【論 文
1
UDC ：624．
042．
2 ：519．
2 日本建築学会構造系論文報 告集 第405 号・
1989 年 lt月荷
重
の
確率
過 程
の
組
み
合
わ
せ
に
お
け
る
超 過 確 率
の
理
論解
と そ
の
応 用
に
関
す
る
考察
正 会 員 正 会 員 正 会 員河
坂
青
野
本
木
和
守
＊順
＊ ＊雄
＊＊ ＊1．
ま えがき 建 築 物に作 用する積 載，
雪，
風お よ び地 震荷重などは，
そ れ らの生 起， 作用 時 間， 強さ に不 規 則 性・
時 間変動 を もつ こと か ら確率過 程 （stochastic Plocess ）と して モ デル化さ れ る。 マ クロ的 な 時 間変 動過程とし て特 徴づけ ら れる荷 重の確 率 過 程モデル につ いては， 文 献 1）に概 述さ れて いる。
これ らの荷重の確 率過程の組み合わ せの レベル横 断 率， お よ び ある時 間 区 間にお け る 超 過確 率あ るい は最大値の統計 的 性 質 を求 める問 題は，
時 間 依 存 信 頼 度 解 析 （time．
dependent
reliability analysis ）や統 計．
確率 論的手法に よ る限界状態 設 計 法に おける荷 重 係 数の 設定に関 連す る問 題と し て理 論お よび応 用 的 研 究が重ね ら れて い る21
−
n｝ 。Turkstra
に よ るTurkstra
’
s rule 法2 ’，
Wen に よ る 同 時 生 起 （率 ） 法 （
load
coincidence method ）4】．
5），
Larrabee，
Cornellに よ る点横断 （率 ）法（point
．
crossing method ）i 〕な ど が こ の問題の代表 的な解析 手 法と し てあ げら れ る
．
TurkstTa
’
s rule 法は，
2個 あるい は それ以 ヒの時 間 変 動 過 程の組み合わ せ に お ける最大 値 を推 定す る経 験 則 的 な手 法であ り，
実用一
ヒの簡便さ を具え てい る が， 理 論 的 根 拠と 適用 性の不 明確さに不 満足 さ が あ る。Wen
の手 法 も 多数の確 率 過 程の 組み合わ せに お け る 同時 生 起 を経 験 的に組み入れ た手 法で あ り，
比 較 的に粗 〔sparse ）な 時 間 変 動 過 程の組み合わ せ に お け る超 過確 率の推 定に 適 用され る。
Larrabee．
Comell
はt
再 生 矩 形パル ス過 程の組み合 わ せ につ い て期 待 横 断 率の 理 論 解 を 導き点 横 断 公 式（point
−
crossingformula
）を 示 し て い る。
こ の公 式はほ かの確 率過程の組み合わ せに も拡 張 適 用され るが
，
点 横 断 率とレ ベ ル横 断を ボ アソ ン事 象と する仮 定に よる超 過確 率の推定法は超過確 率の一
つの上界値を 与え る。
点 ’ 名 古屋 大 学 助 手・
工 修 牌 名古屋 大 学 教 授・
工 博林零
株 式 会 社 竹 中 工 務 店・
工 修 〔1999年5月8H 原 槁 受理，
1989年8月Zl日採 用 決 定 ｝ 横 断公式は 理論 的に明 快で あるが，
こ の手 法では多 数の 時間変動 過 程の組み合わ せにおい て畳 込み多 重 積 分を必 要と し，
応用 上の複雑さ を伴う。
統 計・
確 率 論 的 考え方に基づ く限 界状 態 設 計 法の構 成 で は，
荷 重の組み合わ せ につ い て の合 理 的な取 扱いが重 要と なる。
本 稿で は，
マ クロ 的な時間変動 を伴う荷重の 確率過程の組み合わ せ に お け る超過確 率の解 析 手 法と理 論解につ い て述べ る。
本稿の 2節で は，
方 形パ ル スある いはイン パ ル スに より構 成さ れ る確 率 過 程の組み合わ せ にお け る状 態 確 率を適 切に組み人れた超 過 確 率の理 論解 を示し て い る。
