曲線と曲面の幾何学

曲線と曲面の幾何学

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曲線と曲面の幾何学第

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今回から曲面上の曲線について考えます

曲面上の曲線

� ( � )

ここで言う曲面とはとりあえず３次元ユークリッド空間内の曲面と言うことにしておきますすると３次元の座標で表せますから

曲面上の曲線内の

� ( � ) ¿ ^� ( � ( � ) , � ( � ) , � ( � ))

曲面を取っ払ってしまうとただの空間曲線とも思えますが今回考えたいのはそれとは違います

曲面上の曲線内の

� ( � ) ¿ ^� ( � ( � ) , � ( � ) , � ( � ))

空間曲線を考えるときは上も下も右も左も無かったのでとりあえず加速がかかる方向を左と見なすことにして後から上を決めましたここで弧長パラメーターは大前提として仮定しています

左が先

� ^′ ( � ) , � ( � ) , � ( � )

� ′ ( � )

¿ | � ^{′ ′} ( � ) | ∨¿

� ( � ) = � ^{′ ′} ( � )

¿  

� ( � ) = � ^′ ( � ) × � (� )

しかしながら表裏のある曲面では上は最初から決まっています単位法ベクトルへの対応をガウス写像と言いました

上が先

�   : � → � ² ⊂ � ³

�   ( � )

●

�

    �

そして進行方向の左は後から決まります外積で得られるこの接ベクトルを単位余法ベクトルと言います

左は後

�   ( ^{� ( � )} ) ^{, � ′ ( � ) , � ( � )}

� ( � ) = � ( � ( � ) ) × � ′ ( � )

    � ′ ( � )

�   ( � ( � ) )

この絵の場所では加速がかかっている方向にはとても見えません

加速度ベクトルは？

� ′ ( � )

�   ( � ( � ) )

� ′ ′ ( � )

� ( � )

� ^′ ′ ( � ) , � ( � )

曲面上の曲線の 測地曲率

それでもこれまで同様にこの式で曲率を定義します測地曲率と呼びます

前と 同じ等式

この絵の場所では測地曲率はほとんど０のように見えます

� ( � ) = 0 ? ? ?

� ′ ( � )

�   ( � ( � ) )

� ′ ′ ( � )

曲がっているのに 曲率は０？

� ( � )

ちょっと場所を変えて見てみましょう

左は後

(

)

� ( � ) = � ( � ( � ) ) × � ′ ( � )

� ′ (� )

�   ( � ( � ) )

�   ( ^{� ( � )} ) ^{, � ′ ( � ) , � ( � )}

ここでは余法ベクトルの方向にもしっかり加速がかかって見えます（適当な絵ですが・・・）

� ′ (� )

�   ( � ( � ) )

� ′ ′ ( � )

� ( � )

加速度ベクトルは？

� ^′ ′ ( � ) , � ( � )

測地曲率も間違いなく正でしょうこの違いは何かと言うと

� ′ (� )

�   ( � ( � ) )

� ′ ′ ( � )

� ( � ) > 0 ‼ !

しっかり曲がって 曲率も正！

� ( � )

弧長パラメータ―ではそもそも加速度ベクトルは速度ベクトルと直交するので法ベクトルと余法ベクトルの張る平面に含まれますから

張られる

� ′ ( � )

�   ( � ( � ) )

� ′ ′ ( � )

加速度ベクトルは 速度ベクトルと直交

� ′ (� )

�   ( � ( � ) )

� (� )

� ( � )

� ′ ′ ( � )

法ベクトル方向の縦の加速と

�   ( ^{� ( � )} ) 方向は 縦

� ′ ( � )

�   ( � ( � ) )

� ′ ′ ( � )

法ベクトル方向 の加速

� ( � )

� ′ (� )

�   ( � ( � ) )

余法ベクトル方向の横の加速が組み合わされているわけで

余法ベクトル方向 の加速

� (� ) 方向は 横

� ′ ′ ( � )

� (� )

そして縦方向の曲がりはそもそも曲面が曲がっているため生じる曲がりで・・・

�   ( ^{� ( � )} ) 方向は 縦

� ′ ( � )

�   ( � ( � ) )

� ′ ′ ( � )

縦方向の曲がりは 曲面由来

� ( � )

� ′ (� )

�   ( � ( � ) )

� ′ ′ ( � )

横方向の曲がりは 曲線由来

一方横方向の曲がりは曲面が曲がっていようといまいとお構いなく曲線が勝手に曲がっている言わば自己責任・・・

� (� )

� (� ) 方向は 横

曲面上の曲線の 測地曲率

つまり測地曲率とは曲面が曲がっているからと言わば世間のせいに責任転嫁できない曲がり具合だけを取り出した曲率なわけです

自分のせいで曲がった分だけ

ところで平面曲線では曲率は進行方向の偏角の微分でもありましたこの偏角は特定の方向通常はエックス軸正方向に対して左回りになす角を測ります

平面曲線の曲率は 偏角の微分

基準

曲面上ではエックス軸正方向みたいなものは普通取れないのでその代わりをしてくれるのが平行ベクトル場です

平行ベクトル場が基準 曲面上の曲線の

測地曲率は？

これは直観的に言うと曲面のせいで曲がる縦の分は仕方ないけれども自分からは横に曲がらなかったら本来どちらを向いていたのか目線だけ動かさずにいるとどうなるかを表したものです

接ベクトルの平行移動 曲線に沿って進んでも 曲がらない接ベクトル？

そしてこの平行ベクトル場を基準にして「偏角」つまり進行方向のずれを測るとその微分が測地曲率になります

平行ベクトル場が基準 曲面上の曲線の測地曲率も

「偏角」の微分

さてそれでは曲面上の閉曲線に沿って測地曲率を積分してやるとどうなるでしょうか？それが次の課題です

曲面上の閉曲線

の整数倍？