2017年 度 修 士 論 文 報 告 書
Connected‑(1,2)‑or‑(2,1)‑out‑of‑(m,n):Fシ ス テ ム の シ ス テ ム 分 割 を 用 い た 信 頼 度 算 出 方 法 に 関 す る 研 究
指導教員 山本 久志
首都 大 学 東 京 大 学 院 博 士 前 期 課程
シス テ ム デ ザ イ ン研 究 科 シス テ ム デ ザ イ ン専 攻 経 営 シ ス テ ム デ ザ イ ン学 域
学修 番 号:16892503 石 川 匠
目 次
第1章 序 論...
1.1は じ め に...
1.2本 論 文 の 構 成,,,
第2章 シ ス テ ム 信 頼 度 算 出 方 法...
2.1Consecutive‑k‑out‑of‑n=Fシ ス テ ム.,...,.
2.Ll再 帰 的 な 信 頼 度 算 出 方 法...
2⊥2非 再 帰 的 な 信 頼 度 算 出 方 法..,...
2.2Connected‑〔r,s)‑out‑of‑(mln)=FLシ ス テ ム.
2,2,1再 帰 的 な 信 頼 度 算 出 方 法,
222非 再 帰 的 な 信 頼 度 算 出 方 法...
22.3シ ス テ ム 信 頼 度 の 上 下 限 値...,...
2.3Connected‑(1,2)‑or‑(2,1)‑out‑of‑(m,n):Fシ ス テ ム.+‑
2.3.1再 帰 的 な 信 頼 度 算 出 方 法..,...
2.3.2非 再 帰 的 な 信 頼 度 算 出 方 法,
2、3、3シ ス テ ム 信 頼 度 の 上 下 限 値,
第3章Connected‑(1,2)‑or‑(2,1)‑out‑of‑(m,n):Fシ ス テ ム の
シ ス テ ム 分 割 を 用 い た 信 頼 度 算 出 方 法̲,,.,.,,,,
3.1構 造 関 数 の 再 帰 式 の 導 出.
32シ ス テ ム 分 割 を 用 い た 信 頼 度 算 出 方 法 の 提 案...
32.1シ ス テ ム 分 割 の 定 義
‑←‑⊥り自44ドOQO3468003711112222 QげO﹂34n∠り白qδqO
3.2.2行 列 の ク ロ ネ ッ カ ー 積 を 用 い た シ ス テ ム 信 頼 度 の 導 出
3,3提 案 方 法 の 評 価...,.
第4章Connected‑〔1,2)‑or‑(2,1)‑out‑of‑(m,n)=Fシ ス テ ム の
シ ス テ ム 信 頼 度 の 下 限 値,、.,,...,...
4.1下 限 値 の 提 案...,...
4.2下 限 値 の 評 価...、,....,....
第5章 結 論...,.,,.
参 考 文 献 、.,...,....,...,...・...・.・.,
謝 舌辛,,..,,.引 層,層.層 層,.層.,引 一 層..引 一..』.引..,.
付 録A補 助 定 理3,1の プ ロ グ ラ ム ソ ー ス.,,...
付 録B定 理3.1の プ ロ グ ラ ム ソ ー ス...,..,...,..
付 録C定 理4.1の プ ロ グ ラ ム ソ ー ス...,...,.,...
7‑43﹂4 660237891445555556
第1章 序 論
1.1は じ め に
現 代 社 会 の シ ス テ ム は 大 規 模 化 ・複 雑 化 が 進 ん で お り,こ れ ら の シ ス テ ム の 中 に は,我 々 の 生 活 に 直 結 す る 重 要 な 社 会 イ ン フ ラ と し て 機 能 し て い る も の も 存 在 す る.航 空 機 や 原 子 力 発 電 等 に 発 生 す る 事 故 例 を 見 れ ば,そ れ ら シ ス テ ム が 我 々 の 生 活 に お い て 重 要 で あ る こ と は 言 う ま で も な い.こ の よ う な 理 由 か ら そ れ らの 信 頼 性 を い か に 保 障 して くの か を 考 え る 必 要 が あ り,「信 頼 性 工 学 」 の 必 要 性 も 同 様 に 増 し て い る と い え る.こ こ で 「信 頼 性 」 と はJISZ8115=2000(デ ィ ペ ン ダ ビ
リテ ィ 用 語)に お い て 「ア イ テ ム が 与 え られ た 条 件 の 下 で,与 え られ た 期 間,要 求 機 能 を 遂 行 で き る 能 力 」 と定 義 さ れ て い る.ま た,「信 頼 性 」 を 確 率 に よ り数 値 化 し た も の と し て 「信 頼 度 」 が 定 義 さ れ て い る.
信 頼 性 工 学 に お け る 多 くの 手 法 は,そ れ 自体 が 製 品 の 信 頼 性 向 上 に 直 接 寄 与 す る こ と は な く,製 品 の 信 頼 性 を 高 め る も の は,本 来,各 分 野 の 固 有 技 術 で あ る.し か し,各 分 野 に お い て,「信 頼 性 」 を 意 識 し な け れ ば,製 品 の 信 頼 性 が 向 上 さ れ る
こ と は な い.し た が っ て,各 分 野 が 信 頼 性 を 意 識 す る た め に,信 頼 性 工 学 の 考 え 方 が 非 常 に 重 要 と な る.シ ス テ ム を構 成 す る ア イ テ ム の 信 頼 度 を知 る こ とで,シ
ス テ ム 信 頼 度 の 評 価 を 行 う こ と が 信 頼 性 の 考 え 方 を 利 用 す る 方 法 の 一 例 と して 考 え られ る.そ の 結 果 と して,シ ス テ ム 開 発,設 計,製 造,試 験,運 用 の 各 段 階 で シ ス テ ム の 信 頼 性 を 評 価 す る こ と が で き る[28].
本 研 究 で は,現 代 社 会 の シ ス テ ム を数 学 的 に 表 現 す る シ ス テ ム モ デ ル に 注 目 す る.以 下,本 論 文 で は シ ス テ ム を構 成 す る ア イ テ ム(部 品)を 「コ ン ポ ー ネ ン ト」
と呼 ぶ.シ ス テ ム を 構 成 して い る 各 コ ン ポ ー ネ ン トの ど こ か 一 か 所 が 故 障 した と き,シ ス テ ム 全 体 が 機 能 しな くな る シ ス テ ム を 直 列 シ ス テ ム(seriessystem)と 呼 ぶ.こ れ に 対 して,す べ て の コ ン ポ ー ネ ン トが 故 障 した と き,シ ス テ ム 全 体 が 機 能 し な く な る シ ス テ ム を 並 列 シ ス テ ム(parallelsystem)と 呼 ぶ.直 列 シ ス テ ム は シ ス テ ム が 機 能 す る た め の 最 小 の コ ン ポ ー ネ ン トか ら な り,無 駄 が な い た め,安 価 で あ る が,シ ス テ ム 信 頼 度 は 低 い.そ れ に 対 し て,並 列 シ ス テ ム は シ ス テ ム が 機 能 す る こ とだ け を 考 え れ ば,余 分 な コ ン ポ ー ネ ン トが あ る た め 高 価 で あ る が,シ
ス テ ム 全 体 の 信 頼 度 は 高 く な る こ と が 知 ら れ て い る.あ らか じ め 余 分 な コ ン ポ ー ネ ン トを 付 加 し て お き,あ る ア イ テ ム が 故 障 して も シ ス テ ム と し て の 機 能 が 損 な わ れ な い よ う な 性 質 を 「冗 長 性(redundancy)」 と呼 ぶ.そ こ で 本 研 究 で は,現 代 社 会 の 大 規 模 化 ・複 雑 化 し た シ ス テ ム の 信 頼 度 評 価 を 行 う た め に,冗 長 化 さ れ
た シ ス テ ム モ デ ル の1つ で あ るconnected‑(1,2)‑or‑〔2,1)‑out‑of‑(m,n):Fシ ス テ ム を 考 え る.こ の シ ス テ ム モ デ ル を 考 え る こ と は,一 般 的 な シ ス テ ム に 向 け た 基 礎 検 討 とな る.
