解析 I ・講義ノート

解析

^{・講義ノート}

第９回

(2020^年7^月14^日(^火)^配信分)

第９回本題

  関数

を微分することにより得られる関数を

^の導関

数と呼び、

と表しました。逆に、導関数が

^{であるよう}

な

^{つまり微分すると}

^{が得られるような}

^関数を

^の原

始関数と呼び、通常は大文字を使って

^{で表したり}

^従って

^、

∫

f(x)dx

と表して、不定積分とも呼んだりしました。また、この原始関数 を求めることを、積分すると言いました。

 なぜ積分の方が記号が複雑なのかと言うと、元々は別のことに 由来するものが、ちょうど逆の操作になっていたと言うのが理由 のようです。微分が瞬間の速さ

^や変化率

^{から来たのに対して、}

積分は面積から来ています。

 線分で囲まれた図形

^多角形

は、三角形に切り分けることで、

面積を求めることができますが、曲線で囲まれた図形では、そう は簡単にはいきません。でも、その曲線をいくつかに分けて、関 数のグラフとして表しておけば、後はその関数の原始関数を用い て、面積を求めることができると言うのが、定積分でした。でも 実は、面積の求め方

^{と言うか定積分の定義}

^{が先にあって、この}

面積を求める範囲を少しずつずらして変化させることにより、得 られる関数を不定積分と呼んだところ、じつはこれが原始関数

だったと言う流れです。従って、由緒正しい積分の導入としては、

不定積分ではなく定積分から入る方がよいようです。

 積分に関する基本的な公式については、高校でも学んでいるこ とですから、教科書で復習しておいていただくことにして、この 講義ノートでは今回、リーマン積分と呼ばれる定積分の定義につ いて、お話しておこうと思います。と言っても、あまり一般的に すると、関数の連続性や微分のとき同様、極限に関する議論が大 変になりますから、ここでは、主に

^有限な

^{閉区間上の連続関数}

に対象を絞って、直観的な説明も交えながらのお話にしようと思

います。

^は閉区間

上で定義された関数で、その値は

^以上と

しておきます。負の面積を導入しさえすれば、この仮定は特に必 要ではないのですが、記述が複雑になるので、とりあえず仮定し ておきます。

 今、この関数のグラフと

^軸

^直線

^{、及び縦の２直線}

で挟まれた図形の面積を求めることを考えます。

0 -

x 6

y

y =f(x)

a b

 いきなり正確な面積は見当がつかないので、とりあえずは、面 積がはっきりわかる図形で近似することを考えます。

 円の面積を求めるために、限りなく細かく、たくさんの扇形に 切り分け、各扇形を今度は二等辺三角形で近似して…と言うのを、

高校よりずっと前に、習ったことがあるのではないでしょうか？

 でも今回は三角形ではなく、座標軸に平行な辺からなる長方形 で近似します。そのためにまず、閉区間

^を

^{個の閉区間に}

切り分けます。

∆ : a = x₀ < x₁ < x₂ < · · · < x_n−1 < x_n = b

この

^を閉区間

の分割と呼びます。この分割は

^等分であ

る必要は全くありません。

 得られた小区間

^{の中で、最大の}

ものの幅を、分割の大きさと呼び

^{で表します。}

|∆| := max

1≤i≤n(x_i − x_i−1)

|∆| ≥ b − a

n

^{が常に成り立ちます。}

^{等号成立はもちろん}

^等分の

ときに限ります。

^が

^{で連続のときは、各}

^{でも連続です}

から、ワイエルシュトラスの定理より、

^{上での最大値と最小値}

をとります。その値をそれぞれ

^{と表すことにします。}

 今、

^{軸上の線分}

^{を底辺とし、関数}

^{のグラフを、ぎり}

ぎり上から抑え込んで覆う長方形たちの面積の和を

^で表しま

す。

^{が連続のときは、}

S_∆ = ^∑n

i=1

M_i(x_i − x_i−1)