こ れ ら の理 論 解は打ち 切 り定 常過 程に っ い て の近 似 理 論 解であるが， 解表 現の簡潔さ と応用 ヒの 柔 軟 性 を具えている。
3節で は，
理論解の限 界状態設 計 法にお け る荷 重 係数の 設定問 題へ の 応用につ い て要 約し て述べ，
4節には数 値 計 算 例を添えて い る。
本 槁の内 容 は部分的に文 献10
），11
＞に報 告さ れて いる が，
本 稿で は これら の報 告 資 料を整理し て ま とめ たもの で ある。
な お，
本 稿に示した超 過 確 率の理 論 解と そ れ らの限界状態 設計 法へ の応 用につ い て のよ り詳 細な考 察は，
文 献1 ），
9 ） の 期待 横断 率 法とTurkstra
’
s ruie 法に基づ い た実 用 的 簡便さを配 慮し た荷重係数の設定手法との対 比 を含めて 続槁で述べ ら れ る。
2．
超 過 確 率の理 論 解2．
1 確 率 過 程と その組み合わせ 本 稿で は，
荷 重の確 率 過 程モ デ ルを対 象と し て，
非 負 の値 域 を もつ 定 常 確 率 過 程 を 取 扱う。
ま た，
確率過 程に おけるパル ス あるいは インパル ス の生 起，
継 続 （作 用 ） 時間，
強 さは統計的に 互いに独 立 と し，
かつ 各パ ル ス は 零 再 帰 性 をもつ も の と す る。
マ クロ 的な時 間 変 動 を 伴う 確 率過程モ デル b’ と して図一
1に示す ボア ソ ン方 形 波 過程 （
Poisson
square wave process，
以下で は，
PSW 過 程と 略記す る），
矩 形パ ル ス過 程 〔rectanguLar pulseprocess
，
RP
過程 ），
断続矩 形パ ル ス過 程 （intermittent reCtangular process，
IRP
過 程），
お よ び ボア ソ ン インw （t） PSW process A
，
μ A RP process TTT λ lRP proo巳ss A
，
fi
t w （t） 7 τ丁 λ PI process A t w ｛t） λ 図一
1 マ クロ的 時 間 変 動 過 程 t t り あげ， これ らの確率 過 程の スカ ラー
和の組み合わ せに お け る超 過確率の理 論 解につ いて述べ る。
本稿で の記 述 で は，
各 確 率 過 程に お けるパ ルス あ るい はイン パ ル ス の 単 位 時 間 当た りの生 起回数の期待値を λ，
パ ル ス の継続 （作用 ）時間の 期待値をμ とし て，
前 者をパ ル ス ある いはイン パ ル ス の生 起 率， 後 者 を継 続 時 間と略 記する。
な お，RP
過 程お よびIRP
過 程は，
一
定 時 間 間隔τ ご と に規 則 的に生 起する パ ル ス によ り 構 成 さ れ る。
こ れ ら の過 程では， パ ル ス の生 起率お よ び継 続 時 間は確 定 変量 と し，
λ お よ びP
の よ う に 符 号を付して期 待 値の λ，
お よ び μ と区 別す る。 また，
各 確 率 過 程におけ る パ ル ス あ るいはインパ ル ス の 強さを 表 す 確 率 変 数 を W ， そ の 累積 分 布 関 数をF試ω）と す る。
2．
2PSW 過 程とPI
過 程の組み合わ せ PSW 過 程 をW
，（t
）， PI 過 程 をW
，（t
）と し て， 両過程 の ス カラー
和の確 率 過 程をW
（t）と す る。
PSW
過程 W，（t
）の一
つの パ ル ス の継 続 時 間を表す確 率 変 数をTl
と す る と，
PI
過程W
，（t）の イン パ ル ス が T，時 間 区 間に h回生 起す る確 率qn
（h
；T，）は 次 式で表 され る。
・1掘
イ
ム
・xp（
一
去
）
（鴒
戸・
exp （一
・ ・t）d・一
、．鉱
（
λtXtll 十 λ2μ1）
t ；h
＝ 0，
1 ，2，… …・
・
…・
…
（1） 以 下で は，
q、、〔k
