Title
拡張ベーズ法による広域地下水解析モデルの逆解析: 定常デ
ータに基付く場合( 本文(Fulltext) )
Author(s)
本城, 勇介; 福井, 宏行; 小川, 正二
Citation
[土木学会論文集 = Proceedings of JSCE] vol.[535] p.[93]-[102]
Issue Date
1996-03-21
Rights
Japan Society of Civil Engineers (公益社団法人土木学会)
Version
出版社版 (publisher version) postprint
URL
http://hdl.handle.net/20.500.12099/24274
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土 木 学 会 論 文 集No. 535/III-34, 93-102, 1996. 3
拡張ベーズ法 による広域地下水解析 モデルの
逆解析:定 常データに基付 く場合
本 城 勇 介1・ 福 井 宏 行2・ 小 川 正 二3 1正会員Ph. D. 岐阜大 学助教 授 工学部土木工学科(〒501 -11岐 阜 市柳戸1_1) 2正会員 工修 鹿 島建設株式会社 東京支店(〒107東 京 都港 区元赤 坂1-3-8) 3正会員 工博 長 岡技術科学大 学教授 工学部建設系(〒940 -21長 岡市 上富岡町1603-1) 赤池のべ ーズ情報量規準(ABIC)に 基付 く拡張ベ ーズ法 により, 新潟県六 日町周辺 の広域 地下水モデルを逆解析 によ り構築 した. この解析 では, 観 測データは地下水が定常状態にあ る場合の ものを用 いた. この種の逆解 析で問題 とな る不適切性 を, 事前情報 を導入 し, 観測デ ータ と事前情報の最適 な相対的 な重 み付 けをABICに より的確に行 う ことができる ことを示 した. また, 逆解析 のも う一つの重要な問題 である, 最適モデルの選択あ るいはモデル. パ ラ メ ーター数 の限定の 問題 も, AB1Cを 用い ることによ り同時に解決 され た. これ らの点を大規模な実 データに基 づい て示 した点が, 本研究の最 も大 きな成果 である.Key Words: groundwater, inverse analysis, statistical analysis, Akaike Bayesian Information Criterion, finite element method, extended Bayesian method
1. まえが き 地下水の浸透流解 析モデルの逆解析 によるパ ラメー ター推定や, モデルの同定の問題につ いて は, 計算機等 の著 しい性能の向上や, その現 実的な必要性によ り, 既 に多 くの研究が発表 されている. わが国においても, 大 西 と井尻1), 青木と嘉 門2), 本城 と森嶋3), 河野 ら4), 奥 野 と鈴木5), 奥野 らの, 長谷川 らりなど多 くの研究が発表 されてい る. さらに最近では, Sun8)による この問題 に 関す る成書も出版 されている. そればか りでな く逆解析 は, 学際的にいろいろな分野で活発 な研究が行 われてお り, 体系的な図書 もい くつか 出版 されて いる9),10),11). このような中で, 逆解析で最 も重要な問題点の ひとつ として, 不適切性の問題が指摘されてい る. 例えば先に 示 したSunは, その著 書8)の結論 の冒頭で, 地下水逆解 析 の最も重要な問題は, 不適切性(ill一posedness)の克 服 であ ると述べ てい る. 不適切 性 とはSunに よれば8), 次のように説明す ることが 出来 る. 逆解析の定式化が線 形の場合, 問題 は最終的に一つの連立方程式を解 くこと に帰着す る: y=xe+E (1) ここに, yは 観測値ベ ク トル, Xは 与え られた観測行列, θは推定 しよ うと しているモデル ・パ ラメーター, εは 誤差である. 通常 の逆解析で は, 観測値の数は, 推定 し ようとす るパ ラメーターの数 よ りも多 く, 典 型的に は最 小二乗法により解 が求 め られ る:
