観測量と物理量の関係.pptx

観測量と物理量の関係

ここでは、観測されるスペクトル線の強度 (I!やF!) が、それを放射 (ま たは吸収) する天体の物理的諸量 (密度、温度、存在度、!) とどうい う関係にあるかを学ぶ。内容は一般的だが、無用の一般論を避けるた め、電波望遠鏡で直線分子の回転遷移を観測した場合を想定する。こ れが最も複雑な場合に属するので。

観測される放射強度

ふたつのエネルギー準位 (上を2、下を1と呼ぶ) 間の遷移で放射されるスペク トル線の強度を求めたい。"! (#, $) を求めることが本質で (#, $ は天球上の方向)、 それを立体角で積分すれば F! が求まる。! 2

dI

_!

d"

!

= !I

!

+ B

!

(T

ex

)

n

2

/ g

2

n

1

/ g

1

= exp(!

h

!

kT

ex

)

ただし Tex は右式で定義した励起温度: これを解いて "! を求める式は、

I

_!

(

"

!

) = I

!

(0)e

–"!

_{+ e}

–("!! ""!)

_B

!

[T

ex

( "

"

!

)

0 "!

#

]d "

"

!

d!

"

=

#

"

ds =

h"

4$

%(" )(n

1

ds)B

12

[1! exp(!

h"

kT

ex

)]

ここで (RL Eq.1.78)

光学的厚み

d

!

"

=

8

#

3

|

µ

12

|

2

3h

[

"

c

$

(

"

)]dN

1

[1! exp(!

h

"

kT

_ex

)]

ただし、dN1=n1ds (準位n1の柱密度cm-2)。 問題によっては、スペクトル線の輪郭 (line profile) で平均した光 学的厚みを用いて簡単化する。その場合は、スペクトル線の速度 幅 "v=c/[!$(!)] を導入して

d!

"

=

#

"

ds =

h"

4$

%(" )(n

1

ds)B

12

[1! exp(!

h"

kT

_ex

)]

(RL Eq.1.78)

B

12

=

A

21

2h

!

3

/ c

2

=

32

"

4

|

µ

12

|

2

3ch

2 (RL Eq.10.27) cm-3

d!

_" ! v

!

(

"

)

!(")

!

d!= 1 !! ~1 !! (km s-1₎-1 "v/c=1/[!$ (!)]

d! =

8"

3

| µ

12

|

2

3h

dN

₁

!v

[1" exp("

h#

kT

_ex

)]

観測される放射強度

4

!I

!

= I

!

" B

!

(T

bg

) = e

–("!" #"!)

B

!

[T

ex

( #

"

!

)]!

0 "!

$

d #

"

!

" (1" e

–"!

)B

!

(T

bg

)

今、視線に沿ってTex が一定だと仮定すると、この式は積分できて以下のように極めて 簡単になる。 ! I!

B

_!

(T

_bg

)

!I

!

!I

!

= I

!

" B

!

(T

bg

) = (1" e

–"!

_)[B

!

(T

ex

) " B

!

(T

bg

)]

すなわち、光学的に厚いときは、スペクトル線の強度 ""# は、 励起温度と(宇宙)背景放射温度が違うことによって生じるプ ランク関数値の差となる。光学的に薄いときには、それに光 学的厚みがかかるだけである。 星間分子雲の場合、星のように強い背景連続波源は存在しないので、一般に"! (0) は 宇宙背景放射%! (&bg) である。またスペクトル線の場合、ある狭い範囲 ($(!)"0) にお いて"! が背景放射から超過 (または減少) している分のみに興味があるので、

!

"

= N

1

[

"

c

#(" )]

8$

3

_{| µ}

12

|

2

3h

[1! exp(!

h"

kT

ex

)]

観測される放射強度

ところで、実際に観測できる量は "! ではなく、「適当な」立体角で積分し たフラックス密度 F! である。

F

!

=

"

I

!

(

"

,

#

)cos

"

d!

この cos# の因子は、#=0 に垂直な面を通過する放射強度を測るために付 いたもの (面の指向性が cos# )。現実には望遠鏡に指向性 P! (#, $) (アンテ ナのビームパタン) があるため、測定されるフラックス密度は、

F

!

=

"

I

!

(

"

,

#

)P

!

