分数のかけ算とわり算を考えよう

第６学年

算数科学習指導案

１ 単 元 「分数のかけ算とわり算を考えよう」 ２ 指導観 自分の考えを絵図や言葉、式をつかって表現し、それぞれを関連づけて説明することができる子ども 基礎・基本 □指導内容 □学習過程の工夫 本単元は、既習の整数や小数の計算 【関心・意欲・態度】 ① 単元構成 の考え方をもとに、分数の計算の仕方 ○ 分数のかけ算やわ 単元を「つくる」「つかう」「つかい を考え、説明したり、正しく計算した り算の計算の仕方を、 こなす」の３段階で構成する。 りすることができるようになることを 既習の考えを活用し 最初の「つくる」段階は、算数的表 主なねらいとしている。 て考えようとしいる。 現を知り、分数の計算の仕方を導くた 分数の学習は、形式的な計算手順を めの方法を学ぶことを目的としている。 習得させることに重きを置くのではな 【知識・技能】 この段階で知るべき算数的表現は、面 く、「なぜ、そのような計算方法にな ○ 分数のかけ算やわ 積図と対応数直線図である。この２つ るのか」を説明させることに重点を置 り算の計算の意味や の絵図をもとに単位分数を調べ、その いて指導することが大切である。 その計算の仕方を理 いくつ分かで答えを求める。 そこで、本単元では、自分の考えを 解し、分数のかけ算 次の「つかう」段階では、「つくる」 相手にわかりやすく説明するための方 やわり算の計算がで 段階で学んだ面積図と対応数直線図の 法として面積図や対応数直線図などの きる。 表し方の確実な習得を図る。またこの 図的表現を獲得させ、言葉や式と関連 段階では、絵図や式を言葉と関連づけ づけて説明できるような指導をしてい 【数学的な考え方】 ながら説明することもねらいである。 きたい。 ○ 分数のかけ算やわ 最後の「つかいこなす」段階は、子 り算の計算の仕方を どもたちがそれぞれの見通しをもとに □本単元で扱う数学的な考え方 絵図や言葉、式をつ 絵図を選択しながら、自力解決を図ら かって表現し、それ せるようにする。 【算数的表現】 らを関連づけて説明 ② 学習指導過程 ・面積図と対応数直線図《図的表現》 することができる。 一単位時間の指導過程を『つかむ』→ ・言葉（説明）《言語的表現》 『つくる』→『練り上げる』→『まとめ ・式《記号的表現》 る』の４段階にわけ、各段階を有機的に 【算数的アイデア】 結びつけながら指導を行っていく。 ・類推的思考（つかむ・つくる段階） 『つくる』段階で子どもが自分の考 「前の時間と同じように単位分数 えを表現する際には、必ず図的表現（面 のいくつ分の考え方が使えそうだ。」 積図や対応数直線図）や言語的表現（言 ・演繹的思考（つかむ・つくる段階） 葉）、記号的表現（式）の３つの表現 「整数や小数の時に習ったわり算 を使わせるようにする。そして、図的 のきまりを使って、分数でもでき 表現と記号的表現の関連がわかるよう るかを考えよう。」 に、線で結んだり、同色のペンで囲ん ・帰納的思考（練り上げる段階） だりするようにする。 「みんなが出した考え方から共通 また『練り上げる』段階では、自分 することを見つけ、一般に成り立 の考えを説明するためのペア交流と様 つ方法を明らかにしよう。」 々な考えの共通点に目を向け一般化を ・単位分数のいくつ分 図る全体交流の２段階交流を行う。 ・同数累加 ・倍分 ・通分 このような学習指導過程を単元を通 ・わり算のきまり じてくり返し行っていくことで、算数 的表現力を育てる。 ○ 児童の実態 【関心・意欲・態度】○○％の子どもが、既習事項をもとに解決の見通しをもち、自力解決に向けて学習に取 り組むことができている。しかし残りの子どもの中には、問題解決しようという意欲がもてない子どももいる。 【知識・技能】分数のたし算やひき算の学習では、○○％の子どもが十分に計算できるようになっている。 しかし、分数の意味理解については、不十分な点がある。 【数学的な考え方】約○○％の子どもが教師の支援なしに絵図や言葉、式を使って自分の考えをつくること ができている。しかし、それらを関連づけて説明できる子どもは、半数にも満たない。