min. J(9)=ETE
=(y-XO)T(y-xe)
(2) この式は, 解析的 に解 くことができ:6=(XTX)-lXTy
(3) この とき逆行列 を求め よ うとす る行列XTXのdetが0, あるいは0に 近 い状態の とき, この逆行列 の計算は不可 能とな り, 解を求め ることが出来な くな る し, またた と え解が求 まったと して も, 観測 誤差 の影響を極端 に受 け る結果となる. この ような状態 を一般に不適切性 と言 う. なお, 重回帰分析では同様の現象を(重)共 線性 と呼ぷ.不適 切性の程度 を計 る最 も一般 的な指標は, 条件数 (conditional number)で あ り, これ は行列XTXを 固有 値分解 し, その最大固有値 と最小固有値の比 の平方根を 取った ものである. 条 件数が高い ほど不適切性 は大きい. 不適切 性を解決す るため には, 一般 に式(2)の評価関 数の性質を改良 し適切化す るための代替的な評価関数が 用いられ る8),10):
min. J(e)=(y-xe)T(y-xe)
+d2(e-e*)T(e-e*)
(4) ここに, θ はモデルパ ラメーターに関す る主観的 な初 期設定値, dは 適切化パ ラメー ター と呼ばれる, 観測情 報と適切化項の調整パ ラメーターである. 式(4)は統計 学的に解釈す ることも可能で, この場合 θ串は事前平均 値であ り, d=1の 場合 は, 問題がベーズ統計学によ り 定式化されていると解釈 される. さ らにdが1で ない と きは, この定式化 は拡張ベーズ法と呼ばれ ることが ある. この適切化の過程での最大 の問題点は, 調整パ ラメー ターdを どの よ うに決定 して行 くか と言 う問題であ る. 著者の一人 は, この問題に赤 池の提案 している情報量規 準ABIC(Akaike Bayesian Information Criterion)を用 い ることを提案 し, 既に地盤工学にお けるい くつ かの問題 についてこの方法の適用を試みて いる12),13),14),15). 本研究 の第一の目的は, この方法を大規模な広域地下水の問題 に適用 し, その有効性 を示す ことである. 不適切性の問題とも密接に関係す る, 逆解析 における もう一つの問題は, 解析モデルの選択 の問題(あ るいは, パ ラメーター数の限定(parameterization)の問題)で あ る8). 一般に重回帰分析などの統計 的な方法では, モデ ルの複雑化(モ デルパ ラメーター数 の増加)に よる, モ デルのデータへの当てはま りの良 さと, 個々のモデルパ ラメーターの推定信頼性 の間に トレー ドオフの関係があ ることは広 く知 られてい る. 逆解析 において も事情は全 く同様であ り, よ り高品質で大量の観測データが得 られ ている場合は, よ り複雑なモデルが選ばれ るべ きである し, その逆であれば, む しろよ り単純 なモデルの方が信 頼性の高い予測を可能にする. 赤池の情報量統計学は, 本来上記の ような トレー ドオ フ関係の存在す る統計解析 を行 うとき, より予測信頼性 の高 いモデルの選択 を行 うことを 目指 した ものであ り, 赤池の情報量規準AlCは, その ような観 点か ら提案 され た ものである16),17). この事実は, ABICに つ いて も完全 に当てはまり, この規準は モデル選択 において も極めて 有効である. すなわち, 本研究の第二 の 目的は, このモ デル選択 におけるABICの 有効性 を, 実際の広域地下水 観測データ に基づ く逆解析において示す ことである. 本研究で直接研究の対象 として いる新潟県南魚沼地 区 は, 全国的に も地盤沈下の著 しい地域であ り, 特に六 日 町市街地では沈下が著 しい. 