；T
，）を確率過程 酬 孟）と W，（t＞の組一
32
一
み合わ せにおける状 態 確 率 とい う。
また、
PI 過 程の イン パ ル ス の T，時 間 区 間 最 大 値 （極 値 〉を表す確 率 変 数 を w，．
T、
と し， T，時 間 区間に イン パ ル ス が生 起 し な い と きに はWaT、
を 零 値 （fictitiOUS
impulse
）と して取 り扱う と，
既．
。
、
の累 積 分 布 関 数 は 次 式で表さ れ る。の
Fw 、
，
rl（w ）＝
q、2（0；Tl
）ひ（ω）＋Σ qn〔h
；Tl）置照ω避 k＝
11
鵡
、恥 ）1
＋ λ，μ1 喇 ＋ 、＋ λ，μ1醐 ω）・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
9・
・
・
・
・
・
…99・
…
（2 ） ま た，
耽7，
の確率密度 関 数は，
（2
）式の導 関 数と して 下 式となる。
f
・・，
・・
｛・）・
・
q・・（・…T
，）・麟1
鵬li
鴛
ω ・瓦 ω…
t・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
tt・
・
…
tt・
・
・
・
・
・
…
（3） こ こ に，U
（w）お よ び δ（w）は，HeaviSlde
の ステッ プ関 数お よびDirac
の デル タ関数，
F
賑ω）＝
1一
凡、
（w）で あ る。PSW
過 程は ボア ソ ン過 程で あ る か ら，
W （t＞が （0，
T） 時 間 区 間に レ ベ ル r を少な く とも1度 超 過 する確 率 （以 下で は，
超 過 確 率と略 記す る）∫P（r ；T）は，
下 記の よ うに得られ る。
．
P
（・ ・η＝1一
類
（￥
γ・譎 ・臥 ． 。，
．
，
，
（・）il
＝
1−
expi一
λユT（1−
Fw，＋w，，
T1（r））1
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
（4） こ cに，Fw，
＋隔 （ω）は確 率 変 数 W，と鵬，
r，
の和の累 積 分 布 関数で あり， （2）式を用い る と次 式で表され る。F… 一 ・
，
h（zv）−
x
”1
＋画点
（。．
副 鉚 砺 ）d
・ ，・
tt・
tt・
…
『
『
・
・
・
…
一
・
・
一
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（5＞ （5＞式 を （4） 式に用い ると確 率 過 程 W （t
）の超 過確 率の理 論 解は，
次 式と なる。
・P（・ ・T）
一
・−
exp（
一
・，・（
1−
f
， r・
1＋ λ3μ，点
（r−
ndlJ
fWi
〔ω1）dw
，）
｝
…・
……・
・
・
・
……・
……・
…・
・
…
（6 ｝ 上 式の 超 過 確 率の理 論 解に基づい て レベ ル超過 率 〔exceedance rate ， failure rate ＞hXr
）が， 次 式で定義 され る。
膳童
需
1
．．
．
一 ．．
．．
．
．
．
．．
．
．．
、，、一
・，｛
・一
ズ
1 ＋nd
，。 ・ ；，
，（。−
Wl ｝細 〉伽｝
・
・
…
9−・
・
・・
・
・
・
・
・
・
…
（8 ）こ こに
，
ん∫（r）dt
は，
確率 過 程 障（t＞が （0，
t
） 時間に レ ベ ル r を超 過 し ない条 件の 下で （t，t
＋dt
）時 間に レ ベ ル r を超 過す る確 率 を表す13）。
（6）式の超 過 確 率の理 論解は，
文 献 12 ＞に異な る解 析 手 順に よっ て導か れ て い る。 ま た，
（8） 式の レベ ル 超 過 率は， 次 式の よ う に表さ れ る。h
・（・）一 麟 （r）・f
， ’1
＋≒
霊
孟
曁
凱
）・
fWi
（Wl）d
ω，…
tt−・
・
・
・
・
…
一・
・
・
…
tt・
・
・
・
…
（9 ）窟 （λ1
一
λ2）F 魯1（r）十 λ2F 移、＋
