多軸行列法による三相誘導電動機の特性
杉浦修 (昭和４９年８月３１日受理)
Characteristics of Three Phase Induction Motor
Analyzed by Poly Axis Matrix Method
OsamuSUGIURA
Ahstr孔Ct
Various alternating machines have been analyzed by the poly-aXis matrix method. But the theoretical results fromit do scarcely be comparedwith theresultsoptained by the ampere turnmethod.Usingthreephaseinductionmotor,therelationbetween the former and thelatterisinvestigated.
Itis concluded that the same equivalent circuit and circle diagram are obtained. Furthermore an another equivalent circuitisintroduced from the analysis ofthe POly・aXis matrix method,and a new measuring method of theinduction motor
constantsis proposed by the author.
１.まえがき 今まで,多軸行列法１)によって各種の交流機の解析 を行ってきたが,一般的に使用されている方法との関 係が,はっきりしていなかった。そこで本文では,三 相誘導電動機について,多軸行列法によって求められ た結果と,アンペアターン法２)による結果との関係を 調べた。また,新しい三相誘導電動機の定数測定法を 考案したので報告する。
２.理 論 式
三相誘導電動機の巻線モデルは図-１のようになる。 a,b,Cの三相巻線は固定子側で三相平衡電圧が印加 され,電機子電流が各巻線を流れている。回転子側は ３相巻線で表すのが一般的であるが,三相同期横に利 用することを考慮して,図-１のごとくd,q軸で表さ れている。.Rlは電機子巻線抵抗,Rd=Rqは回転子 側のd,q軸の抵抗,エ１は電機子巻線の自己イソダ クタンス,エd=上せはd,q軸の自己インダクタソス, 〟１ほ固定子巻線間の相互インダクタソス,〟d=〟官 は固定子巻線と回転子巻線間の最大相互インダクタン スである。前報告３)において,界磁巻線がなくて,突 極がなく,円筒形であるという条件にすれば,前報告 は三相誘導電動機の解析結果となる。前報告に,この 条件を代入すれば, Ⅹ。=gmJ=Ⅹ肌′d=０,Rd=月α,Ⅹd=Ⅹせ=田上ゎ Ⅹ肌d=Ⅹ仰せ=雪の机,R′=Ⅹ′=∞,すべり ぶ=(炒。一叫)/の。 となるためⅩ肌′=Ⅹ朗２=０,Ⅹ頼=gl二詔警告,
虎′=∞,Ⅹ１=α(エ１+〟１) ° １１′=j与=１１２=０,電源周波数と同一周波成分の電一 ° 流１１１は a有げル
図-１誘導電動機の巻線 Fig.１Windingmodel. ofinduction motor.i・i−R璃㌃
したがって，電機子電流i。は，次式のようになる。i・・Tt、鑑，、1…（tut＋Pii）（…）
つぎに，τr＝τf ・O，Iqi＝−jld1，1，，＝＝ ldf＝lq2＝0∫・1−R漂翫f・・の条件を前報告のトルクの式
・に代入すると． ・一元甜｛一∫1・＊i・i＋7・・∫・・＊｝ ＋ス計∫1・fqi＊＋ii・i・1｝ ＋÷｜−i・∫・・1・i・（・S・・t＋β・6） ＋芸・1；11∫・11…（・Sω・＋β・・）−b・謬轟1云・12 （・・2）
から，トルクが求まる。ただし， β。6＝∠（−1nldi），β。8＝∠（ln lai）である。3．等価回路