種 々の観測結果か ら当地域 の地盤沈下は, 主 に消雪 用地下水の過剰揚水 による地下 水位の低下に帰因すると考え られてお り, この問題の解 決には地下水の挙動の把握 は極めて重要 な課題であると 考え られる。本研究で は, 上記のよ うな地下水 逆解析の 問題点 を解決す るために開発 されて きたABICに 基付 く 拡張ベーズ法に基づ く逆解析手法 によ り, この地域の地 下水挙動予測に用い ることのできる, 地下水 の帯水層モ デルの透水量係数の分布を推定す ることを 目的と してい る. なお本研究では, 非降雪時の水頭分布が ほぼ定常 で あることに注 目し, 逆解析にはこの定常データを用いた. 2・ 岡題 の定 式化 この章では地下水解析 モデルの, 拡張ベーズ法を用い た逆解析の定式化 を示す. ここでは定常データの解析を 行 うので, 定常解析の物理モデル につ いての定式化を示 す. これを非定常の場合に拡張す ることは容易である15). まずは じめに定式化の基本 となる, 基本モデルについ て述べる. そ して, 与え られ た適切化パ ラメーター値d の基での, ベーズ推定法による透水量係 数ベク トル 値の 推定方法 につ いて説 明す る. 最後 に, 適切化パ ラメー ター値d及 び最適モ デルを選択す る規準 と して用 いる ABICを 導 く. (1)基 本モデル 本研究 では, 基 本モ デル を物理 モデル, 観測 モデル, 事前情報モデル の3つ か ら構成 した. 物理モデル は, 地 下水浸透流解析 の数値モデルであ る. 観測モデルは, 数 値モデル と実測値の差を記 述す るモデルであり, その差 は誤差ベク トル εとして, 記述 される. 事前情報モデル は, 事前情報を与える事前分布を記述 したモデル である. 物理モデル:有 限要素法 によ り定式化 された二次元 平面定常浸透 流問題 は, 次の ように表示 される:K(e)h=f
(5) ここにKは 透水量行 列で あ り, 透水量 係数 ベク トル θ (m次 元)の 関数である. hは 節点水頭ベ ク トル, fは 流量ベク トルである. 観測モデル:各 観測 点の観測値は, 次 のように与え られる:h*=h(e)+E
(6) ここに, hは 観測 点に お ける観測 値ベ ク トル(n次 元), h(θ)は これに対応する各観測点にお ける透水量係数ベク トルを θとしたときの計算水 頭値ベ ク トル(n 次元)で ある. εは誤差ベ ク トル であ りn次 元の多変量 正規分布N(0, Vh)に 従 う. 事前情報モデル:推 定 しよ うとす る透水量ベク トル θは, 次式で表 されるような事 前情報を持つ とする: 0=e*+s (7) ここに, θ は透水量係数ベ ク トルの事前平均 ベク トル, δは事前平均の不確実性を表す確率変数ベ ク トルで多変 量正規分布N(0, Vθ)に 従う. (2)パ ラメーターのべ一ズ推 定 θのべ一ズ推定 を行 うために, この事後分布を導 く. 式(6)によるデータ分布は, 次の多変量正規分布 となる: 8(hlO, L)=(2π)一 ψ1μ
exp{-(h(6)-h*)TVl(h(6)-h*)}
(8)
一方, 式(7)で与え られた事前分布 は, 次 のよ うな多 変量正規分布 となる: (OlOd21%)=(2π)一21d21μexpi-2ce-s7T(a2ve1)(e-e*))
(9) 従って, θの事後分布 はべーズの定理によ り:w(9Ih*,Vhd2V0)s(hIe, Vh)f(eJO*,
d2V0)
=(2π)-(+y2d一11-11211/2 (10)exp{-(h(e)-h*)TVh-1(h(9)-h*)
-(e-e*)T(a2v
e-l)(e-e)t
θのべーズ推定量は, 式(10)を最大化す ることにより得 られ るか ら, 最大化 に関係 のない定数 項を省略すると, 次に示す関数を最小化す ることになる:min rteId)
min, (h(e)-h*)Tvh-i(h(e)-h*)
+d2(e-e*)TVl(e-e*)
(11)
