システムデザイン System Design

システムマネジメント

System Management

ー 品質のマネジメント ー

北海道大学工学部情報エレクトロニクス学科 システム情報コース

担当： 小野里 雅彦

北大・小野里 「システムマネジメント」 2012

品質（Quality)とは

規格(standard)に対する合致度(conformance) 要求(requirement)に対する合致度 ISO9000 (国際標準)

Degree to which a set of inherent characteristic fulfills requirements

変化 評価値 高 低 グレードH に対する要求 グレードM に対する要求 グレードL に対する要求 規格 性能・品質・グレード JIS 品物又はサービスが，使用目的を満たしているかどうかを決定するため の評価の対象となる固有の性質・性能の全体

“Made in Japan”

第二次世界大戦 衣料品・玩具中心 統計的品質管理の導入（米国） 優秀な工業製品の輸出増大 1950年代 Nikon カメラ 1960年代 Honda 二輪 1970年代 日本車輸出急増 1980年代 Sony Walkman 新興工業国の成長 製造拠点の海外展開 “粗悪品” “安くて高品質” “珍しい！” シャープ 日本HP 1950 W.E.Deming 博士，J.M. Juran 博士 来日 信頼のブランド 北大・小野里 「システムマネジメント」 2012

統計的品質管理の基本

無限母集団 試料 無作為抽出 測定 測定値 統計量 統計処理 統計量 有限母集団 (ロット lot) 推定 統計における４つの原理  標識化の原理  数量化の原理  層別の原理  確率化の原理 連続量： 計量値(variable) 離散量： 計数値(discrete value)

データの”ばらつき”

製品品質の評価項目の測定値がばらつくのは… 例：スプリングの長さ 材料のばらつき 製造装置のばらつき 製造プロセスのばらつき 測定方法（機械）のばらつき みかけ上，製品品質のばらつきに 品質変動の原因 偶然原因 (chance cause) 突き止めうる原因 (assignable cause) 技術的，経済的 に不可避な原因 技術的に除去可 能な原因．可避 原因 ０を目指す 管理された状態 北大・小野里 「システムマネジメント」 2012

統計量の性質

試料の測定値の集団の特性(統計量）

（１）中心的傾向（１次）

 平均値（mean)  メジアン(median: 中央値）  最頻値（mode）

（２）ばらつき具合（２次）

 範囲(range)  分散(variance)，  標準偏差(standard deviation)

（３）分布の偏り

（３次）

 歪度(skewness)

（４）中央のとがり

（４次）

 尖度(peakness) {11 12 13 14 14 14 15 16 19 28 29 30 32} 19.0 15.0 11 - 32 55.4 7.4 a b a = 0 a < 0 a > 0 b = 0 b < 0 b > 0 正規分布 正規分布 14.0

ばらつきに関する統計量

 平方和(sum of squares)





 

 

n

x

x

x

n

x

x

x

S

i i n i i n i i n i 2 2 1 2 2 1 2 1





=



=



=







= = =

　

 分散(variance)





n

S

n

x

x

s

n i i

=



=



=1



2 2  標準偏差(standard deviation)





n

S

n

x

x

s

n i i

=





=



=1



2 {5 1 8 4 5 7} 平均 ５．０ 平方和 ３０．０ 分散 ５．０ 標準偏差 ２．２４ 北大・小野里 「システムマネジメント」 2012

正規分布(normal distribution)

 確率密度関数                 = 2 2 1 exp 2 1 ) (     x x f 　  : 標準偏差  : 平均値 0  2 3  2 3 68% 95% 99.7% 16% 16% 2.5% 2.5% 0.15% 0.15% 正規分布に関する知見 ほとんどのデータは の範囲に含まれる．  3  1.96  2.58 95% 99%

