半導体スピン用いた量子情報処理 阿部英介 慶應義塾大学スピントロニクス研究センター 応用物理情報特別講義 A 2018 年度春学期後半金曜 4

阿部 英介

慶應義塾大学スピントロニクス研究センター

応用物理情報特別講義A

2018年度春学期後半 金曜4限@14-202

量子コンピュータ・ショーケース

Nature 464, 45 (2010) Ladd et al. 捕捉イオン/冷却原子

光回路

超伝導回路 (2018 ver.)

©Google ©IBM ©Intel

半導体スピン

31_P

半導体スピン 31_P 28_Si

応用物理 86 (6), 453 (2017) 阿部 & 伊藤

“固体量子情報デバイスの現状と将来展望

—万能ディジタル量子コンピュータの実現に向けて”

半導体スピン

31_P

28_Si

Defects in Advanced Electronic Materials and Novel Low

Dimensional Structures, P.241–263, Abe & Itoh

“Defects for quantum information processing in silicon”

半導体スピン

固体物理 48 (11), 541 (2013) 山本 & 阿部

“光制御量子ドットスピンを用いた量子情報システム

の現状と将来展望”

光技術コンタクト 51 (5), 10 (2013) 阿部

“量子中継と量子ドットスピン–光子間量子もつれ”

半導体スピン

NEW DIAMOND

33 (2), 3 (2017) 阿部 & 伊藤

“スピントロニクス研究の原点からダイヤモンド

でのトレンド, 今後の展開まで”

J. Appl. Phys.

123, 161191 (2018) Abe & Sasaki

“Tutorial: Magnetic resonance with nitrogen-vacancy centers in diamond

—microwave engineering, materials science, and magnetometry”

半導体スピン

31_P

28_Si

本日カバーする範囲

(材料はシリコンに限定)

講義内容

•

磁気共鳴と量子コヒーレンス

–

アンサンブルリンドナー

•

シリコンスピン量子コンピュータ

–

単一リンドナー

–

MOS量子ドット

–

Si/SiGe量子ドット

講義内容

•

磁気共鳴と量子コヒーレンス

–

アンサンブルリンドナー

•

シリコンスピン量子コンピュータ

–

単一リンドナー

–

MOS量子ドット

–

Si/SiGe量子ドット

シリコン中のリンドナー

e

低温下(< 10 K): 電子はリンに束縛される

(水素原子様浅い不純物)

III

(13)

(14)

IV

(15)

V

B C N

Al

Si P

Ga Ge As

P

シリコン中のリンドナー

_P

_Si

e

_Si

28

_{Si :}

29

_{Si (I = ½) :}

30

_{Si = 92.2% : 4.7% : 3.1%}

III

(13)

(14)

IV

(15)

V

B C N

Al

Si P

Ga Ge As

31

_{P (I = ½) = 100%}

磁気環境

シリコン中のリンドナー

_P

e

同位体制御

28

_{Si → 99.995%}

III

(13)

(14)

IV

(15)

V

B C N

Al

Si P

Ga Ge As

31

_{P (I = ½) = 100%}

磁気環境

シリコン中のリンドナー

𝐻

₀

= 𝛾

_e

𝐵

₀

𝑆

_𝑧

− 𝛾

_P

𝐵

₀

𝐼

_𝑧

+ 𝑎

₀

𝑆

_𝑧

𝐼

_𝑧

γ

= 27.97 GHz/T

γ

= 17.23 MHz/T

a

= 117.53 MHz

B

~ 350 mT (X-band)

スピンハミルトニアン

𝑆

=

𝜎

_{2 =}

1

₂

1

_{0 −1}

0

𝐼

=

𝜎

_{2 =}

1

₂

1

_{0 −1}

0

𝛾

= 𝑔𝜇

ℏ = 1

シリコン中のリンドナー

𝐻

₀

= 𝛾

_e

𝐵

₀

𝑆

_𝑧

− 𝛾

_P

𝐵

₀

𝐼

_𝑧

+ 𝑎

₀

𝑆

_𝑧

𝐼

_𝑧

スピンハミルトニアン

=

𝛾

_{2 (𝜎}

𝐵

⊗ 𝐼) −

𝛾

_{2 (𝐼 ⊗ 𝜎}

𝐵

) +

𝑎

_{4 (𝜎}

⊗ 𝜎

)