これは, 先に示 した式(4)であ り, 逆解析 の適切化 の統 計的な意味が, 事前情報 の利用 によるベー ズ推定であ る ことを示 している. (3)ABICに よ るdの 最 適 値 の 決 定 赤 池 の べ ー ズ 情 報 量 規 準(ABIC)の 導 出 や, その 情 報 論 的 な意 味 につ いて は赤 池 の 論 文18),19)を参 照 さ れた い. また 詳 しい 式 の 誘 導 につ い て は, 本 城17)を参 照 さ れた い. ABICは, 次 式 に よ りあ た え られ る:ABIC(d)=-2In{fg(hIO,V1OO*d2
+2(number of hyperparameters)
(12) この場合関数gが θに関 して線形 であれば第一項の積分 を解析 的 に行 うことがで き, ABICは 簡単 に求 まる1η しか し, この問題ではgは, θに対 して非線形であ るの で, この積分 を行 うために θをそのべー ズ推定値の回 り でテーラー展開 し, その二項 目までを取 ることによ り線 形化 した上で積分を行 った. 結果 として得 られるABICは 次のよ うに与え られた: ABIC(d)=m n(2ic)+mln(J(9)/m)-InId2Ve-I-InIVy-iI+nISTvh-is+d2y
e-i
+2(number of hyperparameter)
(13) こ こ にnxm行 列Sは 次 の よ うに与 え られ る: S=onw) (14) ここに, 分母 θに付 いている転 置Tは, 行列Sの 行では θが変化 し, 列ではhが 変化 し, 結果的にnxm行 列 を, 生成す ることを示 している. 式(13)のABICに よ り, 観測データ と事前情報の相対 的な重みを示す 超パ ラメー ターdの 決 定, また最適なモ デルや事前情報 の選択を行 う. すなわち最小のABICを 与え るこれ らの組み合わせを求める. なお ここで, Vh, Vθ とd2の 関係につ いて, 説 明 し てお く. ベーズ的立場で言 えばVhは, 観測誤差 の分散 ・共分散行列で あ り, d2Vθ は事前分布の分散 ・共分 散行 列を表す. ほとん どの場合観 測値は, 独立で分散 σ2一定 と仮定す るので, Vhは 対角要 素にσ、2, それ以 外は0の 行列 となる. 事前分布の分散 ・共分 散行列につ いては, 事前分布 で与 えるパ ラメ ーター値 の間の相対 的 な分散や共分散に違 いがあ り, これを仮定 に取 り入れた い場合は, その相対 的な大 きさをVθ に入れ てお くこと が出来るが, これらが一様な分散値を持 ち, また独立で あると仮定 され場合 は, 最終的に事前分布 の分散値 σθ2 は, σ2と の相対 的な大き さをd2に より調整 されて しま うの で, Vθ の初期 値 と して は単位 行 列 を与 え て お けば よい. この と きd2=σ2/σ θ2であ る. 本 解 析 で は, Vθ と して, 事 前 平 均 値 に0. 1を 乗 じた 値 の2乗 値 を 対角 項 に入 れ, 事 前 情 報 の変 動 係 数 が 一 定 で あ る こ とを仮 定 した. な お, 多数 の 超 パ ラメ ー タ ーを導 入 し, い くつ か の 異 な る事 前 分 布 の分散 を独立 に推 定す る こ と も可能 で あ る. とこ ろ で実 際 に は, σ2は 最 終 的 に残 差 二 乗 和 か ら推 定 され る15),17). 従 っ て, 実 際 の 計 算 で は, Vhに 単 位行 列, Vθ 上 記 の よ う な値 を 初 期 値 と し て与 え, 全 て の 最適 化 を終 了 し, パ ラメ ー タ ー値 の推 定 が 終 わ った 後, σ2を 推 定 し, 観 測値 の分 散 共分 散 行列 を求 め, さ らにd2の 最 終値 か ら事 前 分布 の分散 共分散 行列 を決 定 し, 必要 な らばベ ー ズ定 理 よ り, 事 後 分 布 の分 散. 