正規分布の標準化

正規分布  : 標準偏差  : 平均値    = x u 変数変換 平均値０，標準偏差１の正規分布

標準正規分布(standard normal distribution) 余談：偏差値（standard score:SS) ) ( 10 50 ) (     = x x SS 余談：シックスシグマ 品質管理用語： １００万回で不良品３，４個を目指すもの． 北大・小野里 「システムマネジメント」 2012

問題A

学生320名の試験で，平均点52点，標準偏差は12点であった． (1) 点数 61点の学生Aの偏差値は？ (2) 偏差値70の学生の試験は何点と推定できる？ (3) 偏差値70の学生より上位に何人ぐらいいる？

(61-52)/12

×

10 + 50= (9/12)

×

10 + 50 = 57.5

52+(70-50)/10×12 = 76

偏差値70は上位2σ 約2.5%

320 × 0.025 = 8

ただし，試験成績分布が正規分布と仮定する．    2 68% 95%

精度と正確度

同一の対象に対して５つの異なる方法で測定した結果 A B C D E 図：鈴木武著：近代品質管理総論（日刊工業新聞社）より ばらつき 偏り 誤差 母平均 狭 狭 広 広 小 小 大 大 小 大 大 大 大 ？ ？ 平均値の偏り(bias) データのばらつき 正確度(accuracy) 精度(precision) 偏りは較正(calibration) によって取り除くことが できる（ことがある）． 北大・小野里 「システムマネジメント」 2012

母数の推定

母集団の母数  : 母標準偏差  : 母平均 n個のデータ n個のデータ n個のデータ n個のデータ 1 x 　 平均値 平均値 平均値 平均値 2 x 　 3 x 　 k x 　 平均値 の分布の期待値 　_x  = ) (x E 　 測定を繰り返すと， の平均値 は x 　 x 　   x 　 平均値 の分布の分散 　x n x V 2 ) ( = 　 n N n N x V 2 1 ) (    = 　 有限母集団(N) 無限母集団 母分散の推定 1  = n S V 　 不偏分散 unbiased estimate of variance 自由度 平方和

分散の加法性

確率変数 が互いに独立とする 分散

　

_x,

_y

確率変数 の分散 は

　

_z

=

_x



_y

2 2

,

_y x





　

2 z



　

2 2 2 y x z







=



　

が成り立つ．【分散の加法性】

y

x

z

=



　

でも一緒 平均値の分散



x

x

x

x

n



n

x

=

1

₁



₂



₃







　



2 2 2 2



2 2 2

1

1

3 2 1 x x x x x x

n

n









n





=











=

　

1



　

2



　

3



　

4



　

5



　



　

北大・小野里 「システムマネジメント」 2012

問題：組合せにおける許容差の設定

ブロック１個あたりの 許容誤差は？ １６枚 mm L=1600.8 　 mm D=10? 　 穴の直径D 軸の直径ｄ 穴と軸の加工精度（分散）は等しい 穴と軸のすきま D-d の許容範囲が mm d D =0.50.2 　 穴の直径と軸の直径の許容範囲は？ [1] [2] 許容範囲を で設定するとして3 …

２つの判断の誤り

 第１種の過誤（error of the first kind)

 異常原因がないのに，異常原因があったと判断する誤り（母

集団に変化がないのに，変化したと判断する誤り）

 別名 「あわて者の誤り」（error of commission)

 第２種の過誤(error of the second kind)

 異常原因があるのに，偶然原因として見逃してしまう誤り（母 集団に変化があるのに，変化がないと判断する誤り）  別名 「ぼんやり者の誤り」(error of omission) 鈴木武著：近代品質管理総論（日刊工業新聞社）より A B a b c d e 母集団 試料 cで母集団が変化と判断 _{あわて者の誤り} eで母集団が変化なしと判断 ぼんやり者の誤り 現実には母集団の分布A,B を見ることはできない！ 北大・小野里 「システムマネジメント」 2012