誘導電動機の固定子巻線の自己インダクタンスL， ・は有効分L，eと漏れ分1、との和である。回転子側も 同様で L1＝Lie十1， Ld＝Lde十ld と表せる。固定子巻線間の相互イングクタンス．M、は 一ルち一TL・・ である。固定子巻線と回転子巻線間の最大相互イソダ クタンスM，は M，＝V’Lle・Lde である。したがって， X1一ω（L，＋M1）一ωGL1・＋1・）＝・ t1・＋xlt Xd＝ω（Lde＋ld）＝Xde＋tdlXmd一乎ω批一乎ωw㍍・Lde−v …疏
となる。x、，は固定子巻線の有効分自己リアクタンス でエ1Lはその漏れリアクタンス， Xdeは回転子巻線の 有効分自己リアクタンスで，XdZはその漏れリアクタ ソスである。 つぎに，以下のような，漏れ係数を定義する。 σ1−・一￨一晋
炉・一一￨一一受
a2Rd／s 1・， 」αXdt合
図一2 誘導電動機の等価回路 Fig．2 Conventional epuivalent circuit of induction moter． の・一・一 譏U一・−iiiiXlig｝｛9｝id2 漏れ係数の3つの式から， （1一σ、2）＝（1一σ1）（1一σ、） が導びかれる。 （2．1）式は1。＝V／Z、と表されるから，電源から見 たインピーダンスZ1はz一
毎黷q，＋元x，＋藷織 （3・・）
である。（3．1）式を，これまでに与えられた関係を用 いて変形すると， Z1＝R1十元σ1×1 十 1π＝1i瀞亮＋ 1
一ユ＿＿＋ 1」Xle瓢乎＋斑・｝
（3．3） 固定子と回転子巻線間の有効巻数比をaとすると， Xle 2 ＝a JUdθ であるから，（3．1）式は図一2のような回路が描ける。 図一2において，R、は固定子巻線抵抗， xユ1は固定子 巻線漏れリアクタンス，a2Rdは回転子巻線抵抗を固 定子側に換算した値，a2XdZは回転子巻線の漏れリア クタンスを固定子側に換算した値，Xl，は固定子巻線 の有効リアクタンスである。鉄損を考慮して抵抗を x、eと並列に置けば，アンペアターン法2）によって得 られる等価回路と同一である。この等価回路から誘導 電動機の円線図や諸特性が導びかれるが，一・般的に行 われている場合と同じ結果となることが明らかである ので，それらに関する説明は省略する2）。誘導電動機 の特性を具体的に計算するため各種の実験によって， 定数を測定する必要があるが，これも同じ実験を行え x／flSilii；ilig，ig．XG｛一㌢＋」のx・｝ （3．2） となる（付録）。 （3．2）式は，つぎのようにも書ける。 21＝R、＋元工、L＋ 1、I R、 jx・ ＝j（X・−2Xnd2／Xd） il
l勢
Ir 〉＿．⊥＿＿＿＿＿＿ jx、＝j 2 Xnd…シXd Rr／S＝（2 Xnd 2／Xd） ×（Rd／Xd）（1／S） 図一3別解による等価回路 Fig．3 Another equivalent circuit introduced by the poly．axis ブ（・一・・2）Xi＋（・−a12）・漂 （4．1） が求まる。（4．1）式は，つぎのようにも書ける。 Z−R・＋」（X一2鷲2） matrix method． ばよい。すなわち，多軸行列法によって解析された三 相誘導電動機の特性は，アンペアターン法によって得 られた結果とまったく同じとなることがわかった。 4．別解による等価回路 （3．1）式のインピー一ダンスZ1は 2・・＝（R1十元X1）（Rd十ゴSX， Rd＋」8Xd）＋2SX・d2と難㍍璽欝驚RD
−Rd（R1＋元al2x，）−1…『…1≡巴｝≦豊『元Rdx，のように㌫蕊㌶籔過程によつ．（，
2・−R1＋」φ・X・＋ 、 1、
＋12：Xllliz：：zimd2）＋蔭）廊（‘・ 2） （4．2）式より，図一3のごとき，1新しい等価回路が描 ける。図一3の特徴は図一2と異なって，漏れ分に対す る定数がなく，そのかわり固定子と回転子間の相互リ アクタソスが存在することである。また，図一2より， いくらか回路が簡単となっている。この等価回路から 誘導電動機の諸特性を求めると， 一次入力 P、＝3VI・ノcosP〔W〕 一次銅損Ptl＝3（1，1）2Rl〔W〕 二次銅損 Pt2 ・＝ 3（lr）2Rr〔W〕 蹴的出力P・・ 3（・・）・i1毛8）R・〔W〕トルク丁
