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例示ベースの弾性変形の実時間計算手法

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Academic year: 2021

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(1)

例示ベースの弾性変形の実時間計算手法

Real-Time Example-Based Elastic Deformation

小山 裕己

高山 健志

†, *

梅谷 信行

五十嵐 健夫

†, ‡

Yuki KOYAMA

Kenshi TAKAYAMA

†, *

Nobuyuki UMETANI

Takeo IGARASHI

†, ‡

†東京大学 (The University of Tokyo) ‡JST ERATO

E-mail: koyama@is.s.u-tokyo.ac.jp

1: (a) ユーザによる入力形状. (b) 生成された例示ベースの弾性体の落下のアニメーションの様子. (c) 2 種類の例示ベースの 弾性体 ((a)で生成されたものと, (a)と同じ基本形状に対して S 字形の例示形状を与えたもの) を用いて生成したシーンにおける アニメーションの様子. このシーンはラップトップ (CPU: Core i7 M620 2.66GHz, GPU: GeForce GT330M) 上で実時間 (約 14 fps) で計算されたものである.

概 要

1 例 示 ベ ー ス の 弾 性 変 形 は 弾 性 体 の ア ニ メ ー シ ョ ン の 作 成 を 支 援 す る 手 法 で あ る が, 既 存 手 法 で は 計 算 コ ス ト が 高 く, 実 時 間 で は 計 算 す る こ と が で き な い . そ こ で 本 稿 で は Shape Matching 法 に よ る 弾 性 体 の 表 現 を 拡 張 す る こ と に よ っ て, 例 示 ベ ー ス の 弾 性 変 形 を 実 時 間 で 計 算 で き る 高 速 な 手 法 を 提 案 す る.

1. は じ め に

リ ア ル な CG ア ニ メ ー シ ョ ン を 製 作 す る に は 物 理 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン を 用 い る こ と が 効 果 的 で あ る. そ こ で, ア ー テ ィ ス ト が 演 出 意 図 を 実 現 し や す い よ う な 物 理 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン の 手 法 が 重 要 と な る. そ の よ う な 手 法 と し て は, 流 体 [12], 剛 体 [13], 布 [1], 弾 性 体 [5]な ど を 対 象 と し た 手 法 が 提 案 さ れ て き た. そ の よ う な 中, Martin ら [6]は 例 示 ベ ー ス の 弾 性 体 と い う 概 念 を 提 案 し た. こ れ は 弾 性 体 の ア ニ メ ー シ ョ ン の 作 成 を 支 援 す る も の で, 弾 性 体 の 変 形 形 状 の 例 (例 示 形 状) を ア ー テ ィ ス ト が 指 定 す る こ と で , そ の 形 状 *現 在 の 所 属 は ETH Zurich. に 変 形 し や す い 弾 性 体 を 実 現 で き る と い う も の で あ る. 例 え ば 図1 ((a), (b)) は 四 角 柱 の 形 状 を し た 弾 性 体 に 対 し て ね じ れ た 形 状 を 例 と し て 与 え た 場 合 の 挙 動 を 示 し た も の で あ り, こ の よ う に ね じ れ や す い 性 質 を 持 つ 四 角 柱 を 簡 単 に 表 現 で き る. 例 示 ベ ー ス の 弾 性 体 を 用 い る こ と で, こ の よ う な ア ニ メ ー シ ョ ン を 作 成 す る 際 に 非 直 感 的 な 物 理 パ ラ メ タ の 調 整 を す る 必 要 が な く, ま た 変 形 形 状 を 直 接 デ ザ イ ン で き る と い う 利 点 が あ る. ま た, キ ー フ レ ー ム を 用 い た ア プ ロ ー チ [5]に 比 べ , ア ニ メ ー シ ョ ン の シ ナ リ オ が 固 定 で あ る 必 要 が な い と い う 点 も, 例 示 ベ ー ス の 弾 性 体 の 特 徴 で あ る . す な わ ち , ど の よ う な シ ー ン で ど の よ う な 時 系 列 で 変 形 す る か な ど と い っ た 情 報 が, 変 形 の 性 質 の デ ザ イ ン の 段 階 で は 必 要 な い. こ れ に よ り , 様 々 な シ ナ リ オ で 同 じ 弾 性 体 を 使 い 回 す こ と が で き た り, シ ナ リ オ を 事 前 に 決 定 で き な い イ ン タ ラ ク テ ィ ブ な ア プ リ ケ ー シ ョ ン で 使 用 す る こ と が で き た り す る と い っ た 利 点 が 期 待 さ れ る. し か し な が ら, Martin ら の 手 法 は 計 算 コ ス ト が 高 く , 例 示 ベ ー ス の 弾 性 変 形 を 実 時 間 で 計 算 す る こ と が で き な い と い う 問 題 点 が あ る. Martin ら の 手 法 は 有 限 要 素 法 に よ る 弾 性 体 の 表 現 を 用 い て お り, 例 示 の 効 果 を 実 基本形状 例示形状 (a) (b) (c)