計量値の検定・推定

(1) 分散の差の検定

２つのデータのばらつきの差を不偏分散の比で検定

(2) 平均値の差の検定（分散に差がない場合）

(a) 比較対象の母集団の平均値，分散が既知 (b) 比較対象の母集団の平均値は既知，分散が未知 (c) ２つの試料平均値の差の検定

(3) 母平均の推定

試料平均値に対する信頼区間の決定

(4) サンプル数の決定

ある信頼区間で母平均を推定するために必要なサンプ ル数の決定

帰無仮説

帰無仮説(null hypothesis)とは

”差がない”，”効果がない”という仮説 この仮説が棄却されるとき，”差がある”，”効果がある”というこ とが結論づけられる． 帰無仮説と対立する仮説を対立仮説（alternative hypothesis） という．

有意水準(level of significance)とは

帰無仮説が成立しているにもかかわらず，帰無仮説を誤っ て棄却してしまう確率【第１種の過誤（あわて者の誤り）】 危険率ともいう． 0.01, 0.05が多く使用される． （1-危険率）＝信頼率 0

H

1

H

北大・小野里 「システムマネジメント」 2012

両側検定／片側検定

 検定する平均値について何の情 報もないとき 分布の両側で有意水準を設定 【両側検定】  検定する平均値について大小関 係がわかっているとき 分布の片側で有意水準を設定 【片側検定】 u(0.05) = 1.645 u(0.01)=2.326 2.5% 2.5% u(0.05) = 1.960 u(0.01)=2.576 5%

n

x

u

₀

=

_





正規分布の場合

分散の検定

A n B n A S B S 平方和 不偏分散 A A A A A S n S V  =  = 1

 

>1 = B A O V V F B B B B B S n S V  =  = 1

)

,

(

_{A, B}

F

F

=

a





１） 帰無仮説をたてる

2 2 2 1 0

:



=



H

２） 対立仮説をたてる

2 2 2 1 1

:







H

)

(

:

₁2 ₂2 1



>



またはその逆

H

→ 両側検定 → 片側検定

３） 不偏分散の比を求める

４） F分布表の と

比較をして判定する．

で棄却 を危険率 仮説 ₀

a

: H F F_O  を維持 仮説 ₀ : H F F_O < 北大・小野里 「システムマネジメント」 2012

平均値の検定（１）

母集団の平均 分散 が既知





2

)

(

a

u

１） 帰無仮説をたてる

0 0

:



=



H

２） 試料平均 を求める

３） を求める

４） 正規分布の危険率 で検定

で棄却 を危険率 仮説 ₀

a

0 u: H u  を維持 仮説 ₀ 0 u: H u <

x

0

u

n

x

u

/

0







=

2.5% 2.5%



n / 

x

平均値の検定（2）

母集団の平均 が既知，分散 が未知





2

a

１） 帰無仮説をたてる

0 0

:



=



H

２） 試料平均 と試料標準偏差 を求める

３） を求める

４） t分布の自由度 危険率 の で検定

で棄却 を危険率 仮説 ₀

a

0 t: H t  を維持 仮説 ₀ 0 t: H t <

x

0

t

n

x

t

e

/

0







=

e



1



n

t

(

n



1

,

a

)

試料からもとめた母集団の偏差の 推定値：不偏分散の平方根 北大・小野里 「システムマネジメント」 2012

平均値の検定（3）

a

１） 帰無 仮説をたてる

H

₀

:



_A

=



_B

２） 試料平均値 を求める

３） A,Bから母標準偏差を として推定する

5） t分布の自由度 危険率 の で検定

で棄却 を危険率 仮説 ₀

a

0 t: H t  を維持 仮説 ₀ 0 t: H t < e



B A B A e

S

S







=





t

A,B２つの試料平均値を検定する

B A

x

x ,

B A e B A

n

n

x

x

t

1

1

0





=



４） を求める

t

₀ B A







母平均の推定

点推定(point estimation)と

区間推定(interval estimation)

