110
米 山 忠 興
写真①：新谷・法眼寺算額。法眼寺・八島龍晴院首のご厚意により『「新谷藩一万石史」補遺−星梅鉢』
から転載。
図 1
正五角形 2
-は じ め に
星 形 、 梅 鉢 形 家 紋 、 晴 明 神 社 ・ 天 神 社 の 紋 章 な ど は 、 い ず れ も 正 五 角 形 を も
と に 作 図 さ れ る 。 和 算 に も 、 し ば し ば 現 れ る が 、 意 外 に も 、 そ の 簡 明 な 作 図 法
は 一 般 に は あ ま り 知 ら れ て い な い 。
以 前 に 見 た 「 科 学 の 事 典 」 と か い う 本 に は 、 あ と に 参 考 の た め に 載 せ た 、 決
し て 推 奨 で き な い 三 角 関 数 の 五 倍 角 の 公 式 を 用 い た 方 法 が 書 か れ て い た 。
ま た 、 ネ ッ ト の ホ ー ム ・ ペ ー ジ に は 、 隣 り 合 う 辺 の 長 さ を 三 平 方 の 定 理 の み
で 次 々 に 計 算 し て 、 三 辺 の 長 さ が 等 し く 、 図 形 の 対 称 性 か ら 五 つ の 辺 の 長 さ が
全 て 等 し い の で 正 五 角 形 で あ る 、 と い う 非 常 に 面 倒 で そ し て 初 歩 的 な 方 法 と 論
理 が 流 布 し て い る 。
和 算 で い つ も 見 慣 れ て い る 易 し い 問 題 な の で 、 わ ざ わ ざ 和 算 の 問 題 と し て 取
り 上 げ る こ と も あ る ま い と 思 っ て い た が 、 や は り 、 見 過 ご す わ け に も い か な い 、
と 思 い 直 し て 、 こ こ で は ２ 次 方 程 式 の 解 法 を 知 っ て い れ ば 、 高 校 生 に も 十 分 理
解 出 来 る 簡 単 な 論 理 と 方 法 を 示 す こ と に し た 。
法 眼 寺
寛 政 六 年 （ １ ７ ９ ４ ） 年 に 伊 豫 新 谷 藩 の 岩 田 清 謹 が 、 同 じ く 新 谷 大 洞 家 のに い や
「 星 梅 鉢 形 家 紋 」 の 作 図 法 を 問 う た 算 題 が 和 紙 に 書 か れ て 残 さ れ て い た 。 そ れ
を 近 年 （ 平 成 １ ２ 年 ） 、 愛 媛 県 和 算 研 究 会 事 務 局 長 の 渡 邊 雅 道 氏 が 中 心 と な っ
て 、 算 額 と し て 復 元 し 、 岩 田 の 墓 の あ る 新 谷 法 眼 寺 に 奉 納 さ れ た と い う こ と で
あ る （ 図 １ 、 写 真 ① ） 。
伊 豫 新 谷 藩 は 、 大 洲 加 藤 藩 の 支 藩 で 、 山 陰 か ら 転 封 さ れ て き た 大 洲 藩 初 代 ・
加 藤 貞 泰 が 生 前 に 長 男 の 二 代 ・ 泰 興 と 、 そ の 弟 直 泰 に も 分 封 し よ う と 考 え て い
た こ と か ら 、 そ れ こ そ 藩 を 二 分 す る 激 論 の の ち 、 寛 永 十 六 （ １ ６ ３ ９ ） 年 、 弟
直 泰 に 新 谷 藩 一 万 石 を 分 知 す る こ と に な っ た 。 幼 か っ た 直 泰 は 、 あ と か ら 母 の
大
洞
家
紋
星
梅
鉢
数
理
其
定
率
幾
何
大
洞
家
紋
有
如
圖
五
等
圓
内
容
心
圓
問
率
乃
謂
依
等
円
径
而
得
心
円
径
依
心
円
径
而
得
等
円
径
之
法
七
分
〇
一
三
〇
一
六
有
奇
答
曰
依
左
術
得
定
率
實
内
減
一
個
開
平
方
見
商
倍
之
為
法
術
云
列
五
個
開
平
方
加
一
個
自
之
為
如
法
一
而
得
内
減
一
個
得
定
率
合
問
寛
政
六
甲
寅
厳
冬
十
一
月
岩
田
清
謹
考
之
家
に
宝
と
し
て
残
し
た
和
算
書
で
あ
る
。
大
洞
家
の
菩
提
寺
で
あ
る
法
眼
寺
所
蔵
の
和
紙
算
額
を
復
元
し
た
も
の
で
あ
る
。
愛
媛
和
算
研
究
会
平
成
十
二
年
二
月
吉
日
心
等
等
等
等
等
獻
奉
新
谷
藩
士
岩
田
清
謹
源
助
が
三
十
一
歳
の
時
、
従
兄
弟
の
大
洞
牧
太
の
印
渡
邊
雅
道
図 １
112
米 山 忠 興
正五角形 3
-法 眼 院 殿 の 強 力 な 後 押 し が あ っ た こ と を 知 り 、 そ の 母 の 恩 に 報 い る た め に 、 神
南 山 麓 に 菩 提 寺 を 建 立 し て 、 亡 き 母 の 院 号 に ち な ん で 「 法 眼 寺 」 と し た と い う
言 い 伝 え が 残 さ れ て い る 。
