Microsoft PowerPoint - 第9回電磁気学

2017年12月04日(月) 13:00-14:30 C13 平成29年度 工V系(社会環境工学科) 第9回 電磁気学Ⅰ 天野 浩 amano@nuee.nagoya-u.ac.jp 9 12月04日 第5章 電流の間に働く力、磁場、微分形で表したア ンペールの法則、ビオ・サバールの法則 第5章 電流の作る場 http://www.ntt-east.co.jp/business/magazine/network_history/02/ 1/32

http://oka-jp.seesaa.net/article/179640838.html

http://www.rish.kyoto-u.ac.jp/houga/projects/er201008.html 地磁気に関する最近の話題

地磁気に関する最近の話題

新生代後期（鮮新世以降）の地磁気極性。黒 い箇所は現在と同じ極性、白い部分は現在と 逆の極性。AgeのMaは百万年(Wikipedia)

地磁気に関する最近の話題

アンペアの右ねじの法則 右ねじの進行方向に電流が流れると、その 周りにねじの回転方向に磁界が生じる。 電流I 磁界H 電流I 磁界_H 磁界H 電流_I 5/32

1820.7.21

エルステッド (Hans Christian Oerested) 電流の周りの磁界

1820.9.18 アンペア (Andre Marie Ampere) アンペアの法則 1[m：メートル]間隔の平行な2本の電線に、どちらにも同じ大きさの電 流が同じ方向に流れているとき、引き付け合う力が電線1[m]あたり、 2×10-7_{[N：ニュートン]のときの電流が1[A：アンペア]} ⇒_{1[A]の電流が1[s：秒]に運ぶ電気量を1[C：クーロン]と呼ぶ。} 電流 力 1m 電流の周りの磁界 SI単位系での[A]の定義 7/32

ローレンツ力でアンペアの実験を考える。 I₁ I₂ r 電荷_q[C] 速度_v[m/s] アンペアの法則より、電流_I1によっ て、r[m]離れた点に作る磁界は ] / [ 2 1 _{A m} r I H



 1[C]の電荷が速度1[m/s]で運動している時の電流が1[A] I₂=q×v 電荷q[C]、速度v[m/s]ならば 加わる力は

]

[

2

1 0 2

I

N

r

I

B

v

q

f

















空気中ならば、透磁率はほぼ₀

1820.10.30 ビオとサバール _{(Biot, Jean Baptiste+Fėlix Savart)} ビオ・サバールの法則

3

4 r

r

s

Id

H

d









_



電流の周りの磁界 Biot, Jean-Baptiste １_774-1862 Félix Savart 1791-1841 http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/32denjk/090elc.html http://www.learn-math.info/history/photos/Biot.jpeg http://www.ulike.net/Felix_Savart 9/32

磁束密度Bの定義 速度_{vで運動する電荷qに対して、F=qv×Bの力(ローレンツ力)} を与える磁気的な場を表す。 単位＝［Ｔ］_{(テスラ)＝［Wb/m}２_］ ［Ｗｂ］ウェーバー：磁束の単位 単磁荷は存在しない _→

 B







0

ガウスの定理

0

)

(















B

dV

B

d

S

S

V







Q:Wb T A H(ヘンリー)それぞれの関係を求めなさい。 磁束密度の単位テスラ_{Tと磁束の単位Wbは}

]

[

]

[

₂

m

Wb

T



B=H また、の単位は、ヘンリーをつかうと









m

H

従って







 









 





[

₂

]

₂

]

[

m

A

H

m

A

m

H

m

Wb

T

]

[

]

[

Wb



H



A

11/32

電流が作る磁界の正確な公式化・・・ビオ・サバールの法則

]

/

[

4

r

3

A

m

r

s

Id

H

d













]

[

4

sin

]

[

4

2 0 3 0

T

ds

r

I

dB

T

r

r

s

Id

B

d























Bの向きは、dsおよびｒに垂直方向

Q:無限の直線状導体を流れる電流I[A]が、導体からr［m］だけ離れた 点_{Pに作る磁界Hを求めなさい。} r P I ] / [ 2 sin 4 sin 4 sin 4 sin 4 sin 0 0 2 2 3 2 3 m A r I d r I rd r I ds I Ids H d H                      











             l  ds













2

sin

sin

sin

d

r

d

ds

d

ds



















積分で常に最初に気をつけるのは微小量

]

/

[

4

3

A

m

s

Id

H

d

















ビオサバールの法則 注意！ 13/32

アンペアの周回積分の法則 I 電流_{Iが流れている無限の直線状導体が、} 距離r［m］の点に作る磁界H［A/m］は、 r 2 r [A/ m] I H   逆に考えると、半径_{r上の磁界の強さはすべ} て同じなので、

I

d

H





_{ }





磁界を周回積分すると、そ の中を流れる電流に等しい。

]

[A

I

d

H















電流が複数の場合 電流密度_{jとの関係}





d

I

S

d

j

d

H























S

鎖交 I I 電流が積分路を何回通過するか_→何回鎖交するか_?