Wt（r） ；λ2μ1《1．
0
の とき一 ……・
…
（10 ） （10 ）式お よ び （9） 式の 超 過 率 の 近似理 論解 は，
Larrabee，
Cornell
に よっ て 導か れ て い る点 横 断 率（point
−
crossing rate v（r）， お よ び reduced point−
crossing rate VR（r〕7） ）の理論解と同じ で ある
。
（10）式 の近 似 を用いる と 超 過確 率は，
次 式とな る。
rP （r ；
T
）＝rl−
expl−
h
ノ（r）Ti
＝
1−
expl−
（〔λ，一
λ2）F
昏、
（r） 十 λ2F 昏、，
w，（r）｝Ti・
『
一
・
・
…
tt・
・
…
t…
（ll） 〔6 ）式と （11）式の超 過 確 率の理 論 解の精 度 と適 用性 にっ い て は， 文 献 12）に モ ンテカル ロ シ ミュ レー
ショ ン に よる計 算 結 果 との比 較 が 示さ れ てい る。 ま た，
こ のPSW
過 程とPI
過 程の組み合わ せにお ける超 過 確 率の 厳密な 理論 解の 多重積 分 表 現は，
文 献8）に述べ ら れ て いる。 2．
3 PSW 過 程と RP 過 程の組み 合わ せ PSW 過 程W
，（t
）とRP 過 程W
，（t
）の組み合わ せに お け る状態 確 率は，
近 似 的に次 式で表 さ れ る （Appendix
参照）。
O
q
’2（h
‘ T ’）”1
，
＋ha
’
、Xtl（
λ2μll 十 λ2ttl）
k−
1 な お，RP
過程で は β，＝1
／λ2 である。 ；k＝
0， ；h＝
＝
1，2，…
・
（12）（
12
）式を用い る とRP 過 程の パ ル ス のT、
時 間 区 間 最大値を表す確 率 変 数 鵬，
，，の累 積分布閧 数は，
近 似 的 に ド式で表 され る。
凡、
．
。、
（ω）駕 Σ σ、2（ん；71
）1
凡 （ω）ド 配il
F
・・
（・v＞｛
1−
（
1畿
1 恥ガ｝
1十 λ2Pt，FC｝ ，（w）・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（13 ）Fw、
｛zv｝「
＋瀛
醐 。）’
”… 『
’
’
’
’
”齟
’
…
（’4｝ ただ し，N
＝7
ソβ，
（整 数〉と する。
また， （14 ）式はN
が大きい と きの近似で あ る。 確 率 過 程W
（t
）（；
W
，（t
）十既 （t））の超 過 確 率の理 論 解 は，
下 記の よ うに得られる。
．
P
（r ；T
）・・1−
expF λ、T
（1− F
・，
．w、
，
，
、
（r））｝・
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（ユ5）・ ・
−
exp｛
一
・，・T（
1−
∬
・
1
＋£
1
讎
藍
砺 ）fWL
（ w，
）・・，）
｝
……・
・
・
・
・
・
・
・
…t・
・
・
・
・
・
…t…t・
・
一
（16＞ （16）式の理 論 解は，
（14）式の近 似 を用い て い る。 こ の とき の 恥 1＋
w、，
Tコ
（ω〉は，
次 式であ る。
Fw］
・w・
，
・
，
（・）・f
， W1＋
覆
：
当
筋 ）縞 ）・筋・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
…
（17） こ の確率過 程の組み合わ せの と き に は，
超過 率 源 の は下式と な る。
h∫（r）
＝
λ111− F
■，
＋w2，
T／
（r）｝・
A
，（
1
イ
1＋畿
顎
罪
勘 ）f
・・
（・v，）dw
，）
・
・
一 ……一 一 ・
…・
・
………
（18） 2．
4PSW 過 程 とIRP 過 程の組み合 わせPSW
過 程 Wi（t
）とIRP
過 程 W，（t
）の組み合 わせ にお ける状 態 確 率は，Appendix
を参照 して次 式の よ うに表 さ れ る。
σ1、（h
；T
、）＝。