(

"

,

#

)d!

となる。ただし P! (0, 0) =1 とする。P! (#, $) はアンテナの向いている方向 (0, 0)からずれるにしたがって急激に減少する関数である。また、以下の $% を「アンテナ立体角」と呼ぶ。

!

A

=

"

P

!

(

"

,

#

)d!

観測される放射強度

6 アンテナで受ける電力は、

P =

1

2

A

e

d

!

"

I

!

(

"

,

#

)P

!

(

"

,

#

)d!

と表される。ここで Ae はアンテナの「有効開口面積」で Ae$%=&2 (※) の関係があ る。一方 P=kTAd! (アンテナ温度の定義)なので、! ※ アンテナ理論の詳細には立ち入らないが、この関係式は、アンテナの直径をDとした場合、 A#D2_{で、$#(&/D)}2 _{から分かるだろう。}

T

A

=

!

2

2k

1

!

A

I

"

(

#

,

$

)P

"

(

#

,

$

)d!

"

=

!

2

I

"

2k

"! =%! (TR) となるTRを放射温度 (または輝度温度と呼び、TB などと書く) と言う。レ イリージーンズ近似できる場合は、"!=2kTR/&2 から、!

T

A

=

1

!

A

T

R

(

!

,

"

)P

#

(

!

,

"

)d!

"

= T

R

観測される放射強度

もし、表面輝度 "! が一定の領域がビームパタンよりも十分広がっていれば、

F

!

=

"

I

!

P

!

(

"

,

#

)d!

= I

!

!

A もし、平均表面輝度 "! の天体の大きさ (立体角$s) がビームパタンよりも十分小さけ れば、

F

!

=

I

!

!

!S

"

d! = I

!

!

S

T

A

=

1

!

A

T

R

P

!

(

"

,

#

)d!

"

= T

R これをアンテナ温度で書くと

T

A

=

1

!

A

P

_!

(

"

,

#

)d!

!S

"

= T

R

!

S

!

A

観測される放射強度

8 アンテナ温度を使って書くと式が簡単になるので、"! が黒体放射ではなく、レイ リージーンズ近似どころでない場合でも、レイリージーンズ近似した放射温度として TR=&2"! /2k を用いることが多々ある。熱放射の場合には、TRは熱放射を特徴づける 温度 T (たとえば励起温度) と以下の関係になる。 TR=

!

2 I! 2k = h

!

k 1 exp(h

!

/ kT ) !1" f (T ) ※ 実際に観測で得られる生データとしての(超過)アンテナ温度 (TA) は、様々な較正を行って初め て天体からの放射強度 (ビーム平均値) を表す量となる (TR=TA*/')

!I

!

= (1! e

–!"

_)[B

!

(T

ex

) ! B

!

(T

bg

)]

以前に出てきたこの式は、レイリージーンズ近似が成立すれば

!T

A

= (1! e

–!"

_)[T

ex

! T

bg

]

! TA

T

bg

!T

A と書ける。スペクトル線のアンテナ温度は、光学的に厚い場合 には、励起温度と宇宙背景放射温度の差 (※) となる。

解くべき問題

I

_!

("

!

) = I

!

(0)e

–"!

_{+ e}

–("!! ""!)

_B

!

[T

ex

( "

"

!

)

0 "!

#

]d "

"

! これは、(双極子近似のもとでの) スペクトル線の放射強度を求める一般的な表式で、 それぞれの問題の特殊事情に応じて解くことができる。  しかし、ここでは「電波望遠鏡で観測されるアンテナ温度」と「星間分子雲の物 理量」の間の大まかな関係を吟味するので、以下の仮定をおいて簡単化する。 ・分子雲のなかで、問題とする準位間の励起温度は一定 ・スペクトル線輪郭の詳細には興味を持たず、輪郭関数で平均した光学的厚みを用 いる したがって、解くべき式は、

d!

_"

=

8#

3

| µ

12

|

2

3h

[

"

c

$(" )]dN

1

[1! exp(!

h"

kT

ex

)]

!I = (1" e

–!

)[B

"

(T

ex

) " B

"

(T

bg

)]

! =8" 3 | µ12| 2 3h N1 !v[1" exp(" h# kT_ex)]

解くべき問題

10

!I = (1" e

–!