I

d

H



_{ }



I

d

H









_

3

15/32

Q:無限の直線状導体を流れる電流I[A]が、導体からr［m］だけ離れた 点_{Pに作る磁界Hを求めなさい。} r P I l  ds

I

d

H



_{ }



]

/

[

2

2

2 0

m

A

r

I

H

I

rH

rd

H

d

H



























Q:下の図のように半径a[m]の円電流Iが、距離d[m]離れた中心軸上 に作る磁界_{Hを求めなさい。} I a d

4

r

3

[

A

/

m

]

r

s

Id

H

d













I a d

s

d



r



d

H



17/32

I a d

s

d



r



d

H



dHの先端の軌跡 I a d

s

d



r



d

H



二つの方向の成分に分けて考え ると、面に垂直方向の成分は無く ならないが、面に平行方向の成 分は、1周積分すると無くなる。 こちらは無くなる。















_{ }

_

[ / ] ) ( 2 4 4 sin 4 2 3 2 2 2 2 1 2 2 2 0 2 2 2 0 2 3 2 2 2 1 2 2 3 m A d a Ia d a d a a d a I d a d a d Ia r r s Id H           







          この場合、中心軸方向以外の成分は、積分するとゼロになるので、 赤い線と中心軸上の線とのなす角度をとすると、 I a d

s

d



r



d

H



こちらは無くならない。





19/32

Q:左図のように3本の無限平行導線A,B,Cが AC=BC=a[m]、∠C=90°となるように配置さ れている。 電流_{I[A]が、図のように同方向に流} れるとすると、各導線に単位長さ当たりに働く 力を求めなさい。 A B C I a a 三つの導線の断面図

₂

[

]

2 1 0

_N

r

I

I

f









21/32

A B ] / [ 2 5 2 2 5 2 2 2 2 0 2 0 _{N m} a I a I f f_{A B}









_{  }   導線_{AとBに加わる力は同じ} 導線_Cは ] / [ 2 2 2 2 0 2 0 _{N m} a I a I f_C









_{ }  C

]

[

2

2 1 0

_N

r

I

I

f









I

d

H











Q:巻き数が単位長さ当たりn回のコイルに、電流Ｉ[A]が流れている時 の磁界_{Hを求めなさい。} 断面図 アンペールの法則 コイルの導線 筒 23/32

Q:巻き数が単位長さ当たりn回の無限コイルに、電流Ｉ[A]が流れてい る時の磁界_{Hを求めなさい。} この図では、上下方向の磁界は零 １．コイル内部の積分路の場合 積分路に鎖交する電流はないので、



H

 

d



0

H₁ H₂ H₁＝_H2 コイル内部の磁界は一定 H_out

Q:巻き数が単位長さ当たりn回の無限コイルに、電流Ｉ[A]が流れてい る時の磁界_{Hを求めなさい。} 上記のように、導線にまたがる積分路の場合 H₁ H₂

]

/

[

1

nI

A

m

H

nI

d

H











コイル内部の磁界は nI[A/m] 25/32

Q:図のような合計巻数がNの環状ソレノイドのソレノイド内部の磁界を 求めなさい。 問題12-3において、単位長さ当たりn 回の場合 H=nIだったので、

]

/

[

2

r

A

m

I

N

H







磁束は[Wb] 磁束密度はB[T=Wb/m2] 磁界はH=B/[A/m] Q:図のように同一平面上に無限直線導線と長方形のコイルがある。 長方形のコイルに鎖交する全磁束[Wb]を求めなさい。 a[m] b[m] I [A] d[m] dr r 無限直線導体電流による長方形コイル 内磁界は ] / [ 2 1 m A r I H   微分磁束は _dr r bI d   2 1 0   鎖交する全磁束は ] )[ ln( 2 2 1 0 1 0 Wb d a d bI dr r bI a d d    



     27/32

アンペアの周回積分の法則 I 電流_{Iが流れている無限の直線状導体が、} 距離r［m］の点に作る磁界H［A/m］は、 r 2 r [A/ m] I H   逆に考えると、半径_{r上の磁界の強さはすべ} て同じなので、

I

d

H





_{ }





磁界を周回積分すると、その 中を流れる電流に等しい。

]

[A

I

d

H















電流が複数の場合 電流密度_{jとの関係}





d

I

S

d

j

d

H























S

アンペアの周回積分の法則の微分形















C S

A

d

S

A

d

r









ストークスの定理























S C S

H

d

S

H

d

r

I

J

dS











H

J











ゆえに 定常電流密度_Jによる静磁界の基本方程式

H

B

B

H

J



























0

I

S

d

j

d

H























29/32

ストークスの定理

























r

d

A

S

d

A

S

ある空間にベクトル場 とその回転場 がある場合，任意の局面_Sを貫く の流束 を加え合わせたものは，_{Sの外周l上} でベクトル場 について， を加え合わせ たものに等しい。

A







A



A







S

d

A











A



A





d

r



ストークスの定理の説明 ) , , ( ) , , ( ) , , ( 1 2 3 1 2 3 3 2 1 3 2 1 y a x a x a z a z a y a a a a z y x z y x a a a z y x A rot A                                        ベクトルの回転 S O

r



n



_A



r

d



S r d r A n r A S      



       ( ) lim ) ( 0 l



           r d r A S n r A( ) ( ) 31/32

ストークスの定理の説明 O

r



S S_i

n





           r d r A S n r A( ) ( ) 左図の様に任意の大きさの面積を 持つ曲面Sに対して、n個の微小面 積に分けると、それぞれに上式が成 り立つので

 



        n i n i i i i i r d r A S n r A 1 1 ) ( ) (      l_i

 



           n i n n i i i i n i r d r A S n r A 1 1 ) ( lim ) ( lim      境界線部分では、A(r)は同じでdrが逆向きになるため打ち消しあい、 元の曲面_{Sの外周lの寄与のみ残る。}