２ ０ １ ０ 年 以 降 、 法 眼 寺 を 何 回 か 訪 れ 、 こ の 復 元 算 額 や 瀟 洒 な 妹 背 の 庭 園 を
拝 観 し た あ と 、 老 住 職 ・ 八 島 龍 晴 師 の 先 導 で 和 算 家 ・ 岩 田 清 謹 の 墓 参 り を し た 。
（ 龍 晴 師 は 、 住 職 を す で に 龍 英 氏 に 譲 ら れ て い る の で 、 正 し く は 龍 晴 院 首 で あ
る 。 ）
ま た 、 岩 田 清 謹 が 弘 化 四 （ １ ８ ４ ７ ） 年 、 八 十 二 歳 の 時 に 内 子 八 幡 神 社 に 奉
納 し た 算 額 （ あ と に ［ 参 考 ］ と し て 掲 載 ・ 解 説 す る ） が 現 存 し て い て 、 内 子 町
を 訪 れ れ ば 、 誰 で も 見 る こ と が 出 来 る 。 そ の 奥 書 に 「 弘 化 四 丁 未 歳 十 一 月 良 辰
兼 斎 岩 田 清 謹 識 印 印 」 と 書 か れ て い る と こ ろ か ら 、 多 く の 歴 史 書 ・ 和 算 書 、
た と え ば 三 上 義 夫 著 「 文 化 史 上 よ り 見 た る 日 本 の 数 学 」 な ど で は 「 岩 田 清 謹
識 」 す な わ ち 、 「 岩 田 清 が 謹 ん で 識 す 」 と 読 ま れ て い た 。 し か し 、 法 眼 寺 につ つ し しる
「 改 田 加 祢 」 と 並 ん で 立 っ て い る 岩 田 の 墓 石 に は 、 確 か に 、 「 岩 田 清 謹 」 と 彫
ら れ て い る （ 写 真 ② ） 。 こ れ は 、 龍 晴 師 が す で に 藪 に な っ て い た 墓 地 を 整 備 し
て い る と き に 見 つ け ら れ た と の こ と で あ る 。
な お 、 法 眼 寺 か ら 帰 る と き に 、 老 住 職 が み ず か ら 鐘 楼 に 立 っ て 、 寺 か ら の 坂
道 を 下 り る 私 た ち に 、 「 送 り 鐘 」 を 撞 い て く れ る 。 私 た ち も 、 思 わ ず う し ろ を
振 り 返 っ て 、 お 寺 と 住 職 に 向 か っ て 、 も う 一 度 、 合 掌 す る の で あ っ た 。
正 十 角 形 の 作 図 題
正 五 角 形 を 描 く 一 番 簡 明 な 方 法 は 初 め に 正 十 角 形 の 一 辺 を 求 め る こ と で あ る 。
図 ２ の よ う に 、 正 五 角 形 に 外 接 す る 円 の 中 心 を Ｏ ， 半 径 を ａ と す る 。 正 五 角
形 の 一 辺 を Ａ Ｂ と し 、 Ｏ か ら Ａ Ｂ に 下 ろ し た 垂 線 の 足 を Ｄ 、 そ の 延 長 線 と 円 の
交 点 を Ｃ と す る 。 そ う す る と 、 こ の Ｂ Ｃ が 正 十 角 形 の 一 辺 の 長 さ で あ る 。
こ の Ｂ Ｃ ＝ ｘ と お く 。 △ Ｏ Ｂ Ｃ に お い て 、
∠ Ｃ Ｏ Ｂ ＝ π ／ ５ ，
∠ Ｏ Ｃ Ｂ ＝ ∠ Ｏ Ｂ Ｃ ＝ ２ π ／ ５ で あ る 。
図 ３ に お い て 、
∠ Ｏ Ｂ Ｃ の 二 等 分 線 と Ｏ Ｃ の 交 点 を Ｅ と す る 。
∠ Ｂ Ｏ Ｅ ＝ ∠ Ｏ Ｂ Ｅ ＝ π ／ ５ ，
∠ Ｂ Ｃ Ｅ ＝ ∠ Ｂ Ｅ Ｃ ＝ ２ π ／ ５
だ か ら 、 Ｏ Ｅ ＝ Ｅ Ｂ ＝ Ｂ Ｃ ＝ ｘ ．
△ Ｏ Ｂ Ｃ ∽ △ Ｂ Ｃ Ｅ だ か ら 、
ａ ： ｘ ＝ ｘ ： ａ － ｘ
ｘ２
＝ ａ （ ａ － ｘ ）
ｘ２
＋ ａ ｘ － ａ２
＝ ０
ｘ
π
５
Ｏ
Ａ Ｂ
Ｃ
図２
Ｄ
ａ
Ｅ
Ｏ
ｘ
ａ
π
５
ａ－ｘ
Ｃ
Ｂ
ｘ
ｘ
図３
Ｄ
ｙ
図 2 図 3
なお、法眼寺から帰るときに、老住職がみずから鐘楼に立って、寺からの坂道を下りる
私たちに、「送り鐘」を撞いてくれる。私たちも、思わずうしろを振り返って、お寺と住
職に向かって、もう一度、合掌するのであった。
正十角形の作図題
正五角形を描く一番簡明な論理と方法は初めに正十角形の一辺を求めることである。
図 2 のように、正五角形に外接する円の中心を O, 半径を a とする。正五角形の一辺を
AB
とし、O から AB に下ろした垂線の足を D、その延長線と円の交点を C とする。そう
すると、この BC が正十角形の一辺の長さである。
この BC＝x とおく。 △ OBC において、
∠COB ＝ π/5,
∠OCB ＝ ∠OBC ＝ 2π/5 である。
図 3 において、
∠OBC の二等分線と OC の交点を E とする。
∠BOE ＝ ∠OBE ＝ π/5,
∠BCE ＝ ∠BEC ＝ 2π/5
だから、OE＝EB＝BC＝x.
