答】

(1) 0 ≤ x ≤ π

2

において

sin x ≥ 2

π x

より

0 < e

^−tsinx

≤ e

^−t2πx

.

よって

, 0 <

∫

^π

2

0

e

^−tsinx

dx ≤

∫

^π

2

0

e

^−tπ2x

dx = − π

2t (e

^−t

− 1).

はさみうちの原理より

, lim

t→∞

∫

^π

2

0

e

^−tsinx

dx = lim

t→∞

− π

2t (e

^−t

− 1) = 0

(2) f (x) = e

^−tsinxとおく.

f (π − x) = f (x)

であるから,

f (x)

のグラフは

x = π

2

に関して

対称である

.

よって

,

 

∫

π

π 2

e

^−tsinx

dx =

∫

^π

2

0

e

^−tsinx

dx

^t

−→

^→∞

0.

複素線積分

(

以下すべて

, z = x + iy (x, y ∈ R )

とする

.)

定義

1. (複素線積分) C

をなめらかな有向曲線とし,

C : z = z(t) (a ≤ t ≤ b)

のパ ラメータ表示を持つとする

. (

向きは

t : a → b.)

複素関数

f(z)

の

C

に沿った線積分 を以下で定義する

. ∫

C

f (z)dz :=

∫

b a

f (z(t)) dz dt dt

C

1 i

O

例題

2.

単位円

C (

右図

)

のパラメータ表示が

C = {

z ∈ C | z = e

^iθ

, 0 ≤ θ < 2π }

であることを利用して

,

次の複素線積分を求めよ

. (n ∈ Z .

積分路の向きは「反時計まわり」とする

):

I =

∫

C

z

ⁿ

dz.

【解答】 単位円上の点を

z = e

^iθ

(0 ≤ θ < 2π)

とおくと,

dz = ie

^iθ

dθ

より,

I =

∫

C

z

ⁿ

dz =

∫

2π 0

e

^i(n+1)θ

idθ =

∫

2π 0

(i cos(n + 1)θ − sin(n + 1)θ) dθ = {

2πi n = − 1 0 n ̸ = − 1

問題

1. (

円周積分路での複素線積分

) n ∈ Z , a ∈ C , R > 0

とする

.

積分路を

C = { z ∈ C | | z − a | = R } .

としたとき

,

次の複素線積分を

(

コーシーの積分定理・積分公式を 用いずに

)

求めよ

. (

積分路の向きは「反時計まわり」とする

.)

(1) I =

∫

C

(z − a)

ⁿ

dz (2) I =

∫

C

e

^z

z − a dz (e

^zを

z = a

のまわりでテイラー展開

)

コーシーの積分定理・積分公式

定理

1. D

を複素平面内の領域とし

,

その境界を

C = ∂D

とする

. (C

は区分的にな めらかな有向曲線とし, その向きは

D

の内部が進行方向の左手となるように定めら れているとする

.) f (z)

が

D ∪ ∂D

を含む領域で正則な関数のとき

,

以下が成り立つ

.

• [

コーシーの積分定理

]

I

C

f (z)dz = 0

• [コーシーの積分公式] 1

2πi I

C

f (z)

z − a dz = f (a) a ∈ D

例題

3. (

コーシーの積分定理の実積分への応用

)

下図

(2)

に与えられた周回積分路

C =AB+C

_ε

+CD+C

_Rに沿った複素関数

f(z) = e

^iz

z

の線積分を利用して実積分の値

I =

∫

_∞

0

sin x

x dx

を求めよ

.

ただし

C

_ε

, C

_Rはそれぞ れ半径

ε, R

の半円弧

.

例題１の結果は既知としてよい

. (

ヒント：それぞれの区間の 線積分を評価し,

R → ∞ , ε → 0

の極限をとる. 曲線の向きに注意.)

【解答】

f(z)

を図

(2)

に与えられた積分路

C

で積分する

. f(z)

は

C

の内部で正則だから

,

コーシーの積分定理より

∫

C

f (z)dz = 0.

半円弧

C

_ε上では

, z = εe

^iθ

, 0 < θ < π

とおくと

,

∫

Cε

f (z)dz =

∫

₀

π

e

^iεeiθ

εe

^iθ

iεe

^iθ

dθ = − i

∫

_π

0

e

^iεeiθ

dθ −→ −

^ε→0

iπ.

半円弧

C

_R上では

, z = Re

^iθ

, 0 < θ < π

とおくと

, ∫

CR

f(z)dz =

∫

π 0

e

^iReiθ

Re

^iθ

iRe

^iθ

dθ ≤

∫

π 0

e

^{iR(cosθ+isinθ)}

Re

^iθ

iRe

^iθ

dθ =

∫

π 0

e

^−Rsinθ

dθ

^R→∞

−→

^(例題1)

0.

以上の結果より,

ε → 0, R → ∞

の極限で

∫

₀

−∞

e

^ix

x dx − iπ+

∫

_∞

0

e

^ix

x dx+0 = 2i

∫

_∞

0

sin x x dx − iπ = 0.

