虚数化学ポテンシャルを利用した QCD 相図の研究 柏浩司 理研 BNL 研究センター 共同研究者 : 河野宏明 ( 佐賀大学 ) 八尋正信 ( 九州大学 ) 境祐二 ( 理化学研究所 ) 佐々木崇宏 ( 九州大学 ) Robert D. Pisarski Vladimir V. Skokov (B

虚数化学ポテンシャルを利用したQCD相図の研究

柏　浩司

共同研究者： 河野　宏明　　 （佐賀大学） 八尋　正信　　 （九州大学） 境　祐二　　　 （理化学研究所） 佐々木　崇宏　（九州大学） 三角　樹弘　　（慶応大学） Related topic： 門内　晶彦　　（理研BNL研究センター）

理研BNL研究センター

Robert D. Pisarski (Brookhaven National Laboratory, 理研BNL研究センター)

Introduction : Quark and gluon

本発表のテーマ　：　有限温度・密度における 量子色力学 (QCD) の相構造

異なる状態は存在するのか？　もし存在するならば、どのような条件下で？

クォークとグルーオンはハドロン内部に閉じ込められている。

Relativistic Heavy Ion Collider (RHIC) や Large Hadron Collider (LHC) の実験では ハドロンの状態では説明できない実験データが得られている！

疑問　：

少なくともクォークやグルーオンが単体で観測されたことはない。

どのような状態になっているのか？ どのような状況で実現するのか？

Introduction : Phase diagram

例えば水　　　

図、写真：from Wikipedia

クォーク・グルーオン系の相図？

Introduction : Phase diagram

相図：クォーク・グルーオン系

最近の予想図 様々な相が予想されているが・・・ あくまで予想。 定量的にも定性的にもはっきりしていない。

Introduction : Phase diagram LHC RHIC GSI JPARC Ea rl y u n iv er se Compact star ρ₀ AGS SPS KEK-PS

相図：クォーク・グルーオン系

実験や観測にも重要！

Phase transition

非閉じ込め相転移

カイラル相転移

_{カイラル対称性 ：} ポリヤコフ-­‐ループ  

0

σ

=

0

σ

≠

1-­‐クォークの自由エネルギー  

0

Φ =

　

L

/

~

_e

−F T

Φ

_{Φ =}

₁

_L

_{F =}

F = ∞

₀

L.  D.  McLerran  and    B.  Sve1tsky,  Phys.  Rev.  D  24  (1981)  450.  

F

, , T

_µ

V qq σ = 1 Tr c L N Φ = QCDにおいてクォークの左巻き成分と右巻き成分を独立に変換した際の対称性。 秩序変数 : カイラル凝縮 陽子や中性子の質量の大部分の由来。 Z₃ 対称性 (SU(3)群の中心) ： 純ゲージ理論における対称性。 （虚数時間方向の境界でtwistさせる） （カレント質量0において）

今回の発表で取り扱う相転移

(主に非閉じ込め相転移)

Problem?

QCDの第一原理計算は格子QCD（数値）計算

符号問題

(

)

( )

_q

Udet[

] exp

_G

Z

_µ

₌

_∫

_D

_M

₋

S

(

)

1

U

det[

] exp

S

_G

Z

=

_∫

−

O

D

O

M

確率  

( )

exp(

_i

)

i

Z

τ

=

∑

−

βε

Probability   1 1

exp(

)

( )

1

( )

P

Z

βε

ε

τ

−

=

≤

Par11on  func1on   Sta1s1cal  dynamics   4 0 ( )_q Dµ _q m µ

µ

=

γ

+

γ µ

+ M Dirac  operator  :     確率（と解釈している部分）が   負になったり複素数になると問題！

符号問題を回避（解決）する試み

テーラー展開法 最重みつけ法 等が提案されているが高実数化学ポテンシャル領域へは到達できない。 解析接続 カノニカルアプローチ

Problem?