)[B

"

(T

ex

) " B

"

(T

bg

)]

! =8" 3 | µ12| 2 3h N1 !v[1" exp(" h# kTex )] この式は、n1 と n2 さえ求めれば解くことができる (あたりまえ)。それは、二準位の 場合には簡単だが、「関係する」準位が２を超えるとたいへんになる。  なぜ二準位間のスペクトル線の話をしているのに、それ以上の準位を考える必要 があるかと言えば、放射や衝突によって、注目している二つの準位以外との出入り があり、その結果としてn1 と n2 が決まるからである。  準位 i の占有率ni が、n0 に比べて十分に小さくなる準位までを考慮の対象とする 必要がある。波長の短い放射による非常に高い順位への励起がない場合には、衝突 励起だけを考えて、 ni / n0 = exp(-Ei / kTk) から推定した適切な準位までを考慮の対象 とすれば良いだろう。  要するに占有率ni がすべて求まれば、この式を解いて観測される放射強度を求め ることができる。ni は、占有率が時間的に変化しないとする統計平衡の式 (rate equations) を解いて求めることができる (それは簡単ではない)。

統計平衡の式

統計平衡の式 (rate equations) は、

dn

j

dt

= (All transitions to j)-(All transitions from j)!=!0

dnj

dt =Radiative

!

[(Transition to j)

-(Transition from j)]+ [(Transition to j)

Collisional

!

-(Transition from j)] という形をしている。遷移には、放射によるものと衝突によるものがあるので、 dnj dt = [(Aij+ BijJ i> j

!

)ni" BjiJnj]" [(Aji+ BjiJ i< j

!

)nj" BijJni]+ (Cijni i# j

!

- Cjinj) もう少し具体的に書くと、以下のようになる。 ここでCij は、衝突によって i!j の遷移が起こる率 (s-1) である (衝突係数)。それは、 衝突してくる相手粒子 (~80%の水素分子と~20%のヘリウム原子) の数 n (cm-3_{) や、} 相手との相対的な速さv (cm/s) に依存し、残りの因子は衝突断面積 ((v) (cm2_{) であ} る。後者ふたつは平均量でしかきかないので、

C

_ij

= n <

!

ij

v >

衝突係数

12 なお、熱平衡のときには詳細釣り合いの原理からCij ni = Cji njなので、

C

_ij

C

_ji

=

n

_j

n

_i

=

g

_j

g

_i

exp(!

E

_ij

kT

)

衝突係数間の関係が、アインシュタイン係数間の関係と違って温度に依存することは 注目すべきである。つまり、衝突係数は熱平衡のときでないと使えない。しかし、そ れでは我々は少し困る。そこで、

C

_ij

= n <

!

ij

v >

の表式をよく見ると、この中で温度に関係する量は v だけ ((も温度に関係するがそれ は v を経由して) なので、非熱平衡の場合には、

C

ij

C

ji

=

g

j

g

i

exp(!

E

ij

kT

k

)

とすれば良さそうなことが分かる。ただし、Tkは衝突してくる粒子の運動温度。現実 は、各温度ごとに計算されたCij (Cjiも独立に計算される) の値を使う。

統計平衡の式

さて、この統計平衡の式は簡単には解けない。なぜなら、非局所的な量 J が入ってい るからである。J は、njを計算する場所にすべての方向から入ってくる I が分からな いと計算できない。しかし、I はその視線に沿って njが分からないと計算できない。  このような場合によく使われる計算方法は、まず適当な nj (たとえば 3 K に相当す る) をすべての場所で与えることで、任意の点で I を計算できるようにし、すべての場 所で J を計算して統計平衡の式を解いて新たな njを求め、今度はそれを初期値として 収束するまで同じことを繰り返す、いわゆる反復法がある。  実際には、「すべて」の点は適当なグリッドで与えるが、「すべて」の視線につい てI を求めてJ を計算することはできないので、統計的誤差が小さくなるように十分に 多くのランダム (モンテカルロ法) に選んだ視線に沿ってI を求めてJ を計算する (それ は理論家がやるレベルの仕事となる)。  ここでは、多くの場合において、そのような「正確」な計算に近い結果が出る大速 度勾配法によって、nj を求める手法を紹介する。その手始めに、いくつかの簡単な場 合を説明する。 dnj dt =i> j[(Aij+ BijJ

!

