7章 推定

定

7-1

点 推 定 母集 団の未知母数 θを推定 す るた めに,この母 集 団か らの大 きさ

2の

標 本 χl,χ2,° ‥,X″ のあ る関数

T(χ

l,χ2,°¨,χ″)を 作 り

,標

本 の実現値 ∬1,χ2, …0,χ_{ηか ら求 めた T(χl,χ} 2,°…,χ″)で θの値 を推定 す る こ とを点推定 とい う.こ_{の とき,統 計量} T(Xl,X2,° …,χ η)を 推定量,その実現値 T(χl,∬2,…°, ″η)を 推定値 とい う。推定量

Tと

しては

,次

の性質 をもつ ものが望 ましい。 不偏推定量

T(χ

l,χ2,・…,χ η)の 期待値が θに等 しい とき

,す

なわ ち

E(T)=θ

の とき

_,T(χ

l,χ2,°…,χ η)を θの不偏推定量 といい_,その実現値 T(″1,χ2, …0,χ_{″)を θの不偏推定値 とい う。} 一致推定量

任 意の正数 εに対 して lim P(IT― θl>ε

)=0

の とき,この

T(Xl,χ

2,・…,χ ″)を θの一致推定量 とい う. 有効推定量

2つ

の不偏推定量

Tl,■

に対 して,それぞれの分散が

7(Tl)<7(T2)

の とき

,■

は

2に

比 べ て よ り有効 な推定量である とい う. すべ ての不偏推定量 のなかで分散が最小 な推定量 を有効推定量 とい う.

7-2

最 尤 推 定 量 最尤推定量

_{実際 に推定量 を見 つ け出す方法 として最尤推定法が ある。こ} れ は母 集 団の分布 を/(″ ;θ)とす る とき,この母 集 団か ら標 本値 χl,χ2,°‥,

102 ″ηが得 られ る確率

7推

定 L(θ)=/(″1;θ)/(″2;θ)…/(χ

η

;θ

)=二

/(″ j;θ) を考 え,このL(θ)を最大 にす る θの値 θ(″1,∬2,° …,∬η)を θの推 定量 とす る もので,L(θ )を 標本 の尤度 関数,θ (Xl,X2,° …,Xη )を θの最尤推定 量 と い う◆

7-3区

間 推 定 信頼区間

未知母数 θを 1つ の推定量で推定するのではな く

,2つ

の統計 量 ■

,■

を作 り

,一

定の確率 で θが 区問(■

,■

)内に含 まれ る とい うよう に

,区

間によって推定する方法 を区間推定 という

.す

なわち,θ が

P(Tl<θ

<TD=1-α

のように表 される とき

,区

間(■(″1,χ2,…・,″η

),2(″

1メ2,… °,″η))を θの 100(1-α

)%信

頼区間 といい,100(1-α

)%を

この区間の信頼度(または信頼係 数

)と

い う。また

,端

点 の ■

,■

を信頼 限界 とい う。よ く使 われ る もの に,

90%,95%,99%信

頼区間がある。

7-4

平均

,分

散 お よび比率 の信頼 区間 平均 μの信頼区間

(a)分

散 σ2が既知の場合. μの 100(1-α )%イ言頼 区間: ∬―zサ 汚 <μ

<″

十zサ

汚

(b)分

散 σ2が未 知 の場 合 。

(i)μ

の 100(1-α

)%信

頼 区間(大標 本): ∬一

z;κ

<μ

<∬

+z;κ

(ii)μ

の 100(1-α

)%信

頼 区 間(小標 本):

″

一

_啄π

一

⊃

_κ

<μ

<∬

+標

π

―

⊃

ここで,π2は標本不偏 分数 で

,22=岩

Σ(″J一″)2

2つ

の平均の差 の信頼 区間

(a)分

散 σ12,σ22が既知 の場合

″

７

例 題 μl μ 2の 100(1-α

)%信

頼 区間: ″1 ∬ 2 Z; (五

)μ

l―μ2の 100(1-α

)%信

頼 区間(小標本;σ12=σ22): ∬1 ∬

2 好 (21+22 2)

η

l+22 2

<∬

1 ″2+′_;(ηl+η

2 2)

