2017 九州大学（理系）前期日程 問題 －1－ １ 解答解説のページへ 定数a > に対し, 曲線0 y=atanxの0 2 x ≦ ＜ の部分をC1, 曲線y=sin 2xの 0≦ ＜x 2の部分をC とする。以下の問いに答えよ。2 (1) C と1 C が原点以外に交点をもつための a の条件を求めよ。2 (2) a が(1)の条件を満たすとき, 原点以外のC と1 C の交点を2 P とし, P の x 座標を p とする。P におけるC と1 C のそれぞれの接線が直交するとき2 , a および cos2p の値 を求めよ。 (3) a が(2)で求めた値のとき, C と1 C で囲まれた図形の面積を求めよ。2
2017 九州大学（理系）前期日程 問題 －2－ ２ 解答解説のページへ 2 つ の 定 数 a > お よ び0 b > に 対 し0 , 座 標 空 間 内 の 4 点 を A ( , 0, 0 )a , B( 0, , 0 )b , C( 0, 0, 1) , D( , , 1)a b と定める。以下の問いに答えよ。 (1) 点 A から線分 CD におろした垂線と CD の交点を G とする。G の座標を a, b を 用いて表せ。 (2) さらに, 点 B から線分 CD におろした垂線と CD の交点を H とする。 AGと BH がなす角をとするとき, cos をa, b を用いて表せ。
2017 九州大学（理系）前期日程 問題 －3－ ３ 解答解説のページへ 初項a =1 1, 公差 4 の等差数列 {a を考える。以下の問いに答えよ。 n} (1) {a の初項から第 600 項のうち,n} 7 の倍数である項の個数を求めよ。 (2) {a の初項から第 600 項のうち, n} 7 の倍数である項の個数を求めよ。 2 (3) 初項から第 n 項までの積a a1 2anが7 の倍数となる最小の自然数 n を求めよ。 45
2017 九州大学（理系）前期日程 問題 －4－ ４ 解答解説のページへ 赤玉2 個, 青玉 1 個, 白玉 1 個が入った袋が置かれた円形のテ ーブルのまわりにA, B, C の 3 人がこの順番で時計回りに着席し ている。3 人のうち, ひとりが袋から玉を 1 個取り出し, 色を確 認したら袋にもどす操作を考える。1 回目は A が玉を取り出し, 次のルール(a), (b), (c)に従って勝者が決まるまで操作を繰り返す。 (a) 赤玉を取り出したら, 取り出した人を勝者とする。 (b) 青玉を取り出したら, 次の回も同じ人が玉を取り出す。 (c) 白玉を取り出したら, 取り出した人の左隣りの人が次の回に玉を取り出す。 A, B, C の 3 人が n 回目に玉を取り出す確率をそれぞれan, bn, cn(n =1, 2, ) とする。ただし, a =1 1, b1=c1= である。以下の問いに答えよ。 0 (1) A が 4 回目に勝つ確率と 7 回目に勝つ確率をそれぞれ求めよ。 (2) dn=an+bn+cn(n =1, 2, とおくとき, ) d を求めよ。n (3) 自然数n ≧ に対し3 , an+1をan-2とn を用いて表せ。 A B C
2017 九州大学（理系）前期日程 問題 －5－ ５ 解答解説のページへ 2 つの複素数=10000 10000i+ と 3 1 4 4 w= + iを 用 い て, 複素数平面上の点 P ( )n z をn zn =wn (n =1, 2, により定める。ただし, i は虚数単位を表す。2 と 3) の常用対数をlog 2 0.30110 = , log 3 0.47710 = として, 以下の問いに答えよ。 (1) z の絶対値n z と偏角n argz を求めよ。 n (2) z ≦ が成り立つ最小の自然数n 1 n を求めよ。 (3) 右図のように, 複素数平面上の△ABC は線分 AB を 斜辺とし, 点C
(
)
2 i を 1 つの頂点とする直角二等辺三 角形である。なお, A, B を表す複素数の虚部は負であり, 原点O と 2 点 A, B の距離はともに 1 である。点 Pnが △ABC の内部に含まれる最小の自然数 n を求めよ。 A B C x y O 4 4 6 1 1 6 2017 九州大学（理系）前期日程 解答解説 © 電送数学舎 2017 －1－ １ 問題のページへ (1) 0 2 x ≦ ＜ に お い て, C1: y=atanx (a >0 ) … … ①, 2: sin2 C y= x……②を連立して, tan sin2