)ni! BjiJnj]! [(Aji+ BjiJ i< j

!

)nj! BijJni]+ (Cijni i! j

!

- Cjinj) = 0

局所熱力学平衡にある準位からの

光学的に厚いスペクトル線

14

!I = (1" e

–!

)[B

"

(T

ex

) " B

"

(T

bg

)] # B

"

(T

ex

) " B

"

(T

bg

)

この場合、スペクトル線の強度 ("" ) からは、遷移を起こす準位間の励起温度 Texが求め られる。励起温度が、もう少し分かりやすい量 (n(H2), Nmol, Tk) とどういう関係にある かは、後で明らかとなる。  もし、注目している準位に関して、局所熱力学的平衡 (Tex=Tk) が成立している場合に は、"" から直接ガス (衝突パートナー) の運動温度 Tkが求められる。  光学的に厚いスペクトル線は数多くあるが、同時に回転準位が局所熱力学的平衡とな る分子は、ほとんど 12_{CO しかない (その理由は、後で明らかとなる)。したがって、分} 子雲ガスの運動温度の推定には、12_{CO の低励起回転遷移が使われることが多い(※)。} ※分子雲ガスの運動温度を求める方法は他にもある。たとえば、双極子放射が禁止されている二つ の準位間 (基底準位と準安定準位間) でも、「普通は」衝突遷移が起こるので、この二つの準位の 占有率は温度 Tkのボルツマン分布になっていると考えられる。したがって、この二準位の占有 率を独立に測定してやれば、その比から運動温度が求まる。この方法は、たとえばアンモニア分 子の(J, K)=(1, 1)と(2, 2)における反転遷移を用いるものがよく使われる。アンモニア分子から求 めた運動温度は、COによるものと概ね合致するが、やや低めに出る傾向がある。

局所熱力学平衡にある準位からの

光学的に薄いスペクトル線

!I = (1" e

–!

)[B

"

(T

k

) " B

"

(T

bg

)] #

!

[B

"

(T

k

) " B

"

(T

bg

)]

! =8" 3 | µ12| 2 3h N₁ !v[1" exp(" h# kTk )] この場合は N1とTkが未知数となる ("vはスペクトル線の幅から直接求められる量) が、 T_{k は (前ページで述べた方法などで) 分かっている場合が大半なので、それを使えば N1} が求められる。これから、放射を出している分子の柱密度 Nmol (cm-2) が容易に求められ る。

N

mol

= N

1

Z

g

1

exp(

!E

10

kT

k

)

ただし、Zは分配関数、"E10は基底状態0と、遷移の下の準位1とのエネルギー差。 なお準位が局所熱力学的平衡にあり、かつ光学的に薄いスペクトル線は、13_{CO や C}18_O などの CO の同位体分子 (isotopologues) に限られる。したがって、この手法が使える のは、ほとんど場合 13_{CO や C}18_{O の低励起回転遷移に限られる。}

局所熱力学平衡にある準位からの

光学的に薄いスペクトル線

16 N(13 CO) = N0Z = 3h 8!3_µ2 !v(13 CO)!"(1" 0)!Z 1" exp("h#/ kTk) Dickman (1978, ApJS, 37, 407) _は、13_{CO (J=1-0)} の輝線強度を、可視減光量 (Av; NH=2$1021 Av cm-2_{) と比較して、以下の関係を求めた。}

N(H

2

) = (5.0 ± 2.5) !10

5

!N(

13

CO)

1978ApJS...37..407D このようにして求めた N(H2) (cm-2) に、分子雲の 面積 (cm2_{) を掛け、H} 2の質量 ($ヘリウム分の補 正) を掛ければ、分子雲の質量が求まる。 ただし

解くべき問題

!I = (1" e

–!