本 研 究 で は,シ ス テ ム の 信 頼 性 を 考 慮 し た 設 計 を す る た め の 評 価 尺 度 で あ る シ ス テ ム の 信 頼 度(reliability)に 注 目 し,コ ン ポ ー ネ ン ト信 頼 度 が 与 え られ た と き に,シ ス テ ム 信 頼 度 を 算 出 す る こ と を考 え る.一 般 的 に,シ ス テ ム 信 頼 度 を 算 出 す る 方 法 と し て,す べ て の コ ン ポ ー ネ ン トの 取 り う る 状 態 を 列 挙 し,シ ス テ ム が 稼 働 状 態(も し くは 故 障 状 態)と な る 確 率 の 総 和 に よ り シ ス テ ム 信 頼 度 を 求 め る 全 数 列 挙 法 が あ る.全 数 列 挙 法 に よ りシ ス テ ム信 頼 度 を 求 め た 場 合,そ の 計 算 量 は 総 コ ン ポ ー ネ ン ト数 に 対 して,指 数 オ ー ダ ー とな る た め,効 率 的 な シ ス テ ム 信 頼 度 算 出 方 法 が 必 要 と な る.本 論 文 の 目 的 は,Connected‑(1,2)‑or‑〔2,1)‑out‑。f‑〔m,n):F シ ス テ ム に 対 し て,シ ス テ ム 分 割 の 考 え 方 を 利 用 す る こ と で,シ ス テ ム の 信 頼 度 を効 率 的 に 算 出 す る 方 法 を提 案 す る.ま た,提 案 方 法 を 用 い て も 現 実 的 な 時 間 内 に 計 算 が 行 え な い よ う な 大 規 模 な シ ス テ ム に 対 し て は,安 全 面 で 保 証 さ れ う る シ ス テ ム 信 頼 度 の 下 限 値 に よ り信 頼 度 評 価 を 行 う.
1.2本 論 文 の 構 成
第2章 で は,本 論 文 で 扱 うconnected‑(1,2)‑or‑(2,1)‑ou七 一〇f‑(m,n):Fシ ス テ ム の 基 礎 と な る,Conseclltive‑k‑ollt‑()f‑n:Fシ ス テ ム と,多 次 元 に 拡 張 さ れ たcoエIllectcd‑
(r,s)‑out‑of‑(m,n)=Fシ ス テ ム の 信 頼 度 算 出 に 関 す る 関 連 研 究 に つ い て 述 べ る,次 にconnected‑(1,2)‑or‑(2,1)‑out‑of‑〔m,n)=Fシ ス テ ム に 関 す る 関 連 研 究 を 述 べ る.
第3章 で は,シ ス テ ム 分 割 の 考 え 方 を 利 用 し たconnected‑〔1,2)‑or‑(2,1)‑out‑of‑
(m,n)=Fシ ス テ ム の シ ス テ ム 信 頼 度 算 出 方 法 を 提 案 す る.第4章 で は,第3章 で 提 案 し た 方 法 を 用 い て,シ ス テ ム 分 割 の 考 え 方 に 基 づ い た,Connected‑(1,2)‑or‑
(2,1)‑out‑of‑(m,n)=Fシ ス テ ム の 信 頼 度 の 下 限 値 を 提 案 し,そ の 有 効 性 を 示 す た め
に 行 っ た 数 値 実 験 の 結 果 を 示 す.最 後 に,第5章 で 本 論 文 の 結 論 を 述 べ る.
第2章 シ ステ ム信頼 度 算 出方 法
本 章 で は,Connected‑(1,2)‑or‑(2,1)‑out・‑of‑(m,n)=Fシ ス テ ム の 基 礎 と な る, Consecutive‑k‑out‑of‑n:Fシ ス テ ム と,そ の シ ス テ ム を 多 次 元 に 拡 張 し たconnected‑
(r,s)‑out‑of‑〔m,n)=Fシ ス テ ム の 信 頼 度 算 出 に 関 す る 関 連 研 究 に つ い て 述 べ る.次 に,Connected‑(1,2)‑or‑(2,1)‑out‑of‑@,n):Fシ ス テ ム に 関 す る 関 連 研 究 を 述 べ る.
こ こ で 本 論 文 を 通 し て 以 下 を 仮 定 す る.
A.各 コ ン ポ ー ネ ン トは 稼 動 ま た は 故 障 の2状 態 の み で あ る.
B.各 コ ン ポ ー ネ ン トの 稼 動 お よ び 故 障 は 独 立 で あ る.
2.1Consecutive覗 一〇ut‑of‑n:Fシ ス テ ム
Consecutive‑k‑out‑of一 π:Fシ ス テ ム と は,n個 の コ ン ポ ー ネ ン ト が 直 線 状 に 配 置 さ れ,少 な く と も 鳶個 以 上 の 連 続 す る コ ン ポ ー ネ ン ト が 故 障 す る と き に シ ス テ ム 故 障 と な る シ ス テ ム で あ る(図2.1).応 用 例 と し て は,通 信 シ ス テ ム や 街 灯 シ ス テ ム が 挙 げ ら れ る.信 頼 性 工 学 に お け る 重 要 な 問 題 の1つ に コ ン ポ ー ネ ン ト信 頼 度 が 与 え ら れ た 場 合 に シ ス テ ム 信 頼 度 を 算 出 す る 問 題 が あ る.Consecutive‑k‑out‑of‑n=F シ ス テ ム の 信 頼 度 を 算 出 す る た め に,表2.1に 示 す よ う に,さ ま ざ ま な 方 法 が 提 案 さ れ て お り,そ れ ら の 計 算 効 率 は,主 に,計 算 量 オ ー ダ ー に よ り比 較 さ れ て い る.ま た,そ れ ら の 方 法 は 「再 帰 的 な 信 頼 度 算 出 方 法 」 と 「非 再 帰 的 な 信 頼 度 算 出 方 法 」 に 大 別 さ れ る[9].本 節 で は,代 表 的 な 方 法 を 紹 介 す る た め に 以 下 の 記 号 を 定 義 す る.ゴ=1,2,..,,nに 対 し て,コ 番 目 に 配 置 さ れ た コ ン ポ ー ネ ン ト を コ ン ポ ー ネ ン ト ゴ と し,
12ノ ー1ノ ノ+1n‑lnO=稼 働
コ ン ポ ー一ネ ン ト
●一(}… つ 厘 亘)● 、榔章
コ ン ポ ー ネ ン ト Lf瞬 以 上 逮 続i敦締
図2.1Consecutive‑k‑out‑of一n=Fシ ス テ ム の 故 障 条 件
表2.1Consecutive‑k‑out‑of‑n=Fシ ス テ ム の 信 頼 度 算 出 方 法
著者 計算量 算 出方法 コ ン ポ ー ネ ン ト信 頼 度
DuandHwang[7] 0伽) 再帰方程式 同 一
Hwang[13] 0伽) 再帰方程式 異 な る
FuandHu[10] 0(た3鴨) マ ル コ フ ア プ ロ ー チ 異な る
FuandHu[10] 0(ん31・9ω) マ ル コ フ ア プ ロ ー チ 同 一
Lin[17] 0(k21・9@)) 行 列 ア プ ロ ー チ 同 一
Zha・a・ ・dCui[26] 0伽) マ ル コ フ ア プ ロ ー チ 異な る
Pj=コ ン ポ ー ネ ン ト ゴの 信 頼 度 qゴ=コ ン ポ ー ネ ン ト コの 故 障 確 率
と お き,pゴ+qj=1で あ る.特 に,シ ス テ ム が 同 一 の 信 頼 度(故 障 確 率)を 持 つ コ ン ポ ー ネ ン トで 構 成 さ れ る 場 合,ゴ ニ1,2,̲,nに 対 し て,pプ=pとqゴ=qと
す る.鳶 く π に 対 し て,
R〔k,n)Consecut・ive‑k‑out‑of‑n=Fシ ス テ ム の シ ス テ ム 信 頼 度
と す る.