=

𝛾

₂

𝐵

1

_{0 −1 ⊗}

0

1 0

_{0 1 −}

𝛾

₂

𝐵

1 0

_{0 1 ⊗}

1

_{0 −1 +}

0

𝑎

₄

1

_{0 −1 ⊗}

0

1

_{0 −1}

0

=

𝛾

𝐵

2 −

𝛾

𝐵

2 +

𝑎

4

0

0

0

0

𝛾

_{2 +}

𝐵

𝛾

_{2 −}

𝐵

𝑎

₄

0

0

0

0

−

𝛾

_{2 −}

𝐵

𝛾

_{2 −}

𝐵

𝑎

₄

0

0

0

0

−

𝛾

_{2 +}

𝐵

𝛾

_{2 +}

𝐵

𝑎

₄

|

_↓

_⇑

_〉

|

_↓

_⇓

_〉

|

_↑

_⇓

_〉

|

_↑

_⇑

_〉

シリコン中のリンドナー

𝐻

₀

= 𝛾

_e

𝐵

₀

𝑆

_𝑧

− 𝛾

_P

𝐵

₀

𝐼

_𝑧

+ 𝑎

₀

𝑆

_𝑧

𝐼

_𝑧

γ

= 27.97 GHz/T

γ

= 17.23 MHz/T

a

= 117.53 MHz

B

~ 350 mT (X-band)

|

_↓

_⇓

_〉

|

e

,

n

_{〉 = |}

_↑

_⇓

_〉

|

↑

⇑

〉

|

_↓

_⇑

_〉

ν

ν

ν

ν

ν

= γ

B

− a

/2

ν

= γ

B

+ a

/2

ν

= a

/2 + γ

B

ν

= a

/2 − γ

B

a

/γ

= 4.2 mT

アンサンブル電子スピン共鳴(磁場掃引)

スピンハミルトニアン

磁気共鳴

𝑑𝝁

𝑑𝑑 = 𝝁 × 𝛾𝑩

0

トルク方程式(ラーモア歳差運動)

磁気モーメント: 𝝁 = 𝛾𝑱

磁気回転比

𝑥

静止座標系: 角速度𝛾𝐵

で回転して見える

𝑥�

Ω

角速度Ωで回転する座標系:

遅くなって見える. なぜ??

𝑧方向の磁場が弱くなったから

𝐵

₀

𝝁

𝛾𝐵

₀

静磁場

磁気共鳴

𝑥

静止座標系: 角速度𝛾𝐵

で回転して見える

𝑥�

Ω

角速度Ωで回転する座標系:

遅くなって見える. なぜ??

𝑧方向の磁場が弱くなったから

𝐵

₀

𝐵

₁

𝑥�

𝑧̂

Ω

𝛾

_𝐵

_eff

_{= 𝐵}

₁

_{𝑥� + 𝐵}

₀

₋

Ω

𝛾 𝑥�

𝑥𝑥平面を角速度Ωで回転する交流磁場

有効磁場

𝐵

₀

𝝁

𝛾𝐵

₀

静磁場

磁気共鳴 = 1量子ビット操作

𝐵

₁

𝑥�

𝝁

Ω = 𝛾𝐵

で回転する座標系

𝜇𝑧̂ (𝑑 = 0)

π/2パルス

−𝜇𝑥� (𝑑 = 4/𝛾𝐵

)

•

交流磁場の位相を調整すれば±𝑥�, ±𝑥�軸周りの回転が実現

πパルス

−𝜇𝑧̂ (𝑑 = 2/𝛾𝐵

)

静止座標系

•

静止座標系では𝑧̂軸周りの回転が加わる

量子コンピューティングの難しさ

•

量子情報を位相に書き込み, 量子干渉により解の

状態を抜き出す

→ 計算中に位相コヒーレンスを保つことが必要

•

量子状態は複製できない(任意の状態 𝜙 に対して

𝑈 𝜙 0 = 𝜙 𝜙 となるユニタリ演算子𝑈は存在し

ない)