△ OBC∽△ BCE だから、
a：x ＝ x：a − x
x
2
＝ a（a − x）
x
2
＋ ax − a
2
＝ 0
x ＝
−1 ± 5
2
a
x
＞ 0 だから、
正五角形 4
-－ １ ± √ ５
ｘ ＝ ａ
２
ｘ ＞ ０ だ か ら 、
√ ５ － １
ｘ ＝ ａ
２
こ れ が 半 径 ａ の 円 に 内 接 す る 正 十 角 形 の 一 辺 の 長 さ で あ る 。 こ れ を 用 い れ ば 、
正 五 角 形 も 簡 単 に 描 け る 。 具 体 的 な 正 十 角 形 ・ 正 五 角 形 ・ 星 形 の 描 き 方 は 、
以 下 の よ う で あ る 。
図 ４ の よ う に 、 中 心 Ｏ ， 半 径 ａ の 円 の 一 本 の 直 径 を Ｆ Ｇ と し 、 Ｆ Ｇ の 垂 直 二
等 分 線 と 円 の 交 点 の 一 つ を Ｋ と す る 。 ま た 、 Ｏ Ｇ の 垂 直 二 等 分 線 と 円 の 交 点 の
一 つ を Ｊ 、 Ｆ Ｇ と の 交 点 を Ｈ と す る 。
ａ √ ５
Ｋ Ｏ ＝ ａ ， Ｏ Ｈ ＝ だ か ら 、 Ｈ Ｋ ＝ ａ で あ り 、 Ｈ を 中 心 と し て Ｈ Ｋ を 半
２ ２
√ ５ １
径 と す る 円 と Ｆ Ｇ の 交 点 を Ｌ と す る と 、 Ｏ Ｌ ＝ ａ － ａ で あ る 。
２ ２
こ の Ｏ Ｌ が 、 半 径 ａ の 円 に 内 接 す る 正 十 角 形 の 一 辺 の 長 さ で あ る 。
正 五 角 形
ま た 、 図 ２ の Ｂ Ｄ ＝ ｙ と す る と 、 正 五 角 形 の 一 辺 は ２ ｙ で あ る 。
√ ５ － １
ｘ ＝ ａ
２
１ １ √ ５ － １ ３ － √ ５
Ｃ Ｄ ＝ （ ａ － ｘ ） ＝ １ － ａ ＝ ａ .
２ ２ ２ ４
ｙ２ ｘ２－ Ｃ Ｄ２ √ ５ － １２ ３ － √ ５ ２
＝ ＝ －
ａ ａ２ ２ ４
６ － ２ √ ５ １ ４ － ６ √ ５ １ ０ － ２ √ ５
＝ － ＝
４ １ ６ １ ６
よ っ て 、
１ ０ － ２ √ ５
２ ｙ ＝ a ．
２
星 梅 鉢
次 に 、 梅 鉢 型 を 描 く に は 、
① 前 述 の 考 え に 基 づ い て 、 図 ５ の よ う に 、 正 十 角 形 か ら 正 五 角 形 を 描 く 。
② 図 ６ で 、 正 五 角 形 の 外 接 円 の 中 心 と 頂 点 を 通 る ５ 本 の 直 線 を 引 き 、 さ ら に 正
五 角 形 の 頂 点 を 中 心 と し て 直 線 に 接 す る 円 を 描 く と 、 こ れ が ５ 等 円 で あ る 。
③ 芯 円 は 中 心 が 正 五 角 形 の 外 接 円 の 中 心 と 同 じ で 、 ５ 等 円 に 接 す る 円 で あ る 。
④ 天 満 神 社 の 紋 章 の 芯 円 は も っ と 小 さ く 、 図 ７ の よ う に 、 ３ ６ ゜ を さ ら に ２ 等
分 し て 、 １ ８ ゜ の 線 を 描 き 、 梅 の 花 の 雌 蕊 、 雄 蕊 を 描 く 。め し べ
⑤ こ の ３ ６ ゜ × ２ ＝ ７ ２ ゜ と １ ８ ゜ は 、 四 季 と 五 行 説 の 関 係 で も あ る 。
Ｏ
Ｆ Ｇ
Ｊ
Ｈ
Ｋ
Ｌ
ａ
ａ
２
５
２
５ ― １
２
図 ４
ａ
ａ
図 ５
図 4 図 5
図 4 のように、中心 O, 半径 a の円の一本の直径を FG とし、FG の垂直二等分線と円の
交点の一つを K とする。また、OG の垂直二等分線と円の交点の一つを J、FG との交点
を H とする。
KO＝a，OH＝
a
2 だから、
HK＝
2
5
aであり、H を中心として HK を半径とする円と FG
の交点を L とすると、OL＝
2
5
a−
1
2
a
である。
この OL が、半径 a の円に内接する正十角形の一辺の長さである。
正五角形
また、図 2、図 3 の BD＝y とすると、正五角形の一辺は 2y である。
x ＝
5 − 1
2
a
CD
＝
1
2（
a
− x）＝
1
2
1
−
5
− 1
2
a ＝
3
− 5
4
a.
y
a
2
＝
x
2
− CD
a
2 2
＝
5 − 1
2
2
−
3
− 5
4
2
＝
6
− 2 5
4
−
14
− 6 5
16
＝
10
− 2 5
16
よって、
x ＝
5 − 1
2
a
これが半径 a の円に内接する正十角形の一辺の長さである。これを用いれば、正五角
形も簡単に描ける。具体的な正十角形・正五角形・星形の描き方は、以下のようである。
114
米 山 忠 興
2y ＝
10
− 2 5
2
a
．
星梅鉢
次に、梅鉢型を描くには、
①前述の考えに基づいて、図 5 のように、正十角形から正五角形を描く。
② 図 6 で、正五角形の外接円の中心と頂点を通る 5 本の直線を引き、さらに正五角形の頂
点を中心としてこの直線に接する円を描くと、これが 5 等円である。
③芯円は中心が正五角形の外接円の中心と同じで、5 等円に接する円である。
④ 天満神社の紋章の芯円はもっと小さく、図 7 のように、36 ゜をさらに 2 等分して、18 ゜
の線を描き、梅の花の雌蕊、雄蕊を描く。
⑤この 36 ゜×2＝72 ゜と 18 ゜は、四季と五行説の関係でもある。
正五角形 5
-大 洞 家 々 紋
本 題 に 戻 っ て 、 大 洞 家 の 家 紋 の 芯 円 径 を 求 め る 。 図 ６ の よ う に 、 梅 鉢 型 の 外
側 の ５ つ の 等 円 と 中 心 の 芯 円 の 半 径 を 、 そ れ ぞ れ 、 ｙ ， ｒ と す る と 、
ｒ ＋ ｙ ＝ ａ だ か ら 、
４
ｒ ＝ － １ ｙ ．
１ ０ － ２ √ ５
こ れ を 等 円 の 半 径 と 比 べ る （ ｙ ＝ １ と す る ） と 、 芯 円 の 半 径 ｒ は 、
∴ ｒ ≒ ０ . ７ ０ １ ３ ０ １ ６ ■
と こ ろ で 、 岩 田 清 謹 の 術 文 は 「 術 に 云 う 、 五 個 を 列 し 平 方 に 開 き 一 個 を 加 え 、
こ れ をみ ず か ら自 し 、 實 と 為 す 。 内 一 個 を 減 じ 平 方 に 開 き 、 商 を 見 て こ れ を （ 二 ） 倍 し 、
法 と 為 す 。 法 を 一 の 如 く し て 得 た る 内 、 一 個 を 減 ず れ ば 定 率 を 得 る 。 問 に 合
う 。 」 で あ る 。
術 文 中 、 和 算 家 が 「 如 法 一 而 」 を ど う 「 訓 み 下 し 」 て い た の か は 分 か ら な いよ
が 、 私 は 「 法 を 一 の 如 く し て 」 と 勝 手 に 訓 み 下 し て い る 。 法 を 単 位 （ 一 ） と し
て 、 と い う こ と で あ る 。 い ず れ に し て も （ 実 を ） 法 で 割 る と い う こ と で あ る 。
実
（ √ ５ ＋ １ ）２
＝ 実 ， 実 － １ × ２ ＝ 法 ， － １ ＝ 定 率 ．
法
す な わ ち 、
実 （ √ ５ ＋ １ ）２
６ ＋ ２ √ ５
定 率 ＝ － １ ＝ － １ ＝ － １
法 ２ （ √ ５ ＋ １ ）２
－ １ ２ ５ ＋ ２ √ ５
こ れ は 、 先 に 計 算 し た ｒ と は 、 見 か け 上 か な り 違 っ た 形 を し て い る の で 、
一 瞬 と ま ど っ て し ま っ た が 、 関 数 電 卓 で 計 算 し て み た ら 、 五 ～ 六 桁 の 精 度 で 、
ぴ っ た り 一 致 し て い た の で 、 そ れ に 勢 い を 得 て 「 分 子 の 有 理 化 」 を 考 え た 。
６ ＋ ２ √ ５ （ ３ ＋ √ ５ ） （ ３ － √ ５ ）
定 率 ＋ １ ＝ ＝
２ ５ ＋ ２ √ ５ ５ ＋ ２ √ ５ （ ３ － √ ５ ）
４ ４
＝ ＝ ＝ ｒ ＋ １ ．
５ ＋ ２ √ ５ １ ４ － ６ √ ５ １ ０ － ２ √ ５
よ っ て 、 岩 田 清 謹 の 「 定 率 」 は 、 先 に 求 め た ｒ に 等 し い こ と が 分 か る 。
□ 五 倍 角 の 公 式
参 考 と し て 、 五 倍 角 の 公 式 か ら 正 五 角 形 の 一 辺 の 長 さ を 直 接 計 算 す る 方 法 を
以 下 に 示 す 。 た だ し 、 あ と に 述 べ る よ う に 、 こ の 方 法 は 、 推 奨 で き な い 。
加 法 定 理 ：
ｓ ｉ ｎ （ α ＋ β ） ＝ ｓ ｉ ｎ α ｃ ｏ ｓ β ＋ ｃ ｏ ｓ α ｓ ｉ ｎ β
ｙ
ｙ
ｒ
図６
ａ
梅鉢型家紋
図７
天満神社の紋章
図 6 図 7
大洞家々紋
本題に戻って、大洞家の家紋の芯円径を求める。図 6 のように、梅鉢型の外側の 5 つの