2.1.1再 帰 的 な 信 頼 度 算 出 方 法
Consecutive‑k‑out‑of‑n=Fシ ス テ ム の シ ス テ ム 信 頼 度 を 算 出 す る た め に,多 く の 再 帰 方 程 式 が 導 出 さ れ て い る.DuandHwang[7]は 同 一 の 信 頼 度 を 持 つ コ ン ポ ー ネ ン トで 構 成 さ れ るconsecutive‑k‑out‑of‑Tl,=Fシ ス テ ム の シ ス テ ム 信 頼 度 を 求 め る た め に 再 帰 方 程 式 を 導 出 し た.北 ≦ 児 に 対 し て,
た
R〔 綱 一PΣqゴR(k,n‑」‑1),(2・1)
」=o
で あ り,境 界 条 件 は0≦n≦k‑1に 対 し て,R(k,n)=1で 与 え ら れ る.シ ス テ ム が,異 な る 信 頼 度 の コ ン ポ ー ネ ン トで 構 成 さ れ る 場 合,以 下 の よ う に,Hwa皿g
[13]が シ ス テ ム 信 頼 度 を 算 出 す る た め に 再 帰 方 程 式 を 導 出 し た.
れ
R(岡 一 ΣR(iC,ゴ ー1)P、Hα,・
,冨n‑k十1z=ゴ 十1
た だ し,境 界 条 件 は0<n〈kに 対 し て,R(k,n)=1で 与 え ら れ る.
(2.2)
ま た,シ ス テ ム が 同 一 の 信 頼 度 を 持 つ コ ン ポ ー ネ ン トで 構 成 さ れ る 場 合,再 帰 方 程 式 を 行 列 表 現 に書 き換 え る こ と で,効 率 的 に信 頼 度 計 算 を 行 う こ と が で き る.
本 論 文 で は,再 帰 方 程 式 を行 列 表 現 に 書 きi換え て 計 算 を 行 う こ と を 「行 列 ア プ ロ ー チ 」 と 呼 ぶ.Lin[17]は,行 列 の 性 質 を 利 用 す る こ と で,効 率 的 に シ ス テ ム 信 頼 度 を 算 出 す る 方 法 を 提 案 し た.式(2,1)を 書 き 換 え る と,
R〔k,n) R(k,肌 一1) R〔1b,n‑2)
R(k,n‑k+1)
四〇1
P10
00
k‑2k‑1pqpq
nUnU
1
0凸U
0
R(k,n‑1) R(1b,T]L‑2)
R(k,n‑3)
R(k,'rb‑k)
(2.3)
と な り,式(2.3)の 行 列 を
A=
Ppq 10 01
00
k‑2k‑1pqpq
∩∪0
1
nUO
0
(2.4)
と お く と,Consecutive‑1[‑out‑of‑n=Fシ ス テ ム の シ ス テ ム 信 頼 度 は 次 式 で 求 め る こ
と が で き る.
R(k,n) R(k,n‑1) R〔k,n‑2)
R(k,n‑k十1)
=An‑k
鳶P
‑⊥‑⊥
1
1
(2,5)
R(k,n)の 計 算 に はAn‑kが 必 要 と な る が,プ ロ グ ラ ム に よ り行 列 の べ き 乗 を 計 算 す る と き,forル ー プ な どで 行 列Aを(n一 勧 回 か け る場 合,(n‑k)の 値 が 大 き い ほど計算時 間を要す る.そ こで詣 数法貝tJを用いて ⑲ り∵ の よう}こ2乗 を
繰 り返 し て,計 算 回 数 を 減 らす ア ル ゴ リ ズ ム を 繰 り返 し2乗 法 と い う.一 般 的 に 繰 り返 し2乗 法 は 以 下 の ス テ ッ プ で 行 わ れ る.
1.乗is((n‑k)を2進 数 に 展 開 す る ・
2.行 列Aの2乗 を 計 算 し,そ の 計 算 結 果 を 繰 り返 し2乗 す る.
3.1.で 求 め た2進 数 の{0,1}に 対 応 し て,1の と き の み2.の 値 を 掛 け 合 わ せ る.
繰 り 返 し2乗 法 を 用 い る こ と で,コ ン ポ ー ネ ン ト数 π に 対 し て,0(log(n))で 計 算 可 能 で あ る.ま た,一 般 的 にk×,ilの 行 列 積 の 演 算 に は0〔k3)が 必 要 と な る が, Lin[17]は 以 下 の 関 係 式 を 用 い る こ と で,0〔k2)で 計 算 可 能 で あ る こ と を 示 し て い る.r=1,2,...,kとs=1,2,...,kに 対 し て,式(2.4)の 行 列Aの 」乗 のr行 s列 の 要 素 を α総 と す る と,以 下 の 関 係 が 成 り立 つ.
魂 一縢};1
+a!」2、,.+、1,i:ll:
(2.6)
式(2.6)は 行 列 の 生 成 パ タ ー ン に注 目 す る こ と で,行kの 要 素 の み を 計 算 す れ ば, そ の 他 の 要 素 は容 易 に 求 め られ る こ と を 示 して い る.以 上 の こ とか ら,式(2.5)の 計 算 量 オ ー一ダ ー は0〔k210g(n))と な る た め,シ ス テ ム が 同 一 の 信 頼 度 を 持 つ コ ン ポ ー ネ ン トで 構 成 さ れ る 場 合,計 算 時 間 に お い て,再 帰 方 程 式[7]よ り も 行 列 ア
ブ ロ ー チ の 方 が 効 率 的 に計 算 可 能 で あ る.
2.1.2非 再 帰 的 な 信 頼 度 算 出方 法
非 再 帰 的 な 信 頼 度 算 出 方 法 と して,「組 合 せ ア プ ロ ー一チ 」 と 「マ ル コ フ ア プ ロ ー チ 」,rclosed‑formula」 が 主 に 用 い られ て い る.組 合 せ ア プ ロ ー チ と は,故 障(稼 働)コ ン ポ ー ネ ン ト数 で 場 合 分 け し た と き の シ ス テ ム の 稼 働(故 障)状 態 数 を 求
め る こ とで,シ ス テ ム 信 頼 度 を コ ン ポ ー ネ ン ト信 頼 度p(故 障 確 率q)の 多 項 式 と し て 表 現 す る 方 法 で あ る.Closed‑forrnulaと は,一 般 的 に,再 帰 的 で な い 式 の こ と で あ る が,本 論 文 で は,再 帰 的 で な く,か つ,総 和 記 号 を 含 ま な い 信 頼 度 算 出 式 と す る.本 項 で は,マ ル コ フ ア プ ロ ー チ に つ い て 詳 し く述 べ る.