３ 単元計画（全１７時間） 段 時 主 な 学 習 活 動 数 学 的 な 考 え 方 階 数 算数的アイデア（◇）・算数的表現（◎） 【分数×整数，分数÷整数】《第１時～第３時》 ◎ 面積図 つ 第 １．これまでに学習してきている整数のかけ算や小 １ 数のかけ算の意味や適用を振り返る。 時 ○ 「基準量×いくつ分＝全体量」の関係を想起 く すること ○ 整数のかけ算や小数のかけ算の計算の仕方を ◎ 言葉 ◎ 式 対応数直線図を使って、説明すること る ２．分数×整数の計算の仕方を考える。 ○ 絵図を使って、自分の考えをつくること ◎ 対応数直線図 ３．練り上げを行う。 ○ 自分の考えを絵図をもとに説明すること ○ 面積図のかき方を知ること ○ 単位分数のいくつ分の考え方を理解すること ４．分数×整数の式を一般化する。 ◎ 言葉 ◎ 式（◇ 同数累加） １．前時と本時の問題の比較活動から、解決の見 ◎ 面積図 第 通しを持ち、めあてをたてる。 ２ ○ 前時と本時の差異点や共通点を見つけること 時 ○ 面積図や対応数直線図を使って、分数÷整 数の計算の仕方を考えるという解決の見通し をもつこと ※ ◎ 言葉 ◎ 式 ２．分数÷整数の計算の仕方を考える。 ○ ３つの表現（絵図や言葉、式）を使って、自 ◎ 対応数直線図 分の考えをつくること ３．練り上げを行う。 ○ 自分の考えを絵図をもとに説明すること ○ 面積図のかき方について交流すること ○ 子どもたちの考えの共通点から計算のきま りを見出すこと ４．分数÷整数の式を一般化する。 ◎ 言葉（◇ 倍分の考え）と式 ・ 分数×整数，分数÷整数の練習問題を解く。 第 ○ 公式の正確な理解ができること ３ ○ 面積図や対応数直線図を使って、文章題を 時 解くこと つ 第 【分数×分数】《第４時～第８時》 ◎ 面積図 ◎ 言葉 ４ １．分数×整数の計算の仕方を想起し、立式を行い、 時 めあてをたてる。 か ・ ○ 分数×単位分数の立式ができること ◎ 式 第 ○ 分数×整数の学習をもとに、解決の見通し ５ を立てること う 時 ２．分数×単位分数の計算の仕方を考える。 ○ ３つの表現を使って、自分の考えをつくる

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分数に整数をかけるには、 分母はそのままで、分子に その整数をかける。

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分数を整数でわるには、 分子はそのままで、分母に その整数をかける。 １㎡ ３ ５ × ４ ＝ １ ２ ５ （㎡） （枚） ４ １ ３ ５ ？ ×４ ×４ ３ ５ × ４ ＝ ＝ ３ ５ １ ２ ５ ＋ ３ ５ ＋ ３ ５ ＋ ３ ５ １㎡ １㎡ ４ ５÷ ３＝１５ ４ （㎡） （枚） ３ １ ？ ÷３ ÷３ ４ ５＝ １２ １５ ４ ５÷ ２ ＝ ２ ５ と割り切れる問題で練習する。 単位分数 １５ １ の４つ分 単 位 分 数 １ ５の １ ２ こ 分 単位分数 １５ １ の４つ分 １㎡ １ ３ ０ １ｄｌ ４ ５ × １ ３ ＝ ＝ ４ × １ ５ × ３ １ ５ ４ ３ ５の４つ分 ４ ５ ＝ １ ２ １ ５ だ か ら 、 ４ ５ ÷ ３ ＝ ＝ １ ２ １ ５ １ ５ ４ ÷ ３