→ 量子誤り訂正符号

& 誤り耐性量子計算

(フォールトトレラント, fault tolerant)

量子コヒーレンス

|0〉

|1〉

T

: 重ね合わせ状態の持続時間

電子スピンコヒーレンス: T

_2e

π/2

π

ν

π/2

τ

π

τ

_Echo

|

_↓

_⇓

_〉

|

e

,

n

_{〉 = |}

_↑

_⇓

_〉

|

↑

⇑

〉

|

_↓

_⇑

_〉

ν

(ν

)

スピンエコー

電子スピンコヒーレンス: T

_2e

核スピンコヒーレンス: T

_2n0

Transfer to e-spin

ν

π/2

π

Echo

π

π

π

ν

_π

τ

_π

τ

_π

Transfer to n-spin

|

_↓

_⇓

_〉

|

e

,

n

_{〉 = |}

_↑

_⇓

_〉

|

↑

⇑

〉

|

_↓

_⇑

_〉

ν

核スピンコヒーレンス: T

_2n0

Transfer to e-spin

ν

π/2

π

Echo

π

π

π

ν

_π

τ

_π

τ

_π

Transfer to n-spin

Nature 455, 1085 (2008) Morton et al.

ν

|

_↓

_⇓

_〉

|

e

,

n

_{〉 = |}

_↑

_⇓

_〉

|

↑

⇑

〉

核スピンコヒーレンス: T

_2n0

Transfer to e-spin

ν

π/2

π

Echo

π

π

π

ν

_π

τ

_π

τ

_π

Transfer to n-spin

Nature 455, 1085 (2008) Morton et al.

ν

|

_↓

_⇓

_〉

|

e

,

n

_{〉 = |}

_↑

_⇓

_〉

|

↑

⇑

〉

核スピンコヒーレンス: T

_2n0

Transfer to e-spin

ν

π/2

π

Echo

π

π

π

ν

_π

τ

_π

τ

_π

Transfer to n-spin

Nature 455, 1085 (2008) Morton et al.

|

_↓

_⇓

_〉

|

e

,

n

_{〉 = |}

_↑

_⇓

_〉

|

↑

⇑

〉

核スピンコヒーレンス: T

_2n0

Phys. Rev. 103, 500 (1956) Feher

G. Feher (©R.A. Icaacson)

Phys. Rev. 103, 501 (1956) Feher & Gere

Electron Nuclear DOuble Resonance

Phys. Rev. 103, 501 (1956) Feher & Gere

(π-pulse on e-spin)

Phys. Rev. 103, 501 (1956) Feher & Gere

(π-pulse on e-spin)

(π-pulse on n-spin)

核スピンコヒーレンス: T

_2n+

Science 342, 830 (2013) Saeedi et al.

Prepare Manipulation Readout

講義内容

•

磁気共鳴と量子コヒーレンス

–

アンサンブルリンドナー

•

シリコンスピン量子コンピュータ

–

単一リンドナー

–

MOS量子ドット

–

Si/SiGe量子ドット

シリコンスピン量子ビット

単一リンドナー

MOS量子ドット

ディビンチェンゾの要請

Fortschr. Phys. 48, 771 (2000) DiVincenzo

D. DiVincenzo (©RWTH Aachen U.)

1. スケーラブルな量子ビット列

2. 初期化

3. 長いコヒーレンス時間

4. ユニバーサル量子ゲート

5. 射影測定

ディビンチェンゾの要請

Fortschr. Phys. 48, 771 (2000) DiVincenzo

D. DiVincenzo (©RWTH Aachen U.)

1. スケーラブルな量子ビット列

→ スピン系における最大の課題

2. 初期化

→ スピン緩和(T

₁

), スピン依存トンネル etc

3. 長いコヒーレンス時間

→ T

_2e

= 10 s

(*1)

, T

_2n

= 180 min

4. ユニバーサル量子ゲート

→ 1量子ビット制御 + CNOT

5. 射影測定

→ スピン・電荷変換

ディビンチェンゾの要請

Fortschr. Phys. 48, 771 (2000) DiVincenzo

D. DiVincenzo (©RWTH Aachen U.)

1. スケーラブルな量子ビット列

→ スピン系における最大の課題

2. 初期化

→ スピン緩和(T

₁

), スピン依存トンネル etc

3. 長いコヒーレンス時間

→ 表面符号による誤り耐性

(T

₂

→∞)

4. ユニバーサル量子ゲート

→ 1量子ビット制御 + CNOT

5. 射影測定

→ スピン・電荷変換

フェデリティ

>

99%

©UNSW A. Morello

A. Dzurak

J. Pla F. Zwanenburg

Nature 467, 687 (2010) Morello et al.