ここで,π12,%22は σ12,σ22の 標本不偏分散. [注

]大

標本 とは標本 の大 きさが約

30以

上 の ときをい う。 分散 σ2の信頼 区間 ♂ の Щ 卜 の 布 頼 区酵

<♂

<

比率

pの

信頼 区間 (大標本) クの 100(1-α

)%信

頼 区間

:

_クーχ;

2つ

の比率の差の信頼 区間 (大標本) 夕1 夕 2の 100(1-α

)%信

頼 区間:

ク

1 ク

2 Z`

夕2 103

″

1 ∬

2 弓

γ

/千

+≠

<角

―

μ

2<風

∬

2+身

≒

_/千

+≠

(b)分

散 σ12,σ22が未知 の場合.

(i)μ

l―μ2の 100(1-α

)%信

頼 区間(大標本): (ηl-1)π 12+(η

2 1)22

タ ＜ 一   鶴 ＋ 一   幼 <夕 1 夕 2+χ 子

∫

1(1-∫

1)+∫

2(1 ∫2) πl η 2 例 例題

1 (平

均と分散の不偏推定値) 題 卜_{散 について推測 を したい} 110個_{の標本 を得た。} 1, 28, 24, 23, 21, 24 σ2の 不偏推定値 を求 めよ。 研究者 は

,あ

る母集 団の平均 と分 集 団か ら無作為抽 出によって

,次

の 18, 25, 17, 20, 3] この とき

,(a)平

均 μ

,(b)分

散( その た め母

104 解 まず

,Σ

χ

J=18+25+…

・

+24=231

Σ ∬

J2=182+252+…

.+242=5505

7推

定

(a)μ

の不偏推定量は標本平均 χ であるか ら,μ の不偏推定値は ∬=場_テIΣχJ=:号 ×

231=23.1

(b)σ

2の不偏推定量は標本不偏分散 び2でぁるか ら,σ2の不偏推定値 は

π

2=万

讐

I{Σ

χ

J2_場

(Σ

χ

′

)2} =二 10--1{5505-―

「

:げ

×

(231)2}豊

平

18。77 解 χ

l,X2,X3は

無 作 為 標 本 で あ るか ら,それ らは互 い に独 立 で

,元

の母 集 団 と同 じ平均 μ

,同

じ分散 σ2をもつ。

E(χ

J)=μ

, 7(χ

J)=E(χ

j一μ)2=σ

2 (グ

=1,2,3)

したが つて

(a)E(Tl)=E(Xl)+E(X2) E(X3)=μ

+μ 一μ=μ

7(Tl)=7(Xl)+7(X2)+7(X3)=σ

2+σ 2+σ 2=3σ2

(b)E(T2)=÷

{E(Xl)+2E(X2)+E(X3)}=÷

×4μ=μ

y(■

_)=÷

_{{7(Xl)+227(χ}

2)+7(X3)}=÷

×

6σ

2=÷

σ

2

(C)E(TD=÷

{E(χ

l)+E(X2)十

E(X3)}=μ

7(a=十

×

3σ

2=÷

σ

2 (よ り有効 な推定量) 平 均 μ

,分

散 σ2の母 集 団 か らの大 きさ

3の

無 作 為標 本 を

Xl,X2,X3

とす る.その とき

(a)■

=Xl十

χ

2 X3

(b)2=毛

<Xl+2X2+X3)

(C)■

=÷

(Xl+χ2+X3)

はいずれ も μの不偏推定量 で

,3つ

の中で は ■ が最小 の分散 を もつ こ と を示せ。

例 題 これ よ り

7(T3)<7(T2)<7(1■

) ゆえに

_,■

は最小 の分散 を もつ。 例 題

3 (分

散 の不偏推定量) 平均 μ

,分

散 σ2の母集 団か らの大 きさ

%の

標 本 を, す る とき,

び

2=_が

=Ё

(χJ一

荻

⊃

2 は,σ2の不偏推定量 である ことを示せ。 解 標本変量 χl,χ2,°…,χ″は互 いに独立 で_,その分布 は母 集 団の分布 と 同 じであるか ら,

E[χ

J]=μ

, E(χ

J一μ)2=σ

2 (グ

=1,2,…

0,η )