等円と中心の芯円の半径を、それぞれ、y，r とすると、
r＋y＝a だから、
r ＝
10
− 2 5 −
4
1 y．
これを等円の半径と比べる（y＝1 とする）と、芯円の半径 r は、
∴ r≒0.7013016 ■
ところで、岩田清謹の術文は「術に云う、五個を列し平方に開き一個を加え、これを
自 し、實と為す。内一個を減じ平方に開き、商を見てこれを（二）倍し、法と為す。法
を一の如くして得たる内、一個を減ずれば定率を得る。問に合う。」である。
術文中、和算家が「如法一而」をどう「訓み下し」ていたのかは分からないが、私は
118
米 山 忠 興
正五角形 7
-さ ら な る 別 法 と し て 、 ピ タ ゴ ラ ス （ 三 平 方 ） の 定 理 の み に よ っ て 、 五 辺 が 相
等 し い こ と か ら 、 正 五 角 形 を 証 明 す る 方 法 は 、 あ ま り に も 稚 拙 な の で 、 こ こ で
は 扱 わ な い 。 興 味 が あ る 人 は 、 ネ ッ ト を 見 る こ と 。
［ 参 考 ］ 内 子 八 幡 神 社 の 算 額
前 述 の 法 眼 寺 算 額 問 題 を 作 っ た 岩 田 清 謹 が 八 十 二 才 の 時 に 、 新 谷 か ら 五 キ ロ
ほ ど 東 の 、 当 時 は 蝋 燭 な ど で 栄 え て い て 、 「 内 子 座 」 と い う 歌 舞 伎 小 屋 も あ る
内 子 町 の 八 幡 神 社 に 奉 納 し た 算 額 が あ り 、 今 で も 神 社 の 拝 殿 に 掲 げ ら れ て お り 、
内 子 を 訪 れ れ ば 、 誰 で も 見 る こ と が 出 来 る （ 写 真 ③ 、 図 ９ ） 。
こ れ は 本 来 は 、 数 学 的 内 容 か ら 言 え ば 、 敢 え て こ こ 解 説 す る ほ ど で は な い が 、
星 梅 鉢 － 法 眼 寺 算 額 － 岩 田 清 謹 の 一 連 の 繋 が り で 、 こ こ に 取 り 上 げ る こ と に す
る 。
「 初 学 の 請 い に 応 じ て 」 と い う 題 の 通 り 、 比 較 的 易 し い が 、 以 下 の よ う に ２
重 根 号 の は ず し 方 な ど 、 初 心 者 に 参 考 に な り そ う な 計 算 が い く つ か 見 ら れ る 。
和 算 家 は 、 円 の 大 き さ を 直 径 で 表
わ し て い た が 、 我 々 は 半 径 で 考 え る
方 が 慣 れ て い る し 、 逆 に 和 算 家 の よ
う に 直 径 で 表 わ し て 、 半 径 を た と え
ば 、 Ｒ ／ ２ ， ｂ ／ ２ の よ う に 書 く の
は 煩 雑 な の で 、 以 下 の 計 算 で は 、 洋
算 に 倣 っ て 「 半 径 」 で 行 な う 。 そ こ
で 、 直 径 で 表 現 さ れ て い る 算 額 の 術
文 と 比 較 す る た め に は 、 （ 「 円 」 同
士 は 、 ど ち ら で も よ い が ）
「 直 長 」 の み に つ い て は 「 ２ 長 」 と
す る 。
奉
懸
御
廣
前
左
甲
右
乙
丁
丙
大
應
初
學
之
請
而
述
算
法
自
問
自
答
今
有
如
圖
直
内
畫
大
半
円
其
全
徑
六
分
方
為
左
四
分
方
為
右
其
中
間
挟
甲
圓
大
半
圓
外
容
乙
丙
丁
之
三
圓
焉
只
云
丙
圓
徑
若
干
問
各
諸
圓
徑
及
長
幾
何
答
曰
依
左
術
得
各
術
曰
置
八
個
開
平
方
加
三
箇
為
長
實
四
帰
之
為
乙
圓
徑
實
三
之
加
五
分
為
半
圓
全
徑
實
列
左
數
冪
以
地
除
之
加
右
數
而
以
除
左
右
相
乗
之
數
為
甲
圓
徑
實
置
三
箇
減
天
乗
地
得
數
為
丁
圓
徑
實
呂
只
云
數
為
率
各
列
實
數
以
率
數
乗
之
得
各
合
問
兼
齋
岩
田
清
謹
識
天名
地名
乗
六
分
為
左
乗
四
分
為
右
關
流
算
學
寺
井
政
道
門
人
新
谷
藩
于
時
齢
八
十
有
二
弘
化
四
丁
未
歳
十
一
月
良
辰
図 ９
Ｂ
Ｃ
ｂ
ｂ
ｃ
ｃ
２ ｂｃ
図 １ ０
図 10
正五角形 7
-さ ら な る 別 法 と し て 、 ピ タ ゴ ラ ス （ 三 平 方 ） の 定 理 の み に よ っ て 、 五 辺 が 相
等 し い こ と か ら 、 正 五 角 形 を 証 明 す る 方 法 は 、 あ ま り に も 稚 拙 な の で 、 こ こ で