共 分 散 行 列 を 推定 パ ラメ ー タ ー の分 散 ・共 分 散行 列 と して 求 る と言 う手順を とる. 3. 擬 似 的な デー タ によ る解 析方 法の検 証 本章では, 先 に提案 した方法の有効性 を, 擬似 的に設 定 した地下水帯水層モデル よ り作成 したデータにより検 証す る. (1)問 題の設定 図一1に, 設定 した擬似的な地 下水帯水層 モデルを示 した. 透水量係数は, 地域全体で連続的に変化 し, 一部 図一1疑 似的な帯水層 モデル (a)境界 条 件 ● 水醸 一定見押 不琶水境昇 (b)透水 量係 数分布 図 一2観 測井戸分布 ・ 観 測井戸(25本) 図一3揚 水井戸分布 ■ 揚水井 戸1揚 水量5, 000(m:3/dε ▲ 揚水井 戸2揚 水 量10, 000(m3/d2 図一4モ デル選択の ため の代替的な モデル (a)モ デ ル ー1 (b)モ デ ル ー2 (c)モ デ ル ー3 (d)モ デ ル ー4 (e)モデル5
に 不 連 続 的 に変 化 して い る と こ ろ が あ る(す な わ ち, 図 一4, モ デル1, ゾー ン3の 部 分 の透 水 量 係 数 は周 辺 部 に比べ1オ ー ダー 低 い値 にな って い る). 境 界条 件 は 上 方 と下方 の一部 を水 頭一 定 境界 と し, 両 側 面 を不 透水 境 界 と してい る. ま た, この モ デル で は地 下 水 は下 方か ら上方 へ と流 れ る. 観 測デ ー タ は, 上 記 の境 界条 件下 に お いて, 図 一2に 示 す10本 の 揚 水 井 戸 よ り図 に示す よ うな量 の揚水 を 行 った とき の, 図 一3に 示 さ れ る各観 測 井 戸 にお け る定 常 水 頭 を 有 限 要 素 法 に よ り求 め 用 い た. 図 一4に モ デル 選択(あ る いはパ ラ メ ータ ー 数 の 限定) のた め に設 定 した代替 的 なモ デル の ゾ ーニ ン グを示 した. モ デ ル1, 2は, 6ゾ ー ンモ デ ル, モ デ ル3, 4は, 12ゾ ー ンモ デ ル, モ デル5は4ゾ ー ンモ デ ル で あ る. モ デル1, 3, 5は, 真 の透 水 量 係 数 分布 を 比 較 的忠 実 に ゾー ニ ング した モデ ル で あ り, モ デ ル2, 4は, モ デ ル1, 3を それ ぞれ 幾 何 学 的に 単 純化 した モ デル であ る. 特 にモ デル1の ゾー ン3に 当た る部 分 は, 透 水 量係 数 が 非連続 的 に小 さい部 分 で あ り, モ デル1と2お よび3と 4を 比 較 す るこ とに よ り, この よ うな 部 分 の ゾ ーニ ング が, 解 析 結果 に与 え る影 響 を見 よ う と して い る. (2)解 析結 果 と考 察 図 一5に 解 析 の 結 果 得 られた, ABICとdの 関 係 を 各 モデ ル につ いて プ ロ ッ トした. ま た表 一1に は, 各 モ デ ル に お ける各 ゾ ー ンの透 水 量 係数 の事 前 平 均値 と推 定値 を示 した. そ れ ぞ れ の モ デ ル に おい て, ABICを 最 小 に す るdが 存在 してお り, 適 切化 パ ラメ ータ ーdの 決定 が 行 われ て い る. モ デル5で, ABICとdの 関 係 が他 のモ デル に比 べ なめ らか でな い のは, 評 価関 数 の 非線 形 性 の た め最適 化 の過程 で, 局所 的な 極値 に 収束 した た め と考 え られ る. そ れ ぞ れ の モ デ ル の 最 小 のABICを 比較 す る こ とに よ り, モ デ ル の 選 択 を行 う こ とが で き る. この結 果 で は, 1, 5, 2, 3, 4の 順 に良 い モ デ ル で あ る と判 断 され た. ゾー ン数6の モ デル1は, ゾー ン数4あ るい は12 の モ デル5あ るい は3よ り も良 い モ デル と判 断 された 分 けであ る. これ は与 え られ た デ ー タ で は, 赤 池 の情 報 量 規準 の 尺度 で, この 中間 的 な複 雑 さ を持 った モ デル1が, モデ ル のデ ー タへ の 当て は ま り の良 さ と, 推定 パ ラメ ー ター の信 頼性 の間 の トレー ドオ フ関 係 を最 適化 す るモ デ ル で あ る こと を示 して い る. ま た, モ デル1が2よ りも, さ らに モデ ル3が4よ り も低 いABICを 与 え た こ と よ り, この指 標 が ゾー ニ ング の拙 劣 を 判 断 す る上 で も有 効 で あ る こ とが 分 か る. 表 一2に 各 モ デ ル の 最 適 解 に お け る 条 件 数 を 示 した. この 問題 は, 推 定 しよ うと す る モデ ル パ ラメ ー タ ー に対 して 問 題 が 非 線 形 な ので, 先 に 式(3)の と こ ろで 説 明 し た線 形 問 題 の 条 件 数 を 直 接 に 定 義 す る こ と は で き な い. そ こで, 式(6)で 与 え た 観 測 モ デ ル を θのべ ー ズ推 定 量 の とこ ろでテ ー ラー展 開 し, これ に よ り条 件 数 に 当 たる ものを 計算 して い る. こ こで 言 う条 件数 は, 以 下 に示 す 行列 の最 大 固 有 値 と最 小 固 有 値 の比 の平 方 根 で あ る. 図一5疑 似 モ デル に お け るAB1Cとdの 関 係 表-1各 ゾー ンの透水 量係数推定値(単 位:m2/dav)
STVh-1S+d2Ve-1 (15) ここに行 列Sは, 先 に式(14)で 与 えた もの であ る この 表 一2を 見 る と, どの ケ ー ス で も条 件 数 は 高 々数100の オ ーダ ー で あ り, 事 前 情 報 を考 慮 しな くて も解 は 比較 的安 定 して い る こ とが わか る. 換 言 す る と, どの ケ ー ス に お いて も事 前 情報 を加 え な くて も解 は安定 して い る とABIcに よ り判断 され た 結果 とな った. これ は, 事 前 情 報 を加 え 適 切 化 を行 わな けれ ば, 条件 数 が500か ら1000以 上 に 達 す る次 章 に示す 実 デ ー タの 解 析 と著 しい対 照 を 成 してい る. 4. 六 日町地 域の地 下水 帯 水栢 モデ ルの推 定 (1)地 形 ・地質と塘下水 の状況 六 日町盆地は信濃川の支 流の一つ, 魚野川の形成する 谷部 に位置 し, 最小幅2㎞(六 日町市 街地), 最大幅 5kmで, 南南 西か ら北北東 に細 長 く延びている(図 一 6). 盆地内には, 魚野川 に沿 った氾濫原 に左右両岸か ら流入する小河川の扇状地 が並ぷ. 盆地の西縁部 に新発 田一小 出構造線 の南方延長 にあたる断層が伏在す るため, 西縁部は東縁部よりはるかに直線的である. また, 西岸 か ら流 入す る河川 の方 が東岸か ら流入す るものに比べ, 短 く急峻である. 帯水層 は谷全体 に連続 して発達 してお り, かん養 は極 めて潤沢で, あたかも谷筋全 体を魚野川が流下 して いる 感がある. 扇状地 を含む多 くの地域で厚い不圧帯水層が 連続的に広が って いる. 一部 帯水層上部に軟弱粘性土層 が堆積 し, 被圧帯水層となっている部分 もあるが, 帯水 層は盆地全体で連続 した一層 よりなる もの としてモデル 化 して良い と考え られる. 六 日町市街 をは じめとする市街部 は, 扇状地 で狭め ら れた扇間湿地あるいは沼 地の上に発 達 している. このた め市街部の下 には厚 さ10か ら40mの 軟弱層があ り, その下部の帯水層よ り揚水が行われ水頭が低下す ると地 盤沈下が生 じる. 帯水層の透水係数 は域内の約120本 の井戸にお ける 揚水試験結果よ り調べ られてお り, これによれば一般に 山沿いの地区で小 さ く(10-5か ら10-6m/s), 魚野川沿 いの地域では大きい(10-3か ら10-4m/s). しか し例外 的に六 日町付近では魚野 川左岸地域で10-6mlsの極 めて 低い透水係数 を しめす 地域があ る. 