閉ループステップ応答データを用いた周波数応答推定に関する考察

Title

閉ループステップ応答データを用いた周波数応答推定に関する考

察

Author(s)

松井　義弘

Citation

福岡工業大学総合研究機構研究所所報　第2巻 　P79-P83

Issue Date

2020-2

URI

http://hdl.handle.net/11478/1486

Right

Type

Departmental Bulletin Paper

Textversion

Author

福岡工業大学　機関リポジトリ　

FITREPO

閉ループステップ応答データを用いた

周波数応答推定に関する考察

松井 義弘 （工学部電子情報工学科）

A Consideration on Frequency Response Estimation Using Closed-loop Step Response Data

Yoshihiro MATSUI (Department of Information Electronics, Faculty of Engineering)

Abstract

Estimation methods of frequency response functions only using one-shot closed-loop step response data have been proposed. Estimated frequency response functions are utilized to improve control performance of closed-loop systems. This paper examines the effects of controller gains and prefilters, which are introduced to make the discrete Fourier transform applicable to closed-loop step response data, on estimation results of a frequency response function through numerical simulations.

Keywords : frequency response estimation, closed-loop system identification, discrete Fourier transform

1.

はじめに

制御系設計は，通常，制御対象の物理モデルを用いて， 制御性能と安定余裕のトレードオフを考慮して行われる． しかし，このようにして設計した制御器を実際のシステム に実装した結果，モデル化誤差などのために所望の制御性 能が得られない場合がある．このような場合，所望の制御 性能を得るための制御系の再設計には，より高精度の制御 対象モデルが必要となり，再度，システム同定実験を実施 しなければならない．しかし，運転コストの大きな装置や 応答時間が遅い化学プラントなどのシステム同定実験は， 経済的コストや時間的コストの制約のため，実施が難しい 場合がある． このような課題の解決のための一つのアプローチと して，データ駆動制御が注目されている．データ駆動制 御は，閉ループ系から得られた 1 組の実験データを利 用して，システム同定による制御対象のモデル化を経 ずに直接制御器調整を行うものである．代表的なもの にVirtual Reference Feedback Tuning (VRFT) [1]や Fictitious Reference Iterative Tuning (FRIT) [2]などが

ある[3–6]．ただし，データ駆動制御は，閉ループデータ を用いた参照モデル（所望の相補感度関数）へのモデル マッチングに基づく制御器調整法であるので，未知の制御 対象に対して，いかにして参照モデルを与えるのかという 問題が未解決のままである． 上記課題解決のためのもう一つのアプローチは，閉ルー プ実験データを用いて制御対象の周波数応答を推定し，周 波数領域で制御器調整を行うものである．制御対象の周 波数応答が推定できれば，周波数領域においてナイキスト の安定判別法に基づく安定性を考慮した制御器調整が可 能となり，データ駆動制御で必要な参照モデルが不要と なる． ところで，閉ループ実験データを用いて制御対象の周波 数応答を推定する際に，閉ループ実験データを離散フーリ エ変換により周波数領域に変換する．しかし，離散フーリ エ変換は絶対可積分である信号にしか適用できず，ステッ プ目標値応答などの閉ループ実験データは直流成分を含 む場合が多く離散フーリエ変換を適用できない．閉ルー プ実験データを絶対可積分とするため，閉ループ実験デー タに前処理フィルタを施す必要がある．前処理フィルタ にはバンドパスフィルタ[7, 8]やハイパスフィルタ，その もっとも簡単なものとして差分フィルタ [9, 10]が用いら れる．このようなフィルタによる前処理の影響は，入出力 データの離散フーリエ変換の比から制御対象の周波数特 性を求める際に相殺され，周波数応答推定結果に影響を与 えないはずである．しかし，実際には，前処理に使用する フィルタにより，制御対象の周波数応答の推定結果が影響 を受ける．また，推定に用いる閉ループデータを取得する 際の制御ゲインの影響についても十分な検討が行われて いない． 本稿では，閉ループデータを用いた制御対象の周波数応 答推定における前処理フィルタおよび制御ゲインの影響

松井 義弘 を数値実験により検討する．

2.

閉ループ実験データを用いた周波数応答推

定法

<2·1> 周波数応答推定法 Fig.1の閉ループ系を考える．ただし，C(z−1)および P (z−1)は，それぞれ，制御器および制御対象である．ま た，r，u，nおよびyは，それぞれ，目標値，操作量，ノイ ズおよび制御量である．ここで，ノイズはある分散を持っ た平均0のランダムノイズであると仮定している． Fig.1 の閉ループ系で感度関数を S(z−1)とすると， S(z−1)は次式で与えられる． S(z−1) = 1 1 + P (z−1)C(z−1) (1)