、
ユ＋孀轟
才）
；
夕
＝
1・ 角去
气菰
（
λ2μll 十 λ2μ1）
’t ；h ＝
＝
2，
3，
…
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（19 ＞i
・μi（
論
μ ’・
1
・
，4i
・）
；
卸
λ，μi（
堕 ＋ρ22＋λ2μ・ こ こ に， 鳥 は
IRP
過程の パ ルス の継 続 時 間を表し，
躍＝
τ一
島 と す る。 この確率過程の 組み合わせ に おける超 過確率の理 論 解 は，
（19＞ 式の状 態確 率を用い て導くこと がで き る が，
解 表 現が複 雑と な る。
μ1＞角 の と き に は， 2．
3
に述べ たPSW
過程とRP
過 程の組み合わ せにお け る超 過 確 率の 理 論 解 を近似 的に適 用す ること がで き る。
2．
5RP 過 程とPI
過 程の組み合わ せRP
過程Wi
（t｝とPI 過 程W2
｛t
）の組み合わ せに お け る状 態確率は，
次 式で表さ れ る。
・1師 1）
一
縁
芭
・一
・・
PL，
ft1
−
・A
−
・・
…
（・・）また
，
PI 過 程の インパ ル スの β，時 間 区 間 最 大 値を表 す確 率 変 数 を W，，
n，
と す る と，
そ の累 積 分 布関 数 は 次 式と なる。
F・ 、
，
fi，
（w）・
＝
e”
A’
”’
U
（ ω）＋e一
λ 2 ’‘
’
PF・
・
Cus−
e一
λ’
11匸
・
…・
………・
・
………一 ・
（21）RP
過程の パル ス が （Oi
T
）時間にN
（＝T
／i
＞1；整 数 〉 回 生 起 す る と す る と，
こ の 組み 合わせ 過 程 W （t
） （＝
wrt
）＋W
，〈t））に お け る 超 過確 率と 超過 率の理 論解 は，
次 式の よ うに得られる。ノP（r ；T）
＝
1−
IFWi
＋
Ψ2、
a、
（のド………・
・
………
〔22）＝ 1
−
exp 亅一
λ ，T
（1− F
。、
＋w，
，
fi、
（r））｝・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
tt・
・
・
・
…
一・
・
・
…
一
・
（23）h∫（r〕
＝
λlll−
FWI＋
w2，
a1（r）1
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
鹽
（24） こ こに，
F
・，
・
・，
，
・，
（Ul）一
ズ
expl
−
・鱗 （w−
WI ）｝。
f
剛i（w，）dw
，・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（25） 2．
61RP 過 程と PI過 程の組み合わせ IRP 過 程 蝋 ‘）と PI 過 程1
愀‘）の組み合わせ にお け る状 態確 率は，
次 式とな る。
・1軅
μ
齋
）噛
…・
………一 ・
・
…・
（26）q。2・鱒
一
（響
e一
粛一 ・
・
…・
一 …
（27） こ こ に，
q。t（k
；ρわ は，
時間 区 間 鮮 （＝
τ一
鳥 ）に PI 過 程の イン パ ル スがh
回 生 起す る確 率 を表す。
PI 過 程の イン パ ル ス のft
、お よび 貯時間 区間 最 大 値 を表す確率 変数を そ れ ぞ れ 耽魚，
お よびWl，
fi，
’
と す る と，
両 者の 累 積 分 布 関 数は次式で表さ れ る。
F
曜 、、
fiL（ω）；
e一
λ2μ【
σ（ω）十e一
λ2μ
匸
殉閣一
召一
A’”
］
・
・
・
・
…
r・
・
・
…
r・
…
r・
7・
…
r…
7…
〔28 ＞F
畷 ω＝
e−
A’
P「u
（z ・）＋e．
λ2 μ臨 佃Le一
λ2 μ’一 一 ・
……・
…・
………・
（29
） 確 率 過 程 W （t） （＝
W，（t）十隅（t））の 超 過確 率と 超 過 率の理論 解は，
（28），
（29＞式 を 用いて次式 と な る。
∫
P
（ア ；T
）＝