よって

I =

∫

_∞

0

sin x

x dx = π 2 .

(1)

A B

C D

O ik

R -R

(2)

C

C

A B C D

ε R

R -R

(3)

O A

B

4 π

R

問題

2. (

コーシーの積分定理の実積分への応用

)

前ページ図

(1)

に与えられた周回積分路

C =AB+BC+CD+DA

に沿った複素関数

f (z) = e

^−z2 の線積分を利用して実積分の値

I =

∫

_∞

0

e

^−x2

cos 2kxdx (k > 0)

を求めよ

.

例題１の 結果および

,

ガウス積分の値

∫

_∞

−∞

e

^−x2

dx = √

π

は既知としてよい

.

(

ヒント：それぞれの区間の線積分を評価し

, R → ∞

の極限をとる

.

曲線の向きに注意

.)

問題

3. (コーシーの積分公式の応用：部分分数化) 1

の

3

乗根のうち虚部が正のものを

ω

と表す

.

積分路を

C = { z ∈ C | | z | = 7 } .

としたとき

,

次の複素線積分の値をコーシーの 積分公式を用いて求めよう

(

積分路の向きは反時計まわりとする

):

I =

∫

C

z

²

z

³

− 1 dz.

(1)

以下の部分分数展開を考える. 展開係数

A, B, C

を求めよ.

1

z

³

− 1 = A

z − 1 + B

z − ω + C

z − ω

²

· · · ( ∗ ).

(2)

これを利用して，積分値

I

を求めよ

.

今週の課題・宿題

(提出期限は 7

月

13

日

(月)24

時です)

問題

4. (課題)

例題

2

の線積分の直感的理解のため,積分

I

の中の被積分関数

(θ

の関数) の実部か虚部を

,

横軸が

θ

のグラフとして

n ̸ = − 1

の場合と

n = − 1

の場合について描き

,

積分値

I

が

n = − 1

のときだけ

0

以外の値をとることを観察せよ

.

そのノートをスキャン して提出すること. (そのグラフは積分路に沿って問題用紙に垂直に立てた紙

(例題 2

では 円筒

)

の上に描かれたグラフである

.)

本問の趣旨がよく分からない場合は例題

1

〜

3

ある いは問題

1

〜

3

のうちどれか小問

1

つの答案をスキャンしても構わない

.

問題

5. (

宿題；大問

2

問分の配点とする

)

前ページ図

(3)

に与えられた周回積分路

C =OA+AB+BO

に沿った複素関数

f (z) = e

^−z2 の線積分を利用して実積分

(

フレネル積分

)

の値

J =

∫

_∞

0

cos x

²

dx

を求めたい

. (

ただし

AB

は半径

R

の円弧の一部である.)

(1) I

_C

:=

∫

C

f (z)dz

の値はいくらか？(答えのみでもよい)

(2) I

_OA

:= lim

R→∞

∫

OA

f(z)dz

の値を求めよ

.

ガウス積分の値は既知としてよい

.

(3) I

_AB

:= lim

R→∞

∫

AB

f(z)dz

の値がゼロになることを示せ

.

(4) I

_BO

:= lim

R→∞

∫

BO

f (z)dz

を計算し

,

以上の結果と合わせて与えられた実積分

J

を求

めよ.

今週のボーナス問題

(

提出期限は

7

月

13

日

(

月

)24

時です

)

ローラン展開と留数

定理

2. (

ローラン展開

)

 

f(z)

を

D = { z ∈ C | 0 < | z − a | < R }

で正則な関数と する

.

このとき

, f (z)

は 閉部分領域

r

₁

≤ | z − a | ≤ r

₂

(0 < r

₁

< r

₂

≤ R)

で以下の

(一様収束する)

級数に展開できる.

f (z) =

∑

∞ n=0

a

n

(z − a)

ⁿ

+

∑

∞ n=1

a

₋n

(z − a)

⁻ⁿ

(

a

n

= 1 2πi

I

|w−a|=ρ

f(w) (w − a)

ⁿ⁺¹

dw

)

係数

a

_nは一意に定まり, 括弧内の式で与えられる. これを

f(z)

の

z = a

における ローラン展開 という

.

右辺の第

2

項

(

負べきの項

)

を

f (z)

の

z = a

における主要部 と言い

,

主要部が有限個の項からなるとき

,

a

_−k

̸ = 0, a

_n

= 0 ( ∀ n ≤ − k − 1)

となる

k

を

f (z)

の

z = a

における極の位数とよぶ

(

または

,

関数

f(z)

は

z = a

において位数

k

の極を持つとも言う

).

ローラン展開における係数

a

₋1 を

f(z)

の

z = a

における留数といい

, Res

_z=a

f (z)

と書く

.

例題

4.

次の関数

f (z)

の 与えられた点

[z = a]

での極の位数と留数を求めよ

.