こと ◎ 対応数直線図 ３．練り上げを行う。 ○ 自分の考えを絵図をもとに説明すること ○ それぞれの表現の関連づけ方を知ること ○ （×１／３）と（÷３）が同じことを表し ていることに気づくこと ４．分数×単位分数を一般化する。 ◎ 言葉 ◎ 式 １．前時と本時の問題の比較活動から、解決の見 ◎ 面積図 ◎ 言葉 第 通しを持ち、めあてを立てる。 ６ ○ 前時と本時の差異点や共通点を見つけること 時 ○ 分数×分数の計算の仕方を面積図や対応数 直線図と式を関連づけて説明するという、解 ◎ 式 決の見通しを持つこと ２． 分数×分数の計算の仕方を考える。 ○ ３つの表現を使って自分の考えをつくり、 ◎対応数直線図 関連づけること ３．練り上げを行う。 ○ ３つの表現を関連づけて、自分の考えを説 明すること ○ 友だちの考えを聴き、自分の考えを強化し たり、付加・修正したりすること ○ 子どもたちの考えの共通点から計算のきま りを見出すこと ◎ 言葉 ◎ 式 ４．分数×分数を一般化する。 １．既習の考えを使って、整数×分数と分数×整数 第 の計算の仕方を考えるというめあてを設定する。 ７ ○ 分数×分数の公式を想起すること 時 ２．整数×分数と分数×整数の計算の仕方を考える。 ○ 整数を分母が１の分数とみること ３．整数×分数と分数×整数を一般化する。 ・ 分数のかけ算の練習問題を解く。 第 ○ 公式の正確な理解ができること ８ ○ 面積図や対応数直線図を使って、文章題を 時 解くこと 【分数÷分数】《第９時～第１１時》 ◎ 面積図 ◎ 言葉 第 １．分数÷整数の計算の仕方を想起し、立式を行い、 ９ めあてをたてる。 時 ○ 分数÷単位分数の立式ができること ◎ 式 ○ 分数÷整数の学習をもとに、解決の見通しを 立てること ２．分数÷単位分数の計算の仕方を考える。 ○ ３つの表現を使って、自分の考えをつくること ３．練り上げを行う。 ◎対応数直線図（◇ 整数にする考え） 分数に単位分数をかける ことは、分数を単位分数の 分母でわるのと同じである。

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（× １ ３）と（÷ ３）は、同じ ４ ５ × １ ３ ＝ ＝ ４ ５ １ ５ ４ ÷ ３ （㎡） （枚） １ ？ ４_５＝１２ １５ ÷３（× １ ３） ÷３（× １ ３） １ ３ １㎡ １ ３ ０ ２ １ ３ ｄｌ 単位分数 １５ １ の８つ分 ４ ５× ２ ３＝１５ ８ （㎡） （枚） １ ？ ４５＝ １２ １５ ÷３ ÷３ □ １ ３ ２ ３ ×２ ×２ 分数のかけ算では、分母 どうし、分子どうしを、それ ぞれかける。

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１ ３dl… ４ ５÷ ３＝１５ ４ その２倍だから、 １５ ４ × ２＝ １５ ８ ４ ５× ２ ３＝ ＝ ＝ ４ ５ ４× ２ ５× ３ １５ ８ ÷ ３× ２

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， １㎡ １ ３ ０ ２ １ ３ ｄｌ 単 位 分 数 １ ５ の ９ つ 分 ３ ５ ÷ １ ３ ＝ ＝ ３ × ３ ５ × １ ９ ５