a x= x, sinacosxx =2sin cosx x
すると, 0x ¹ から2cos x2 =a, すなわち cos 2 a x = とな り, ①と②が 0 2 x ＜ ＜ で交点をもつためのa の条件は, 0 1 2 a < < , 0< <a 2 (2) (1)より, cos 2 a p = ………③ さて, ①より 2 cos a y x ¢ = , ②よりy¢ =2cos2xなので, 条件から P における接線 が直交することより, 2 2cos2 1 cos a p p⋅ = - , 2 2 2 ( 2cosa p-1)= -cos p ③を代入すると2 ( 1) 2 a a a - = - となり, 2 2 3 0 2 a - a= 0< < よりa 2 3 4 a = となり, このときcos2 2 1 1 2 4 a p = ⋅ - = - である。 (3) a = のとき, 34 C と1 C で囲まれた図形の面積 S は, 2
(
)
0 3 sin2 4tan p S=ò
x- x dx 0 31 cos2 log cos
2 4 p x x é ù = -êë + úû 3
1 (cos2 1)2 p 4log cosp
= - - + = -12
(
- -1 14)
+43log 83 = +58 38log38［解 説］
微積分の総合問題です。計算は穏やかです。 2 y O x P p 12017 九州大学（理系）前期日程 解答解説 © 電送数学舎 2017 －2－ ２ 問題のページへ (1) 0a > , 0b > の と き , A ( , 0, 0 )a , B( 0, , 0 )b , C( 0, 0, 1) , D( , , 1)a b に対し, 線分 CD 上の点 G を, 0≦ ≦ として, t 1 OG=tOD (1+ -t)OC ( , , 1) (1=t a b + -t)( 0, 0, 1) ( ,= at bt, 1) すると, AG ( (= a t-1), bt, 1)とCD ( , , 0 )= a b が 垂直なので, AG CD 0 ⋅ = より, 2( 1) 2 0 a t- +b t= , t 2a2 2 a b = + したがって, G
(
2a3 2, 2a b2 2, 1)
a +b a +b となる。 (2) (1)と同様に, 線分 CD 上の点 H を, 0≦ ≦ としてs 1 OH ( ,= as bs, 1)と表すと, BH ( , (= as b s-1), 1) とCD ( , , 0 )= a b が垂直なので, BH CD 0 ⋅ = より, 2 2( 1) 0 a s b s+ - = , s 2b2 2 a b = + したがって, H(
2ab2 2, 2b3 2, 1)
a +b a +b となる。 ここで, AGとBHのなす角をとし, 内積の定義を利用すると, 2 2 AG BH⋅ =a s t( - +1) b t s( - +1) 1 2 2 2 2 (a b st a s b t) 1 = + - - + a b22 22 2a b2 22 2a b2 22 1 a b a b a b = - - + + + + 2 2 2 2 2 2 a b a b a b + -= + 2 2 2 2 2 AG =a t( -1) +b t +1 2 2 2 2 2 (a b t) 2a t a 1 = + - + + 4 4 2 2a 2 22a 2 a 1 a b a b = - + + + + 2 2 2 2 2 2 a b a b a b + + = + 2 2 2 2 2 BH =a s +b s( -1) +1 2 2 2 2 2 (a b s) 2b s b 1 = + - + + 4 4 2 2b 2 22b 2 b 1 a b a b = - + + + + 2 2 2 2 2 2 a b a b a b + + = + よって, cos AG BH AG BH = ⋅ a22 b22 a b2 22 2 a b a b + -= + + となる。［解 説］