)[B

"

(T

ex

) " B

"

(T

bg

)]

! =8" 3 | µ12| 2 3h N1 !v[1" exp(" h# kTex )] ある注目している準位が局所熱力学的平衡にない場合に、光学的に厚いスペクトル 線の強度 (つまり ) とTexであり、それは要するにnJ) が、分子雲の諸量 (n(H2), Nmol, T_k) _{とどう関係するかが、最後に考えるべき問題となった。}  一般的には、分子雲内のある場所での nJ は、あらゆる方向からそこへやってくる I と、その場所での衝突 (n(H2), Tk) によって決定される。しかし、I が他の場所での n_Jに依存するため (非局所性)、nJ を求める問題は簡単では無いことはすでに述べた。  ここでは、光子脱出確率βを導入することで問題を局所化し、分子雲内の離れた 場所が放射によって相互作用しないという仮定を行う (Sobolev近似)。これは、分子 雲に V(R) R のような大きな速度勾配 (Large Velocity Gradient) がある場合には、仮 定しなくても成立する。

大速度勾配(LVG)モデル

18

ここでは、定式化は Goldreich & Kwan (1974, ApJ, 189, 441; GK74) によるため、これまでと表記方法が多少異なる。なお、結 果の物理的意味は Scoville & Solomon (1974, ApJ, 187, L71; SS74) にもどづいて解説する。また光子の脱出確率は Castor (1970, MNRAS, 149, 111) による。二原子分子の双極子放射によ る遷移マトリックスについては、Townes & Schawlow (1975; TS75)_を参照。

The Large Velocity Gradient (LVG)

Approximation

LVG

近似とは、「V(R) Rという大局的速度勾配を仮定することにより、

統計平衡の方程式 (rate equations) を、放射輸送とは独立した『局所

的』問題に帰着することで、スペクトル線の放射強度 (Emergent

Specific Intensity)

を求める」手法である。

 本解説では、最も簡単な二原子分子の回転遷移を例に説明するが、

この手法の応用範囲は広い。LVG 近似の一般的な場合である Sobolev

近似は、もともと W R 星 の 光学域スペクトル線を説明するために考え

られた。なお、光学的に薄いスペクトル線を扱う場合には、ここで述

べるような取り扱いは必要ない (すなわち、もっと簡単)。

基本設定

線輪郭関数で平均した光学的厚みで考えることとし、添え字νを省略する。 いずれ局所近似をすることになるので、局所的には Tex が一定と見なせるとして これを積分し、 あるいは、(較正された超過)アンテナ温度を用いて ここで、 20

!I =

e

–(!" #!)

_B[T

ex

( #

! )]d #

!

0 !

$

" (1" e

–!

_)B(T

bg

)

!I = (1" e

–!

)[B(T

ex

) " B(T

bg

)]

T

B

= (1! e

–!

_{)[ f (T}

ex

) ! f (T

bg

)]

f (T ) !

h

!

k

1

exp(h

!

/ kT ) "1

基本設定

励起温度は通常 と定義されるが、以後は GK74 の準位占有率 nJ の定義にしたがって とする。つまり、n1, n2は、それぞれ下の準位、上の準位の統計的重率 (ここで は二原子分子の回転準位の磁気サブレベルによる縮退度 gJ=2J+1) あたりの占有 率で、さらに以下の規格化を行う。 つまり、これから使う nJ を、これまでの使ってきた nJoに変換するためには、nJ を nJo/(gJ nmol)で置き換えればよい (nmol は分子の個数密度)。

n

₂

n

₁

=

g

₂

g

₁

exp(!

h!

₁₂

kT

_ex

)

n

₂

n

₁

= exp(!

h!

12

kT

_ex

)

g

_J

n

_J

= 1

J=0 !

"

光学的厚み

以前に求めた' の具体的表式 を、直線分子の回転遷移の場合に読み替える。回転量子数を J (=0, 1, 2, !) で 表すと、選択則 (許容遷移) は "J=1 となり、下の準位1をJ、上の準位2をJ+1 で読み替える。また柱密度 dNJ を gJnJdNで置き換えて、 局所近似を行っているため、もはや積分量しか必要とせず、 22

d! =

8"

3

| µ

12

|

2

3h

dN

1

!v

[1" exp("

h#

kT

_ex

)]

d!

_J,J+1

=

8"

3

_{| µ}

J,J+1

|

2

3h

dN

!v

g

J

(n

J

" n

J+1

)

!