母平均（未知）

母平均の点推定： 試料平均値

x

x



母平均の区間推定：

母集団の分散 が既知の場合



2

n

u

x

n

u

x



(

a

)











(

a

)



母集団の分散 が未知の場合



2

n

V

n

t

x

n

V

n

t

x



(



1

,

a

)









(



1

,

a

)

信頼区間 試料平均 不偏分散 北大・小野里 「システムマネジメント」 2012

サンプル数の決定

ある分散 を持つ母集団の平均値を，ある信

頼区間で推定するには，サンプル数 をいくらに

すればよいか？

2



n

n

x

u

/

)

(





a

=



2

)

(















=

E

u

n

a



E

危険率 5% u(0.05) = 1.960 標準偏差 10 信頼区間 5 例：試験の平均点の推定 15.36 （~ 16人） 危険率 1% u(0.01) = 2.576 26.54（~ 27人）

計数値：不良率と欠点数

不良率(level of defectiveness)

母集団中に含まれる不良品の割合

2/20 = 0.1

欠点数(number of defects)

単位あたりに含まれる欠点（欠陥）の数

12/20 = 0.6

北大・小野里 「システムマネジメント」 2012

不良率の統計量

母集団の不良率 P 母集団から品物を 個ランダムに取り出した時に 不良品が 個となる確率

n

x

Px ) , , 2 , 1 , 0 ( ) 1 ( P x n P x n P_{x } x  n x =       =  二項分布（binominal distribution) 不良個数の期待値 分散 不良率の期待値 分散 nP x E( )= ) 1 ( ) (x nP P V =  P p E( )= n P P x V( )= (1 )/

欠点数の統計量

母集団の単位当たりの欠点数の平均値 m 試料中の単位あたりに欠点が 個現れる確率

x

Px ) , , 2 , 1 , 0 ( ! x n x m e P x m x = =   ポアソン分布（Poisson distribution) 欠点数の期待値 分散 m x E( )= m x V( )= 1 = m

x

x P 0 0.3595 ! 1 x e P_x  = 1 0.3595 2 0.1797 3 0.0599 4 0.0150 北大・小野里 「システムマネジメント」 2012

計数値の検定

○ ２つの不良率の差の検定

Aサンプル: A個検査してa個不良 Bサンプル：B個検査してb個不良

1) 帰無仮説を立てる． 「差がない」

2) 平均不良率を算出 p=(a+b)/(A+B)

3) u

0

を求める

4) 危険率5%または1%で検定する．

) 1 1 ( ) 1 ( ) ( 0 B A p p B b A a u =    

○ 従来の不良率との比較の場合（Bを従来とする）

A

p

p

p

A

a

u

₀

=

(



)

(

1



)

計数値の推定

○ 不良率の区間推定

n

p

p

u

p

P

=



(

a

)

(

1



)

/

○ 欠点数の推定

n

c

u

c

m

=



(

a

)

/

p

試料不良率

a

危険率

_n

試料数

c

単位当たり平均欠点数

a

危険率

n

試料単位数 北大・小野里 「システムマネジメント」 2012

問題

1) A国から輸入した商品サンプル10個について測定したところ，平方和が6.2， B国から輸入した商品サンプル8個について測定したところ，平方和が7.0で あった．ばらつきに差があるか？ ２）テスト成績の平均値をサンプルから推定したい．分布は正規分布で標準偏 差は８であることが分かっている．±２点の範囲で信頼性95％で推定するに は，何人分の採点をすればよいか？ ３）福田君と小沢君とで，おにぎりを作った．福田君は150個中30個，小沢君は 200個中25個が不良品であった．二人のおにぎり作りの技量に差がある か？ 29 . 3 ) 9 , 7 , 05 . 0 ( , 45 . 1 , 0 . 1 1 8 0 . 7 , 689 . 0 1 10 2 . 6 0=  = =  =   = F V V F V V A B B A 5 . 61 2 8 96 . 1 ) 05 . 0 ( 2 2_                = E u n  1150 1200 1.91, (0.05) 1.97 ) 157 . 0 1 ( 157 . 0 ) 125 . 0 2 . 0 ( 125 . 0 200 25 , 2 . 0 150 30 , 157 . 0 200 150 25 30 0=     = = = = =    = u u B b A a p