E(υ

2)=E[ラ

ニ丁二

(χJ―

ア

)2] =―

が当

「

E[Σ

(χJ2_2χJア

+ア

2)]

=」

辱

E(Σ

χJ2_2X Σ

χ

J+Σ

ア

2) =―

が当

「

E(Σ

χ

J2_22X2+η

72) (ァ

=

=万

_≒

_「

E(Σ

χ

J2_η

ァ

2)

=景

_T[二

E(χ

j2)_グ

(ァ2)] こ こで, σ

2=E(χ

2)_μ

2

⇒

子

=7(ア

)=E(χ

2)_μ

2

⇒

これ らを上 の式 に代入すれば

E(び

2)=砺 1巧

{バ

σ

2+μ2)_π

(子

十

μ

2)]=σ2 ゆえに

,び

2は σ2の 不偏推定量 である。 χ Σ １ 一_{η よ り} )

E(χ

2)=σ2+μ2

E(ア2)=子

+μ2 Й■,χ2,° °°,χ たと

(有効推定量) 平均 μ

,分

散 σ2の母 集 団 か ら とった

2個

の無作 為標 本 を χ

l,X2と

す る とき,α

Xl+bX2が

μの不偏推定量で

,か

つ有効推定量 とな るような α,

bの

値 を求 め よ。 106

7推

定 解 χ

l,X2は

無作 為標 本 だ か ら

E(Xl)=E(χ

2)=μ

, 7(χl)=7(χ

2)=σ2 α

Xl+bX2の

期 待値 は

E(α χ

l+bχ

2)=α

E(χ

l)+ι

E(χ

2)=(α tt b)μ

αχ

l+bχ

2が 不偏 推 定 量 で あ るた め に は, E(α χ

l+bχ

2)=μ

∴ α

+b=1

7(αχ

l+bχ

2)=α

27(xl)十 b27(χ

2) (χ

lと χ2は 独 立 だ か ら) =(α2+b2)σ2 7(α

Xl+bχ

2)を 最 小 にす る α,らの値 は α

2+b2=α 2+(1_α

)2 １ 一 ２ ＋ １ 一 ２ 一 α 〓 ＋ α 一 α 〓

より

,α

=÷,b=1-α

=÷

. よって

,標

_{本平均 ∠専平}皇 は μの不偏で

,か

つ有効 な推定量 で ある. ―ソU遇

3

購 不狐 れの大疋ノ あ る特 定銘柄 の洗剤 を使 つてい る消費 者 の比 率 を推 定 した い

.次

の場 合

,少

な くとも何個 の標本が必要か。

(a)母

集 団比率 夕は 0.8と 0。9の範 囲 にあ る ことがわか っていて

,少

な くとも0。99の確率 で

,標

本比率 夕 と母集団比率 夕 との差 を0。02 以下 に したい場合.

(b)母

集 団比 率 夕につ いて何 もわか つてい な くて

,少

な くとも 0.95 の確率 で標本比率 夕 と母集団比率 沙 との差 を0。

03以

下 に したい場 合. 解

(a)標

本数

"は

大 き くて

,近

似 的 に

題 例 107 が成 り立つ とすれば, 題意 よ り, で あるか ら, (α

=1-夕

) (″≧0;θ

>0)

(その他)

%の

無作為標本 を

Xl,X2,

Z=材

∼

Mm

くげ一

洲

<獅

瘍

)="9

P(￨∫

一夕

￨<0.02)≧0。99 求 める

"は

2.576γ/互 'F≦

〔

ooo2

∴η

≧

_(幣

)し

α

夕σ=夕 (1-夕 )は ,0.8≦ 沙≦0.9で は 夕

=0.8の

とき最 大 とな るか ら

π

二

≧

(三til'二)2×0.8〉

〈

0.2圭=2654.3 よ っ て

,2655個

以 上 とれ ば よ い.