空間ベクトルの基本問題です。計算量は多めですが, 難しいというわけではありま せん。 a b 1 C A B x O y z D G H2017 九州大学（理系）前期日程 解答解説 © 電送数学舎 2017 －3－ ３ 問題のページへ (1) 初項 1, 公差 4 の等差数列 {a の一般項は, 1 4(n} an= + n-1)=4n-3 さて, a が 7 の倍数となるのは,n k を自然数として, 4n- =3 7k………① ここで, 4 ( 1) 3 7 ( 1)´ - - = ´ - から, ①を変形すると, 4(n+1) 7(= k+1)………② すると, 4 と 7 は互いに素より, l を整数としてn+ =1 7l, k+ =1 4lとなり, 7 1 n= l- , 4k= l-1 そこで, 1≦ ≦n 600, 1k ≧ から, 1≦7l -1≦600, 4l - ≧ となり, 1 1 601 6 1 85 2≦ ≦l 7 = +7 これより, 1, 2,l = , 85となり, 7 の倍数である項の個数は 85 である。 (2) {a の初項から第 600 項のうち,n} 7 の倍数の項を取り出してb とおくと, l 7 1 4(7 1) 3 l l b =a - = l- - =28l-7=7( 4l-1) (l =1, 2, , 85) さて, a がn 7 の倍数, すなわち2 b がl 7 の倍数となるのは, m を自然数として, 4l- =1 7m………③ ここで, 4 2 1 7 1´ - = ´ から, ③を変形すると, 4(l-2) 7(= m-1) すると, 4 と 7 は互いに素より, p を整数としてl- =2 7p, m- =1 4pとなり, 7 2 l= p+ , m=4p+1 そこで, 1≦ ≦l 85, 1m ≧ から, 1≦7p +2≦85, 4p + ≧ となり1 1 , 83 6 0≦p≦ 7 =11+7 これより, 0, 1,p = , 11となり, 7 の倍数である項の個数は 12 である。 2 (3) a がn 7 の倍数のとき, n=7l-1(l ≧1)となり, この n を書き並べると, 6, 13, 20, 27, 34, 41, 48｜55, 62, 69, 76, 83, 90, 97｜104, 111, 118, …… そして, この数列を 7 個ずつの区画に分け, 左から第 1 群, 第 2 群, …と呼ぶ。 また, a がn 7 の倍数の項を取り出して2 c とおくとp , l=7p+ から, 2 7(7 2) 1 n= p+ - =49p+13 (p ≧0 ) すると, 上記の数列の下線をつけた数が対応して, 49 13 4( 49 13) 3 p p c =a + = p+ - =196p+49=7 ( 42 p+1) (p ≧0 ) さらに, a がn 7 の倍数, すなわち3 c がp 7 の倍数になるのは, 同様にすると, q を 0 以上の整数として, 4p+ =1 7q………④ そして, ④を満たす最小の p, q の値は ( ,p q =) (5, 3)であり, このときの n は, 49 5 13 n = ⋅ + =258となり, 3 258 4 258 3 1029 7 3 a = ⋅ - = = ⋅ である。
2017 九州大学（理系）前期日程 解答解説 © 電送数学舎 2017 －4－ このn =258は, 7l - =1 258からl =37となり, 上記の数列の第 6 群に属するこ とがわかる。 さて, 積a a1 2anが7 の倍数となる最小の自然数 n については, 素因数 7 の個45 数に注目し, これが合計 45 個以上となる最小の n を考えればよい。 まず, 第 5 群まではa にn 7 の倍数がないので, 1 つの群内に素因数 7 が3 7 1 8+ = 個ずつとなり, その総数は8 5 40´ = 個である。 すると, 素因数 7 の残り 5 個について調べるために, 第 6 群を書き並べると, ｜251, 258, 265, 272, …… これより, a251は 7 の倍数, a258は7 の倍数, 3 a265は 7 の倍数, …となるので, 積a a a251 258 265に素因数7 が 5 個あることがわかる。 以上より, 積a a1 2anが7 の倍数となる最小の自然数 n は, 45 n =265である。