(2)

現 す る た め に 特 別 な 保 存 力 を 計 算 し て い る. そ の 際 に 非 線 形 最 適 化 が 必 要 と な り, こ れ が 計 算 の ボ ト ル ネ ッ ク と な っ て し ま っ て い る の で あ る. こ れ に よ っ て , イ ン タ ラ ク テ ィ ブ な ア プ リ ケ ー シ ョ ン で の 使 用 が 制 限 さ れ て し ま っ て い る. こ の よ う な 制 限 を 克 服 す る た め, 本 稿 で は 特 に 実 時 間 で も 計 算 で き る 高 速 な 例 示 ベ ー ス の 弾 性 変 形 の 手 法 を 提 案 す る. 本 提 案 手 法 は Shape Matching 法 に よ る 弾 性 体 の 表 現[8]に 基 づ い て お り , 保 存 力 を 計 算 す る 代 わ り に 弾 性 体 の 目 標 の 形 状 そ の も の を 変 化 さ せ な が ら シ ミ ュ レ ー シ ョ ン を 行 う こ と に よ っ て, 非 線 形 最 適 化 を 用 い ず に 例 示 に よ る 効 果 を 実 現 し て い る. 本 提 案 手 法 は Martin ら の 手 法 と 似 た よ う な 変 形 を 再 現 し つ つ , 数 百 倍 程 度 高 速 に 計 算 で き, 特 に 実 時 間 ア プ リ ケ ー シ ョ ン で も 使 用 す る こ と が で き る.

Shape Matching 法 は Martin ら の 用 い た 有 限 要 素 法 に 比 べ る と 物 理 的 な 正 確 さ と い う 点 で は 劣 る が, 見 た 目 に は 十 分 自 然 な 挙 動 を 表 現 で き て お り, ま た 特 に ア ー テ ィ ス ト の 演 出 意 図 が 重 視 さ れ る 文 脈 に お い て は 見 た 目 以 上 の 物 理 的 な 正 確 さ は あ ま り 重 要 で な い と 考 え ら れ る た め, 本 提 案 手 法 は 十 分 実 用 性 が あ る も の と 考 え ら れ る. ま た Martin ら と 同 様 に , 本 提 案 手 法 に お い て も 例 示 の 効 果 を 局 所 化 さ せ る 拡 張 を 行 う こ と が 可 能 で あ る.

2. 関 連 研 究

Shape Matching 法 を 用 い た 弾 性 体 の 表 現 は 高 速 で 安 定 な も の で あ り, Müller ら [8]に よ っ て 初 め て 提 案 さ れ て 以 来, 様 々 な 拡 張 が 提 案 さ れ て き た . FastLSM [9] は 格 子 状 に パ ー テ ィ ク ル を 配 置 し た 構 造 に 対 し て 効 率 的 に 計 算 を 行 う 手 法 で あ る. Steinemann ら [11]は こ れ に 対 し 八 分 木 の デ ー タ 構 造 を 導 入 す る こ と で 更 に 効 率 的 に 計 算 す る 手 法 を 提 案 し た. Chain Shape Matching [10] は 鎖 状 に 並 ん だ パ ー テ ィ ク ル に 対 し て Shape Matching 法 を 適 用 す る 手 法 で , 複 雑 な ヘ ア ス タ イ ル を 表 現 す る こ と が で き る. Oriented Particles [7]は 各 パ ー テ ィ ク ル に 対 し て 位 置 だ け で な く 回 転 の 情 報 も 持 た せ る こ と に よ っ て, 非 常 に 少 な い パ ー テ ィ ク ル で も 安 定 し た シ ミ ュ レ ー シ ョ ン を 行 え る よ う に し た 拡 張 で あ る. こ の よ う に Shape Matching 法 は 様 々 な 拡 張 が 提 案 さ れ て い る が, 我 々 の 知 る 限 り , 例 示 ベ ー ス の 弾 性 変 形 を 実 現 す る の は 本 提 案 手 法 が 最 初 で あ る. ま た , 本 提 案 手 法 は 上 記 の よ う な 拡 張 と 組 み 合 わ せ て 用 い る こ と も 可 能 で あ る.