(b)(a)と

同様 に解 け ば, π≧ (11:})2夕α 夕α=夕(1-夕

)=十

一 (÷一夕)2は0≦ 夕≦

1で

は ,夕

=÷

の と き最 大 とな る か ら

π

≧

_(÷

_器

―

)2×

÷×

÷≒

1067。 1 よ って

,1068個

以 上 とれ ば よい. 例題

6 (最

尤推定量) 密度関数が よ. 偏推定量 である こ ﹂ い     ︵ ↓     ら     三 里 ︵ θ バ れ     θ ′ ぐ_ａ ら

城

養

０

０

で   る とを示 せ 。

108 7

推 解

(a)尤

度 関数L(θ)は

L(θ

_)=Ё

÷χ

Jθ

―

÷

=θ-2η(xlχ

2…

χ

η

)θ

=き

為

両辺 の対数 を とれ ば

log L(θ

)=-2π

log

θ

+Ё

logχJ一

十二χ

J

よ っ て,

グ

1囁

堕

_=一

号

+÷

_二為

=0

∴σ

=打

(b)Ⅸ

σ

)=■

σ

)=■

α

)“

章の

赳

5よ

り

)

E(X)〒

_多ズ

∞

χ

2θ

号″

=三

L{[一

ノ θθ―者 ]:+2θ″f∞″θ ―_者グレ } (音Б分積ダトよ り)

=夕

(0+2θ

・

ら

2)(∵

ズ

∞

二

_7L″

=1)

=2θ よって, E(θ )=θ ゆ えに,θ の最 尤推 定 量_÷ア は θの不偏 推 定 量 で もあ る。 定 例 題

7 (平

均の信頼 区間(大標本)) 解

(a)2=40は

大標本 であるか ら,μ の

95%信

頼 区間 は フ ﹂ あ る学校 の生徒

40人

を無作 為 に選 び

,1週

間 にテ レ ビを何 時 間視 るか を聞 いた◆

40人

の平均 は18.2時間

,標

準偏 差

5.4時

間 で あった.こ の学 校 の生徒 のテ レビ平均視聴 時間 μに対 す る

(a)95%信

頼 区問,

(b)98%信

頼 区間 を求 めよ.