ま ず,Consecutive‑k‑。ut‑of‑n=Fシ ス テ ム の シ ス テ ム 信 頼 度 を 求 め る た め の 考 え 方 を示 す.ツ リー に よ り,シ ス テ ム 故 障 が 発 生 し な い(鳶 個 以 上 の 連 続 故 障 コ ン ポ ー ネ ン トが 存 在 し な い)状 態 を 列 挙 す る.図2,2はk=2,n=3の 場 合 の ツ
リー を表 し て お り,コ ン ポ ー ネ ン トは 稼 働 と 故 障 の2状 態 を と る こ と か ら,3つ の コ ン ポ ー ネ ン トの 状 態 を す べ て 列 挙 す る こ と が で き る.た だ し,k=2で あ る こ と か ら,2つ 以 上 の コ ン ポ ー ネ ン トが 故 障 し た 場 合,シ ス テ ム 故 障 と な り,シ ス テ ム 信 頼 度 が0と な る の で,そ れ 以 上 の 枝 は 考 え る 必 要 が な い.そ の 結 果 と し て,図2.2に 示 す よ うに,5つ の 稼 働 状 態 が 列 挙 さ れ て い る こ と が わ か る.こ の と き,各 シ ス テ ム の 状 態 が 生 起 す る事 象 は 排 反 で あ る こ と か ら,そ れ ら の 事 象 の 生
1
う一 3
Ol稼 働
コ ン ポ ー ネ ン ト
● 叡 陣
コ ン ポ ー ネ ン ト
図2.2Consecutive‑2‑out‑of‑3=Fシ ス テ ム の 状 態 を 列 挙 す る た め の ツ リ ー
起 確 率 の 総 和 に よ り,シ ス テ ム 信 頼 度 を 求 め る こ と が で き る.こ の と き,「 シ ス テ ム 故 障 が 発 生 し な い よ う に,コ ン ポ ー ネ ン ト を 増 や し て い く 過 程 」 と 「マ ル コ フ 連 鎖 に お け る 状 態 遷 移 」 は 同 様 の 取 り扱 い が で き る こ と か ら,マ ル コ フ 連 鎖 の 考 え 方 を 利 用 し て,効 率 的 に シ ス テ ム 信 頼 度 を 算 出 す る こ と が で き る.上 記 の 方 法 は"マ ル コ フ ア プ ロ ー チ"と 呼 ば れ て い る[9]が,本 論 文 で は,"マ ル コ フ 連 鎖 の 考 え 方 を 利 用 し た 方 法"と も 呼 ぶ.
マ ル コ フ 連 鎖 の 考 え 方 を 利 用 し た,Consecut,ive‑k‑ollt‑of‑n=Fシ ス テ ム の シ ス テ ム 信 頼 度 算 出 方 法 はFuandHu[10]に よ り,定 式 化 さ れ て い る.ま ず,集 合 S={O,1,̲,k}に 対 し て,確 率 変 数}!(」)∈{O,1,…,k‑1}は ・Consecutive‑iC‑
out‑o旬=Fシ ス テ ム が 稼 働 し て い る と き,コ ン ポ ー ネ ン ト 」 か ら コ ン ポ ー ネ ン ト1 方 向 へ の 連 続 故 障 コ ン ポ ー ネ ン ト数 を 表 す.例 え ば,y〔 の=叫 ま,Consecutive‑k‑
out‑of一ゴIFシ ス テ ム が 稼 働 し て い る,か つ,コ ン ポ ー ネ ン ト ゴか ら コ ン ポ ー ネ ン ト (ゴー 琶+1)ま で が す べ て 故 障 し て お り,コ ン ポ ー ネ ン ト 〔ゴーi)が 稼 働 し て い る 状 態 を 表 す(図2.3).特 に,y『(」)=0は,Consecutivek‑out‑o仁 ゴ:Fシ ス テ ム が 稼 働 し て い る,か つ,コ ン ポ ー ネ ン ト 」 が 稼 働 し て い る 状 態 を 表 す.ま た,y(の ニk はconsecutive‑k‑out‑of‑‑」=Fシ ス テ ム が 故 障 し て い る 状 態 を 表 す.」=1,2,̲,nと
r,.g∈Sに 対 し て,λ 総 を 列(」‑1)の 状 態 がTで あ る 条 件 の 下 で,列 ゴ の 状 態 がs と な る確 率 と す る と,次 式 で 表 さ れ る.
柵 一P・{yω 一 ・ly(ゴ ー1)‑r}. (2.7)
こ の と き,λ 総 は 式(27)の よ う に 表 現 で き る こ と か ら,マ ル コ フ連 鎖 と考 え る こ と が で き る の で,こ の 方 法 を マ ル コ フ 連 鎖 の 考 え 方 を 利 用 した 方 法 と呼 ぶ.ま た,
王2 ノ ー' ノ ーtノ
○つ 一 … く)一(){EEIill
シ ステ ム 稼 働 ・個 以上 連 続 故 瞳
○=稼 働
コ ン ポ ー ネ ン ト
●:故 障
コ ン ポ ー ネ ン ト
O;状 態不 定
コ ン ポ ー ネ ン ト
図2,3状 態 空 間 の 定 義
式(2.7)は 以 下 の よ う に 求 め ら れ る.
=
)富0唱λ
Pjif〔r,5)∈{〔].,1),(2}1),…,(k,1)},
qゴif(r,s)∈{〔1,2),(2,3)言 …,(k,鳶 十1)},
1if(r,s)∈{〔k十1,k十1)},
Ootherwise.
(2.8)
こ こ で,コ ン ポ ー ネ ン トの 故 障 は 独 立 に 発 生 す る と い う 仮 定 か ら,式(2.8)に 示 す よ う に,ほ と ん ど が 周 囲 の 状 況 に依 ら な い 点 が 一 般 の マ ル コ フ連 鎖 を異 な る こ
と に 注 意 す る.こ の と き,遷 移 確 率 行 列 は
A(」)=
pゴqゴ0…00 Pゴ09ゴOO
p .iOO…Oqj OOOO1
(k十1)x(k十1)
, (2.9)
と な り,Consecutive‑k‑out‑of‑n=Fシ ス テ ム の シ ス テ ム 信 頼 度 は 次 式 に よ っ て 求 め る こ と が で き る.
れ
R(k,n)一 π ・llA{」)・ ・T・
ゴ=1
(2ユ0)
た だ し ・ πo=(1,0,…,0)1x(te+1)・uニ(1,…,1,0)1x(k+1)で あ り,ベ ク トルtuT は ベ ク トルuの 転 置 を 意 味 す る.
ま た,マ ル コ フ ア プ ロ ー チ を 用 い る こ と で,コ ン ポ ー ネ ン ト の 従 属 故 障 を 考 慮 し た 場 合 の シ ス テ ム 信 頼 度 を 算 出 す る こ と が で き る.応 用 例 と し て,オ イ ル パ イ プ ラ イ ン シ ス テ ム が あ る[10].オ イ ル パ イ プ ラ イ ン シ ス テ ム は,n個 の ポ ン プ で 構 成 さ れ て い る シ ス テ ム で,そ れ ぞ れ の ポ ン プ は 鳶個 先 の ポ ン プ ま で オ イ ル を 輸 送 で き る と す る.こ の シ ス テ ム は 耐 固以 上 の ポ ン プ が 連 続 故 障 し た と き,オ イ ル を 輸 送 で き な く な り,シ ス テ ム 故 障 と な る.こ の シ ス テ ム が 左 か ら 右 に オ イ ル を 輸 送 す る な ら ば,ゴ=1,2,...,n‑1に 対 し て,左 か ら(ゴ+1)番 目 の ポ ン プ が 故 障 し た と き,シ ス テ ム 全 体 の パ フ ォ ー マ ン ス を 維 持 す る た め に,ゴ 番 目 の ポ ン プ は
出 力 レベ ル を 上 げ る 必 要 が あ る.こ の と き,コ 番 目 の ポ ン プ に 負 荷 が か か る た め, 故 障 確 率 が 増 加 す る と考 え られ る.マ ル コ フ ア プ ロ ー チ を 用 い る こ と で,こ の よ
う な シ ス テ ム を信 頼 度 評 価 す る こ とが で き る.d=0,1,...,nに 対 して,図2.3に 示 す よ う に,p(d)(q〔 の)をd個 手 前 の コ ン ポ ー ネ ン トが 故 障 し て い る と き の コ
ン ポ ー ネ ン トの 信 頼 度(故 障 確 率)と す る と,従 属 故 障 を考 慮 した 遷 移 確 率 行 列 (AD)は 以 下 の よ う に 得 られ る.
AD=
p〔1)q(1)0…O p(1)Oq(1)0
P(k‑1)0
00
∩∪ハU
0…Oq(k‑1) 0…01
(k十1)x(k十1)
(2ユ1)
こ の と き,従 属 故 障 を 考 慮 し たconsecutive‑k‑out‑of‑n=Fシ ス テ ム の シ ス テ ム 信 頼 度 は 次 式 に よ っ て 求 め る こ と が で き る.