1−
IFw
、
＋曜，
．
a，
（7｝鬥F
肱 卸〔r）｝ 削……
（30 ） 富 1−
expl
一
λ1 T ［λ2（1−
ft
，／τ）zrF 昏2（r）十1
− F
膨 1 ＋w、
、
fi、
（7）コト…・
− r…・
一
（31）h1
（r）＝ λ ，1
λ，（1−
Pi
／r＞τF
魯2（r＞十1− Fw、
＋ 剛！
．
Db（r）｝…
r・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（32） こ こ に，
・・
崛
・）一
∬
・ ・p 卜為鳳 （・−
wDl・
fWi
〔ω 1）dw1………・
・
…………
（33＞2．
7PSW 過 程，
RP
過 程お よ びPI
過 程の組み合わ せPSW
過 程 をW
，（t
），RP
過 程 を Wz（t），
PI 過 程 をW
，（t
）と して， これ らの 3つの確 率 過 程の スカラー
和の 確 率 過 程 を W （t）とす る。
こ の組み合わ せ で は，
つ ぎの状 態 確 率を用い る。一一
34
一
qn （κ、飼一
嘱焔 、h
．
．
。，1，，，．
＿
（34） q、z（k
；T，）＝h
！0
1十 λ2μ1 ’（
λ2μ11 十 λ2μ1）
s” ；h ＝0，
；k ＝
1，
2，…
・
（35 ｝ こ こ に， q23（k
；ft2
）は RP 過 程 隅（t）の 1つ の パ ル ス継 続 時 間 区 間 ρ2 にPI
過 程 W，（t
）の インパル スがh
回 生 起する確 率，
同 様に q12（h
；T，
〉はPSW
過程 隅（t
｝の 1 つ のパ ル ス継続時間区間T
，にRP
過程W2
（t
）の パ ル ス がk
回 生 起す る確率を表す。
超過 確 率の 理論 解を導く 上で，
RP 過 程とPI 過 程の ス カラー
和の確 率 過 程 をW
，，（t
）（＝
＝
W
，（t
）十W
，（t
）） とし て，
W，，（t）の T，時 間 区 間 最 大 値 を 表す確 率 変 数を 隅、．
， 、とする。
確率 変数 嬲，．
7，
の 累積分布関 数Fw ，
，
話ω） は，
（14
）式 と同様に次 式の よ うに表さ れ る。
n
Fw，
馬 ．ω ＝ Σ q、2（h；T，）iFw
、＋
rv，，
ll，
｛w）IR
s＝
1Fw、
．
一，
，
a、
（ω〉＝ ・＋
a
，。、F擁
（ガ
’
”『
… ”’
（36） 上 式 中の W31fi、
は，
PI
過程の インパ ル スの β2 時 間区 間最大値を表す確 率変数で あ る。 ま た，F
−，
．ve、．
o，
（ω）は 確 率 変数W
， と 既，
a，の和の累 積 分 布 関 数であり， 次 式 で表さ れ る。
F・
，
・w、，
il，
（・V）一
∫
ω expi一
為鱈 （・−
w！
）｝・
fw
，（ω2）d
ω2…
7P− ・
rP・
…
鹽
・
・
・
・
・
…
（37） 上記の諸 式を用い る と，
確 率過程W
（t）の超過 確 率お よ び超 過 率の理 論 解は次 式の よ うに得られ る。．
P
（r ・T
）・ 1一
鶏
撃
・一
・1・1
・。 、＋
w。，
T，
（r）il
＝ ユ
ー
expl一
λ ，T （1−
FWt＋w，
，
、
，
．
1（r））｝・
…
一・
・
・
・
・
…
rP・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
（38）hr
（r）＝
λ，1
ユー
F障 L卜
w，
，
、
r、
（r）1
・
・
tt・
・
・
・
…
t・
・
・
…
tt・
t・
（39） こ こ に，
F… v・・．
・，
・・1
・fW
、＋無
1
（罪
。 、f
・ ・（Wi ・d
・，・
9・
・
一・
・
…
一・
・
9・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
く40） その他の確率過 程の組み合わ せ に おける超過確 率の理 論 解につ い て も上 述と同 様の解 析 手 順によっ て導くこと ができる。