模型の不定性

第一原理計算が無理なら有効模型（もしくは理論）は？

M.  Stephanov,  Prog.  Theor.  Phys.  Suppl.  153  (2004)  139.

 M.  Kitazawa,  T.  Koide,  T.  Kunihiro  and  Y.  Nemoto,    Prog.  Theor.  Phys.  108  (2002)  929.  

NJL+CSC+Gv  case  

Ginzburg-­‐Landau  approach    

T.  Hatsuda,  M.  Tachibana,  N.  Yamamoto  and  G.  Baym,     Phys.  Rev.  leX,  97  (2006)  122001.  

Sign problem free systems

符号問題のない場合：

これらを利用できないか？

格子QCD（数値）計算と模型計算をより密接に結びつける。

虚数化学ポテンシャル

アイソスピン化学ポテンシャル (ただしバリオン化学ポテンシャルは0)

2カラーQCD

などなど 我々の手法 虚数化学ポテンシャルを利用して

以上の理由のため、格子ＱＣＤでも有効模型でも信頼できる相図を得ることができていない。

Z

₃

対称性

Z₃ symmetry

クォークの寄与  

(explicit  center  symmetry  breaking)

純ゲージ理論 :   非閉じ込め相での模式図 Im  Φ Re  Φ 非閉じ込め 閉じ込め 三つの縮退した極小値は   　　　　　　　純ゲージ理論の持つ_Z3対称性からくる。 クォークは_Z3対称性を破る。 三つの縮退した極小値の内二つはmtastableに。 虚数化学ポテンシャルを入れると？ 虚数化学ポテンシャルを考える前に純ゲージ理論を考える。

Imaginary chemical potential

虚数化学ポテンシャルには特徴的な性質がある。

(  物性系の AB  phase  がある場合に似ているが異なる )

Roberge Weiss (RW) phase transition line

RW endpoint 2π/3

相図：虚数化学ポテンシャル

実数化学ポテンシャルとは   全く異なる。 非自明な対称性が現れる。 Roberge-­‐Weiss  (RW)  周期性 横軸方向に一次相転移が現れる。 RW相転移

Imaginary chemical potential

相図：虚数化学ポテンシャル

/

Canonical

( , )

I Grand Canonical

iB T I

Z

T B

d

e

Z

T

µ

µ

+∞ ₋ −∞

⎛

⎞

=

_⎜

_⎟

⎝

⎠

∫

/

Grand Canonical

( ,

)

R Canonical

( , )

B T R B

Z

T

e

µ

Z

T B

µ

+∞ =−∞

=

∑

Fugacity  展開:   フーリエ変換:   2π/3

A. Roberge and N. Weiss, Nucl. Phys. B275 (1986) 734.

偶関数はとがりを、 奇関数は飛びを持つ。

この共存については、   K.K.,  M.  Yahiro,  H.  Kouno,     M.  Matsuzaki,  Y.  Sakai,   J.  Phys.  G  36  (2009)  105001.  

Standard methods : Analytic continuation

解析接続を利用

図：　P. de Forcrand, S. Kratochvila,

Nucl. Phys. B (Proc. Suppl.) 153 (2006) 62.

0 1 0 1

[ ,

]( )

M i M i i N i N i

a

a

a

P N M

b

b

b

µ

µ

µ

µ

µ

+

+

+

=

+

+

+

L

L

虚数化学ポテンシャルでデータを集める。 接続するための関数を用意する。 例： 格子_{QCD計算結果だけを元に計算：}

Standard methods : Canonical approach

カノニカル分配関数を利用

図：　P. de Forcrand, S. Kratochvila,

Nucl. Phys. B (Proc. Suppl.) 153 (2006) 62.

Maxwell  contrac1on  を調べる。 一次相転移があるならば、  

（有限系において）S字型が得られる！

S字型が消える温度をサーチする。

/

Canonical( , ) I Grand Canonical

iB T I Z T B d e Z T µ µ +∞ − −∞ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠

∫

Problem?

収束半径の問題がある　 (Analytic continuation)

相転移次数の変化はわからない　(Analytic continuation)

系のサイズを大きくしずらい　（Canonical approach）

カラー超伝導相などは議論できない　（Canonical approach, Analytic continuation）

そこで、有効模型と組み合わせる。

相転移のダイナミクスは入っている。

パラメータなどを虚数化学ポテンシャルで決める。

Recent model development

フェルミオン

どのような模型を使えばよいか？

Nambu-­‐Jona-­‐Lasinio  模型 を元にする。

Quark-­‐meson  模型も使われているが基本的にはNJL模型と同等。 T. Eguchi, Phys. Rev. D14 (1976) 2755.