J,J+1

=

8"

3

_{| µ}

J,J+1

|

2

3h

N

!v

g

J

(n

J

" n

J+1

)

光学的厚み

ここで µJ,J+1は、遷移行列の(J, J+1)成分であり、たとえば TS75 (Eq.1-76) に よると ただし、|µJ,J+1|2 gJ = |µJ+1, J|2 gJ+1であり gJ=2J+1 なので、以下の関係に注意。

| µ

_J+1,J

|

2

=

µ

2

J +1

2J + 3

となる (GK74 Eq.7)。'J+1,J の表式も 'J,J+1と同じになる。

!

J,J+1

=

8"

3

µ

2

3h

N

!v

(J +1)(n

J

" n

J+1

)

ここで、µ は永久双極子モーメントであり、最終的なτの表式は

| µ

_J,J+1

|

2

=

µ

2

J +1

2J +1

アインシュタイン係数

 遷移確率は、直線分子の回転遷移の場合には以下のように書ける。 なお、 24

B

J+1,J

=

g

J

g

J+1

B

J,J+1

=

A

J+1,J

2h

!

J+1,J 3

!!!!/c

2

=

32

"

4

|

µ

J+1,J

|

2

3ch

2

!!!!!!!!=

32

"

4

µ

2

3ch

2

J +1

2J + 3

E

J

= hBJ(J +1)

!

J+1,J

= (E

J+1

! E

J

) / h = 2B(J +1)

(RL Eq.10.27)  本来、アインシュタインのB係数は、詳細釣合いの原理 (RL79 Eq.10.28) によって等しいのだが、 通常、遷移確率は、遷移前の準位 (初期状態) の縮退について平均をとり、遷移後の準位 (終状態)の 縮退について和を取る (初期状態のひとつの磁気サブレベルにある状態が、終状態の任意の磁気サブ レベルに遷移する確率) ので、BJ,J+1/gJ+1 = BJ+1,J/gJ (RL79 Eq.1.72a)となることに注意。 (GK74 Eq.4)

解くべき式

µは永久電気双極子モーメント、J は回転量子数、N は輝線を放射する分子の柱密度、"V は N に対応する速度幅。光学的厚みは、放射を出す物質の単位速度幅当たりの柱密度 (N/"V) と、励起温度 (nJ+1/nJ) に依存する。TA は、放射領域におけるnJ (J=0, 1, 2 ,3 !) が求まれば、計算できる。nJ は、統計平衡の方程式 (rate equations) を解くことによっ て求まる。それによって、最終的には TA が分子雲の n(H2), Tk, N などとどう関係してい るかを知りたい。

T

B

(J +1, J) = (1! e

–!J,J+1

_{)[ f [T}

ex

(J, J +1)]! f (T

bg

)]

!

J+1,J

=

8"

3

µ

2

3h

N

!v

(J +1)(n

J

" n

J+1

)

( f [T_ex(J , J +1)] =h! k 1 n_J/ n_J+1!1)

g

J

dn

J

dt

= g

J+1

n

J+1

A

J+1,J

+ (g

J+1

n

J+1

B

J+1,J

! g

J

n

J

B

J,J+1

)J

J+1,J

!!!!!!!!!!!!g

J

n

J

A

J,J-1

! (g

J

n

J

B

J,J-1

! g

J-1

n

J-1

B

J-1,J

)J

J,J-1

!!!!!!!!!!!+

(C

LJ

g

J

g

L

n

L

! C

JL

g

L

g

J

n

J

)

L"J

#

CJLは磁気サブレベル間の衝突係数であることに注意 [C12 /C21=exp(-h#12/kTk)]。通常のC係数の定 義では、遷移先の準位で縮退について和をとっているで、ここの CJLは通常定義のCJL/gLに相当 (GK74 Eq.10)

光子脱出確率

統計平衡の方程式は、非局所的なので簡単には解けない。そこで、Sobolev近 似によって光子脱出確率βを導入、平均放射場を局所化する。 26  つまり、ある分子から見た放射場は、その場所からの光子の脱出確率分だけ 背景放射が見え、残りは周囲の分子による放射が見えている。  β→1 (ある分子から出た光子が、局所的領域からほとんど完全に抜け出せ る場合) では、その分子の受ける放射は背景放射であり、またβ→0 (ある分子 からの光子が、局所的領域から抜け出せない場合) では、その分子の受ける放 射はほぼ完全に周囲の分子が出す放射である。