れ
R伽)一 π・rl(AD)nt・T・
ゴ=1
(2.12)
た だ し ・ πo=(1,0,…,0>lx(k+1),uニ 〔1,…,1,0)1×(h+1)で あ る ・ 一 般 的 に
,シ ス テ ム が 異 な る 信 頼 度 の コ ン ポ ー ネ ン トで 構 成 さ れ る 場 合,マ ル コ フ ア プ ロ ー チ は 再 帰 方 程 式 と 比 べ て,効 率 的 で あ る と は 言 え な い.そ の 理 由 と し て, consecutive‑k‑out‑。f‑n=Fシ ス テ ム の 信 頼 度 を 計 算 す る 際 境 界 条 件 はy『 〔0)=0と
し て 与 え て い る が,Y(0)≠0と し て 与 え て い る 場 合 も 同 時 に 計 算 し て い る た め で あ る.そ こ で,Kolltrus[15]は 効 率 的 に 信 頼 度 計 算 を 行 う た め に,マ ル コ フ ア プ ロ ー チ で 用 い る 行 列 表 現 の 式 を 再 帰 方 程 式 に 書 き 換 え る 方 法 を 提 案 し て い る.マ ル コ フ 連 鎖 に お い て,」=1,2,̲,nに 対 し て,時 刻 」 で 状 態 駁 ∈S)と な る 確 率 をaj(i)と す る と,時 刻 ゴに お け る 状 態 確 率 分 布 はaj=(α ゴ(0),aj〔1),̲,aゴ(k))
と な る.こ の と き,状 態 確 率 α」(の は,Consecutive‑k‑out‑of‑」=Fシ ス テ ム が 稼 働 し て お り,コ ン ポ ー ネ ン ト 」 か ら コ ン ポ ー ネ ン トCf‑i+1)ま で が す べ て 故 障 し て お り,コ ン ポ ー ネ ン ト(ゴ ー の が 稼 働 し て い る と き の シ ス テ ム 信 頼 度 と な り, aj(k)はco皿secutivek‑out‑of‑」:Fシ ス テ ム が 故 障 し て い る 確i率 と な る.し た が っ
て,Consecutive‑k‑。ut‑of‑n=Fシ ス テ ム の シ ス テ ム 信 頼 度 は 次 式 で 与 え ら れ る.
R(k,n)=1‑an(k). (2.13)
i=O,1,̲,kと ゴ ニ1,2,̲,nに 対 し て,aj(i)は 再 帰 的 な 関 係 が 成 り 立 ち,以 下 の 再 帰 関 係 式 が 導 出 さ れ る.
偽ω一縢 ∴ 識 た 一 恥 圏
た だ し,境 界 条 件 はao=〔1,0,...,0)で 与 え ら れ る.
そ の 後,ZhaoandCui[26]がfiniteMarkovchainimbedding(FMCI)approach
を 用 い て,シ ス テ ム 信 頼 度 を 高 速 に 算 出 す る 方 法 を 提 案 し た.通 常,マ ル コ フ 連 鎖 の 考 え 方 を 利 用 し て シ ス テ ム 信 頼 度 を 算 出 す る 際,1回 の 状 態 遷 移 で1個 ず つ コ
ン ポ ー ネ ン トを 増 や す の で,̀個 の コ ン ポ ー ネ ン ト を 増 や す た め に は 遷 移 確 率 行 列 Aω を ど(≦k)回 か け る 必 要 が あ る.そ れ に 対 し て,FMCIは 遷 移 確 率 行 列ACj)を 駁 ≦ 初 回 か け る こ と で 得 ら れ る 行 列 を 直 接 求 め る こ と で,効 率 的 に 信 頼 度 計 算 を 行 う こ と が で き る.♂=kの と き,」 ∈ φ(k・hlh=1,2,…,「n/kl)に 対 し て,遷 移 僻 行 列Aif)の 要 素 と な る 遷 移 騨 λ契!、kは以 下 の よ う に 与 え ら れ る.
λ総 、k一
Hl一 ゴーs+1q・Pゴ ー 、ifr≠k,・ ≠k,r≦ ・,
Hlr‑+、 蜘(1‑H㌫+、 のi±"r≠k,・ ≠ い ・,
Hlr一 叶 、qiifr‑≠k,・‑k〔2ユ5) Oiflr=k,3≠k,
1if?一=k,5=k.
た だ し,n<」 に 対 し て,Po=1,qj=0と す る.こ の と き,Consecutive‑k‑out‑
of‑n=Fシ ス テ ム の シ ス テ ム 信 頼 度 は 次 式 で 与 え ら れ る.
れ
R(k,n)一 π・llAir)zLT・(2.16)
ゴ=1
た だ し,πo=(1,0,…,0)1×(k+1)・u=(1,…,1,0)1×(k+1)で あ る ・ そ の 結 果 と し て,zhaoandcui[26】 で 行 列 を か け る 回 数 が 「π/胡 回 に な る こ と か ら,MATLAB
に よ る 数 値 実 験 に よ り,FuandHu[10]と 比 べ て 計 算 時 間 が 短 縮 さ れ る こ と が 示 さ れ て い る.
22Connected‑(7..,s)‑out‑of‑(m,n)=Fシ ス テ ム
Consecutive‑k‑out‑of‑n:Fシ ス テ ム を 多 次 元 に 拡 張 し た 研 究 と し て,は じ め に SalviaandLasher[21]が2次 元consecutive‑k‑out‑of‑n:Fシ ス テ ム を 提 案 し,Boehme etal.[3]が2次 元consecutive‑k‑out‑of‑n=Fシ ス テ ム を 一 般 化 し たconnected‑X‑
out‑of‑(m,n)=Fシ ス テ ム を 提 案 し た.こ の シ ス テ ム の 拡 張 提 案 は,故 障 条 件 に よ り さ ま ざ ま な バ リ エ ー シ ョ ン が 存 在 す る.Connected‑X‑out‑of‑(m,n):Fシ ス テ ム は m×nsvaの コ ン ポ ー ネ ン ト を 持 ち,コ ン ポ ー ネ ン トがm行n列 の 長 方 形 状 に 配 置 さ れ て い る.故 障 条 件 を 表 す パ ラ メ ー タXが(r,s)と 表 さ れ る 場 合,シ ス テ ム 内 で 任 意 のr行s列 の 長 方 形 内 の す べ て の コ ン ポ ー ネ ン トが 故 障 し て い る と き,シ ス テ ム 故 障 が 生 起 す る(図2.4).ま た,Xが1つ で は な く 複 数 の 形 状 を 持 つ 場 合 と し て, (rr,S1)‑or‑(r2,S2)の と き,任 意 のr1行Sl列 の 長 方 形 内 の す べ て の コ ン ポ ー ネ ン ト が 故 障 し て い る,も し く は,任 意 のr2行s2列 の 長 方 形 内 の す べ て の コ ン ポ ー ネ ン
1
,'
'十'̀
'〃
1ノ ノ+sllO:稼 働
コ ン ポ ー ネ ン ト
e"'‑QK?{p.'"P●=塑 ボ痢 ト
i← 一 一 〜 一}=
§灘 書̲
6‑…̲d)一(5‑e)一 …‑6
図2.4Connected‑(r,s)‑out‑of‑(m,n)=Fシ ス テ ム の 故 障 条 件
ト が 故 障 し て い る と き,シ ス テ ム 故 障 が 生 起 す る.Connected‑X‑out‑of‑(m,n)=F
シ ス テ ム は 多 数 の 構 成 素 子 に よ る 画 像 表 示 装 置[1]や 大 ホ ー ル の 照 明 シ ス テ ム,円 筒 物 の 表 面 を 覆 う よ う に 取 り付 け ら れ た 温 度 セ ン サ ー シ ス テ ム[3]な ど に 応 用 さ れ る.関 連 研 究 の 概 要 に つ い て は,YamamotoandAkiba[24]やKuoandZuo[16]
な ど に よ っ て 報 告 さ れ て い る.本 節 で は,Connected‑(r,s)‑out‑of‑(m,n)=Fシ ス テ ム の 信 頼 度 算 出 方 法 を 紹 介 す る た め に,以 下 の 記 号 を 定 義 す る.・i=1,2,.