SET

_{P donor}

単電子トランジスタ

SET

V

I

V

V

V

> 0

μ(N)

μ(N + 1)

μ

E

μ

N – 2

E

/α

I

(A

)

V

(V)

N – 1

N

α

: レバーアーム (eV/V)

クーロン振動

ドナー・SETハイブリッド

SET

_{P donor}

V

I

V

V

V

> 0

V

C

V

D

D

スピン・電荷変換

Nature 467, 687 (2010) Morello et al.

Source

Drain

SET

I

Donor

E(D

_{) – E(D}

_{) = 45 meV}

E

= 1.5 meV

E

= 28 GHz = 116 μeV @B

= 1 T

μ

μ

μ

μ

V

t

Load

Empty

Read

I

t

スピン測定(↓)

(GaAs QD) Nature 430, 431 (2004) Elzerman et al.

Source

Drain

SET

I

Donor

In

E(D

_{) – E(D}

_{) = 45 meV}

E

= 1.5 meV

E

= 28 GHz = 116 μeV @B

= 1 T

μ

μ

μ

μ

V

t

Load

Empty

Read

I

t

スピン測定(↓)

In

Out

(GaAs QD) Nature 430, 431 (2004) Elzerman et al.

Source

Drain

SET

I

Donor

E(D

_{) – E(D}

_{) = 45 meV}

E

= 1.5 meV

E

= 28 GHz = 116 μeV @B

= 1 T

μ

μ

μ

μ

V

t

Load

Empty

Read

I

t

スピン測定(↑)

In

(GaAs QD) Nature 430, 431 (2004) Elzerman et al.

Source

Drain

SET

I

Donor

E(D

_{) – E(D}

_{) = 45 meV}

E

= 1.5 meV

E

= 28 GHz = 116 μeV @B

= 1 T

μ

μ

μ

μ

V

t

Load

Empty

Read

I

t

スピン測定(↑)

Source

Drain

SET

I

Donor

In

Out In

Out

(GaAs QD) Nature 430, 431 (2004) Elzerman et al.

E(D

_{) – E(D}

_{) = 45 meV}

E

= 1.5 meV

E

= 28 GHz = 116 μeV @B

= 1 T

電子スピン単発読み出し

Nature 489, 541 (2012) Pla et al.

ラビ振動:

_{Siデバイス}

同位体

_{Si(99.92%)デバイス}

Nature Nano. 9, 986 (2014) Muhonen et al.

スピンエコー: T

_2e

π/2 π π/2

τ τ

Nature Nano. 9, 986 (2014) Muhonen et al.

t = 0

X(π/2)

X(π)

X(π/2)

(共鳴周波数の回転系)

_Si

ラムゼー干渉: T

_2e

*

π/2 π/2

τ

Nature Nano. 9, 986 (2014) Muhonen et al.

28

_Si

t = 0 t = τ

(共鳴から少し外れた回転系)

Nature 496, 334 (2013) Pla et al.

•

電子スピン遷移周波数ν

= γ

B

∓ a

/2は核スピン状態に依存する

•

電子スピン遷移によって核スピン状態は変わらない

ラビ振動(

_Si)

_{ラムゼー干渉(}

_Si)

エコー(

_Si)

単一核スピンコヒーレント制御

Nature 496, 334 (2013) Pla et al.

ラビ振動(

_Si)

_{ラムゼー干渉(}

_Si)

単一核スピンコヒーレント制御

Nature Nano. 9, 986 (2014) Muhonen et al.

Nature 526, 410 (2015) Veldhorst et al.

Nature Nano. 9, 981 (2014) Veldhorst et al.

