§7
角運動量7.5
スピン•
復習—
中心対称場における軌道角運動量l
の状態m = −l, −l + 1, · · · , l − 1, l
の2l + 1
重に縮重− e m
−e m
−e m +
2
− e m
m = 1 m = 0 m = −1
例：l
= 1
の場合m
はl
状態の内部自由度とみなせる。対応する
z
方向の磁気モーメント—
電子の場合(−e)¯ h
2Mc m = −µ B m ←−
電磁気学より(1)
µ B ≡ e¯ h
2Mc : Bohr
磁子(c :
光速, M :
電子の質量)
磁場がある場合の
Zeeman
エネルギー(
電子)
H ˆ Z = µ B ˆ l · B (2)
•
角運動量の大きさ—
理論的に許される値j = 0, 1
2 , 1, 3
2 , 2, · · · ←−
半奇数もOK!! (3)
半奇数の 軌道 角運動量は理論的に許されないe im(ϕ+2π) = e imϕ —
波動関数の一価性↓
m = 0, ±1, ±2, · · ·
半奇数の角運動量は自然界に存在するか？— yes !
•
スピン角運動量すべての素粒子には、スピンという内部自由度が付随
(Uhlenbeck & Gaudsmit, 1925)
|
直観的には素粒子の自転に対応する自由度
− e
m
スピンの大きさは、通常、
¯ h
を単位としてs
で表す。例 電子：s
= 1 2 ,
陽子：s= 1 2 ,
光子：s= 1
•
スピン演算子S ˆ = ¯ hˆ s, s ˆ 2 = s(s + 1). (4) (a)
交換関係—
角運動量の一般的関係式[ˆ s x , ˆ s y ] = iˆ s z , [ˆ s y , ˆ s z ] = iˆ s x , [ˆ s z , s ˆ x ] = iˆ s y . (5) (b)
軌道角運動量とは独立—
可換[ˆ s α , ˆ l β ] = 0 (6)
•
電子スピンのz
方向磁気モーメント(−e)
Mc ¯ hs z = −2µ B s z (7)
2µ B
の係数2 — Thomas
因子(Thomas, 1926)
•
スピン発見の歴史的経緯—スピンなしでは原子の磁気モーメントの実験値が説明できない。cf.
朝永振一郎「スピンはめぐる」（中央公論社）•
行列表現— s = 1 2
の場合スピン演算子：
ˆ s ± ≡ ˆ s x ± iˆ s y , ˆ s z
行列要素
—
角運動量の一般的表式よりsm |ˆ s z |sm = δ mm
m, sm |ˆ s ± |sm = δ m
m±1
s(s + 1) − m(m ± 1). (8)
スピン行列:
s — s = 1 2
の場合(a)
定義式|↑ ≡ | 1 2 1 2
および|↓ ≡ | 1 2 − 1 2
と略記s ≡
↑| ˆ s |↑ ↑| ˆ s |↓
↓| ˆ s |↑ ↓| ˆ s |↓
(9)
(b) s z , s + , s −
成分s z =
1
2 0
0 − 1 2
, s + =
0 1 0 0
, s − =
0 0 1 0
, (10)
(c) s x , s y , s z
成分←− s x = 1 2 (s + + s − ), s y = 2i 1 (s + − s − ) s x = 1
2
0 1 1 0
, s y = 1 2
0 −i i 0
, s z = 1 2
1 0 0 −1
, (11)
注：
s
の成分はˆ s
の成分と同じ交換関係を満たすPauli
行列:σ = 2s
σ x =
0 1 1 0
, σ y =
0 −i i 0
, σ z =
1 0 0 −1
, (12)
•
全角運動量演算子：ˆ j ≡ ˆ l + ˆ s
•
全磁気モーメント演算子(
電子の場合)
：−µ B (ˆ l + 2ˆ s)
7.6
角運動量の合成•
二つの独立な角運動量演算子：ˆ j 1 , ˆ j 2 (ˆ j 1
とˆ j 2
は可換)
例：ˆ j 1 = ˆ l, ˆ j 2 = ˆ s
•
全角運動量ˆ j ≡ ˆ j 1 + ˆ j 2 (a) j
の可能な値は？cf.
古典スピンj 1 , j 2 (j 1 ≥ j 2 )
の場合j 1 + j 2 ≥ j ≥ j 1 − j 2
（連続的）(b) ˆ j 2
とˆ j z
を対角化する表示は？j 1 j 2
j j
j j 2 j 2
j 1 j 1
•
完全系(a) ˆ j 2 1 , ˆ j 1z , ˆ j 2 2 , ˆ j 2z
を対角化する表示基底関数：
|j 1 m 1 j 2 m 2 ≡ |j 1 m 1 |j 2 m 2
個数：(2j 1 + 1)(2j 2 + 1) (b) ˆ j 2 , ˆ j z , ˆ j 2 1 , ˆ j 2 2
を対角化する表示基底関数：
|jmj 1 j 2
個数：(2j 1 + 1)(2j 2 + 1)
のはず• j
の可能な値と縮重度(j 1 ≥ j 2
とする):
(a)
と(b)
は共にˆ j z = ˆ j 1z + ˆ j 2z
の固有関数
ˆ j z |j 1 m 1 |j 2 m 2 = (m 1 + m 2 )|j 1 m 1 |j 2 m 2
ˆ j z |jmj 1 j 2 = m|jmj 1 j 2 m (m 1 , m 2 )
の可能な組み合わせ 基底数m
に対するj
の可能な値j 1 +j 2 (j 1 , j 2 ) 1 j 1 +j 2
j 1 +j 2 −1 (j 1 , j 2 −1), (j 1 −1, j 2 ) 2 j 1 +j 2 , j 1 +j 2 −1 j 1 +j 2 −2 (j 1 , j 2 −2), (j 1 −1, j 2 −1), (j 1 −2, j 2 ) 3 j 1 +j 2 , j 1 +j 2 −1, j 1 +j 2 −2
... ... ... ...