」=1,2,...,nに 対 し て,
@の 行 客列 ゴ に 配 置 さ れ た コ ン ポ ー ネ ン ト p{,jlコ ン ポ ー ネ ン ト σ,の の 信 頼 度
q噌=コ ン ポ ー ネ ン ト 色 の の 故 障 確 率(鞠 二1‑p歪1ゴ)
.,盟 と
と す る.ま た,i=:L,2,̲,'rrb‑s+1と ゴ=1,2,...,nに 対 し て,
δ瑠=コ ン ポ ー ネ ン ト(i‑r+1),(t‑r+2,の,̲,@の が す べ て 故 障 し て い る と き に1,そ れ 以 外 の と き に0と な る 変 数
と お く.こ こ で,ゴ ニ1,2,...,nに 対 し て,
ム ゴ=(m‑r十1)次 元 ベ ク ト ル(δ1」,ti2 ,j,̲)δm̲r+1,」) Fj(ム ゴ)=列 ゴ の 状 態 が ム ゴ と な る 確 率 特 に ム ゴ=〔O,O,...,0)の
と き,コ ン ポ ー ネ ン ト(1,の,(2,の,,..,('rn,」)で 構 成 さ れ たconsecutive‑r‑out‑of‑m=Fシ ス テ ム の 信 頼 度 と な る.
g=(m‑r+1)次 元 ベ ク ト ル(91,g2,̲,g,n‑TL+1)
h=(m‑r+1)次 元 ベ ク ト ル(h1,h2,...,hm‑r+1)
R〔(r,s)≡(m,n))=Connected‑(r,s)‑out‑of‑(m,n)=Fシ ス テ ム の 信 頼 度
と す る.
2.2.1再 帰 的 な 信 頼 度 算 出 方 法
YamamotoandMiyakawa[22]はconnected‑(r,s)‑out‑of‑(m,n)=Fシ ス テ ム の 信 頼 度 を 算 出 す る た め の 再 帰 方 程 式 を 導 出 し た.そ の 再 帰 方 程 式 を 示 す た め に,以
下 の 記 号 を 定 義 す る.ゴ=1,2,...,nに 対 し て,
Φ」=列 の 状 態 を 表 す △ 」の 集 合.た だ し,ム ゴの 要 素 を 考 え た 場 合,1と 1の 間 に は0がr個 以 上 な け れ ば な ら な い か,ま た は1し か な い こ と に 注 意 す る.
ま た,i=1,2,...,M‑r十1と 」=1,2,̲,nに 対 し て,
B(9i,i,ゴ)
R(〔r,5);(m,n);9)
コ ン ポ ー ネ ン ト(i,」)を 右 上 の 頂 点 に 持 つr×9i格 子 内 の コ ン ポ ー ネ ン ト が す べ て 故 障 し な い 事 象.た だ
し,9芭 ≦sで あ る.
1列 」 に 対 し て,事 象B(g̀購 の が 生 起 し な い connected‑(r,s)‑out‑of‑(m,n):Fシ ス テ ム の 条 件 付 き シ ス テ ム 信 頼 度
と す る.さ ら に,こ の と き,R((r,s);(m,n);g)は 以 下 の 再 帰 方 程 式 に よ り 求 め ら れ る.
R((r,s);(m,n);9)
oifs≦max1≦i≦m̲r+1〔9i),
1ifO≦ 」 ≦max1≦i≦m̲r+1(9i),
Σ △ 、∈Φ、F(ム ゴ)R((r,s);(m,ゴ ー1);h)・therwi・e・
〔2,17)
こ こ で,i=1言2,..,m‑r十1と ゴ=1,2,...,nに 対 し て,
9i‑{1+∵::ll8:(2・18)
で す る.こ の と き,Connected‑〔r,s)一 。ut‑of‑(m,n)=Fシ ス テ ム の 信 頼 度R((r,s);(m,n)) は 次 式 で 与 え ら れ る.
R((r,s);(m,n))ニR((rL,s);〔m,n);0).(2.19)
た だ し,0は(m‑n+1)次 元 零 ベ ク トル と す る.
2.2.2非 再 帰 的 な 信 頼 度 算 出 方 法
2次 元 に 拡 張 し た シ ス テ ム に お い て も,非 再 帰 的 な 信 頼 度 算 出 方 法 と し て,「 組 合 せ ア プ ロ ー チ 」 や 「closed‑formula」,「 マ ル コ フ ア プn一 チ 」 が あ る.
Closed‑formulaに 関 す る 先 行 研 究 と し て,Nakamuraetal,[19]に よ り,r=
m‑1の 場 合 の 任 意 のnに 対 す るelosed‑formulaが 導 出 さ れ て い る.
R((?η 一1,2);(m,n)) 1
「 α 一 βxβ 一 の(Ar一 α)[{αn(β 『 ツ)βor+β 冗(ツ ー α)ツ α+tyn(α 一 β)α β}
+{cuOrL(β+ry)(β 一 の+fiTtr(ッ+α)(ty一 α)+7"(α+β)(α 一 β)}
一{a'"(β 一 ッ)+β'n'6一 α)+ゲL(α 一 β)}{〔 α+わ)2+b2+c}1 .(2,20)
た だ し,
α一学+肇+
β=旦 ±e̲〔1+iVli)A
、。多 β,
〔・一{④ σ
む お まを まで も お
ツー雫 」講 一讐
(2.21)
ノ1=(α 十 わ)2十3α2〔 う十c),
B=2(α3十 う3)十6ab(a十 わ)十9α2(α う十bc十cα 十b2)‑27α うc, 0‑(B+B・‑4A・)'/3,
〔2.22)
α=1‑(2pqm‑1十gm),
b=I」qM‑1,
cニqηi,
(223)
で あ る('iは 虚 数 単 位).ま た,パ ラ メ ー タmとnは 対 称 性 を 持 つ こ と か ら,m とnを 入 れ 替 え て も 式(2.20)は 成 立 す る.ま た,Cowell[5]に よ っ て,包 除 原 理
を 用 い たmとnを 与 え た 場 合 の 一 般 的 なclosed‑formulaが 導 出 さ れ て い る.Zhao etal.[27]は 非 再 帰 的 な 信 頼 度 算 出 方 法 と し て,マ ル コ フ 連 鎖 の 考 え 方 を 利 用 し たconnected‑(r,s)‑out‑of‑(m,n):Fシ ス テ ム の 信 頼 度 算 出 を 提 案 し た.ま ず,状 態 空 間 Ω を 以 下 の よ う に 定 義 す る.
Ω={(g1,g2,,̲,9m̲r+1)19i=0,1,』 』』,s‑1(i=1,2,̲.,m‑r十1)}U{〔 θ)}.
(224)
た だ し,要 素(θ)は 吸 収 状 態 を 表 す.
