線形代数学 II 第 5 回レポート課題（配布日： 11/5 ）
1 レポート課題 A
1.1 注意事項
以下の問題をすべて解答し，Web掲載の講義ノートを用いて自己添削して 提出すること．当 然ながら掲載の解答例以外にも別解があるため，解答例と同じ解法や表現である必要はない．
自分の解答が合っているかどうか考えることも課題の一部であるが，解答例にあって自分の答 案で書かれていない部分がある場合には本当に省略可能な記述かを検討すること．必要な論証 が不足していて自己添削でも追加されていない場合には再提出となることもある．
様式はA4サイズとし，両面を使用すること．表紙をつける必要はない．レポート1枚目表 面の上に「基礎クラスと学生番号」「氏名」「科目名」「提出日」（締切日を遅れて出す場合には 第何回の課題かも書くこと）を記入し，2枚以上の場合には左上をホッチキスでとめること．
提出締切は11/12（月）13:00．提出場所は高等教育推進機構1階事務室前のレポートボッ クス．このレポート課題でわからない内容がある場合には，講義ノートをよく読んで考えるこ と．それでもわからなければ，何らかの方法で教員へ質問することを強く推奨する．
1.2 問題
1. （講義ノート第9章 例題2.2）
写像D:P(R)−→P(R) を f(x)∈P(R) に対して D(f(x)) = x2d2f(x)
dx2 + (x+ 1)df(x)
dx −5f(x) で定義すると，D は P(R) 上の線形変換となることを示せ．
（P(R) は実数係数の多項式全体のなす集合．次数は制限を付けない．）
2. （講義ノート第9章 例題3.3）
f :V −→W を線形写像とする．
(1) Kerf は V の部分空間であることを示せ．
(2) Imf は W の部分空間であることを示せ．
（講義ノートの解答は複素数の場合も考慮してKとなっているが，気にせず実数の場合でよい．）
3. （講義ノート第9章 例題3.5〜3.8）
次の行列 A に対して，KerTA と ImTA のそれぞれの次元と基底を求めよ．
(1) A=
1 4 7 2 5 8 3 6 9
(2) A=
1 −3 6 0 2 −5 9 2 3 0 −9 0
−1 1 0 1
(3) A=
1 2 6 7 2 −1 −3 9 3 4 12 19
(4) A=
1 −2 0 1
−2 4 1 1 1 −2 −1 −2 1 −2 1 4
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2 レポート課題 B
様式は指定のものを利用し，片面に 解答すること（スキャンして成績保存する関係です）．
答案のバランスや体裁，読みやすさも評価対象です．解答用紙はWebからもダウンロードでき ます．
提出締切は11/12（月）13:00．提出場所は高等教育推進機構1階事務室前のレポートボッ クス．いずれもレポート課題Aと同じです．何らかの理由で出し忘れた場合には，そのことを 講義開始前までに申告すれば，遅れても受け取る場合があります．
1. 次の実ベクトル空間V の部分集合W が部分空間かどうか判定し，その理由を述べよ．
(1) V =R2, W = {(x
y
) |x|≧|y| }
(2) V =C∞(R), W ={y=f(x)|y′′′+ 2y′ +y= 0}
（注意：C∞(R)とは無限回微分可能な関数全体のなす集合．なお，本問は中間試験の過去問です．）
3 次回講義までに自習しておくべき内容
• 線形写像については必ず定義を理解しておいてください．また，核と像の基底は求めら れる必要があります．計算の羅列のみでなく，必ず定義に基づいた議論ができるようにし ておいてください．毎週のように新しい概念が増えていきますが，前の内容との関連を 踏まえつつ理解を心がけてください．もしそれぞれの単元を完全に独立な内容として丸 暗記を試みても無理だと思います．
• 大阪府立大学（http://www.las.osakafu-u.ac.jp/lecture/math/MathOnWeb/，“大阪
府立大webmath”で検索すると見つかります）で「大学数学（その他の利用者はこちら）」
⇒「線形代数 計算ドリル型問題」を選ぶと問題演習が行えます．
• 教科書P91の問題はすべて重要です．必ず取り組んでおいてください．
次回の講義内小テストの範囲は，『与えられた写像が線形写像かどうかの判定』です．また，
11/26の中間試験において，以下の内容は必ず出題されます．
• 具体的な部分集合が部分空間であるかどうかを論述する問題
• 具体的な写像が線形写像であるかどうかを論述する問題
• 具体的な行列から定まる線形写像の核と像の計算問題
もちろんこれ以外にも計算問題や証明問題が出題されますが，合格するためには最低限理解し ておかなければならない項目だと理解しておいてください（上記項目の理解だけで合格点がと れるということを保証するわけではない）．高校数学までと違い，「さまざまな用語や概念につ いて，定義に基づいた論理展開をできるか」や「自分の考えを正しく伝わるように論証を記述 できるか」という部分の評価点は高いです．図や数式の羅列のみで文章による適切な説明がな ければ，点数は半分も貰えません．
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