∬

-1.96万

織戸

<μ<∬+1・

96嵩

題 例 109 η=40, 16。2<〔μく(20。2 例題

8 (平

均の信頼区間(′Jヽ標本)) ベ ア リングの製造機械が ある。こα

(mm)を

測定 して, 7.01, 7.03, 6.96, 6.91,( を得 た。直径 は正規分布 に従 うと仮 す る

(a)90%信

頼 区問,

(b)99%信

頼 区間 を求 めよ。

s=7零

×

5.4=5.5 を代入 して

R2-■

%×

ず

号

計

<μ

<弼 2+■ %×

赫

16.5<μ<19。9

(b)98%の

場 合 も同様 に して

∬

-2.337競 F<μ

<`F+2.33芳

R2-2路

×

_ず

_号

_手

<μ

<弼

2+2路

×

ず

号

手

解 デー タか ら和 と

2乗

不目を求 め る と Σχ

J=62.82,

Σ ∬J2=438.5 ゆ えに ″

=,Σ

χJ=6.98

π

2=η

_1{Σ

″

J2_,(Σ

∬

J)2)=0。00265

∴

π=/oooo265≒

0。05

(a)μ

の

90%の

信頼区間は

,

行な

∞

0ヽ

_テ

_争

<μ

<∬

十

ん

ぼ

8)嵩

π=0。 05,′OЮ5(8)=1.86を代入すれ ば η 一 州 の機 械 が作 る

9個

の ベ ア リングの直 径 6。96, 7.06, 7.02, 6.94, 6.93 こ定 して

,ベ

ア リングの平 均 直径 μ に対

110

a%―

L%×

_廿

<μ

<a%+晰

×

廿

6。95く〔μく(7。01

(b)同

様 に して,ノ。Ю。5(8)=3.355よ り,μ の

99%の

信頼 区間 は 6。98-3。355Xギ チ 「 <〔μ<6.98+3。 355×_廿

7推

定 6。92く(μ

<7.04

解 電 球

A,Bの

真 の寿命 をそれ ぞれ μA,μ Bと す る. 与 え られ た情 報 か ら

π

A=80, FA=1070, sA2=472

π

B=60,

∬

B=1042, sB2=366

1-α =0.90,α =0.10よ り, Z;=ZO・05=1・645 徐 ,π Bは f`か大 きいか ら,

ZA≒

SA,

πB≒SB よって

,大

標本 による平均 の差 の信頼 区間の公式 よ り 1070--1042--1.645Ψ

/子

+‐

器

<μ A μB<〔1072--1042-卜 1.6457た

醤

争

‐

+器

22.30<〔μA μ

B<33.70

(2つの平均 の差 の信頼 区間(大標 本)) 銘柄

Aの

電球

80個

の寿命 (時間)の デー タか ら

,平

均1070,分散

472が

得 られ た。一 方

,銘

柄

Bの

60個

の電 球 の 寿命 の データか ら

,平

均1042, 分散366を得 た。2つの銘柄 の電球 の平均寿命 時間の差 の

90%信

頼 区間 を 求 め よ。 (分散 の信 頼 区間) 平 均

0,分

散 σ2の正 規 母 集 団 か ら大 き さ10の標 本 を抽 出 して

,次

の 結 果 を得 た 。母 分散 σ2の

95%信

頼 区 間 を求 め よ。 0。067 2。066 3.192 0.515 2。 194 -0。

727 -0。 547 -3。 537 -1。

613 1.582

例 題 解 公式 よ り,σ2の 100(1-α

)%信

頼 区間 は

<♂

<

与 えられたデータか ら よって,

二∬

1=3.192,

_ュ″

′

2=37◆₉₈₃ 9″

=Σ

幼

2_1干

姜

￨■ =37.983-二L:::丘―E=36。₉₆₄ χ2分布表 より, χ&025(9)=19。

02,

χ&975(9)=2.70 であるか ら,σ2の

95%信

頼区間は

冊

<♂ 、冊

∴ 1。94<σ2<13。69 解 銘柄

Xの

常用者の比率 を 夕 とする 題意 より,多=300,χ

=72だ

か ら,

∫

=∬

_{η 300 0・}

72

24 ZOЮ25=1・

96だ

か ら,夕 の

95%信

頼 区間は

W4-‖

6/ <夕

<024+日

6 300 (比率の信頼 区間)