ま た ProcDef [4]は Shape Matching 法 を 拡 張 す る こ と で 能 動 的 な 動 作 を 生 成 す る 手 法 で あ る. こ の 手 法 で は 各 局 所 領 域 の 目 標 の 形 状 を 能 動 的 に 変 え て い く こ と で 全 体 の 動 き を 表 現 し て い る. こ れ に 対 し て 本 提 案 手 法 で は 各 局 所 領 域 の 目 標 の 形 状 が そ の と き の 変 形 状 態 に 応 じ て 受 動 的 に 変 わ っ て い く 点 が 異 な っ て い る.

3. 提 案 手 法 の 概 観

本 提 案 手 法 で は, 次 の 2 つ の 操 作 を 各 タ イ ム ス テ ッ プ で 行 う こ と で 例 示 ベ ー ス の 弾 性 変 形 を 実 現 す る. 1. 現 在 の 形 状 を 例 示 集 合 E (基 本 形 状 と 例 示 形 状 の 線 形 補 間, §4.2.) に 投 影 す る . (§4.3.) 2. 投 影 先 の 点 を 目 標 の 形 状 と し , 現 在 の 形 状 を 目 標 の 形 状 に 向 か っ て 引 っ 張 る. (§4.1.) こ れ ら の 操 作 を 模 式 的 に 表 し た の が 図2で あ る . た だ し, こ こ で は 1 つ の 基 本 形 状 に 対 し て 2 つ の 例 示 形 状 を 与 え た 場 合 を 表 し て お り, そ れ ぞ れ の 形 状 は ベ ク ト ル に よ っ て 記 述 (§4.2.) さ れ て い る .

4. 提 案 手 法

4.1. Shape Matching 法 の 拡 張

本 提 案 手 法 は Müller ら [8] の 提 案 し た Shape Matching 法 に よ る 弾 性 体 の 表 現 を 拡 張 す る こ と で 例 示 ベ ー ス の 弾 性 体 を 表 現 す る. 特 に , 互 い に オ ー バ ラ ッ プ し た 局 所 領 域 を 持 つ 構 造 の Shape Matching 法 (こ れ は [9], [4]な ど で も 使 用 さ れ て い る ) を 扱 う . す な わ ち, 局 所 領 域 毎 に Shape Matching 法 を 適 用 し , そ れ ら の 影 響 を 合 併 し て 全 体 の 変 形 を 実 現 す る. 本 提 案 手 法 に お け る ユ ー ザ の 入 力 は, モ デ ル の 基 本 形 状 (初 期 形 状 ) を 表 す 四 面 体 メ ッ シ ュ と , n 種 類 の 例 示 形 状 で あ る. 例 示 形 状 と は 基 本 形 状 を 変 形 さ せ た も の で, 基 本 形 状 の 四 面 体 メ ッ シ ュ と 同 じ 構 造 を 保 っ 図2: 提 案 手 法 の 概 観 基 本 形 状 現 在 の 形 状 例 示 形 状1 例 示 形 状2 目 標 の 形 状 例 示 集 合 E 投 影

(3)

た ま ま, 頂 点 の 位 置 を 自 由 に 移 動 さ せ た も の で あ る . ま た, 四 面 体 メ ッ シ ュ に 対 し て レ ン ダ リ ン グ 用 の 詳 細 な 三 角 形 メ ッ シ ュ を 埋 め 込 む こ と も 可 能 で あ る. 四 面 体 メ ッ シ ュ の 頂 点 は そ れ ぞ れ 1 つ の パ ー テ ィ ク ル と し て 扱 わ れ, パ ー テ ィ ク ル i に 対 し て 1 つ の 局 所 領 域 Niが 定 義 さ れ る. 局 所 領 域 Niの 要 素 は パ ー テ ィ ク ル i と そ の 一 近 傍 頂 点 (1-ring neighborhood [4]) で あ る. な お , 本 提 案 手 法 で は 四 面 体 メ ッ シ ュ を 基 に し た 局 所 領 域 の 定 義 を 採 用 し た が, [9]の よ う に 格 子 状 の 構 造 に よ っ て 局 所 領 域 を 定 義 す る な ど し て も 同 様 に 例 示 に よ る 効 果 は 得 ら れ る と 考 え ら れ る. パ ー テ ィ ク ル i に 対 応 す る 初 期 位 置 , 現 在 位 置 , 質 量 を そ れ ぞ れ x0 i,xi, miと す る. 各 タ イ ム ス テ ッ プ に つ い て, ま ず 局 所 領 域 r に お け る 初 期 形 状 か ら そ の 時 刻 で の 形 状 へ の 変 換 を 近 似 し た 線 形 変 換 行 列 Ar= mipiq T i i