本研究で用いた地 下水位の観測データは, 新潟県衛生 公害研究所が 中心 とな り, 昭和61年 か ら62年 にか け て実施 した調査の ものを用いた20)21),22). 連続的な地下水 位の観測の行 われた24本 の観測井戸の結果を見 る と, 地下水位が変動するの は降雪時に消雪のための地下水揚 水が行われ る12月 か ら3月 までの 時期で, それ以外の 時期には, 水頭はほぼ全域で安定 した一定値を取 ってい 表一2疑 似データ各モデルの推定値付近の条件数 透水 境界 不透 水境昇 ●:水 頭 一定境界(単 位:厩) 図一6解 析対象地域 と境界条件 (注:水 頭を与 えていない境界はすべて不透水 境界)
る. また水頭が変化す るのは, 六 日町市街地付 近な ど揚 水井の集中 した数地域に限 られ, 図一6に 示す解析対象 地域 の縁 部では, 揚水 時にもほとんど水 頭は変化せず, 一定値を保つことが確認 されている. 一方市街地の降雪 の時の水 頭変化 は激 しく, 一夜で20か ら30mの 水 頭降 下が生 じることも希ではない. また同調査では, 非降 雪時(昭 和61年11月28日か ら12月8日)と, 降雪時(昭 和62年1月27か ら28日)の2回 にわた り, 地域 内123本 井戸につき一斉に静水位の測定が実施 されている(以 下 に 「一斉測水」と言 う). この調査で は, 各地域 にお ける揚水量につ いても, 降雪時 と被降雪 時両方につ いて 詳 しく調べ られて いる. (2)解 析モデル とデータ 今回 の逆解析 に使 用 したプ ログラムは, 本 城 と森嶋助 で紹介 されて いるプログラムであ り, これ にABIC等 の 計算 を加えた ものである. 解析対象 区域は図一6に 示す南北約8km, 東西約5km の範囲であ り, ほぼ 中央に六 日町が位置 している. 解析 においては1つ の要素が東西278m, 南北232mの 長方形 とな るよ うに離散化 した. この有 限要 素法メ ッシュは, 507節 点, 441要 素 より成 る. なお, このメ ッシュ分割 は, 先 に谷中 ら22)が実施 したもの と全 く同 じ分割 にして ある. 先 に も述べ た ように, 対 象帯水層 は部分的 に被圧で, ほとん どの部分は厚 い不圧帯水層(60m)で あるが, 本 解析ではこれを二次元平面モデルによ り近似 し, 透水量 係数で評価 した. 境界条件 としては, 基本 的に東西の縁 部は不透水 と し, 川が流入 している部分に水頭 一定境界を設けた. また南 縁は基本的に水頭一定境界 と し, 北縁 は この付近で流線 がほぼ東西に走 っていることが観測されていることを考 慮 し, 図 一6に 示すよ うな境界条件を与 えた. これ ら境 界条件 も, 先に谷中 らが行 った解析と全 く同様に設 定 し ている刀). 本逆解析で用いた観測デー タは, 先 に述べた昭和61年 11月28日か ら12月8日に行わ れた, 非降雪時の一斉測水 の結果を用いる. 非降雪時に地下水水頭 は年間を通 じて 一定 してお り, 定常状態にあ ると考え られる. 観測 は解 図-7代 替 的なゾーン分 割図 (8)モ デ ル91 (b)「 モ デ ル101 (c)「 モ デ ル111 (d)「 モ デ ル121 (e)「 モ デ ル151 (f)「 モ デ ル20 表一3モ デル11の 透水量 係数の初期値及び推定値