確 率 変 数y『(の はconnected‑(r,s)‑out‑of‑(m,の;Fシ ス テ ム の 状 態 に よ っ て 定 義 さ れ る,例 え ば,y(」)=(gl,g2,̲,gm̲r+1)はconnected‑〔r,s)‑out‑of‑(m,2):F
シ ス テ ム が 稼 働 し て い る と き に,1≦ ∫ ≦m‑r+1に 対 し て,コ ン ポ ー ネ ン ト
〔i,の を 右 上 の 頂 点 に 持 つr×9i格 子 内 の コ ン ポ ー ネ ン ト が す べ て 故 障 し て い る 状 態 を 表 す.特 に,y〔 」)==〔0,0,...,0)は,Connected‑〔r,s)‑out‑of‑(m,の=Fシ ス テ ム が 稼 働 し て い る と き に,列 ゴ に お い て,r個 の 連 続 故 障 し た コ ン ポ ー ネ ン ト が 存
在 し な い 状 態 を 表 す.ま た,Y(の ニ(の は,Connected‑(r,s)‑out‑of‑(m,の:Fシ ス テ ム が 故 障 し て い る 状 態 を 表 し,マ ル コ フ 連 鎖 に お け る 吸 収 状 態 と な る.こ の と き,遷 移 確 率 行 列 は 以 下 の 規 則 に よ り 与 え ら れ る.g,h∈ Ω に 対 し て,
a.max(g)<sの と き,
Pr{y(の ニglY〔 ゴ ー1)=ん}=F}(△J). (225)
b.s≦max(g)の と き,
Pr{γ(の ニ(θ)1γ(ゴ ー1)=ん}ニFj(△ 」)・ (226)
c.y『(」‑1)=〔 θ)の と き,
Pr{Y(ゴ)=(θ)IY(」‑1)=(θ)}=1・ (2.27)
d,そ の 他 の 遷 移 確 率 は0と す る.
た だ し,max(g)は 関 数 ルf〔h,ム ゴ)に よ っ て 求 め ら れ た ベ ク トルgに お け る 最 大 の 要 素 を 表 す.こ の と き,Connec七ed‑(7',s)‑Ollt‑of‑(m,n)=Fシ ス テ ム の シ ス テ ム 信 頼 度 は 次 式 に よ っ て 求 め る こ と が で き る.
れ
R((r,s);(Tn,n))一 π ・rlA(」)・ ・T・ 〔2・28)
ゴ;1
た だ し,1川 を 集 合Aに 含 ま れ る 要 素 数 と しTe=(1,0,…,O)1xlΩ1・
u=(11…,1,0)1×)St1で あ る ・
ま た,山 本 と 秋 葉[31]はZhaoeta1.[27]と は 独 立 に,マ ル コ フ ア プ ロ ー チ で 用 い る 行 列 表 現 の 式 を 書 き 換 え た 再 帰 方 程 式 を 導 出 し た.マ ル コ フ 連 鎖 に お い て,
ゴ=1,2,...,nに 対 し て,時 刻 ゴ で の 状 態 がg(∈ Ω)で あ る 確 率 を αゴ 〔g)と す る と, Connected‑〔r,s)‑out‑of‑(m,n):Fシ ス テ ム は 次 式 に よ り 与 え ら れ る.
R,((r・,s);(m,η ウ)=1一 αn((θ)).
ま た,g,h∈ Ω に 対 し て,砺(g)は 以 下 の 再 帰 関 係 を も つ.
a・i(9)一{艶1∵蹴 ㈲
(229)
ifg=O, ifg≠O,(θ),
Σ̲(、 一恥,△,))一,P」(ム ゴ)a」一・(ん)+aゴ ー1(〔θ))ifg‑(θ)・
(2.30)
た だ し,境 界 条 件 はg∈ Ω に 対 し て,αo=(ao(g))1、1Sl1で 与 え ら れ る.
2.2.3シ ス テ ム 信 頼 度 の 上 下 限 値
C。nnected‑(ア,s)‑ou七一〇f‑(m,n):Fシ ス テ ム の シ ス テ ム 信 頼 度 を 算 出 す る 際,厳 密 解 法 は シ ス テ ム サ イ ズ が 大 き く な る に つ れ て,多 くの 計 算 時 間 が 必 要 と な る た め, 大 規 模 な シ ス テ ム の 信 頼 度 を 算 出 す る こ と は 困 難 で あ る.そ こで,簡 単 な 計 算 で 厳 密 解 に近 い 値 を 得 る た め に,先 行 研 究 に よ っ て,さ ま ざ ま な シ ス テ ム 信 頼 度 の 上 下 限 値 が 提 案 さ れ て い る[4][2].本 項 で は,特 に,シ ス テ ム 分 割 の 考 え 方 に 基 づ い て 上 下 限 値 を 求 め て い る 研 究 を 紹 介 す る.
同 一 の 信 頼 度 を 持 つ コ ン ポ ー ネ ン トで 構 成 さ れ る シ ス テ ム に 対 し て,Yamamoto andMiyakawa[22]とMalinowskiandPreuss[18]は シ ス テ ム 信 頼 度 の 上 限 値 (UB,)と 下 限 値(LB,)を 得 て い る.
ひ β1‑min(R〔s;ni[1‑q・])L「e」 ・R〔 咽1‑9ε])L筈 」), (2.31)
LB1‑min(R〔 ・;n;[1‑q「]) T+',R(r;m;[1‑qS])n‑s+'). (2.32)
た だ し,R(s;n;[1‑q'])は 同 一 の コ ン ポ ー ネ ン ト信 頼 度[1‑q「]を も つconsecutive‑
s‑out‑of‑n:Fシ ス テ ム の 信 頼 度 を 表 し て お り,La」 はa以 下 で あ る 最 大 の 整 数 を 示 し て い る.式 〔2.31)は シ ス テ ム を 重 複 せ ず に 分 割 し た 場 合,上 限 値 が 得 ら れ る こ と を 示 し て お り,式(2.32)は1行 ま た は1列 分 の 重 複 コ ン ポ ー ネ ン ト を 持 つ よ う に 分 割 す る こ と で,下 限 値 が 得 ら れ る こ と を 示 し て い る.ま た,サ ブ シ ス テ ム はrn=r,n=5で あ る こ と か ら,そ れ ぞ れ の サ ブ シ ス テ ム はconsecutive‑・s‑
out‑of‑n;Fシ ス テ ム と み な す こ と が で き[3],2.1節 で 示 し た 方 法 に よ り,信 頼 度 を 求 め る こ と が で き る.ま た,弓 削 と 柳[32]はs=rとn=mの 場 合 に お い て, Connec七ed‑(r,r)‑out‑of‑(M,m)=Fシ ス テ ム の シ ス テ ム 信 頼 度 は,(r+1)行m列 を 分 割 単 位 と し,1行 分 の 重 複 コ ン ポ ー ネ ン ト を 持 つ よ う に 分 割 す る こ と で,従 来 よ り も 良 い 下 限 値 を 得 る こ と を 示 し た.
、LB2=
{R((r,r);(r+1,m))L11!'i"'i'L」+1・fm・d(n‑ic‑1,2)‑O,
R.((Tの,(r+1,m))L 量+'」+'R(・,m[1‑q・])・thelwi・ ・
(2.33)
弓 削 と柳[32]は ド ミ ネ ー シ ョ ン の 概 念 を 用 い て,サ ブ シ ス テ ム の 信 頼 度 の 下 限 値 を 閉 じた 形 で 得 て い る が,式 〔2.33)に 厳 密 値 を 代 入 す る こ とで,よ り厳 密 解 に 近 い 値 を 得 る こ と が で き る.
2.3Connected‑(1,2)‑or‑(2,1)‑out‑of‑(m,n)=F
シ ス テ ム
Connccted‑〔1,2)‑or‑(2,1)‑out‑of‑一(m,n)=Fシ ス テ ム と は,図2,5に 示 す よ う に, mXn個 の コ ン ポ ー ネ ン トで 構 成 さ れ て お り,コ ン ポ ー ネ ン ト がm行n列 の 長 方 形 状 に 配 置 さ れ て い る シ ス テ ム で あ る.こ の シ ス テ ム は,任 意 の1x2格 子 内 の コ ン ポ ー ネ ン トが 故 障 す る か,も し く は,任 意 の2×1格 子 内 の コ ン ポ ー ネ ン ト が 故 障 す る 場 合,つ ま り あ る 行,も し く は,あ る 列 に お い て,隣 接 す る2つ の コ
ン ポ ー ネ ン トが 故 障 し た と き に シ ス テ ム 故 障 が 生 起 す る.ま た,m・=1の と き, Connected‑(1,2)‑or‑(2,1)‑out‑of‑(1,n)=Fシ ス テ ム,す な わ ち,1行 の シ ス テ ム で あ り,行 に お い て の み 故 障 状 態 が 生 起 す る こ と か ら,Consecutive‑2‑out‑‑of‑n=Fシ ス テ ム と み な さ れ る.応 用 例 と し て,監 視 カ メ ラ シ ス テ ム[3]が 挙 げ ら れ,そ の 詳 細 に つ い て は 野 口 他[29]で 示 さ れ て い る.