∈Nr ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ miqiq T i i

∈Nr ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ −1 ∈3×3 (1) を 計 算 す る . こ こ で , mi= mi Nr は 有 効 質 量 [9], cr 0=i∈Nrmixi0 mi i∈Nr,cr= mixi i∈Nrmi i∈Nr ∑ は そ れ ぞ れ 初 期 状 態 と そ の 時 刻 で の 局 所 領 域 r に お け る 重 心 , pi= xi− cr,qi= x 0 i− c 0 rは 重 心 か ら の 相 対 位 置 を 表 し て い る. 続 い て 線 形 変 換 行 列 Arを そ の 歪 み 成 分 で あ るSr= Ar TA r∈ 3×3と 回 転 成 分 で あ るRr= ArSr −1∈3×3に 分 解 す る. 次 に , こ の タ イ ム ス テ ッ プ に お け る パ ー テ ィ ク ル i の 局 所 領 域 r に 関 す る 目 標 位 置 gr,iを 計 算 す る の だ が, 従 来 の Shape Matching 法 で は 初 期 形 状 の 形 状 保 存 変 換 , す な わ ち gr,i= Rr xi 0− c r 0

(

)

+ cr (2) に よ っ て 計 算 し て い た の に 対 し, 本 提 案 手 法 で は gr,i= RrSr xi0− c r 0

(

)

+ cr (3) に よ っ て 計 算 す る. こ こ で , Sr∈3×3は 目 標 の 形 状 を 歪 ま せ る (図 3) 要 素 で あ り , §4.2. で 説 明 す る「 例 示 集 合 」に 対 し て, §4.3. で 説 明 す る「 投 影 」と い う 操 作 を 行 う こ と で 得 る こ と が で き る. 最 後 に 従 来 の Shape Matching 法 と 同 様 , パ ー テ ィ ク ル i の 目 標 位 置 gi, パ ー テ ィ ク ル i が 属 す る 全 て の 局 所 領 域 で の 目 標 位 置 の 平 均 gi= gr,i i∈rと し, こ れ を 用 い て パ ー テ ィ ク ル i の 位 置 xiと 速 度 vivi

(

t+ h

)

= vi

( )

tgi

( )

t − xi

( )

t h + h fext

( )

t mi (4) xi

(

t+ h

)

= xi

( )

t + hvi

(

t+ h

)

(5) の よ う に 更 新 す る. こ こ で h は 1 タ イ ム ス テ ッ プ あ た り の 時 間 幅, α ∈ 0,1

(

]

は 硬 さ に 関 す る パ ラ メ タ, fextは 外 力 を 表 す.

4.2. 変 形 記 述 子 と 例 示 集 合

Martin ら の 手 法 は , 例 示 の 効 果 を 実 現 す る た め に 好 ま し い 変 形 の 集 合 (例 示 集 合 ) の う ち , そ の 時 刻 に お け る 変 形 に 最 も 近 い 変 形 を 探 し, そ の 変 形 に 近 づ く よ う に 特 別 な 保 存 力 を 計 算 す る と い う も の で あ る. そ こ で 彼 ら は ま ず, グ リ ー ン の 歪 み テ ン ソ ル を 用 い て 変 形 記 述 子 を 定 義 し た. 具 体 的 に は , 四 面 体 の 数 が m , 頂 点 の 数 が m の 四 面 体 メ ッ シ ュ の 変 形 時 の 頂 点 の 位 置 x ∈3m′に 対 し, 四 面 体 i の グ リ ー ン の 歪 み テ ン ソ ル を Ei∈ 6と し て, E x

( )

= ET 1 E T m

(

)

T ∈6 mを 変 形 x に 体 す る 変 形 記 述 子 と 定 義 し た. な お , グ リ ー ン の 歪 み テ ン ソ ル は 3× 3 の 対 称 行 列 と し て 得 ら れ る も の で あ る が , こ こ で は 6 次 元 の ベ ク ト ル と し て 表 現 し て い る . こ こ で, 写 像 x  E x