は 扱 わ な い 。 興 味 が あ る 人 は 、 ネ ッ ト を 見 る こ と 。
［ 参 考 ］ 内 子 八 幡 神 社 の 算 額
前 述 の 法 眼 寺 算 額 問 題 を 作 っ た 岩 田 清 謹 が 八 十 二 才 の 時 に 、 新 谷 か ら 五 キ ロ
ほ ど 東 の 、 当 時 は 蝋 燭 な ど で 栄 え て い て 、 「 内 子 座 」 と い う 歌 舞 伎 小 屋 も あ る
内 子 町 の 八 幡 神 社 に 奉 納 し た 算 額 が あ り 、 今 で も 神 社 の 拝 殿 に 掲 げ ら れ て お り 、
内 子 を 訪 れ れ ば 、 誰 で も 見 る こ と が 出 来 る （ 写 真 ③ 、 図 ９ ） 。
こ れ は 本 来 は 、 数 学 的 内 容 か ら 言 え ば 、 敢 え て こ こ 解 説 す る ほ ど で は な い が 、
星 梅 鉢 － 法 眼 寺 算 額 － 岩 田 清 謹 の 一 連 の 繋 が り で 、 こ こ に 取 り 上 げ る こ と に す
る 。
「 初 学 の 請 い に 応 じ て 」 と い う 題 の 通 り 、 比 較 的 易 し い が 、 以 下 の よ う に ２
重 根 号 の は ず し 方 な ど 、 初 心 者 に 参 考 に な り そ う な 計 算 が い く つ か 見 ら れ る 。
和 算 家 は 、 円 の 大 き さ を 直 径 で 表
わ し て い た が 、 我 々 は 半 径 で 考 え る
方 が 慣 れ て い る し 、 逆 に 和 算 家 の よ
う に 直 径 で 表 わ し て 、 半 径 を た と え
ば 、 Ｒ ／ ２ ， ｂ ／ ２ の よ う に 書 く の
は 煩 雑 な の で 、 以 下 の 計 算 で は 、 洋
算 に 倣 っ て 「 半 径 」 で 行 な う 。 そ こ
で 、 直 径 で 表 現 さ れ て い る 算 額 の 術
文 と 比 較 す る た め に は 、 （ 「 円 」 同
士 は 、 ど ち ら で も よ い が ）
「 直 長 」 の み に つ い て は 「 ２ 長 」 と
す る 。
奉
懸
御
廣
前
左
甲
右
乙
丁
丙
大
應
初
學
之
請
而
述
算
法
自
問
自
答
今
有
如
圖
直
内
畫
大
半
円
其
全
徑
六
分
方
為
左
四
分
方
為
右
其
中
間
挟
甲
圓
大
半
圓
外
容
乙
丙
丁
之
三
圓
焉
只
云
丙
圓
徑
若
干
問
各
諸
圓
徑
及
長
幾
何
答
曰
依
左
術
得
各
術
曰
置
八
個
開
平
方
加
三
箇
為
長
實
四
帰
之
為
乙
圓
徑
實
三
之
加
五
分
為
半
圓
全
徑
實
列
左
數
冪
以
地
除
之
加
右
數
而
以
除
左
右
相
乗
之
數
為
甲
圓
徑
實
置
三
箇
減
天
乗
地
得
數
為
丁
圓
徑
實
呂
只
云
數
為
率
各
列
實
數
以
率
數
乗
之
得
各
合
問
兼
齋
岩
田
清
謹
識
天名
地名
乗
六
分
為
左
乗
四
分
為
右
關
流
算
學
寺
井
政
道
門
人
新
谷
藩
于
時
齢
八
十
有
二
弘
化
四
丁
未
歳
十
一
月
良
辰
図 ９
Ｂ
Ｃ
ｂ
ｂ
ｃ
ｃ
２ ｂｃ
図 １ ０
図 9
和算家は、円の大きさを直径で表わしていたが、我々は半径で考える方が慣れている
し、逆に和算家のように直径で表わして、半径をたとえば、R/2，b/2 のように書くのは
煩雑なので、以下の計算では、洋算に倣って「半径」で行なう。そこで、直径で表現され
ている算額の術文と比較するためには、（「円」同士は、どちらでもよいが）「直長」のみ
については「2 長」とする。
まず和算の基礎として、図 10 において、
直線と円 B, 円 C が互いに接しているとき、直線上の接点間の距離は、
（b＋c）
2
−（b−c）
2
＝2 bc である。
大円径：R
乙円径：b
丙円径：c
とすると、図 11 のように、「直長」は、R，b，c で決まる。
問題では丙円径が与えられていると考えて、数値計算では c＝1 とする。
図 11
正五角形 8
-ま ず 和 算 の 基 礎 と し て 、 図 １ ０ に お い て 、
直 線 と 円 Ｂ ， 円 Ｃ が 互 い に 接 し て い る と き 、 直 線 上 の 接 点 間 の 距 離 は 、
（ ｂ ＋ ｃ ）２
－ （ ｂ － ｃ ）２
＝ ２ ｂ ｃ で あ る 。
図 １ １ の よ う に 、 「 直 長 」 は 、 Ｒ ， ｂ ， ｃ で 決 ま る 。
大 円 径 ： Ｒ
乙 円 径 ： ｂ
丙 円 径 ： ｃ