光子脱出確率

Castor (1970) によると、一般的には βは速度場σ=(dlnV/dlnR)-1 の関数だが、 V Rを仮定すればσ=0 となり、 と表せる (大速度勾配近似)。この場合、βに場所 R は直接入ってこない。  この結果、問題は大きさ (vt/V)R (vtは熱的または乱流的速度幅で vt << V) の局所的問題に帰着する。すなわち、統計平衡の式を、分子雲内の場所に全く 依存せずに解くことができる。スペクトル線において、ある視線速度 (速度幅 vt) は分子雲内の視線上の一点と一対一に対応する。βは、大きさ (vt/V)R の領域から光子が出てくる確率を表すことは明らか。すなわち、光学的に薄け ればβ 1で、厚ければβ*1/τ

! =

1! exp(!" )

"

統計平衡の方程式

大速度勾配近似をすることで、 28 と表記できるので、これを使って統計平衡の式を局所化し、dnJ/dt=0 (統計平 衡)とすれば

!

J+1,J

=

1! exp(!

"

J+1,J

)

"

J+1,J

ここで

g

J+1

n

J+1

A

J+1,J

+ (g

J+1

n

J+1

B

J+1,J

! g

J

n

J

B

J,J+1

)B(T

ex

) = 0

J

_J+1,J

= (1!

!

J+1,J

)B(T

ex

) + !

J+1,J

B(T

bg

)

[g

J+1

n

J+1

A

J+1,J

+ (g

J+1

n

J+1

B

J+1,J

! g

J

n

J

B

J,J+1

)B(T

bg

)]

!

J+1,J

![g

J

n

J

A

J,J-1

+ (g

J

n

J

B

J,J-1

! g

J-1

n

J-1

B

J-1,J

)B(T

bg

)]

!

J,J-1

+

(C

_LJ

g

_J

g

_L

n

_L

! C

JL

g

L

g

J

n

J

)

L"J

#

= 0

ただし、以下の関係 (励起温度の定義) を使った。 (GK74 Eq.11)

結果

統計平衡の式を解いて nJ を求めることで Tex とτが決まり、  光学的に薄い場合にはLVG近似の必要性は全くなく、局所的に nJ が決定され、それ によって決まる Texに応じた強度が観測される。  光学的に厚い場合には、統計平衡の方程式はτCという「組合わせ」に依存。τは N/%V _{に依存し、Cは n(H2}+He)<&v> _{であることから、準位占有率nJ} (T_ex) _は という因子のみに依存する。つまり、密度n(H2+He)が上がって励起を進める効果は、 柱密度 (N/%V) が上がって光子がトラップ (photon trapping) されることで励起を進める 効果と同じように効く。  LVGを仮定することによって、光学的に厚い場合でも、光子トラップを正しく考慮し て放射強度を計算できるのである。

T

B

= (1! e

–!

_{)[ f (T}

ex

) ! f (T

bg

)]

!!!!!" ![ f (T

ex

) ! f (T

bg

)]!!!(! # 0)

!!!!!" f (T

ex

) ! f (T

bg

)!!!(! # $)

( f (T ) !h! k 1 exp(h! / kT ) "1)

!C ! (N / "v)!n < " v >

具体的計算方法

17ページの統計平衡方程式を解いてnJ を求めるには、βとCIJが必要  β=(1‒e-τ_{)/τは、τ(N/"V, Tex)=τ(N/"V, nJ)の関数}

 CIJ=n(H2, He, ･･･)<&IJv> は、n(H2) と Tk の関数。通常、Tk ごとに計算された <&IJv> の表

があり、それを使用する  Tk, N/"V, n(H2)の組を与えれば、放射平衡の式を解いてnJ が求められる。ただし、τが nJ の関数であるため、nJ の初期値を与えて反復法で解く (手法によっては計算が発散する こともある)  nJ(Tk, N/"V, n(H2))が求まれば、τ(N/DV, nJ) と Tex(nJ) を求めてTA(τ, Tex)を計算する => T_A(T_k, N/"V, n(H2))  ３つのパラメータのどれかを固定し、TBを残りの２つのパラメータで二次元グラフにす ると、結果が分かりやすく表現できる。たとえば Tk を固定して、TB(N/"V, n),