( )

の 値 域 F ⊂ 6 m(「 実 現 可 能 集 合 」 と 呼 ぶ ) は 非 線 形 な 集 合 で あ る. す な わ ち , 線 形 結 合 w1E x 1

( )

+ w2E x 2

( )

は 一 般 に は F の 要 素 で は な く , こ れ に 対 応 す る 有 効 な 変 形 形 状 は 存 在 し な い. そ こ で 彼 ら は , wkE x k

( )

k=0 n

{

}

( x0は 初 期 形 状, xkは k 番 目 の 例 示 形 状 を 表 す) に よ っ て 得 ら れ る 凸 包 を 実 現 可 能 集 合 F に 投 影 し て 得 ら れ る 集 合 E を 例 示 集 合 と 定 義 し た . こ の よ う に 定 義 さ れ た 例 示 集 合 E に 対 し , 各 タ イ ム ス テ ッ プ に お け る 変 形 形 状 を 非 線 形 最 適 化 に よ っ て 投 影 す る こ と で, 特 別 な 保 存 力 の 計 算 に 必 要 な 目 標 と な る 変 形 形 状 x を 得 る . ま た , こ の 非 線 形 最 適 化 が 計 算 の ボ ト ル ネ ッ ク と な っ て い る. (図 4 左 ) Martin ら が 特 別 な 保 存 力 を 計 算 す る こ と に よ っ て 例 示 の 効 果 を 実 現 し て い た の に 対 し, 本 提 案 手 法 で は Shape Matching 法 に お け る 各 局 所 領 域 の 目 標 の 形 状 を 適 切 に 歪 ま せ る (図 3) こ と に よ っ て 例 示 の 効 果 を 実 現 す る. ま ず 変 形 記 述 子 の 定 義 に つ い て で あ る が , 付 録 で 詳 し く 説 明 す る よ う に, 式 (1) で 計 算 さ れ る 線 形 変 換 行 列 Arは 局 所 領 域 r に お け る 変 形 勾 配 テ ン ソ ル の 近 似 と 考 え る こ と が で き, し た が っ て そ の 歪 み 成 分 で あ る 対 称 行 列 Srは 右 ス ト レ ッ チ テ ン ソ ル の 近 似 と 考 え る こ と が で き る. そ こ で 本 提 案 手 法 で は , グ リ ー ン の 歪 み テ ン ソ ル の 代 わ り に 右 ス ト レ ッ チ テ ン ソ ル 図3: 拡 張 し た Shape Matching 法

(4)

と 用 い て, 変 形 記 述 子 をS x

( )

= ST 1 S T m

(

)

T ∈6 mと 定 義 す る. な お , こ こ で は Srを 6 次 元 の ベ ク ト ル と し て 表 現 し て い る. こ こ で , Shape Matching 法 で は 局 所 領 域 毎 に 独 立 に パ ー テ ィ ク ル の 目 標 位 置 を 計 算 す る た め, 記 述 子 に 対 応 す る 変 形 形 状 が 実 際 に 存 在 し な い 場 合 で も 有 効 な 変 形 を 実 現 で き る 点 が, 有 限 要 素 法 を 用 い た Martin ら の 手 法 と 大 き く 異 な っ て い る . こ れ に よ り , 本 提 案 手 法 で は 記 述 子 の 単 純 な 線 形 結 合 wkS x k

( )

k=0 n

{

}

に よ っ て 得 ら れ る 凸 包 を 例 示 集 合 E と 定 義 す る こ と が で き る. こ の よ う に 定 義 し た 例 示 集 合 E に 対 し て , そ の 時 刻 に お け る 変 形 形 状 を 線 形 投 影 (詳 し く は §4.3. で 説 明 す る) す る こ と に よ っ て , 目 標 と な る 変 形 の 記 述 子 S , 更 に 局 所 領 域 r に お け る 目 標 と な る 形 状 を 変 形 さ せ る 成 分Srを 得 る こ と が で き る. (図 4 右 )

4.3. 例 示 集 合 へ の 投 影

基 本 形 状 と k 番 目 の 例 示 形 状 を 表 し た 変 形 記 述 子 を そ れ ぞ れ S0= S x

( )

0 , Sk= S x

( )

k と 表 す と, 例 示 集 合 E に 対 し て そ の 時 刻 に お け る 形 状 S= S x

( )