参考資料： Excelの統計関数

AVERAGE 平均値 MEDIAN 中央値 DEVSQ 平方和 STDEV 標準偏差（標本） STDEVP 標準偏差（母集合） VAR 分散（標本：不偏分散） VARP 分散（母集合） NORMSINV 標準正規分布表 NORMSINV(確率) FINV F分布表 FINV(確率, 自由度１,自由度２) TINV ｔ分布表 TINV(確率, 自由度) 北大・小野里 「システムマネジメント」 2012

品質の保証と検査

受入品質 の保証 外部に対する 品質の保証 工程間の 品質保証 受入検査 購入検査 外注検査 中間検査 工程検査 製品検査 最終検査 出荷検査

検査（inspection）

品物をなんらかの方法によって測定し，その結果を判定 基準と比較して，個々の品物の良・不良，あるいはロット の合格・不合格の判定を下すこと． (JIS)

検査の手順

検査単位の決定 検査特性の決定 検査方式決定 ロットを形成 試料の選別 検査基準と比較 合否の判定 不合格品の処置 検査結果の記録 検査特性の測定 試験 北大・小野里 「システムマネジメント」 2012

検査方法の分類

A) 全数検査

B) 抜取検査

C) 無検査

１) 破壊検査

強度試験，寿命試験

２) 非破壊検査

ア) 計数検査

不良品数，欠点数

イ) 計量検査

特性値

あ) 単品検査

個数が数えられる

い) バルク品検査

液体，粉体，繊維，..

抜取検査の概要

pN pN N 良品 不良品

x

x n ランダムサンプリング

n

良品 不良品 不良率 のロットから 個のサンプ ルをとったとき，不良品が 個含まれ る確率は？

n

x

p

                    = n N x pN x n pN N N p n x P( , | , ) 超幾何分布

（Hypergeometric Probability Distribution）

x

c



x

c

<

ロット合格 ロット不合格 判定基準値 N ロット 不良率 p 1 . 0 , 1 . 0   p N n でポアソン分布で近似可能 ! ) ( ) , ( x np e np x P x np  = 北大・小野里 「システムマネジメント」 2012

ポアソン分布の例

ポアソン分布(n=20, p=0.05) ! ) ( ) , ( x np e np x P x np  = 不良品数(x) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 012345 確率 不良率 サンプル数 判定基準 p n c のロットが合格する確率 L(p,n,c)



= 

=

c x x np

x

np

e

c

n

p

L

0

!

)

(

)

,

,

(

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 判定基準c 合格する 確率 L (n=20, p=0.05) 累積

検査特性曲線

検査特性曲線（operating characteristic curve：OC曲線）

サンプル数 n と判定基 準 c を与えたときの不 良率 p とロット合格率 L との関係を与える曲線 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 5% 10% 不良品率 ロ ット 合格確率 n=50, c=1 生産者危険 (producer’s risk) 良品ロットを不良とするリス ク：第一種の過誤(ex.0.05) 消費者危険 (consumer’s risk) 不良品ロットを良品とするリ スク：第二種の過誤(ex.0.1) a b 北大・小野里 「システムマネジメント」 2012

検査方法の経済性と選択

 検査の実施にはコストがかかる  精度の高い検査にはコストがかかる  不良品を出荷するとコストがかかる 全数検査：  不良品の出荷を防ぐことができる  コストがかかる  場合によっては精度が低下する 抜取検査：  不良品の出荷を確率的に発生  精度の高い検査が可能 無検査：  検査そのもののコストは発生しない  不良品が出荷されるリスクは発生 ロット不良率 総コ ス ト