で与えられます。この値によって、求めたい面積を近似したいの ですが、一般にその値は、グラフが水平

^{が定数関数}

^でな

い限り、求めたい面積より大きくなります。

0 -

x 6

y

y =f(x)

a= x₀ x₁ x₂ x₃ =b

と目標との差は、分割が粗い

^が大きい

^{と結構大きい}

ものになりますが、各

をさらに分割することによって、分割を 細かい

^が小さい

^{ものに取り換えれば、}

^{の値は減少し、}

近似の度合いが改善されていくことが期待されます。

0

- x 6

y

y =f(x)

a b

||

x₀

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅

||

x₆

 そして分割の大きさ

^{を、限りなく}

^{に近付けたときの極}

限値

|∆lim|→0 S_∆

を、関数

^の閉区間

における上積分と呼び、

∫ b

af(x)dx

と表します。

 一方、各

^{を底辺とし、関数}

のグラフを、ぎりぎり下か ら支えるような長方形たちの面積の和を

^{で表します。}

^が

連続のときは、

s_∆ = ^∑n

i=1

m_i(x_i − x_i−1)

で与えられます。この値も、求めたい面積の近似に役立てたいの ですが、一般にその値は、グラフが水平でない限り、求めたい面 積より小さくなります。

0

- x 6

y

y =f(x)

a= x₀ x₁ x₂ x₃ =b

と目標との差も、分割が粗いとやはり結構大きいものにな りますが、この場合も、各

をさらに分割することによって、

の値は今度は増加し、近似の度合いが改善されていくことが期待 されます。

0

- x 6

y

y =f(x)

a b

||

x₀

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅

||

x₆

 そして

^{を、限りなく}

に近付けたときの極限値

|∆lim|→0 s_∆

を、関数

^の閉区間

における下積分と呼び、

∫ b

af(x)dx

と表します。

 一般の関数においては、

^{を限りなく}

^{に近付くように、分}

割

を細かいものに取り替えていっても、

^と

^{の差は解消}

されるとは限らず、その場合、それらの極限

^値

^{である上積分と}

下積分は一致しません。しかし、

が連続であるときには、

S_∆ − s_∆ = ^∑n

i=1

(M_i − m_i)(x_i − x_i−1)

が

に収束し、上積分と下積分が一致することが示されます。

 いくらでも小さい任意の ϵ > 0 ^{に対して、十分小さい} δ > 0 ^{をとってくれ}

ば、|∆| < δ ^{である分割} ∆ ^{に対しては、全ての} i = 1, . . . , n ^について

M_i − m_i < ϵ が成り立つことが、閉区間で連続と言う条件から導かれます。

0 -

x 6

y

y =f(x)

a= x₀ x₁ x₂ x₃ =b

0

- x 6

y

y =f(x)

a b

x||₀

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x||₆

 そしてその値こそが、求めたかった面積そのものであると考え るのは極めて自然です。

 一般に、上積分と下積分が一致するとき、その値を、関数

の閉区間

^における

^リーマン

^積分

^定積分

^と呼び、

∫ b

a f(x)dx

と表します。また、このとき、関数

^は閉区間

^で

^リー

マン

積分可能であると言います。

 関数

それぞれについて、閉区間

^を

^{等分した分}

割

^に対し、

S_∆, s_∆, _nlim_→∞ S_∆, _nlim_→∞ s_∆

を計算してみましょう。

 連続でなくても、積分可能な場合は多くありますが、いつでも 積分可能とは限りません。たとえば教科書

^{頁にもある例}

f(x) =









1 (x

^は有理数

0 (x

^は無理数

では、どんなに小さな区間

の中にも有理数と無理数の両方が含 まれているので、

^{となり、閉区間}

^上の上積

分は

^{教科書では}

^下積分は

^{となって、一致し}

ません。

 閉区間

^で連続な

^に対し、

^{のとき、つまり分割}

していないときを考えると、

m₁(b − a) ≤ ^∫_a^b f(x)dx ≤ M₁(b − a)