と し 、 問 題 で は 丙 円 径 が 与 え ら れ て い る と 考 え て 、 数 値 計 算 で は ｃ ＝ １ と す る 。
Ｒ ＝ ｂ ＋ ｃ ＋ ２ ｂ ｃ ①
ｂ － ｃ ＝ （ Ｒ ＋ ｃ ）２
－ ｃ２
－ ２ Ｒ ｂ ②
２ 長 ＝ Ｒ ＋ ｂ ＋ ２ Ｒ ｂ ③
① ⇒ Ｒ ＝ （ √ ｂ ＋ √ ｃ ）２
√ Ｒ ＝ √ ｂ ＋ √ ｃ ． ① ’
② ⇒ （ √ ｂ ＋ √ ｃ ） （ √ ｂ － √ ｃ ） ＝ Ｒ （ Ｒ ＋ ２ ｃ ） － ２ Ｒ ｂ
√ ｂ － √ ｃ ＝ Ｒ ＋ ２ ｃ － ２ √ ｂ ，
３ √ ｂ － √ ｃ ＝ ｂ ＋ ３ ｃ ＋ ２ ｂ ｃ
両 辺 を ２ 乗 し て 、
９ ｂ ＋ ｃ － ６ ｂ ｃ ＝ ｂ ＋ ３ ｃ ＋ ２ ｂ ｃ
８ ｂ － ２ ｃ － ８ ｂ ｃ ＝ ０
ｂ ２
ｂ
４ － ４ － １ ＝ ０
ｃ ｃ
ｂ ２ ± ２ √ ２ １ ± √ ２
＝ ＝
ｃ ４ ２
ｂ
＞ ０ だ か ら
ｃ
ｂ １ ＋ √ ２
＝
ｃ ２
ｂ ３ ＋ ２ √ ２ ２ ｂ
＝ ≒ １ . ４ ５ ７ １ ． ＝ ［ 乙 ］
ｃ ４ ２ ｃ
Ｒ ｂ ｂ ｂ ２
① ⇒ ＝ ＋ １ ＋ ２ ＝ ＋ １
ｃ ｃ ｃ ｃ
３ ＋ √ ２ ２
１ １ ＋ ６ √ ２ ２ Ｒ
＝ ＝ ≒ ４ . ８ ７ １ ３ ． ＝ ［ 全 ］
２ ４ ２ ｃ
Ｒ
ｂ
ｃ
Ｒ
ｂ
ｃ
ｂ
ｃ
Ｏ
Ｂ
Ｃ
Ｒ
図１ １
R ＝ b ＋ c ＋ 2 bc ①
b−c ＝ （R ＋ c）
2
− c
2
− 2 Rb ②
2 長 ＝ R ＋ b ＋ 2 Rb ③
①⇒ R ＝（ b ＋ c ）
2
R ＝ b ＋ c . ① '
②⇒（ b ＋ c ）
（ b − c ）＝ R （R ＋ 2c）− 2 Rb
b − c ＝ R ＋ 2c − 2 b,
3 b − c ＝ b ＋ 3c ＋ 2 bc
両辺を 2 乗して、
9b ＋ c − 6 bc ＝ b ＋ 3c ＋ 2 bc
8b − 2c − 8 bc ＝ 0
4
b
c
2
− 4
b
c − 1 ＝ 0
b
c ＝
2
± 2 2
4
＝
1
± 2
2
b
c ＞ 0 だから
b
c ＝
1
＋ 2
2
b
c ＝
3
＋ 2 2
4
≒ 1.4571 2b
2c ＝［乙］
120
米 山 忠 興
① ⇒
R
c ＝
b
c ＋ 1
2
＝
3
＋ 2
2
2
＝
11
＋ 6 2
4
≒ 4.8713. 2R
2c ＝［全］
③ ⇒
2
c ＝（
長
R
＋ b ＋ 2 Rb ）/c
＝
R
c ＋
b
c
2
＝
11
＋ 6 2
4
＋
3
＋ 2 2
4
2
，
ここで、
11
＋ 6 2
4
＝
（3 ＋ 2 ）
2
2
＝
3
＋ 2
2
3
＋ 2 2
4
＝
（ 2 ＋ 1 ）
2
2
＝
2 ＋ 1
2
，
よって、
2
c ＝
長
2 ＋ 3
2
＋
2 ＋ 1
2
2
＝
2
2 ＋ 4
2
2
＝（ 2 ＋ 2）
2
＝ 2（1 ＋ 2 ）
2
＝ 2（3 ＋ 2 2 ），
ゆえに、
長
c ＝（3 ＋ 2 2）≒ 5.8284 .
2 長
2c ＝［長］
次に、大半円内の左右の半円と甲円について考える。
正五角形 9
-２ 長
③ ⇒ ＝ （ Ｒ ＋ ｂ ＋ ２ Ｒ ｂ ） ／ ｃ
ｃ
Ｒ ｂ ２
１ １ ＋ ６ √ ２ ３ ＋ ２ √ ２ ２
＝ ＋ ＝ ＋
ｃ ｃ ４ ４ ，
こ こ で 、
１ １ ＋ ６ √ ２ （ ３ ＋ √ ２ ）２
３ ＋ √ ２
＝ ＝
４ ２ ２
３ ＋ ２ √ ２ （ √ ２ ＋ １ ）２
√ ２ ＋ １
＝ ＝ ，
４ ２ ２
よ っ て 、
２ 長 √ ２ ＋ ３ √ ２ ＋ １ ２
２ √ ２ ＋ ４ ２
＝ ＋ ＝
ｃ ２ ２ ２
＝ （ √ ２ ＋ ２ ）２
＝ ２ （ １ ＋ √ ２ ）２
＝ ２ （ ３ ＋ ２ √ ２ ） ，
ゆ え に 、
長 ２ 長
＝ （ ３ ＋ ２ √ ２ ） ≒ ５ . ８ ２ ８ ４ ． ＝ ［ 長 ］
ｃ ２ ｃ
次 に 、 大 半 円 内 の 左 右 の 半 円 と 甲 円 に つ い て 考 え る 。
下 の 図 １ ２ の よ う に 、
大 円 径 ： Ｒ
左 円 径 ： α Ｒ
右 円 径 ： β Ｒ
甲 円 径 ： ａ
と お く 。 問 題 文 か ら 、
３ ２
α ＝ ， β ＝
５ ５
で あ る 。
図 １ ２ の ２ つ の 三 角 形 に 余 弦 定 理 を 適 用 し て 、
ｃ ｏ ｓ θ ＋ ｃ ｏ ｓ （ π － θ ） ＝ ０ を 考 慮 す る と 、
（ β Ｒ ）２
＋ （ Ｒ － ａ ）２
－ （ α Ｒ ＋ ａ ）２
（ α Ｒ ）２
＋ （ Ｒ － ａ ）２
－ （ β Ｒ ＋ ａ ）２
＋ ＝ ０