300人

の喫煙者 に

,ふ

だ んす ってい るタバ コの銘柄 を質 問 した ところ,

72人

が銘柄

Xを

答 えた

.全

喫煙者 の うち

,銘

柄

Xの

常用者 の比率 の

95%

信頼 区間 を求 めよ。 0。19<夕<0。29

112

7推

定 (2つ の比率の差の信頼 区間) ハ ウス内で の園芸 実験 で

,品

種

Aの

種 子100イ固と

,品

種

Bの

種 子 150 個 を ま き

,同

一 条件 下 で実験 を行 つた。

3週

間後

,品

種

Aは

85個

が発 芽 し

,品

種

Bは

114個が発芽 した。両 品種 の発 芽 率 の差 に対 す る

95%信

頼 区間 を求 めよ. 解 品種

A,Bの

母集 団発芽率 をそれぞれ 夕1,夕2と す る。 与 え られた情報 か ら,

物

=Ю

O,角

=畿

∫

1=器

=085

%2=50,χ

2=n4,∫ 2=器

=076

α

=0。05, z;=zO・025=1・645 夕₂

<0.85-0.76+1.96

-0。008<夕1-夕2<Oo188

+

7章

の 問題 フ

.1

ある有名予備校主催の模擬試験 を受 けた某 中学校 の生徒

200人

の得 点は次のようであった。 階級値

4.5 14。

5 24.5 度 数

3 11 18

34.5 44.5 55.5 64.5 74.5 84.5 94.5 24 41 43 30 15 10 5

(a)こ

の試験 を受 けた全受験生 の得点の平均 と分散 を推定せ よ。

(b)平

均 に対 す る

95%信

頼 限界 を求 め よ。

(C)P(￨∬

―μ

l<2)=0.95を

満 たす最小 の 多の値 を求 め よ. フロ

2

平 均 μ

,分

散1の母 集 団 か らの大 きさ

%の

無作 為標 本 に よって,μ2 を推定 したい

.標

本 平均

Xの

2乗

は,μ2の不偏推定量 にな らない ことを示 し, μ2の不偏推定量 を導 け。 よって,夕1-少2の

95%信

頼 区間 は,

)85-■

76-■

964/

十

<夕

1

7章 の問題

7.3

確率変数 χ の密度関数 は /(χ)=2∬/θ2

で,い まχ について5個 の観測値

0.6, 1.5, 0。 8, が得 られ た。この とき,

(a)θ , (b)θ

2 の不偏 推 定値 を求 め よ. フ

.4

確 率 密 度 関数 /(χ ;θ

)=(1+θ

)∬θ

(0<χ

<1;θ

>-1)

を分布 にもつ母集団か らの

,大

きさ

%の

標本 に もとず くθの最尤推定量 を求 め よ. フ

.5

新車100台について

,ガ

ソ リン1′ _{当た り走行 キロ数 を,コ ースで測} 定 した。この結果か ら,1′ 当た り平均走行 キロ数 の

95%信

頼 限界 を求 め よ. 走行 キロ数 台 数 113 (0<∬ <θ) 1.1,1.3 17.50-17.99 18。00ハ▼18.49 18.50ハV18.99 19。00-19.49 19.50-19。 99 20.00-20.49 20.50ハ V20。99 21.00-21.49 21.50-21.99 22.00ハV22.49 22.50-22.99 2 5 8 13 19 25 15 7 5 0 1 計 フ

.6

平均 μ

,分

散 σ2の 正規母集団か らの大 きさ12の無作為標本 よ り,

忍χ

J=72,

ュ″

J2=1620 を得 た.

(a)μ

と σ2の 不偏推定値 を求 め よ。

(b)μ

と σ2の

95%信

頼 区間 を求 めよ.

114 7推

定 フロ

7

天粋で,ある物 の重 さを繰返 し測定 す る ときの測定値 は,その物 の真 の重 さに等 しい平均 と標準偏差0.5 mgの正規分布 に従 う。

Aの

10回の測定値 の平均 は8。

6 mgで

,Bの

15回の測定値 の平均 は6。8 mg で あった。測定値 は正規分布 に従 うと仮定 して

,Aと

Bの

真 の重 さの差 に対 す る

95%信

頼 区間 を求 め よ. フロ

8

あ る機械 は

,粉

末製 品 を χl gずつ とって容器 に詰 め る

.過

去 の経験 か ら,∬1は平均 μ

l=30g,標

準偏 差 σ

l=0.4gの

正 規 分布 に従 う

.容

器 の重 さ χ2は

,平

均 μ2=5。

Og,標

準偏差 σ

2=0.3gの

正規 分布 に従 う

.容

器 こみの製 品

1個

当 りの重 さ ″ に対 す る

95%信

頼 区間 を求 め よ。また,この製 品10個を1 箱 に詰 め る とき

,空

箱1個の重 さ ″3は μ3=35.Og,σ3=1。

Ogの

正 規 分布 に従 うとして

,1箱

の重 さ

yに

対 す る

95%信

頼 区間 を求 め よ. フ。

9

生徒が1800人の中学校 で

,無

作為 に選 んだ

40人

の生徒 の うち14人 が めがね をかけていた.

(a)こ

の学校 で

,め

がね をか けてい る生徒 の比率,

(b)こ

の学校 で

,め

がね をか けてい る生徒 の数 の

95%信

頼 限界 を求 め よ. フ

.10

ある政策 に対 す る世 論調査 で

,男

子有権 者 は1000人中750人が賛 成 と答 え

,女

子有権者 は

800人

中

520人

が賛成 と答 えた。母集 団 にお ける男子 有権者 と女子有権者 の賛成率 の差 に対 す る

95%信

頼 区間 を求 め よ。 フロ

11

螢光管 の寿命時間 は

,指

数分布 /(″ ;θ)=θθ θ″

(∬

≧0) に従 う。

5個

のデータ 5.83, 12.99, 16.28, 2.88, 1.83 が与 え られた とき,θ の最尤推定値 を求 めよ。