［解 説］
整数と数列の融合問題です。解答例では, 頻出の(1)の結果を利用して, (2)につなげ ています。なお, (3)は群数列の考え方をもとにしていますが, 45 という数値が意味深 長で, 詰めがかなり面倒でした。2017 九州大学（理系）前期日程 解答解説 © 電送数学舎 2017 －5－ ４ 問題のページへ (1) 条件より, 赤玉, 青玉, 白玉を取り出す確率は, それぞれ 1 2, 14, 14である。 さて, 与えられたルールによって, A が 4 回目に勝つ場合は次の 2 通りである。 (i) 3 回目まで青玉 3 回取り出し, 4 回目に赤玉を取り出すとき (ii) 3 回目まで白玉 3 回取り出し, 4 回目に赤玉を取り出すとき (i)(ii)より, このときの確率は,
( )
1 3 1( )
1 3 1 4 ´ +2 4 ´2 = 641 である。 次に, A が 7 回目に勝つ場合は次の 3 通りである。 (i) 6 回目まで青玉 6 回取り出し, 7 回目に赤玉を取り出すとき (ii) 6 回目まで青玉 3 回, 白玉 3 回取り出し, 7 回目に赤玉を取り出すとき (iii) 6 回目まで白玉 6 回取り出し, 7 回目に赤玉を取り出すとき (i)～(iii)より, このときの確率は,( )
1 6 1 6!( )
1 6 1( )
1 6 1 4 ´ +2 3! 3! 4 ´ +2 4 ´2( )
6 1 1 22 4 2 = ´ ´ 11 4096 = (2) A, B, C がn 回目に玉を取り出す確率をそれぞれa , n b , n n c とすると, a = , 1 1 b1=c1= となり, 0 1 14 14 n n n a + = a + c ………① 1 14 14 n n n b + = a + b ………② 1 14 14 n n n c + = b + c ………③ ここで, dn =an+bn+cnとおくと, ①＋②＋③からdn+1=12dnとなり,( )
1 1 12 n n d =d - ( 1 1 1)( )
12 1 n a b c -= + +( )
1 1 2 n-= ………④ (3) ③④より, cn 1 14{( )
12 n 1 an cn}
14cn -+ = - - + , cn 1( )
12 n 1 14an + + = - ………⑤ ①よりcn =4an+1-anとなり, ⑤に代入すると,( )
1 2 1 1 1 4 2 4 n n n n a + -a + = + - a ,( )
3 2 14 1 161 12 n n n n a + = a + - a + + ………⑥ すると, 3n ≧ に対し, ⑥から, 1 14 161 1( )
12 2 n n n n a + = a - a - + + となり,{
( ) }
1( )
2 1 1 14 4 1 161 2 12 161 1 12 n n n n n n a + = a - - a - + + - a - + + 641 2( )
12 3( )
12 2 n n n a - + + = - + + 641 2 3( )
12 3 n n a - + = - +［解 説］
標準的な確率と漸化式の問題ですが, (2)と(3)は(1)と関係なく解いています。 1 n + 回目 n 回目 A B C A B C 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 42017 九州大学（理系）前期日程 解答解説 © 電送数学舎 2017 －6－ ５ 問題のページへ (1) 10000 10000= + iと 3 1 4 4 w= + iを極形式で表すと,
(
)
10000 2 cos sin 4 i 4 = + , 1 cos(
sin)
2 6 6 w= +i すると, n n z =w から, zn = w n =10000 2( )
12 nargzn =arg+nargw =4+n6 =