( )

(

2 ₂

)

0 5

(

)

_s

(

)

q i

µ

m q G

qq

qi

q

µ

γ

γ τ

=

∂ −

+

+

r

L

( )

(

2 ₂

)

0 5

(

)

_s

(

)

( , )

q i D

µ

m q G

qq

qi

q

U

µ

γ

γ τ

=

−

+

+

r

−

Φ Φ

L

(

)

3 3 3

2

( )

ln 1 (

)

(2 )

E E E P M f c

d p

U

U

N

N E p

T

e

e

e

V

β β β

π

− − − − − −

Ω

_⎡

=

+

−

+

+ Φ + Φ

+

⎣

∫

(

3

)

ln 1 (

E

)

E E

T

e

−β +

e

−β +

e

− β +

⎤

+

+ Φ + Φ

+

⎦

2 2 M s v

U

=

G

_σ

−

G

_ω

Nambu—Jona  -­‐Lasinio  (NJL)  模型

Polyakov-loop extended Nambu—Jonal Lasinio (PNJL) 模型

平均場近似 熱力学ポテンシャル グルーオンの寄与を適切に取り込んでいない場合、   RW周期性は無くなり自明な 2  π 周期性のみになる。 (この模型は 2π  周期性しか持たない) グルーオンからの寄与

K. Fukushima, Phys. Lett. B 591 (2004) 277.

グルーオン

Recent model development

Polyakov-­‐loop  poten1al

Meisinger-­‐Miller-­‐  Ogilvie  model

Matrix  model  for  deconfinement

Effec1ve  poten1al  from  (Landau  gauge)  gluon  and  ghost  propagator

純ゲージ理論での強結合展開

グルーオンに質量(like)なパラメータを入れ、その有効ポテンシャルの高温展開（二次まで）

MMO模型の拡張

格子QCDでのグルーオンとゴーストの伝播関数を利用

純ゲージ極限では格子QCD計算が可能なので、それを再現するように用意。

P. N. Meisinger, T. R. Miller, M. C. Ogilvie, PRD 65 (2002) 034009.

A. Dumitru, Y. Guo, Y. Hidaka, C. P. K. Altes, R. D. Pisarski, PRD 83 (2011) 034022. K. Fukushima, Phys. Lett. B 591 (2004) 277.

+

K. Fukushima, K.K. , Phys. Lett. B 723 (2013) 360.

どの模型を使っても（クォーク部分を正確に取り扱うと）、  

Results

(

)

2 v

G q q

µ

γ

ベクター型相互作用　： ω0  _{mode  に関係し、クォーク数密度に敏感な相互作用} 模型の不定性 ： クォークの寄与 相互作用が大きい場合、_{cri1cal  endpoint  が消滅し、}   相図が定量的にも定性的にも変わってしまう。 例えば、

K. K., H. Kouno, M. Matsuzaki and M. Yahiro, Phys. Lett. B662 (2008) 26.　　

Set C 0 θ = 0.4 θ = 0.8 θ = 1.0 θ =

Y. Sakai, K. K, H. Kouno, M. Matsuzaki and M. Yahiro, Phys. Rev. D 79 (2009) 096001.　　　　　　

P. de Forcrand and O. Philipsen, Nucl. Phys. B 642 (2002) 290. L. K. Wu, X. Q. Luo and H. S. Chen, Phys. Rev. D 76 (2007) 034505. Lattice data:

Results 模型の不定性 ：グルーオンの寄与 ゼロ化学ポテンシャル RW endpoint Colombia plot 相転移の次数を   クォークの質量でプロットした図 フェルミオン部分だけでなくグルーオン部分にも強い模型依存性 クォーク質量が大きい領域でグルーオン部分の不定性が大きく現れる。 RW  endpoint  上では1stの領域が広がり、大きな変化が生じる可能性がある。 Matrix   フェルミオン部分の不定性にも依存するが、 部分が全てに一次になる場合がある。   Polyakov-­‐Log  は   1  GeV  までには   相境界がない。

K.K., V. V. Skokov, R. D. Pisarski, Phys. Rev. D85 (2012) 114029. K.K., R. D. Pisarski, Phys. Rev. D87 (2013) 096009.