2.3.1再 帰 的 な 信 頼 度 算 出 方 法
Higashiyama[11][12]とYamamotoetal.[25]はconnected‑(1,2)‑or‑(2,1)‑out‑
of‑〔m,n)=Fシ ス テ ム の 信 頼 度 を 算 出 す る た め の 再 帰 方 程 式 を 導 出 し た.Yamamoto
1
Ol稼 働
1j‑1ノ ノ+1i'1コ ン ポ ー ネ ン ト
硝 … 榊 … や 鯵 ホーネント
'‑1 '
'÷1
'"
蓼 者 擬
6‑…‑d)一(5‑(5‑…‑6
図2.5Coimected‑(1,2)‑or‑(2,1)‑out‑ofL〔lll,ll)=Fシ ス テ ム の 故 障 条 件
etal.[25]の 方 が 計 算 時 間 に お い て 効 率 的 な 信 頼 度 計 算 が 可 能 で あ る た め,こ こ で は,Yamamotoetal.[25]の 再 帰 方 程 式 を 示 す.そ の た め に,以 下 の 記 号 を 定 義 す る.i=1,2,...,mと ゴ=1,2,̲,η に 対 し て,
錫,ゴ コ ン ポ ー ネ ン ト@の が 稼 働 し て い る と き に0,故 障 し て い る と き に1の 値 を と る 変 数
と す る.ま た,」=1,2,..,nに 対 し て,
へ コ陰9んθ
R(視,の
1列 」 の 状 態 を 表 すm次 元 ベ ク ト ル(銑 」,晦 」,,..,Xm"')
rn次 元 ベ ク ト ル(gLg2,,,.,9m)
m次 元 ベ ク ト ル(hi,h2,̲,hm)
{(Xl,ゴ,x2"',̲.戸 じ隅,ゴ)jc.i̲1,jl7i..i=0(t==2,3,...,m)}.た だ
し,任 意 の 列 ゴ に 対 し て,共 通 の 構 造 を 有 す る た め,集 合 θ は ゴ に 依 ら な い と み な す.
Connected‑(1,2)‑or‑(2,1)‑out‑of‑(m,,f)=Fシ ス テ ム の 信 頼 度
と お く.こ こ で,g,h∈0に 対 し て,
」配 〔m,ゴ;9)
F」 〔9)
Connected‑(1,2)‑or‑〔2,1)‑out‑of‑(7η,の=Fシ ス テ ム が1稼 働 し, か つ,列 ゴ の 状 態 がgで あ る 事 象 が 生 起 す る 確 率
,列 ゴ の 状 態 がgと な る 確 率
と す る.g∈eに 対 し て,
Ω(9) 1{(h1,h"2,一 ・+,hm)[hJu‑1huニ 〔〕(u=2,3,̲,m)},す な わ ち 列 」 の 状 態 が9の と き,列 ゴ と 列(ゴ ー1)か ら な る サ ブ シ ス テ ム に お い て 連 続 す る コ ン ポ ー ネ ン ト故 障 が 生 起 し な い 列(ゴ ー1)の コ
ン ポ ー ネ ン ト の 状 態 ベ ク トル の 集 合
こ の と き,R(m,」;g)は 以 下 の 再 帰 方 程 式 に よ り求 め られ る.
一 一{Fj(9)ifゴ=1,9∈ θ,F」〔9)Σ九、Ω(、)R〔m,ゴー1;九)if2≦ブ,9∈0,(2・34
0ifg≠ θ.)
よ っ て,Connected‑(1,2)‑or‑(2,1)‑out‑of‑(m,n)=Fシ ス テ ム の 信 頼 度R(m,n)は 次 式 で 求 め ら れ る.
R(m,n)一 ΣR(m,」;9)・(2・35) 9∈e
ま た,Yamamotoetal.[25]は 集 合 Ω 〔g)を 効 率 よ く 求 め る 方 法 も 提 案 し て い る.
こ こ で 次 の 記 号 を 定 義 す る.i=1,2,...,mと ゴ=1,2,...,nに 対 し て,
Ω(iig){(h,1,h2,...,hi)碗̲議u=O(u=2,3,̲,i)},す な わ ち 列 ゴ の 状 態 が9(∈ θ)の と き,列 ゴ と 列(2‑1)か ら な る サ ブ シ ス テ ム に お い て 一連続 す る コ ン ポ ー ネ ン ト 故 障 が 生 起 し な い コ ン ポ ー ネ
ン ト(1,ゴ ー1),(2,ゴ ー1),̲,@ゴ ー1)の 状 態 の 集 合.
ん({)コ ン ポ ー ネ ン ト(1,ゴ ー1),〔2,」‑1),...,@ゴ ー1)の 状 態 を 表 すti 次 元 状 態 ベ ク ト ル(所,椀,̲,九 ∂
St(ii9)は 以 下 の 再 帰 方 程 式 に よ り 求 め ら れ る.
s)(il9)一{{(h('一'),h')1h'一'h'ニo,h('一')ES'2('‑1;9)}ifgt=o,(2・36)
境 界 条 件 は,i=1の と き,
sz(i;9)一{{[ll:ll::{:};}}ll;:=1
で 与 え ら れ る.よ っ て,次 式 が 成 り 立 つ.
Ω(9)=Ω 〔m;9).
(237)
〔238)
2.3.2非 再 帰 的 な 信 頼 度 算 出 方 法
Connec七ed‑(1,2)‑or‑〔2,1)‑out‑o珂m,n)に お い て も,非 再 帰 的 な 信 頼 度 算 出 方 法 と し て,「 組 合 せ ア プ ロ ー チ 」 や 「closed‑formulal,「 マ ル コ フ ア プ ロ ー チ 」 が あ る.
m=2の 場 合 の 任 意 のnに 対 す るclosed‑formulaをYamamoto[23]が 導 出 し た.
R〔2,n)一 艶1、
α[α{(P+αP)n+〔P一 αP)n}+(1‑2P){(P+αP)n+〔P一 αP)n}]・
(2,39)
た だ し,α=>Kl+4pqで あ る.
El‑Sayed[8]は 組 合 せ ア プ ロ ー チ を 用 い て,シ ス テ ム が 同 一 の 信 頼 度 を 持 つ コ ン ポ ー ネ ン ト で 構 成 さ れ る 場 合 のconnected‑(1,2)‑or‑(2,1)‑out‑of‑(2,n):Fシ ス テ ム の 信 頼 度 算 出 方 法 を 提 案 し た.シ ス テ ム 信 頼 度R〔2,n)は 次 式 で 与 え ら れ る.
れ
R(2,n)一 Σ α(2;r,n)P2n‑「q'・(2・40)
r=O
た だ し,α 〔2;r,n)はr個 の コ ン ポ ー ネ ン ト が 故 障 し て い るcOllllected‑(1,2)‑or‑
(2,1)‑out‑of‑(2,n);Fシ ス テ ム の 稼 働 状 態 数 を 表 し て お り,次 式 で 求 め ら れ る.
α(2;r,n)=
1ifr=0, 2nifr=1,
α(2;r,n‑1)十2Σ 』 α(2;r‑i,n‑i‑1)if2≦r≦n‑1,
2ifr=n,
Ootherwise、
(2,41)
ま た,Ishikawaetal.[14]は マ ル コ フ 連 鎖 の 考 え 方 を 利 用 し た シ ス テ ム 信 頼 度 の