Fig.1における操作量u(t)および制御量y(t)は，S(z−1)，

P (z−1)およびC(z−1)を用いて，それぞれ，つぎのよう に表すことができる． u(t) = S(z−1)C(z−1)[r(t)− n(t)] (2) y(t) = S(z−1)P (z−1)C(z−1)[r(t)] + S(z−1)[n(t)](3) ここで，S(z−1)，P (z−1)および C(z−1)の周波数応答 を，それぞれ，S(e−jω)，P (e−jω)およびC(e−jω)とし， r(t)およびn(t)の周波数特性を，それぞれ，r(jω)および

u(jω)とすると，y(t)およびu(t)の周波数特性u(jω)お

よびy(jω)は，つぎのように表すことができる．

u(jω) = S(e−jω)C(z−1){r(jω)−n(jω)} (4)

y(jω) = S(e−jω){P (e−jω)C(e−jω)r(jω)+n(jω)}(5)

以上より，(6)式および(7)式の条件を満足するとき，

|r(jω)| ≫ |n(jω)| (6)

|P (e−jω_)C(e−jω_{)r(jω)| ≫ |n(jω)| (7)}

u(jω)およびy(jω)はつぎのように近似できる．

u(jω)≃ S(e−jω)C(z−1)r(jω) (8)

y(jω)≃ S(e−jω))P (e−jω)C(e−jω)r(jω) (9)

このとき，(8) 式および(9) 式より，周波数領域におけ C(z) r u Controller P (z) y − Plant n

Fig. 1. Closed-loop system.

るy(t)とu(t)の比から制御対象のP (z−1)の周波数応答 P (e−jω)が推定できる．ただし，時間領域の信号を周波数 領域に変換するための離散フーリエ変換時間領域での信 号は絶対可積分でなければならない．しかし，ステップ目 標値応答実験で得られるy(t)およびu(t)は直流成分を含 み，絶対可積分ではない場合が多い． <2·2> 前処理フィルタの導入 閉ループ実験データy(t)およびu(t)を絶対可積分とす るためには，これらの持つ直流成分を除去するためのフィ ルタを導入する必要がある．著者らは，次式に示すバンド パスフィルタを提案している[7, 8]． Fb(s) = naTss (naTss + 1)(nbTss + 1) (10) ただし，定数na およびnb はバンドパスフィルタの通過 帯域を決定する定数で，Tsはサンプリング周期である． 本稿では，このバンドパスフィルタに起因する過渡現象の 短時間の収束を狙ってna = nb = 5と設定するものとす る．なお，実際の閉ループ実験データy(t)およびu(t)は， 離散時間信号であるので，Fb(s)を0次ホールドを用いて サンプリング周期Tsで離散時間化したフィルタFb(z−1) を使用する．さらに，近年，次に示す差分フィルタが提案 されている[9, 10]． Fd(z−1) = 1− z−1 (11) これらのいずれかのフィルタを施したy(t)およびu(t) を，それぞれ，yf(t)およびuf(t)とすると，yf(t)および uf(t)は絶対可積分となり，離散フーリエ変換が可能とな る．したがって，yf(t)およびuf(t)から推定できる制御 対象の周波数応答を_{P (jω)}ˆ _{とすると，P (jω)}ˆ _{は次式で与} えられる． ˆ P (jω) = F[yf(t)] F[uf(t)] (12) ここで_F[·]は離散フーリエ変換を表す． <2·3> 周波数応答推定可能な周波数帯域 目標値r(t)およびノイズn(t)を，それぞれ，ステッ プ関数および白色ノイズと仮定すると，周波数領域では， |n(jω)|が周波数によらず一定であるのに対し，_|r(jω)|は その積分特性のため，_{−20 dB/dec}で減衰する．したがっ て，(6)式は，低周波域で満足させることができ，大振幅の rにより周波数帯域を広げることができる．また，(6)式 を満足する周波数帯域で_{|P (e}−jω)C(e−jω)| > 1のとき， その周波数帯域で(7)式の条件も満たされる．

3.

数値実験

数値実験は離散時間系で行う．ここでは，モータの速度 制御を想定して，連続時間系での制御対象を次式の伝達関 数で与える． P (s) = 1 J s + D (13) ただし，JおよびDは，それぞれ，慣性モーメントおよび 粘性抵抗係数で，それぞれ，J = 1.0× 10−4kgm2および D = 3.0× 10−3, Nm/(rad/s)とする．このP (s)をサン プリング周期Ts= 1 msで0次ホールドを用いて離散時 間化したP (z−1)に2サンプリング周期分のむだ時間を加 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 0.4 0.8

w/o noise w/ noise

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 0.07 0.14 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Time [s] -0.1 0 0.15

Fig. 2. Step reference responses of y(t) acquired from closed-loop system with C(z−1) = 0.005, yb(t) = Fb(z−1)[y(t)] and

yd(t) = Fd(z−1)[y(t)]. 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 3 6 10 -3

w/o noise w/ noise

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 10 20 10 -4 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Time [s] 0 2.5 5 10-3