が成り立っています。

0

- x 6

y

y =f(x)

a b

最大値

最小値

 今、最小値

^と最大値

^{を実現する}

^{を、それぞれ一つず}

つ選び、

^{とすると、}

f(a₁)(b − a) ≤ ^∫_a^b f(x)dx ≤ f(b₁)(b − a)

より

f(a₁) ≤ 1 (b − a)

∫ b

a f(x)dx ≤ f(b₁)

が成り立ちます。従って、中間値の定理より、

^と

^の間に、

f(c) = 1 (b − a)

∫ b

a f(x)dx

を満たす

^{が存在します。}

0

- x 6

y

y =f(x)

a b

最大値

最小値

！ 平均値

 この事実を積分の平均値の定理と呼びます

^教科書

^頁参照

^。

 今、閉区間

^{上の任意の}

^に対し、

F(x) = ^{∫ x}

a f(x)dx

により定義される関数を

^{定積分に対して}

^{不定積分と呼びます}

こちらが本来の不定積分の定義です

^。

 さらに、開区間

^{上の任意の}

^と

^に対し、

0

- x 6

y

y =f(x)

a x b

F(x)

... x +h

F(x + h)

積分の平均値の定理より、

F(x + h) − F(x)

h = 1

h

(∫ x+h

a f(x)dx − ^∫_a^x f(x)dx

)

= 1 h

∫ x+h

x f(x)dx

= f(c)

を満たす

^が、

^と

^の間

^のとき

^のとき

^{に存在します。}

0 -

x 6

y

y =f(x)

a x b

F(x)

... x +h

F(x + h)

c

f(c)h

h → 0

^のとき、

^は

に近付きますから、間にある

^もまた

^{に近付きます。今、}

^{は連続ですから、}

hlim→0

F(x + h) − F(x)

h = lim_c→x f(c) = f(x)

すなわち、

F^′(x) = f(x)

が成り立ち、不定積分

^が

^{の原始関数}

^の一つ

^であるこ

とがわかります。

 この事実を微積分学の基本定理と呼びます

^教科書

^頁参照

^。

第８回練習課題の解答

 対数関数

^の

におけるテイラー級数展開

∑∞ n=1

(−1)ⁿ⁻¹

n (x − 1)ⁿ

に

^{を代入すると、}

∑∞ n=1

(−1)ⁿ⁻¹

n = 1 − 1

2 + 1

3 − 1

4 + · · ·

となりますが、これは典型的な交項級数

^{符号が交互に入れ替わ}

り、絶対値は単調減少で

に収束するような数列の級数

^で、収

束することが知られています。

 三角関数

^の

におけるテイラー級数展開はそ れぞれ

∑∞ k=0

(−1)^k

(2k + 1)!x^2k+1 = x ^∑∞

k=0

(−1)^k

(2k + 1)!(x²)^k

∑∞ k=0

(−1)^k

(2k)! x^2k = ^∑∞

k=0

(−1)^k

(2k)! (x²)^k

なので、とりあえず別のべき級数

∑∞ k=0

(−1)^k

(2k + 1)!y^k, ^∑∞

k=0

(−1)^k (2k)! y^k

を考えます。

 それぞれの収束半径を

とすれば、ダランベールの判定条 件より、

1

r^′′ = lim

k→∞

|(−1)^k+1/(2k + 3)!|

|(−1)^k/(2k + 1)!| = lim

k→∞

1

(2k + 3)(2k + 2) = 0 1

r^′ = lim

k→∞

|(−1)^k+1/(2k + 2)!|

|(−1)^k/(2k)!| = lim

k→∞

1

(2k + 2)(2k + 1) = 0

なので、

^{を得ます。これから}

^{のテイラー}

級数展開の収束半径も

であることがわかります。