Other topic : Center domain in heavy ion collision

Center  domain  structure

もし擬臨界温度より高い温度が実験において実現されたならば center  domain  構造が現れる可能性がある。   純ゲージ理論でのZ3  対称性の名残りより いろいろな実験結果が自然に説明できる。 LHCより更に高い温度が実現された場合、急激なviscosityの変化が見える可能性。 (  有効的なフレーバー数が変わり meta-­‐stable  minima  が実現しなくなる ) ただし、center  domainが物理的ではないという主張もある。 ジェット クエンチング

Share  viscosity  と entropy  density  の比の変化

純ゲージ理論を使った先行研究 :  M. Asakawa, S. A. Bass, B. Müller, Phys. Rev. Lett. 110 (2013) 202301.

K.K., A. Monnai, in preparation. 等々 虚数化学ポテンシャルを利用してZ₃対称性（のレムナント）を調べることは実験結果の解釈にも有用。 クォークの寄与を入れるとより自然に記述できる。 Global  minima Metastable

V. Belyaev, I. I. Kogan, G. Semenoff, and N. Weiss, Phys.Lett. B277 (1992) 331.

Related topic : Hosotani mechanism

虚数化学ポテンシャルはQCD相図の研究以外でも重要。

標準模型を超えた理論の構築にも。

ω

_nf

 =  2πT  (n  +  1/2)  +  µ

_I フェルミオン松原振動数

ω

_n φ

 =  2πT  (n  +  φ)

任意の境界条件下での松原振動数

ω

_n

 

φ

 =  2πT  (n  +  1/2)  –  πT  +  2πTφ

任意の境界条件を表す角 虚数化学ポテンシャル 反周期境界条件より

フェルミオンの境界条件は

細谷機構

に重要！

もし余剰次元が系に非単純に結合しているとき（ゲージ対称性の破れが起きるとき）、   　　　　　　余剰次元成分のゲージ場がゼロでない真空期待値を持つ。 ヒッグス粒子は余剰次元成分の   ゲージ場の揺らぎと解釈できる。  

細谷機構： _{Y.  Hosotani,  Phys.  LeX.  B  126  (1983)  309;}                                                                Ann.  Phys.  190  (1989)  233.  

この部分はまさに   虚数化学ポテンシャル

Related topic : Hosotani mechanism

q

₁  

=  q

₂  

≠

 _q

₃    

_:

_{SU(2)  ×U(1)  ,}  

この場合ゲージ対称性が破れる。 Eigen  value

例えば_,

q

₁  

≠

 q

₂  

≠

 q

₃    

U(1)  ×U(1)

:

Wilson  loop  in  compacted  direc1on

aPBC  adjoint

SU(3)   SU(2)×U(1)   U(1)×U(1)   Large  m Medium  m Small  m

PBC  adjoint

N個の位相 (q_i)

K.K., T. Misumi, JHEP 05 (2013) 042. 以下では虚時間軸をコンパクト次元としている。

Summary 格子ＱＣＤ計算と有効模型計算をこれまで以上に結びつけ、相図の研究を行った。 虚数化学ポテンシャルが実数化学ポテンシャルの情報をほぼ全て有している 符号問題がないため格子ＱＣＤ計算が実行可能 虚数化学ポテンシャル領域で相互作用を決定し、その模型を用いて相図を描いた。 より正確な相図を描くには更に格子QCD計算のデータが必要だが、 虚数化学ポテンシャルを利用することでcenter domain 構造をより正確に調べることができる。 ジェットクエンチングなどへの影響。 実数化学ポテンシャル領域を定量的に議論できる可能性を示した。 虚数化学ポテンシャルはフェルミオンの境界条件に変換できるため、細谷機構の研究にも関係する。 標準理論を越えた物理への適用。