©UNSW

MOS型2重量子ドット

C

C

V

_C

V

C

クロストーク

C

C

N

N

V

I

(A

)

SET電荷センサ

近傍のQDsの電子数変化に

鋭敏に応答

SET

C

MOS型2重量子ドット

Nature 526, 410 (2015) Veldhorst et al.

2電子状態

(

N

₂

,N

₁

) = (0,1)

(1,1)

(1,2)

(0,2)

ε > 0

(0,2)

(1,1)

|0,

↑

↓

−

↓

↑

⟩

ε < 0

|

↑

,

↑

⟩, |

↓

,

↑

⟩, |

↑

,

↓

⟩, |

↓

,

↓

⟩

(0,2)

(1,1)

Q

Q

R

2電子状態

𝐻 =

𝑈 − 𝜀 0 0 0

0

0

𝐸

0 0

0

0

0 0 0

0

0

0 0 0

0

0

0 0 0 −𝐸

𝐸

= 𝛾

𝐵

= ℎ𝑣

|

↓

,

↓

⟩

|

↓

,

↑

⟩ |

↑

,

↓

⟩

|

↑

,

↑

⟩

|0,

↑

↓

−

↓

↑

⟩

ε

ν

ν

ν

= 39.14 GHz @B

= 1.4 T

2電子状態

電場によるESR周波数制御: シュタルク効果

|

↓

,

↓

⟩

|

↑

,

↓

⟩

|

↓

,

↑

⟩

|

↑

,

↑

⟩

|0,

↑

↓

−

↓

↑

⟩

ε

ν

ν

ν

ν

2電子状態

𝐻 =

𝑈 − 𝜀 0

0

0

0

0

𝐸

0

0

0

0

0 𝛿𝐸

0

0

0

0

0

−𝛿𝐸

0

0

0

0

0

−𝐸

𝐸

=

𝜈

+ 𝜈

₂

𝛿𝐸

=

𝜈

− 𝜈

₂

|

↓

,

↓

⟩

|

↑

,

↓

⟩

|

↓

,

↑

⟩

|

↑

,

↑

⟩

|0,

↑

↓

−

↓

↑

⟩

ε

ν

ν

ν

ν

2電子状態

𝐻 =

𝑈 − 𝜀 0

𝑑

−𝑑

0

0

𝐸

0

0

0

𝑑

0 𝛿𝐸

0

0

−𝑑

0

0

−𝛿𝐸

0

0

0

0

0

−𝐸

|

↓

,

↓

⟩

|

↑

,

↓

⟩

|

↓

,

↑

⟩

|

↑

,

↑

⟩

|0,

↑

↓

−

↓

↑

⟩

ε

ν

ν

ν

ν

CZゲート

|

↓

,

↓

⟩

|

↑

,

↓

⟩

|

↓

,

↑

⟩

|

↑

,

↑

⟩

|0,

↑

↓

−

↓

↑

⟩

ε

CZ(𝜏) = 𝑍

(𝜃(𝜏))𝑍

(𝜃(𝜏))

1

0

0

0

0 𝑒

0

0

0

0

𝑒

0

0

0

0

1

(

N

,

N

) = (0,1)

(1,1)

(1,2)

(0,2)

τ

DCパルス

τ

CZゲート

CNOTゲート

Nature 526, 410 (2015) Veldhorst et al.

Si/SiGeヘテロ構造

L. Vandersypen

(©QuTech, TU Delft) (©Princeton) J. Petta S. Tarucha (©RIKEN)

Au (25 nm)

Al

O

(100 nm)

Si cap (2 nm)

Si

Ge

spacer (35 nm)

s-Si QW (12 nm)

Si

Ge

buffer

E

2DEG

E

E

V

ノンドープ構造による蓄積型QD

電気双極子スピン共鳴

(Magnet design) Appl. Phys. Express 8, 084401 (2015) Yoneda et al.

(GaAs QD) Nature Phys. 4, 776 (2008) Pioro-Ladrière et al.

(Theory) Phys. Rev. Lett. 96, 047202 (2006) Tokura et al.