その他の関係する項目

 ２つの特性間の関係の有無： 相関分析  相関が有意な２特性間の直線当てはめ： 直線回帰  相関が有意な３特性以上の平面の当てはめ 重回帰  複数の因子の間の効果の検定 分散分析  組合せの爆発を押さえる実験条件の計画 実験計画法  品質の高い製品の開発・設計手法 タグチメソッド 北大・小野里 「システムマネジメント」 2012

付録 F分布表

F

=

F

(

a

,



_A,



_B

)

05 . 0 = a 1 3 5 7 9 15 30 1 161.45 215.71 230.16 236.77 240.54 245.95 250.10 3 10.13 9.28 9.01 8.89 8.81 8.70 8.62 5 6.61 5.41 5.05 4.88 4.77 4.62 4.50 7 5.59 4.35 3.97 3.79 3.68 3.51 3.38 9 5.12 3.86 3.48 3.29 3.18 3.01 2.86 15 4.54 3.29 2.90 2.71 2.59 2.40 2.25 30 4.17 2.92 2.53 2.33 2.21 2.01 1.84 A



B



01 . 0 = a



A B



1 3 5 7 9 15 30 1 4052.18 5403.35 5763.65 5928.36 6022.47 6157.28 6260.65 3 34.12 29.46 28.24 27.67 27.35 26.87 26.50 5 16.26 12.06 10.97 10.46 10.16 9.72 9.38 7 12.25 8.45 7.46 6.99 6.72 6.31 5.99 9 10.56 6.99 6.06 5.61 5.35 4.96 4.65 15 8.68 5.42 4.56 4.14 3.89 3.52 3.21 30 7.56 4.51 3.70 3.30 3.07 2.70 2.39

付録 ｔ分布表

t

=

t

(



,

a

)

05 . 0 = a a=0.01 1 12.71 63.66 2 4.30 9.92 3 3.18 5.84 4 2.78 4.60 5 2.57 4.03 6 2.45 3.71 7 2.36 3.50 8 2.31 3.36 9 2.26 3.25 10 2.23 3.17 15 2.13 2.95 20 2.09 2.85 25 2.06 2.79 30 2.04 2.75 50 2.01 2.68 100 1.98 2.63



北大・小野里 「システムマネジメント」 2012

演習問題

３つの測定データA, B, C

A

B

C

15, 17, 21, 22, 19, 22, 27, 19, 22, 26 データ数 10 平均値 21.0 偏差平方和 124 14, 19, 21, 23, 24, 16, 17, 18 データ数 8 平均値 19.0 偏差平方和 84 １． AとB，AとCの組に関して分散の差の検定を行いなさい ２． 分散の差の検定に合格したならば， 平均値の検定(3)を行いなさい 14, 17, 20, 19, 21, 14, 13, 18 データ数 8 平均値 17.0 偏差平方和 64

演習問題（解答）

１． AとB，AとCの組に関して分散の差の検定を行いなさい ２． 分散の差の検定に合格したならば， 平均値の検定(3)を行いなさい 68 . 3 ) 7 , 9 , 05 . 0 ( , 508 . 1 , 148 . 1 14 . 9 ) 1 8 ( , 12 ) 1 8 ( , 78 . 13 ) 1 10 ( =     = =  =   = F V V V V S V S V S V C A B A C C B B A A 17 . 1 8 1 10 1 61 . 3 19 21 , 61 . 3 7 9 84 124 B A    =    =   = S S t B A B A e    　 と 46 . 2 8 1 10 1 43 . 3 7 1 21 , 43 . 3 7 9 64 124 C A C C    =    =   = S S t A A e    　 と 95 . 2 ) 01 . 0 , 15 ( ) 01 . 0 , 16 ( , 13 . 2 ) 05 . 0 , 15 ( ) 05 . 0 , 16 ( t = t t = t