j 1 −j 2 (j 1 , − j 2 ), · · · (j 1 −2j 2 , j 2 ) 2j 2 +1 j 1 +j 2 , · · · j 1 −j 2
j 1 −j 2 −1 (j 1 −1, − j 2 ), · · · (j 1 −2j 2 −1, j 2 ) 2j 2 +1 j 1 +j 2 , · · · j 1 −j 2
... ... ... ...
0 (j 2 , − j 2 ), · · · (− j 2 , j 2 ) 2j 2 +1 j 1 +j 2 , · · · j 1 −j 2
注：
−m
の場合の基底数と可能なj
の値は、mの場合と同じ(a)
可能なj
の値：j = j 1 +j 2 , j 1 +j 2 −1, · · · , j 1 −j 2
(b) |jmj 1 j 2
の基底の総数j
1+j
2j=j
1−j
2(2j + 1) = (j 1 +j 2 )(j 1 +j 2 +1) −(j 1 −j 2 −1)(j 1 −j 2 )+(2j 2 +1) = (2j 1 +1)(2j 2 +1)
|j 1 m 1 |j 2 m 2
の基底の数と一致！•
基底の変換|jmj 1 j 2 =
m
1m
2c jm m
1m
2|j 1 m 1 j 2 m 2
c jm m
1m
2≡ jmj 1 j 2 |j 1 m 1 j 2 m 2
：Clebsch-Gordan
係数(CG
係数)
CG
係数の一般的計算法：A. R. Edmomds, Angular Momentum in Quantum Mechanics
(Princeton University Press, 1996)
• |jmj 1 j 2
の初等的構成法(i) (j, m) = (j 1 +j 2 , j 1 +j 2 )
状態の基底は、明らかに|j 1 +j 2 j 1 +j 2 j 1 j 2 = |j 1 j 1 |j 2 j 2 (13) (13)
式にˆ j −
を次々に作用させて(j, m) = (j 1 +j 2 , m) − j 1 −j 2 ≤ j ≤ j 1 +j 2
を作る。使う式：
|jm−1 = 1
(j +m)(j −m +1)
ˆ j − |jm
|j j −1 = ˆ j √ − |j j
2j ·1 , |j j −2 = ˆ j − |j j −1
(2j −1)2 = (ˆ j − ) 2 |j j
2j(2j −1)2·1
|j j −3 = (ˆ j − ) 3 |j j
2j(2j −1)(2j −2)3 ·2·1 , · · · , |j m =
(j +m)!
(2j)!(j −m)! (ˆ j − ) j−m |j j (iia) (j, m) = (j 1 + j 2 − 1, j 1 + j 2 − 1)
状態を(m 1 , m 2 ) = (j 1 , j 2 − 1), (j 1 − 1, j 2 )
状態から(j, m) = (j 1 +j 2 , j 1 +j 2 −1)
状態に直交するように構成する。(iib) (j, m) = (j 1 +j 2 −1, j 1 +j 2 −1)
状態にˆ j −
を次々に作用させて(j, m) = (j 1 +j 2 −1, m)
状 態の基底関数を作る。(iiia) (j, m) = (j 1 +j 2 −2, j 1 +j 2 −2)
状態を(m 1 , m 2 ) = (j 1 , j 2 −2), (j 1 −1, j 2 −1), (j 1 −2, j 2 )
状態 から(j, m) = (j 1 +j 2 , j 1 +j 2 −2), (j 1 +j 2 −1, j 1 +j 2 −2)
状態に直交するように構成する。(iiib) (j, m) = (j 1 +j 2 −2, j 1 +j 2 −2)
状態にˆ j −
を次々に作用させて(j, m) = (j 1 +j 2 −2, m)
状 態を作る。•
例：j 1 = j 2 = 1 2
の場合—可能なj
の値はj = 1, 0 (ia) |11 = |↑ 1 |↑ 2
ここで、
|↑ ≡ | 1 2 1 2 , |↓ ≡ | 1 2 − 1 2 ,
また、添え字1,2
は異なるスピンを区別(ib) |10 = √ 1
2 ˆ j − |11 = √ 1
2 (ˆ j 1− +ˆ j 2− )|↑ 1 |↑ 2 = √ 1 2
ˆ j 1− |↑ 1 |↑ 2 + |↑ 1 ˆ j 2− |↑ 2
= √ 1
2 (|↓ 1 |↑ 2 +|↑ 1 |↓ 2 )
(ic) |1 −1
は明らかに、|1 −1 = |↓ 1 |↓ 2
(1b)
の手続きで|10
から作ることもできる。(iia) |00 = c 1 |↓ 1 |↑ 2 +c 2 |↑ 1 |↓ 2
と置く。規格化条件：