２ ･β Ｒ （ Ｒ － ａ ） ２ ･α Ｒ （ Ｒ － ａ ）
２ ３ ３ ２
３ （ Ｒ）２
＋（Ｒ－ａ）２
－（ Ｒ＋ａ）２
＋２ （ Ｒ）２
＋（Ｒ－ａ）２
－( Ｒ＋ａ）２
＝０
５ ５ ５ ５
ａ
≡ ｘ と お く と 、
Ｒ
２ ３ ３ ２
３ （ ）２
＋（１－ｘ）２
－（ ＋ｘ）２
＋２ （ ）２
＋（１－ｘ）２
－( ＋ｘ）２
＝０
５ ５ ５ ５
１ ２ ＋ １ ８ ２ ７ ＋ ８ ２ ｘ
＋ ５ （ １ － ｘ ）２
－ － （ ９ ＋ ４ ） － ５ ｘ２
＝ ０
２ ５ ２ ５ ５
２ ４ ７ ６
－ ｘ ＝ ０
５ ５
６ － １ ９ ｘ ＝ ０
６
ｘ ＝
１ ９
６ ６ １ １ ＋ ６ √ ２
∴ ａ ＝ Ｒ ＝ ･ ｃ
１ ９ １ ９ ４
ａ ３ （ １ １ ＋ ６ √ ２ ） ２ ａ
＝ ≒ １ . ５ ３ ８ ３ ． ＝ ［ 甲 ］
ｃ ３ ８ ２ ｃ
左
甲
右
大
図 １ ２
αＲ
ａ
θ
Ｒ－ａ
ａ
ａ
βＲ
αＲ
βＲ
αＲ
βＲ
図 12
上の図 12 のように、
大円径：R
左円径：αR
右円径：βR
甲円径：a
とおく。問題文から、
122
米 山 忠 興
正五角形 10
-さ い ご に 、 丁 円 径 を 求 め る 。 こ れ は 、 図 １ ３ で 直 角 二 等 辺 三 角 形 を 考 え れ ば 、
か ん た ん に 出 来 る 。
√ ２ （ Ｒ － ｄ ） ＝ Ｒ ＋ ｄ
（ √ ２ － １ ） Ｒ ＝ （ √ ２ ＋ １ ） ｄ
ｄ √ ２ － １ （ √ ２ － １ ）２
＝ ＝ ＝ ３ － ２ √ ２
Ｒ √ ２ ＋ １ ２ － １
ｄ ｄ Ｒ １ １ ＋ ６ √ ２ ９ － ４ √ ２
＝ ･ ＝ （ ３ － ２ √ ２ ） ･ ＝ ≒ ０ . ８ ３ ５ ８ ．
ｃ Ｒ ｃ ４ ４
２ ｄ
＝ ［ 丁 ］
２ ｃ
書 か れ て い る 術 文 は 、 現 代 の 我 々 が 「 術 」 と い う 言 葉 か ら 連 想 す る 解 答 を 導
び く た め の も の で は な く 、 ほ と ん ど 答 え の 数 値 を 「 記 述 」 し て い る だ け で あ る 。
丙 円 径 が 与 え ら れ た と き （ 丙 ＝ １ と し て ） 、 そ の 術 文 を 数 式 と し て 表 わ す と 、
以 下 の よ う に な る 。
√ ８ ＝ 天 ，
天 ＋ ３ ［ ＝ ２ √ ２ ＋ ３ ］ ＝ 長 ，
長 ３ ＋ ２ √ ２
＝ ＝ 乙 ，
４ ４
１ １ １ ＋ ６ √ ２
乙 × ３ ＋ ＝ ＝ 地 ＝ 全 ．
２ ４
３ ２
全 ＝ 左 ， 全 ＝ 右 ，
５ ５
左 × 右
＝ 甲 ，
左２
＋ 右
地
こ の 式 か ら 、
３ ２
全 × 全
５ ５ ６ 全 ６ 全 ６
甲 ＝ ＝ ＝ ＝ 全 ．
３ ９ 全 ９ ＋ １ ０ １ ９
（ 全 ）２
＋ １ ０
５ ２ 地
＋ 全
地 ５
（ ３ － 天 ） × 地 ＝ 丁 ，
こ の 術 文 は 、 前 述 の 計 算 式 と 一 致 し て い る 。
［ Ｐ ｈ ｏ ｔ ｏ Ｃ ａ ｐ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ］
［ 写 真 ① ： 新 谷 ・ 法 眼 寺 算 額 。 法 眼 寺 ・ 八 島 龍 晴 院 首 の ご 厚 意 に よ り 『 「 新 谷
藩 一 万 石 史 」 補 遺 － 星 梅 鉢 』 か ら 転 載 。 ］
［ 写 真 ② ： 和 算 家 ・ 岩 田 清 謹 の 墓 。 た し か に 「 清 謹 」 と 書 い て あ る の が 読 み と
れ る 。 ］
［ 写 真 ③ ： 内 子 八 幡 神 社 に 奉 納 さ れ た 和 算 家 ・ 岩 田 清 謹 八 十 二 歳 の 時 の 算 額 ］
Ｒ
Ｒ－ｄ
ｄ ｄ
ｄ
図 １３
図 13
書かれている術文は、現代の我々が「術」という言葉から連想する解答を導びくための
ものではなく、ほとんど答えを「記述」しているだけである。
丙円径が与えられたとき（丙＝1 として）、その術文を数式として表わすと、以下のよ
うになる。
8
＝ 天，
天 ＋ 3［ ＝ 2 2 ＋ 3］＝ 長，
長
4 ＝
3
＋ 2 2
4
＝ 乙，
乙 × 3 ＋
1
2 ＝
11
＋ 6 2
4
＝ 地 ＝ 全 ．
3
5 全 ＝ 左，
2
5 全 ＝ 右，
左
左 × 右
2
地 ＋ 右
＝ 甲，
この式から、
3
5 全
地
（ ）
2
3
5 全 ×
2
5 全
＋ 2
5 全
＝
甲 ＝
＝
＝
＋ 10
6 全
9 全
地
9 ＋ 10
6 全
19
6 全 ．
（3 − 天）× 地 ＝ 丁，
この術文は、前述の計算式と一致している。