を 投 影 す る と は, S に 最 も 近 い 例 示 集 合 E の 要 素 S = wkS k k=0 n

を 得 る と い う こ と で あ る. そ こ で ま ず wk S k− S0

(

)

− S − S

(

0

)

k=1 n

2 (6) を 最 小 に す る 重 み w1,…, wnを 計 算 す る. 具 体 的 に は , w= w

(

1 wn

)

T ∈n, L= S

(

1−S0 Sn−S0

)

∈6 m×nと し て w= LT L

( )

−1 LT S− S0

(

)

(7) を 計 算 す れ ば 良 い. こ こ で , 各 タ イ ム ス テ ッ プ に お い て LT L

( )

−1 LTは 不 変 で あ る の で, シ ミ ュ レ ー シ ョ ン の 前 に 一 度 だ け 計 算 す れ ば 良 い. 次 に , w0= 1− k=1wk n

を 計 算 す る. こ の よ う な 操 作 だ け で は 負 の 重 み も 許 し て し ま っ て い る た め, 例 示 さ れ た 変 形 の 外 挿 を 行 っ て い る こ と に な る. こ れ は , ア ー テ ィ ス ト が 変 形 の 様 子 を デ ザ イ ン す る と い う 目 的 を 考 え る と 望 ま し く な い こ と で あ る. そ こ で 負 の 重 み を 除 去 す る た め に 「 最 も 小 さ い 負 の 重 み を 選 び, そ れ を 0 に し , そ の と き の 絶 対 値 を n で 割 っ た 値 を 残 り の 全 て の 重 み か ら 引 く 」 と い う 操 作 を, 負 の 重 み が な く な る ま で 繰 り 返 し 行 う. 別 の 問 題 と し て は, 弾 性 体 モ デ ル が 例 示 集 合 E の あ る 要 素 が 表 す 変 形 形 状 に な っ た ま ま 静 止 し, 基 本 形 状 に 戻 ら な い 可 能 性 が あ る と い う 問 題 が 考 え ら れ る. こ れ は, 本 提 案 手 法 で は 各 局 所 領 域 の 目 標 の 形 状 そ の も の を 変 形 さ せ る (図 3) た め , そ の 時 刻 で の 形 状 と 目 標 の 形 状 が 一 致 し て し ま う こ と が あ り 得 る た め で あ る. こ の よ う な 問 題 を 避 け る た め, 上 記 の よ う な 方 法 で 求 め た 重 み に 対 し, 新 た に 導 入 す る パ ラ メ タβ ∈ 0,1

[

)

を 用 い て w0′= w0+ 1−

(

β

)

k=1wk n

,wk=βwk

(

k= 1,…, n

)

に よ っ て 得 ら れ る 重 み を 用 い る. こ こ でβ は 1 よ り も 僅 か に 小 さ い (β = 0.995 な ど ) だ け で も 十 分 に 効 果 が あ り , β が 小 さ く な る ほ ど 例 示 に よ る 効 果 は 小 さ く な る . 図 5は 図 1 ((a), (b)) と 同 様 の 弾 性 体 モ デ ル を 重 力 下 で 床 に 静 止 さ せ た と き に, β の 値 に 応 じ て ど の よ う に 例 示 の 効 果 が 変 わ る か を 示 し た も の で あ る.

4.4. 例 示 に よ る 効 果 の 局 所 化 に 関 す る 拡 張

Martin ら の 手 法 と 同 様 , 本 提 案 手 法 に お い て も 例 示 に よ る 効 果 を 局 所 化 さ せ る 拡 張 を 行 う こ と が 可 能 で あ る. そ の た め に は , 局 所 領 域 全 体 を 複 数 の 独 立 し た グ ル ー プ に 分 け, そ れ ぞ れ の グ ル ー プ で 例 示 集 合 を 考 え , 投 影 を 行 え ば 良 い. 図 6は 弾 性 体 モ デ ル を 縦 に 2 つ の グ ル ー プ に 分 け た 例 で あ り, 図 中 の 丸 は ユ ー ザ に よ る 制 御 点 を 表 し て い る. (こ こ で は 重 力 は な く , 弾 性 体 モ デ ル は 腹 部 に 当 た る 部 分 で 空 間 に 固 定 さ れ て い る.) ま た, 各 局 所 領 域 を そ れ ぞ れ 独 立 な グ ル ー プ と す る (こ の と き , そ れ ぞ れ の グ ル ー プ に お け る 例 示 集 合 は 6 次 元 空 間 上 に 定 義 さ れ る) こ と に よ っ て , 各 局 所 領 域 に お け る 変 形 が 局 所 的 な ふ る ま い に よ っ て の み 決 ま る と い う 点 で, 物 理 的 に よ り 自 然 な 変 形 が 表 現 で き る . 図7は 図 1 ((a), (b)) と 同 様 の 弾 性 体 モ デ ル を 重 力 下 で5: β の値に伴って変化する例示の効果 Martin ら の 手 法 提 案 手 法 S x