こ こ で示した理 論 解の応 用 上の柔 軟 性 と精 度 に っ いて は次節以下に述べ る が， そ れ ら の一
部は文 献 ユO
〕，ll
），12
｝に報 告さ れている。
3．
超 過 確 率の理 論 解の応 用 前節に示 し た確 率過 程の組み合わ せ に おける超過確 率 の理論解は近 似解であるが， 応 用 上の柔軟性を 具え てい る。
こ こ で は，
荷 重・
耐 力 係 数 方 式の限 界 状 態 設 計 法に お ける設 計規 範の構 成と荷 重・
耐 力 係 数の決 定 問 題へ の応 用につ いて述べ る
。
建築 物に作 用す る積 載，
雪，
風 お よ び 地震 荷 重な どは， 生 起，
作 用 時 間，
強 さに時 間 変 動・
不 規 則 性 を もつ こと から，
前 節で述べ たマ クロ 的な時 間 変 動 過 程 （確 率 過 程 ） とし て モデル化さ れ る， 文 献 1）， 9）参 照。
限 界 状 態 設 計 法で は， 構 造 物 あるい は構 造要素が設計 に おいて意 図さ れ た機 能 また は条件に適さ な く な る状態 を限 界状態と して， 建築 物の設計で は安 全 性と使 用 性に っ い ての限 界状態を考え るの が一
搬 的で あ る。 これ らの 2つ の限界状態に は終局耐力 限 界状態と使 用 限 界 状 態が 設 定 され，
設 計 条 件は 「構 造 物 または構 造 要 素 が， ある 定 め られた時 間 区 間 （以 下で は， 基 準 期 間 とい う）中に 少な く と も一
度限 界状 態に達する で あ ろ う確率 （以 下で は， 限 界状態確率とい う）を設計に おい て指定さ れ た確 率に等しいか，
ま た は小さ く す る」設計 規範によっ て構 成 さ れ る。
基 準 期 間 を丁年，
構 造 要 素の 限 界 耐 力 をR ，
荷 重 効 果の組み 合わ せ を Σ Cx Wx（t
）と する と，
確率 論 的考え 方に莚つ く設 計 規 範は次式の よ うに表さ れ る。 ・・一
…b
［
R−
￥
・・W・（t）… T］
・ ・（一
β｝・
…
t・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（41） Ps＝
1−
P／≧ φ（β）・
………・
・
…・
…・
…
………・
（42
） こ こ に，Prob
［E
］は事 象E
の生 起確 率，
φ（・
）は標 準 正 規分布関 数，
β は信 頼 性 指標を表す。 また，
（41） 式 で は，
R は確 率 変 数， Wx （t
）は荷重の確 率過程であ る。P
∫およびPs
は，T
年 期 間に お け る限 界状態確 率お よ び信 頼 度 を表 し，
Φ（一
β）お よ び φ（β）は設計におい て目 標と す る限 界 状 態 確 率および信 頼 度 を表 す。 上 記の設 計 規 範に基づい て荷 重・
耐 力係 数 方 式の設 計 条件式が次式の よ うに導か れ，
同 式 中の荷 重 係 数7x
は 荷 重の組み合わせ と 設 計におい て目標と す る信 頼 度レベ ル に基づい て決 定さ れ る。
φ・
R
。≧ΣCズ み・
臥 。…………・
………・
（43 ） 濁 こ こに，
添字X
は，D ，
L ，
S ，
W ，
お よびE
と し，
以 下の記述ではこれ らの添字 記号は固定， 積 載， 雪， 風， お よ び 地震 荷 重に関す る諸量 を表す もの と す る。
（43 ）式 左 辺の φ お よ び Rn は 「耐力 係 数」お よび 「限 界 耐 力の公 称 値 」 を 表し，
右 辺の γx は 「荷 重 係 数 」を，
W．，
n は 「荷 重の公 称 値 」 を 表 す。 ま た，
Σ］は，
「荷 重の 組み合わ せ」を表 し，
Cx は係 数 倍 荷重 γx Wx，
n と そ れに よっ て構 造 物に生 じ る力 （応 力 ）と を関 連づ け る係 数で ある。
本 稿で は，
2節で述べた荷 重の確 率 過 程モ デル とそれ らの組み合わ せにおけ る超 過 確 率の理 論 解に基づ く荷 重 係 数の算 定 式の誘 導と，