T_B(n_mol/(dV/dR), n), T_B(X_mol/(dV/dR), n) [X_mol=n_mol/n(H₂)] _{などの表現が一般的}

 たとえば Tk を 12CO の強度から求めるとすれば、同一分子の２つの遷移の強度から N/

"Vとn(H2)を決定することができる。多数の遷移が観測できる場合にはχ2フィットによっ

て、これらを誤差つきで求めたりする

計算例 (SS74)

) が小さいので、Tex が大きくないと、つ まり密度が大きくて LTE (Tex=Tk) でない と、十分な輝度温度 にならない。その結 果、輝度温度は ) (N/ ΔV) にのみ依存する 輝度温度は (N/%V) $n(H2) というかけ 算のみに依存する。 COの場合、この状 況は通常の分子雲 では起こらない COが存在できる密度 領域。低回転準位の COはほとんど熱化 (LTE; Tex=Tk) されて いるため、COの強度 は ) のみに依存

CO

計算例 (SS74)

32

Fig. 1b. — The ratio of

antenna temperature in the CO J=2–1 and J=1–0 transitions obtained from 10-level calculations at Tk=40 K.

CO (Ratio)

高密度で光学的に 薄い場合には、励 起が超熱的(super-thermal) になって、 準位が上の回転遷 移が強くなる。占 有率の逆転 (population inversion) が起こ ることもあり、条 件によってはメー ザー放射となる。 12_{COの強度は通常} この領域にあり、強 度比は1程度となる。 12_{COの強度が強い} のは、豊富に存在す るから 臨界密度 (nc(H2) A10/C10) この密度以上で衝 突励起が進む _{臨界密度以下でも、光学的に厚い領域で} は光子トラッピングによって励起が進ん み、放射強度が上がる。

計算例 (SS74)

Fig. 2. — Contours of antenna temperature in the J=1–0 , 2–1,

3–2 CS transitions from 10-level calculations at Tk=40 K.

CS

µ(CO)=0.1 debye µ(CS)=2.0 debye (1 bebye=10-18 _{cgs esu)} nc(H2) A µ2 なので nc,CS/nc,CO 400 nc,CS(H2) 105 cm-3 通常の分子雲の密度 (n(H2)~103 cm-3) では、 CSの低回転準位は熱化されていない (Tex<Tk; sub-thermal)。それにもかかわら ず、CSの強度がそこそこ強いのは、光学 的に厚いから。これは光子トラッピング を考慮しないと説明できない!

計算例 (SS74)

34

Fig. 3. The dramatic effects of radiative trapping are demonstrated for the J=1–0 CO transition in

the two-level approximation. Dashed contours are obtained for excitation only by H2 collisions;

solid contours include excitation by trapped radiation.

CO

光子トラッピングを 考慮しない計算では、 水素分子密度が臨界 密度より低いと励起 が全く進まない TB ~n (H2 ) 光子トラッピング 無しの場合 TB~ N/"V

計算例

(Sakamoto et al. 1994)

なぜLVG近似は有用なのか？

空間的に離れた 2 点が放射による相互作用をしないという仮定は、たとえば V(R) R と いう大局的速度勾配がある場合には成立する。しかし、これ以外の場合でも、たとえば 分子雲が超音速乱流状態にあり、互いに離れた 2 点の速度が十分異なるような場合には、 精度良く成立することが期待される。このため、LVG は非常に単純で非現実的な速度勾 配を仮定しているにもかかわらず、現実の分子雲へ矛盾無く適用できる場合がほとんど である。  LVGの仮定を置けば、視線全体にわたる光学的厚みが、局所的な光学的厚みで置き替 えられる。その場合、局所的 (速度差が熱的線幅と同程度の) 領域の中で異なる点どうし が放射で相互作用するので、事態が改善されていないように見えるかも知れない。しか し、その領域は十分小さく、そこでは諸量も一定だと考え、微視的相互作用をスキップ して光子の脱出確率β (局所的な光学的厚みと関係する量) を導入する (Sobolev近似) こ とで、その困難を回避するのである。  すなわち、回転準位 2 にある個々の分子は A21の確率で放射を出して準位 1 に遷移す るが、放射で相互作用しているある微小領域全体では、準位 2 にある個々の分子は平均 してβ21A21でしか遷移しないと考えるのである。 36