( )

S x

( )

0 S x

( )

1 S = wkS k k=0

E x

( )

E x 1

( )

E x

( )

0 E

( )

x E E4: Martin ら の 手 法 と の 比 較

(5)

床 に 落 下 さ せ た 際 の 変 形 を 表 し て お り, 左 は 全 体 で 1 つ の グ ル ー プ, 右 は 各 局 所 領 域 を そ れ ぞ れ 独 立 な グ ル ー プ と し た 場 合 を 表 し て お り, 前 者 は 全 体 で 一 様 に 例 示 の 効 果 が 表 れ て い る の に 対 し, 後 者 は 部 位 に よ っ て 例 示 の 効 果 の 表 れ 方 が 異 な っ て い る.

5. 結 果

1, 図 6-9は 本 提 案 手 法 を 用 い た 例 示 ベ ー ス の 弾 性 体 の ア ニ メ ー シ ョ ン の 様 子 で あ り, い ず れ の 例 も 実 時 間 で 計 算 し て い る. 表 1は そ れ ぞ れ の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン の 各 タ イ ム ス テ ッ プ に お け る 計 算 時 間 (単 位 は ms ) を 表 し て お り, tsmは 従 来 の Shape Matching 法 の 計 算 に か か っ た 時 間, tprojは 例 示 集 合 E へ の 投 影 に か か っ た 時 間, ttotは タ イ ム ス テ ッ プ 全 体 の 計 算 に か か っ た 時 間 を 表 し て い る. な お , レ ン ダ リ ン グ に 要 し た 時 間 は 含 ん で い な い. 計 測 は Intel Core i7 M620 2.66 GHz CPU で 行 っ た . 表 1 か ら 分 か る 通 り , 従 来 の Shape Matching 法 に 比 べ , 本 提 案 手 法 を 用 い た 場 合 の 計 算 時 間 の 増 加 は 僅 か で あ る. ま た , Martin ら の 手 法 で は 類 似 の 条 件 で 計 算 す る の に 1 タ イ ム ス テ ッ プ あ た り 数 秒 程 度 か か る た め, 本 提 案 手 法 は こ れ に 比 べ 数 百 倍 程 度 高 速 で あ る と 言 え る. 更 に , 生 成 さ れ た ア ニ メ ー シ ョ ン か ら, 本 提 案 手 法 に よ っ て Martin ら の 手 法 と ほ と ん ど 同 様 の 例 示 の 効 果 が 実 現 で き て い る と 考 え ら れ る. 図8: 円 柱 型 の 四 面 体 メ ッ シ ュ に 円 筒 型 の 三 角 形 メ ッ シ ュ を 埋 め 込 ん だ 例 示 ベ ー ス の 弾 性 体 の ア ニ メ ー シ ョ ン の 様 子 図9: 車 型 の 弾 性 体 モ デ ル に そ れ ぞ れ 異 な る 例 示 形 状 を 与 え, 同 じ 初 速 で 壁 に 衝 突 さ せ た 様 子 モ デ ル 頂 点 数 tsm tproj ttot 四 角 柱 1225 1.5 0.17 2.2 円 筒 2025 6.7 0.89 8.6 テ デ ィ 1280 4.6 0.57 5.5 車 1197 1.4 0.14 1.8 表1: パ フ ォ ー マ ン ス 測 定 結 果