○ ３つの表現を関連づけて、自分の考えを説明 すること ○ 友だちの考えを聴き、自分の考えを強化した り、付加・修正したりすること ○ 子どもたちの考えの共通点から計算のきまり を見出すこと ４．分数×単位分数を一般化する。 ◎ 言葉 ◎ 式 １．前時と本時の問題の比較活動から、解決の見 ◎ 面積図 ◎ 言葉 第 通しを持ち、めあてをたてる。 １ ○ 前時と本時の差異点や共通点を見つけること ０ ○ 分数÷分数の計算の仕方を面積図や対応数直 ◎ 式 時 線図と式を関連づけて説明するという、解決の 見通しを持つこと ２． 分数÷分数の計算の仕方を考える。 ○ ３つの表現を使って自分の考えをつくり、 本 関連づけること ◎ 対応数直線図 時 ３．練り上げを行う。 ○ ３つの表現を関連づけて、自分の考えを説明 すること ○ 友だちの考えを聴き、自分の考えを強化した り、付加・修正したりすること ○ 子どもたちの考えの共通点から計算のきまり を見出すこと ４．分数÷分数を一般化する。 ◎ 言葉 ◎ 式 第 ・ 分数のわり算の練習問題を解く。 １ ○ 公式の正確な理解ができること １ ○ 面積図や対応数直線図を使って、文章題を 時 解くこと 【分数のかけ算やわり算をつかって】 ◎ 面積図 ◎ 対応数直線図 つ 第 《第１２時～第１５時》 １ １．問題場面から題意をつかみ、分数の割合の問題 ２ を解くという見通しを立てる。 か 時 ○ 問題から、もとにする量，比べる量，割合が 確実に捉えられること ２．割合の問題を解く。 い ○ 絵図を選択して、自分の考えをつくること ３．練り上げを行う。 ○ ３つの表現を関連づけて、自分の考えを説明 こ すること ○ 簡潔・明瞭・的確の観点で交流すること ◎ 関係図 ４．割合や速さの練習問題を解く。 な ○ 割合や時間などを表す分数を用いて、問題解 決ができること ○ 分数倍のとき、「倍」を省略できることを理 す 解すること 分数を単位分数でわるこ とは、分数に単位分数の分 母をかけるのと同じである。 △ □÷ １ ○＝ △ □×○ １㎡ １ ３ ０ ２ １ ３ ｄｌ 単 位 分 数 １ ０ １ の ９ つ 分 ３ ５ ÷ ２ ３ ＝ ＝ ３ × ３ ５ × ２ １ ０ ９ ２ ３ ３ ２ d lを １ d lに す る に は 、 倍 す れ ば い い 分数のわり算では、わる 数の分母と分子を入れか えた分数をかける。 △ □÷ ☆ ○＝ △ □× ○ ☆ ？ｍｌ ０ １ ３ ２ ３ ６００ｍｌ （ｍｌ） （倍） １ ？ ２ ３ ×３ ２ ×３ ２ ６００ 全体の量 ジュース ？ｍｌ ６００ｍｌ ２ ３倍 ÷ ２ ３ （㎡） （ｄｌ） １ ？ １ ３ ３ ５ ５ ９ ×１５ ×１５ ÷５ ÷５ ３ ５÷ １ ３＝( ＝９÷ ５ ＝９ ５ ３ ５×１５)÷ ( １ ３×１５) 最小公倍数の１５をかけ て、整数にする。 わる数とわられる数に （㎡） （枚） １ ？ ２ ３ ３ ５ × ３ ２ × ３ ２ ３ ５ ÷ ２ ３ ＝ ＝ ３ ５ １ ０ ９ × ３ ２

１．問題場面から題意をつかみ、分数を用いる面 ◎ 面積図 第 積の問題を解くという見通しを立てる。 １ ○ 長方形の面積を求める公式を思い起こすこと ３ ２．問題を解く。 時 ○ 面積図を使って、自分の考えをつくること ３．練り上げを行う。 ○ 面積図をもとに、分数の場合でも整数や小 数の場合と同じように面積の公式が使えるこ とを説明すること ４．面積や体積の練習問題を解く。 ○ 面積や体積の公式を用いて、問題を解くこと １．問題場面から題意をつかみ、分数を用いる時間 ◎ 対応数直線図 ◎ 関係図 第 や速さの問題を解くという見通しを立てる。 １ ○ １時間が６０分であることを確認すること ４ ２．様々な問題を解く。 時 ○ 絵図を選択して、自分の考えをつくること ３．練り上げを行う。 ○ ３つの表現を関連づけて、自分の考えを説明 すること ○ 簡潔・明瞭・的確の観点で交流すること ４．時間や速さの練習問題を解く。 ○ 時間を表す分数を用いて問題を解くこと １．解く問題を選択し、解決の見通しを立てる。 ◎ 対応数直線図 ◎ 関係図 第 ○ 分数のかけ算やわり算が使われていた既習 １ の場を想起すること ５ ２．自分が選択した問題を解く。 時 ○ 絵図を選択して、自分の考えをつくること ３．練り上げを行うこと ○ ３つの表現を関連づけて、自分の考えを説 明すること ○ 簡潔・明瞭・的確の観点で交流すること ４．問題づくりを行う。 ○ 自分がつくった問題を発表すること 第 ・ 分数のかけ算とわり算の練習問題を解く。 １ ○ 分数のかけ算とわり算の計算ができること ６ ○ 絵図を使って、分数を使った割合の問題を 時 解くこと 第 ・ 分数のかけ算とわり算の復習問題を解く。 １ ○ 分数のかけ算とわり算の計算ができること ７ ○ 絵図を使って、様々な問題を解くこと 時 ４ 本時 (1) 本時の目標 ○ 既習の考えを活用して、自分の考えをつくろうとしている。 【関心・意欲・態度】 ○ 分数÷分数の計算の意味や公式を理解し、分数のわり算の計算ができる。 【知識・技能】 ○ 分数÷分数の計算の仕方を絵図や言葉、式をつかって表現し、それらを関連づけて説明することができる。 【数学的な考え方】 (2) 準 備 ・ 問題場面絵 ・板書用面積図（対応数直線図） ・チェックシート ・ヒントカード (3) 学習指導過程 主 な 学 習 活 動 指導上の留意点 検証の視点 1.これまでの学習をふり返り、前時と本時の問 つ 題の比較活動から解決の見通しを持ち、めあて か をたてる。 ◇ 子どもたちが前時を想起で ◆ 前時と本時の問 む (1)前時までの学習を想起する。 きるようにするために既習図 題を比較し、差異 ○ 分数÷単位分数の計算の仕方を想起すること をふり返る。 点と共通点を見つ ４ ５ｍ ２ ３ｍ １ｍ １ｍ １㎡ （距離） （時間） １ ？ ８０ ３ ４ ×３ ４ ×３ ４ １分 ８０ｋｍ ６０分 ？ｋｍ □倍 （個） （倍） １ ？ ２７ １ ７ ×７ ×７ 頭の骨 全体の骨 ２９個 ？個 １ ７倍 ÷１ ７