(1) 1

z

²

(z + 1) [z = 0] (2) 1

(z − α)(z − β) [z = α ( ̸ = β)] (3) sin z

1 − cos z [z = 0]

【解答】 等比級数の関係式

1/(1 − Z) = 1 + Z + Z

²

+ Z

³

+ · · ·

を念頭におく

. (1) f(z) = 1

z

²

(1 − z + z

²

− z

³

+ · · · ) = 1 z

²

− 1

z + 1 − z + · · · .

極の位数は

2,

留数は

− 1.

(2) α ̸ = β

のとき

(

与式

) = 1 α − β

( 1

z − α − 1 z − β

)

.

極の位数は

1,

留数は

(α − β)

⁻¹

. (3) 1 − cos z = z

²

/2! − z

⁴

/4! + · · · = (z

²

/2!) (1 − z

²

/4! + · · · ).

よって

sin z

1 − cos z = ( 2!

z

²

) (

1 + ( z

²

4! − · · · )

+ ( z

²

4! − · · · )

2

+ · · · )

sin z = 2

z + (z

に関して

0

次以上

).

よって極の位数は

1,

留数は

2.

留数定理を使った実積分の計算

定理

3. (

留数定理

)

 

D

を単連結な領域とし

, f (z)

を

D \ { a

1

, . . . , a

n

}

で正則な関 数とする.

C

を

D

内の 区分的になめらかな閉曲線で内部に

{ a

₁

, . . . , a

_n

}

を含むも のとする

.

このとき以下が成り立つ：

I

C

f (z) dz = 2πi

∑

n i=1

Res

_z=ai

f (z).

A B O

C_R

R -R

例題

5.

次の実積分の値を求めよ

(a > b > 0)：

I =

∫

_∞

0

cos bx x

²

+ a

²

dx.

(ヒント: f (z) = e

^ibz

/(z

²

+ a

²

)

を右図の積分路で積分せよ.)

【解答】

f (z) = e

^ibz

z

²

+ a

² とおき,図に与えられた周回積分路

C

で

f(z)

を積分する.

C

の内 部において

f (z)

は

z = ai

で一位の極を持つ

(例題 4 (2)).

その点における留数は

1

2ai e

^−ab と計算される

.

線分

AB

に沿った線積分は 

z = x + iy (x, y ∈ R )

として

∫

AB

f(z)dz =

∫

_∞

−∞

e

^ibx

x

²

+ a

²

dx =

∫

_∞

−∞

cos bx + i sin bx

x

²

+ a

²

dx = 2

∫

_∞

0

cos bx x

²

+ a

²

dx C

Rに沿った線積分は

, (0 ≤ θ ≤ π

の範囲で

e

^−bRsinθ

≤ 1

に注意すると

)

∫

CR

f (z)dz ≤

∫

π 0

Re

^−bRsinθ

R

²

− a

²

dθ ≤

∫

π 0

R

R

²

− a

²

dθ = πR R

²

− a

²

.

以上の結果に留数定理を適用し

R → ∞

とすると

,

∫

_∞

0

cos bx

x

²

+ a

²

dx = π

2a e

^−abが得られる

.

例題

6. I =

∫

2π 0

1

a + b cos θ dθ

の値を求めよ

(a > b > 0). (

ヒント：

z = e

^iθと変数 変換し

,

問題の積分を単位円周上の複素積分として表すと留数定理が適用できる

)

【解答】

z = e

^iθとおくと

dz = ie

^iθ

dθ

より

dθ = − iz

⁻¹

dz.

一方

, cos θ = (z + z

⁻¹

)/2

であ るので,

∫

2π

0

1

a + b cos θ dθ = − 2i

∫

|z|=1

1

bz

²

+ 2az + b dz.

2

次方程式

bz

²

+ 2az + b = 0

の

2

つの実数解

α = − a − √

a

²

− b

²

b , β = − a + √

a

²

− b

²

b

の

うち単位円内部に含まれるのは

β

のみである

.

したがって留数定理より

, I =

− 2i

∫

|z|=1

1

bz

²

+ 2az + b dz = − 2i · 2πi Res

_z=β

1

b(z − α)(z − β) = 4π b · 1

β − α = 2π

√ a

²

− b

²

.

問題

6. (ボーナス問題：ゼータ関数の特殊値再訪) ζ(s) :=

∑

∞ n=1

1

n

^s をリーマンのゼータ関 数という

.

複素平面上の

4

点

(N + 1/2)( ± 1 ± i)

を頂点とする正方形を考え

,

その周

C

に 沿って反時計周りに

f (z) = 1

z

²

tan πz

を線積分することで

ζ(2) =

∑

∞ n=1

1 n

²

= π

²

6

を証明し

たい.

f (z)

の分母の零点は

z = n (n ∈ Z )

であることに注意

(H007

問題

2 (3)).

(1) f(z) = 1

z

²

tan πz

を点

z = n (n ∈ Z )

のまわりでローラン展開して主要部を求め

,

そ の点での極の位数と留数の値を求めよ

. (n = 0

のときと

n ̸ = 0

のときに分ける

.)

(2) N → ∞

で周回積分がゼロになることを示し, 留数定理より

ζ(2) = π

²

/6

を示せ.