ﾍ一5）＝蒜（埠〔N’m〕
R1 B C A β X、／2 0 X、 0ノ B’ β Cノ A！1
jx， R。／s」手帥心をもち願・樋る円cとなる・
③2・＝R・噛
嶽働主図
一4のようilc R，＋jxぷだけ，原点を0から0’に 移した場合の円Cである。 （4）7、’＝↓の軌跡は，原点0’からみた円Cの Z1 逆図形4）を描くと，図一4の円Cノが得られ，これ に電圧V倍すると電流の軌跡が求まる。 図一4において，円Cの半径RはR＝Xe／2F、苦4隠鷲艦質㍍。，1。，。，．
欝の㌶つぎの手順で描け6。
（・）毒＋R7T，の軌蹴図一4のたて座標
一嬬を通り横軸と平行な醜となる・
（・）・：・嚇⊇・のたて軸上の
願’に対する円Cの恥座標は（R・・x・＋手）
横軸と《πとのなす角βはβ一・・n−・（X・]2）
円ctの半径R・はR’一丁（1 10A OB） ＿ Xe／2 R、2＋Xぷ（Xs＋X，） 原点O’と円C’の中心間の長さ0∫C’はσσ一・一，B，＋R，一爵鵠譜鶏2
γ β C！ 0’ 毛 0” ↑ 図一5電流軌跡 Fig．5 Current locus． Pi
−←一
Ie 0 R1 jX、→v
図一6Po−V曲線 Fig．6 Po−V Curve． 図一4をもとに，電流1，の円線図を描くと図一5の ようになる。図一5では，鉄損を考慮して鉄損分に相当 する抵抗瓦が．電流に並列につながれているものとす る（図一3の点線のRiの部分）。 O／0”は鉄損電流Iiで Ii＝V／Ri たて軸と0℃ノ間の角βは β一・・n−1（Xs＋X，／2 R，） 原点0”に対する円Cノの中心の座標は嚇標R、毒鵠詰）v・
たて座標｛貢＋R、2＋X捻醐｝V
円Cノの半径R’はR’−R12＋煮隻。瑚γ
つぎに，定数測定法について述べる。 （1）一次巻線抵抗測定試験 直流電圧を一次巻線端子間に加え，電圧降下法によ ってt（°C）における抵抗R1ノを求める。基準温度 T（°C）の値に換算した抵抗R，を（4．3）式によって 定める。 R・ 一 −li’Riノ鑑篶〔Ω〕 （・．・） 図一7 無負荷時の等価回路 Fig．7 Equivalent circuit at no Ioad． 測定は，巻線の温度上昇を防ぐため，すみやかに，か つ小電流にて行う。 （2）鉄損Piと機械損Pmの分離試験 誘導電動機を無負荷で運転し，印加電圧Vを，しだ いに低くしていき，回転数が同期速度より，あまり落 ちない電圧まで無負荷電力P。を測定する。vとP。の 関係は図一6によって示され，Pmが常に一定値である ことから，PmとPiとが分離される。 （3）無負荷試験 無負荷のため，S≒Oとなり，図一3は図一7として 表される。Xユ＞R、であるので Ri一ｺ・zli−V（五Vo）2−（十）2
（4）拘束試験 誘導電動機を拘束して，3相平衡電圧を印加すると （2．1）式より，電機子電流のベクトル表示1、はi。＿ v
R・＋元x1＋念i￥1浩 したがって R藩后一丁｛￥一（R，＋元x、1α）｝ が求められ。 R藷ε一（鐙謬名｛貢一」｝＝・ r・・一・7’・x・r とおくと 琶一芸・莞ゴーx・・｛（貢）2＋・｝ となるから，この値を定数として用いる。この実験で は，S＝1で印加電圧が低いため，．Pm＝0， Pi≒0で ある。 以上の4つの実験によって，図一3の等価回路の定数 が求まり，誘導電動機の諸特性を計算することができ る。 5． ま と め いままで述べたことから，つぎのことが明らかとな った。（1）多軸行列法によって求められた誘導電動機の特 性，等価回路，円線図は一般的に使用されている 場合5）と同一となる。 （2）多軸行列法の解析結果から，上記とは異なる等 価回路も得られ，前の回路より，いくぶん簡単な 回路となる。それより，誘導電動機の諸特性が求 まり，新たな円線図も描ける。 （3）解析結果を利用して，新しい定数測定法を考案 した。 終りに，この研究を進めるにあたり，いろいろ有益 な助言をくだされた山梨大学の数野教授に感謝の意を 表します。