Fig. 3. Step reference responses of u(t) acquired from closed-loop system with C(z−1) = 0.005, ub(t) = Fb(z−1)[u(t)] and

ud(t) = Fd(z−1)[u(t)]. えたz−2P (z−1)を制御対象とする．制御器C(z−1)は， 比例補償のみの制御器とし，比例ゲインを0.05と0.005 とした．比例ゲイン0.05は，閉ループ系を安定化する上 限の比例ゲインより若干小さいものとする．もう一つはそ の1/10とする．ノイズn(t)は分散0.022_{，平均0，デー} タ長101（t = 0∼ 0.1 sに相当）の一様分布のものを100 組準備する． Fig.2は制御器をC(z−1) = 0.005としたときの閉ルー プ系のステップ目標値入力時のy(t)の応答と，y(t)に， それぞれ，バンドパスフィルタFb(z−1)および差分フィ ルタFd(z−1)を施した信号yb(t)およびyd(t)の応答を示 す．Fig.2には，ノイズn(t)を印加した場合としない場合 の結果を示しており，ノイズn(t)を印加したときの応答 は前述の100組のノイズ毎に100回の数値実験を行った 結果を重ね書きしている．Fig.3は，このときの閉ループ 60 100 1000 3000 10 20 30 40 50 Gain [dB] 60 100 1000 3000 Frequency [rad/s] -360 -270 -180 -90 0 Phase [deg] w/o noise w/ noise True

Fig. 4. Bode plots of ˆP (jω) estimated using yb(t) in Fig. 2

and ub(t) in Fig. 3. 60 100 1000 3000 10 20 30 40 50 Gain [dB] 60 100 1000 3000 Frequency [rad/s] -360 -270 -180 -90 0 Phase [deg] w/o noise w/ noise True

Fig. 5. Bode plots of ˆP (jω) estimated using yd(t) in Fig. 2

松井 義弘

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0

1 2

w/o noise w/ noise

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 0.3 0.6 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Time [s] -0.5 0 0.5

Fig. 6. Step reference responses of y(t) acquired from closed-loop system with C(z−1) = 0.05, yb(t) = Fb(z−1)[y(t)] and

yd(t) = Fd(z−1)[y(t)].

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 -0.05

0 0.05

w/o noise w/ noise

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 -0.01 0 0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Time [s] -0.04 0 0.05

Fig. 7. Step reference responses of u(t) acquired from closed-loop system with C(z−1) = 0.05, ub(t) = Fb(z−1)[u(t)] and

yd(t) = Fd(z−1)[u(t)]. 系のu(t)の応答と，u(t)に，それぞれ，バンドパスフィ ルタFb(z−1)および差分フィルタFd(z−1)を施した信号 yb(t)およびyd(t)を示す．ノイズn(t)を印加した場合 の応答はFig.2の場合と同様に表示している．Fig.4は， C(z−1) = 0.005の閉ループ系から得たデータをバンドパ スフィルタFb(z−1)により前処理したものを用いて推定 した制御対象に周波数応答の推定結果を示している． ま た，Fig.5は，C(z−1) = 0.005の閉ループ系から得たデー タを差分フィルタFd(z−1)により前処理したものを用い た制御対象の周波数応答の推定結果を示している．Fig.4 およびFig.5の場合は，ローゲインの閉ループデータであ るので，制御対象の周波数応答を推定できる帯域が狭いこ とがわかる．また，バンドパスフィルタと差分フィルタに よる違いは，ほとんど見られないが，100 rad/s程度以下 60 100 1000 3000 10 20 30 40 50 Gain [dB] 60 100 1000 3000 Frequency [rad/s] -360 -270 -180 -90 0 Phase [deg] w/o noise w/ noise True

Fig. 8. Bode plots of ˆP (jω) estimated using yb(t) in Fig. 6

and ub(t) in Fig. 7. 60 100 1000 3000 10 20 30 40 50 Gain [dB] 60 100 1000 3000 Frequency [rad/s] -360 -270 -180 -90 0 Phase [deg] w/o noise w/ noise True

Fig. 9. Bode plots of ˆP (jω) estimated using yd(t) in Fig. 6

and ud(t) in Fig. 7. の低周波域のノイズの影響が差分フィルタの場合が若干 大きいことがわかる．Figs.6∼9は，C(z−1) = 0.05の場 合の結果をC(z−1) = 0.005の場合と同様に示している． この場合は，ハイゲインの制御器による閉ループデータで あるので，ローゲインの制御器C(z−1) = 0.005の場合と 比較して，制御対象の周波数応答を推定できる帯域が広く なっていることがわかる．また，制御対象の周波数応答の 推定結果に対する300 rad/s程度以下の低周波域のノイズ の影響は，差分フィルタを用いて推定した場合がバンドパ スフィルタを用いた場合に比べて大きいことがわかる．

4.

おわりに

閉ループ系から取得したステップ応答データを用いた 制御対象の周波数応答推定における前処理フィルタおよび 制御ゲインの影響を数値実験により検討した．差分フィ ルタにより前処理を行った場合には，バンドパスフィルタ

を用いた場合に比べて低周波域でノイズの影響を受けや すいことを確認した．また，ハイゲインの制御器による閉 ループデータを用いると推定可能な周波数帯域を広げる ことができることを確認した．さらに詳細な解析結果に ついては，稿を改めて報告する予定である．

謝辞

本研究は，福岡工業大学研究所「科研費リトライ支援制 度」の支援を受けた． （2019年10月18日受付）

文献

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