6. ま と め

本 稿 で は 例 示 ベ ー ス の 弾 性 変 形 を 実 時 間 で 計 算 す る こ と が で き る 高 速 な 手 法 を 提 案 し た. 既 存 手 法 が 有 限 要 素 法 に 基 づ い た も の で, 非 線 形 最 適 化 が 必 要 で あ っ た の に 対 し, 本 提 案 手 法 で は Shape Matching 法 に よ る 弾 性 体 の 表 現 を 拡 張 す る こ と で, 非 線 形 最 適 化 を 用 い る こ と な く 例 示 ベ ー ス の 弾 性 体 を 実 現 し て い る. 本 提 案 手 法 で は 三 次 元 的 な 構 造 を 持 つ 弾 性 体 を 扱 っ た が, Shape Matching 法 の 拡 張 で あ る Chain Shape Matching [10]や Oriented Particles [7]な ど を 組 み 合 わ せ る こ と で, 布 な ど の 二 次 元 的 な 構 造 や , 髪 の 毛 な ど の 一 次 元 的 な 構 造 に 対 し て も 本 提 案 手 法 を 応 用 し て い く こ と が 将 来 課 題 と し て 考 え ら れ る. ま た , そ の 時 刻 (な し ) ウ ェ ー ブ ツ イ ス ト ア ー チ 1 4 3 2 図7: 全 体 で 1 つ の グ ル ー プ と し た 場 合 (左 ) と 各 局 所 領 域 を そ れ ぞ れ 独 立 な グ ル ー プ と し た 場 合 (右 ) : ユ ー ザ 制 御 基 本 形 状 例 示 形 状 図6: 2つ の 独 立 し た グ ル ー プ に 分 け ら れ た テ デ ィ

(6)

に お け る 変 形 形 状 だ け で な く, 速 度 や 外 力 , 周 囲 の オ ブ ジ ェ ク ト と の 相 対 位 置 な ど の 様 々 な 情 報 を 考 慮 し て 例 示 集 合 に 投 影 す る こ と で, 興 味 深 い 効 果 が 得 ら れ る 可 能 性 が あ る と 考 え て い る. な お, 今 回 使 わ せ て 頂 い た 車 の 形 状 デ ー タ は Princeton Shape Benchmark に 含 ま れ る も の で あ る .

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付 録

: 変 形 勾 配 テ ン ソ ル の 近 似 と し て の 線

形 変 換 行 列

こ こ で は 式(1)に よ っ て 計 算 さ れ る 線 形 変 換 行 列 Ar が 局 所 領 域 r に お け る 変 形 勾 配 テ ン ソ ル の 近 似 に な っ て い る こ と を 示 す. 以 下 , 添 字 の r は 適 宜 省 略 す る . Müller ら [8]の 定 義 に よ る と , 式 (1)に よ っ て 計 算 さ れ る 線 形 変 換 行 列 A は , 二 次 の エ ネ ル ギ ー mi Aqi− pi 2 i

(8) を 最 小 化 す る も の で あ る. た だ し qi= x0 i− c 0 , pi= xi− c は 初 期 形 状 と 変 形 形 状 に お け る 重 心 か ら 見 た パ ー テ ィ ク ル i の 相 対 位 置 を 表 し て い る . 一 方 , 連 続 体 力 学 [2]で は 変 形 勾 配 テ ン ソ ル は 次 の よ う に 定 義 さ れ る. ま ず 物 質 中 の あ る 一 点 を 考 え, 初 期 位 置 を X , 現 在 位 置 を x と 表 す こ と に す る. 次 に , こ の 物 質 点 か ら 無 限 に 近 い 位 置 に あ る 任 意 の 点 を 考 え, 初 期 位 置 をX , 現 在 位 置′ をx と 表 し た と き , ′ ′ x− x = F ′

(

X − X

)

(9) と い う 関 係 を 満 た す よ う な F を 変 形 勾 配 テ ン ソ ル と 呼 び, こ れ は こ の 物 質 点 の 近 傍 の 変 形 を 表 し て い る . こ こ で, 局 所 領 域 の 重 心 点 に お け る 変 形 勾 配 テ ン ソ ル F が, こ の 局 所 領 域 に 含 ま れ る パ ー テ ィ ク ル の 変 形 を 近 似 し て い る と 考 え る と, F は 二 次 の エ ネ ル ギ ー wi Fqi− pi 2 i

(10) を 最 小 化 さ せ て い る と 考 え る こ と が 可 能 で あ る. こ こ で wiは パ ー テ ィ ク ル i に 関 連 す る 重 み で あ る . こ こ で , 重 み wiと し て 質 量 miと 用 い る と, 式 (10) は 式 (8) と 一 致 す る. し た が っ て , 線 形 変 換 行 列 A は 変 形 勾 配 テ ン ソ ル F の 近 似 に な っ て い る と 考 え る こ と が で き る . ま た Gerszewski ら [3]は 点 群 ベ ー ス の 弾 塑 性 体 の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン に 関 し て 上 記 と 類 似 の 議 論 を 行 っ て い る.

参照

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