B

B

Co micromagnet

QD: Ψ(r)

z

x

y

•

𝒚方向の磁場勾配

によって共鳴周波数を制御

•

±𝒛方向に電子波動関数を“揺する”

ことで

𝒙方向に実効的な交流磁場を

生成

Ctrl field

電気双極子スピン共鳴

Nature Nano. 13, 102 (2018) Yoneda et al.

Sci. Adv. 2, e1600694 (2016) Takeda et al.

28

_{Siデバイス}

0

2

4

6

17.99

17.98

17.97

f

(GHz)

t

(μ

s)

P

_{Siデバイス}

•

ラビ周波数 f

≈ 30 MHz

•

フィデリティF

= 99.6% → > 99.9%

•

T

= 2 μs → 20 μs, T

= 3.1 ms

2量子ビットゲート

𝐻 =

𝑈 − 𝜀 0

𝑑

−𝑑

0

0

𝐸

0

0

0

𝑑

0 𝛿𝐸

0

0

−𝑑

0

0

−𝛿𝐸

0

0

0

0

0

−𝐸

|

↓

,

↓

⟩

|

↑

,

↓

⟩

|

↓

,

↑

⟩

|

↑

,

↑

⟩

|0,

↑

↓

−

↓

↑

⟩

ε

ν

ν

ν

ν

CROT(制御回転)ゲート

ν

_{+ ν}

ν

_{− ν}

|

↓

↓

⟩

|

↑

↓

⟩

|

↓

↑

⟩

|

↑

↑

⟩

ν

_{− ν}

ν

_{+ ν}

•

ε → 0では全ての遷移が異なる周波数を持つ

CROT(制御回転)ゲート

•

ε → 0では全ての遷移が異なる周波数を持つ

•

選択励起のπパルスにより2量子ビットゲートが実現可能

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↑

↑

⟩ = |

1

1

⟩

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↑

↓

⟩ = |

1

0

⟩

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↓

↑

⟩ = |

0

1

⟩

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↓

↓

⟩ = |

0

0

⟩

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1

0

⟩

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1

1

⟩

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1

0

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0

0

⟩

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↓

↓

⟩

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↑

↓

⟩

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↓

↑

⟩

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↑

↑

⟩

𝑎 ⊕ 𝑏

𝑎

𝑏

e.g. CNOTゲート

π

π

マイクロ波

CNOTゲート

Science 359, 439 (2018) Zajac et al.

2量子ビットプロセッサ

2量子ビットプロセッサ

ドイチェ・ジョザアルゴリズムの実行

H

の代わり

測定しなくてもよい(確認用)

シリコンスピンの実験の現状

方式

1量子ビット

2量子ビット

多量子ビット化

単一リンドナー

T

_{= 559 ms}

T

_{= 35.6 s}

F

= 99.99%

N/A

cf. F

_{= 97%}

“フリップフロップ”

量子ビット

MOS量子ドット

T

= 28 ms

F

_{= 99.6%}

CNOT

CMOS/DRAM技術

_との融合

Si/SiGe量子ドット

T

= 3.1 ms

F

_{> 99.9%}

F

= 89%

_{による回路QED}

スピン–MW光子結合

*1: Nature Nano. 9, 986 (2014) Muhonen et al. *2: Nature Nano. 9, 981 (2014) Veldhorst et al. *3: Nature Nano. 13, 102 (2018) Yoneda et al. *4: Nature Nano. 11, 242 (2016) Dehollain et al. *5: Nature 526, 410 (2015) Veldhorst et al. *6: Nature 555, 633 (2018) Watson et al.

*7: Nature Commun. 8, 450 (2017) Tosi et al.

*8: Nature Commun. 8, 1766 (2017) Veldhorst et al. *9: arXiv:1711.03807 Li et al.

*10: Nature 555, 599 (2018) Mi et al.

参考書

•

阿部 & 伊藤

–

“固体量子情報デバイスの現状と将来展望

—万能

ディジタル量子コンピュータの実現に向けて”

応用物理

86 (6), 453 (2017)

•

L. D. Ladd et al.

–

“

Quantum computers”

Nature

464, 45 (2010)

•

L. M. K. Vandersypen et al.

–

“

Interfacing spin qubits in quantum dots and donors—

hot, dense, and coherent”