(2)本時の問題場面をつかみ、見通しを持たせる。 ◇ 前時の問題場面と本時の問 け、そこから本時 3/5 ㎡のかべをぬるのに、ペンキを 2/3 ㎗使 題場面を比べ、共通点や差異 の問題解決の見通 いました。1 ㎗では、何㎡ぬれますか。 点を見いださせる。 しを持つことがで ○ 前時と本時の差異点や共通点を見つけること ◇ 自分の見通しを明確に持た きているか。 ○ 分数÷分数の計算の仕方を面積図や対応 せるために、めあてを立てた 数直線図と式を関連づけて説明するという、 子どもから、発表させる。 解決の見通しを持つこと ※ 計算方法を理解している子どもには、解 の見通しまで持たせる。 2.自分のめあてに沿って、課題追究する。 つ 【面積図】 【言葉】 く ◇ 絵図に表すことが難しい子 ◆ 自分の考えを絵 る には、ヒントカードを配布す 図や言葉（説明）、 る。 式で表現すること 【式】 ◇ 早くできた子どもには、別 ができているか。 の方法で考えさせる。 ◆ 絵図と式を関連 づけることができ ているか。 【対応数直線図】 【言葉】 【式】 3.絵図と式を関連づけて自分の考えを説明する。 ◇ チェックシートに友だちの ◆ 絵図と式を関連 練 ○ ペア交流で自分の考えを関連づけて説明 説明の評価をさせる。 づけて説明するこ り すること ◇ 子どもたちの考えの途中式 とができているか。 上 ○ 友だちの考えを聴き、自分の考えを強化 と答えに着目させ、「わる数 ◆ 自他の考えを比 げ したり、付加・修正したりすること の分母と分子を入れかえた数 較する活動を通し る ○ 全体交流で出された考え方に共通する計 をかけている」という計算の て、考えを強化し 算のきまりを見つけること きまりを見出させる。 たり、付加・修正し たりできているか 4.学習のまとめをし、練習問題を解く。 ◇ 分数÷分数の計算の仕方の ◆ 公式を用いて、 ま ○ 分数のわり算の公式を理解すること 一般化を図る。 正確な答えを導く と ◇ 練習問題を解くことで、公 ことができている め 式のよさを味わわせる。 か。 る ○ 分数÷分数の公式を活用して問題を解く こと （㎡） （枚） １ ？ ２ ３ ３ ５ × ３ ２ × ３ ２ １㎡ １ ３ ０ ２ １ ３ ｄｌ ９つ分だから、答えは、 単位分数が １０ １ で、その １０ ９ ３ ５÷ ２ ３＝ ＝ ３× ３ ５× ２ １０ ９ ３ ２ ２ ３ をかければいい。 dlを１dlにするには、 ３ ５÷ ２ ３＝ ＝ ３ ５ １０ ９ × ３ ２ △ □ ÷ ☆ ○ ＝ △ □ × ○ ☆ ３ ５ ÷ ２ ３ の 計 算 の 仕 方 を 面 積 図 （ 対 応 数 直 線 図 ） と 式 を 関 連 づ け て 、 説 明 し よ う 。 ３ ５ ÷ ２ ３ ＝ １ ０ ９ に な る こ と を 面 積 図 に 表 し 、 式 と 関 連 づ け て 、 説 明 し よ う 。