そ の計 算ア ル ゴリ ズム につ い て 要 約して述べ る。
以 下に は，
荷 重の組み合わ せ の 1例に つ い て述べ，
建 築 物の一
般 的な設計に想 定さ れ る荷 重の 組み合わせ と各 荷 重の具 体 的な統 計 資 料に よ る荷重 係 数 値の算定例につ いての考察は続稿で述べ る。
3．
1 固定荷重と積載 荷 重の組み合わ せ 固 定 荷 重 W。と積 載 荷 重 肌 の組み合わ せ で は， （41） 式は次 式の よ うに記 述さ れ る。
．Pω
一P
・ ・b
［
・一
｛
附甼
叺（t
）］
… T］
≦φ（一
β）・
・
…・
・
…・
…・
…・
……・
…
…・
…・
（44） ΣコWx（t
）＝
WLs（t＞十WLe（t）＝ 既 （t）・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（45） こ こ で は，
固 定 荷 重 鴎 は時間変動が相対的に小さい も の と み な し て確 率 変 数とし て取 扱い，
積 載 荷重の確率過 程 蹴（t）に つ い て は，
持 続 的な積 載 荷重WLS
（t）と・
一
時 的な積 載荷重 蹴。 の確 率 過 程の ス カ ラー
和の確 率過 程モ デル を考え る，
文献9
）参照。
（44 ）式 は，
下 式の よ うに表さ れ る。
Prob
［Z
、− Z2
≦0
］≦Φ（一
β）……・
……・
……
（46 ） ま た は，
Prob ［Zi−
Z2≧0］≧ φ（β）…・
・
…・
……・
・
……
（47＞ こ こ に，Z
、＝R − W
』…・
………・
…・
……・
………・
……
（48） Z，＝
max Σ Wx（t
）……・
………・
……・
・
・
・
・
・
…
（49） 『 x 上 式におい て，Z
、は時 間に依存し ない 確率 変数，
Zi
は 時 間変動荷 重の組み 合 わ せの基準 期 間 最大値を 表 す 確率 変数であ り，
以 下に両 者を分 離して取り扱 う信 頼 度 解 析 手法を述べ る、
（46
）ま た は （47｝式の信 頼 度 設 計 問 題における限 界 状 態 関 数を G（Zi，
Z，）と す る と限 界 状 態 方 程 式は次 式と な る。
G
（ZI，
Z，）＝
Zl−
Zt＝
o・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
r
（50） 信 頼度設計問題に お け る解析 手 法とし て は幾つ か の実 用 的な手法が あ る が， こ こ で は確 率 変 数の標 準 正 規 変 数 へ の変 換お よび標準正 規 変 数 空 間 （σ一
空 間 ）にお け る 限 界 状 態 方 程 式と線形化と線形 化点に基づ く設計 条 件 式 の構 成 手 法 を適 用す る，
文 献9
）参 照。 確 率 変 数 Zτお よび Z2 の累 積 分布関 数を FZi（zD およ びFz、
（z∂と す る と， 標 準正規 変 数へ の変 換お よ び U一
空 間に お け る線形 化 点 座 標 （u密，
磁 ）は下 記の よ うに 表され る。
Fz、
（Zl）；
φ（u1）← うZl＝Fi ，
L（Φ（Ul））・
r・
7…
P・
r・
…
（51
）Fz，（z2＞
＝
Φ（u2） ∈→ x ：ニF
轟 1 （φ（u2））・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（52 ）
u苧
＝
az］・
β…・
………t・
・
……・
…………・
・
……
（53） u穿；
az，
・
β・
……・
・
…・
…・
・
…………・
・
・
・
………
（54
） こ こ に，
α z，
（ノニ
】，
2）は U一
空間にお け る 座標 原点に 対す る方 向 余 弦であり，
α、L〈0，
α z、＞0とする。 〔51），
（52） 式か ら線 形 化 点を設 計 点と す る設 計 条 件 式は，
次 式で表さ れ る。