析対象域全体 の123カ所の井 戸で行われてお り, 逆解析 には適 したデータで あると考え られ る. これによ り, 先 に示 した有限要素法メッシュの節点, 92カ所で観測値を 与え ることができる. なお, 推定 した透水量分 布に基づき降雪時の揚水 によ る水頭変化を予測 したが, このときは観測井で得 られた データと比較 している. 揚水量 につ いて も新潟県衛生 公害研究所 によ り, この有 限要素 メッシュごとに調査 さ れている20). この結果に依れば 非降雪時の揚水量は当該 期間を通 じて一定 してお り, この結果を本解析で も用い ている. 図一7に パラメーター推定のために設定 した 分割数の違 う6つ の ゾーニングを示 した. ゾー ン分割数 はそれぞれ9, 10, 11, 12, 15, 20で あ り, モデル名 もゾー ン 数に基づいている. ゾー ン分割及びその透水量係数の事 前平均値は, 得 られている地質 ・地形 情報 と揚水試験に よる透水係数分布情報を最大限に利用 して設定 した. 設 定 した事前平均値を表一3に 示 した. (3)解 析結果 図 一8に 各モ デル にお ける適切化パ ラメーターdと ABICの 関係を示 した. 全 てのモデル において事前情報 と観測情報の相対的な重み付 けを最適 化す るdが 得 られ て いる. また各モデルの最小のABICで 比較す ると, 最 適モデルは11, 10, 9, 12, 15, 20の 順であ った. すなわちモ デル11が, 与え られたデー タの基では最 も予測に適 した モデルとして選択 されたの であ る. モデル11と10の 違いは, モデルー番北 西(左 上)の ゾー ンを分割 したか否か による. この地域 は, この解析 の中で境界条件 の設定に不確実な要素を持つ部分(こ の 部分の地質, 水頭の情報 は少ない)で, このゾー ンを細 分割 したモデル11が, よ り適切なモデルと判定された. また, モデル11と12の 違いは, モデル11の 南部で魚野 川を跨いで東西に広がる大きなゾー ンを, モデル12で は 魚野川で分割 した点である. 結果的にはデータへのモデ ルの当てはま りの良 さをそれほど改良せず, モデル11が 図-8各 モ デル のABICとdの 関係 表-4各 モデルの推定値近傍 における条件数 図-9推 定された六 日町地域の地下水帯水層モデル
より適切であると判定 され た. 表 一4に 求め られた最適解付近での事 前情報な し, 及 び事前情報を考慮 した場合の条件数を示 した. まず今回 の解析では, 先 に疑似データを用いた解析の場合 と異な り, モデル9以 外では, 事前情報 を考慮す ることにより 条件数がかな り改良され, 問題が適切化 していることが 分かる. 最適と判定されたモデル11の条件数 は56で あ り, 適度に適切化 されたと考え られる. 図 一9に 今回 の解析で最適 と判定されたモデル11の各ゾー ンの透水量 係数の推定値を示 した 図一10に は, モデル11に基づ いて計算された水頭分布 と, この逆解析に用 いた一斉測 水結果を比較 したもので ある。ほとんどの地域 でかな り 良い一致が得 られているのが分か る. 一番実測値 と計算 値が乖離 しているのは, 対象解析範 囲の最北西 部である。 この部分は先にも述べ たように, 境界条件の設定 に不確 実性があ り, これがパ ラメーターの推定を困難に してい ると考 え られ る. 一方六 日町付近 の両者 の一致はよ く, このモデルの本来の 目的である六 日町地区での地下水管 理のための予測を行 うモデルと しては, 適 していると考 え られ る. (4)推 定モデルに よる予測 モデルの予測精度の試 すために, 降雪時の揚水による 地下水水頭の変化を計算 し, これを観測 された水頭変化 と比べてみた。各ゾー ンの貯留係数 は, 定常浸透流の逆 解析では求め ることの 出来な い値であるので, これにつ いては揚水試験な どの事前情報 と, 数回貯流係数を変更 して計算を繰 り返す試行錯誤 により決定 した. 決定 した 値は, 図一9の 中の表 に示 した値 である. 計算に用い たのは昭和61年12月8か ら13日の観測 結果であ り, 予測 結果を図一11に 六 日町市街地にある二つ の井戸につい て示 した. 六 日町1号 井においては, 初期水頭に若干の ずれがあ り, これが全体的 に影響 しているが, その他の 点では予測はか な り正確である と言え る. 5. 結 論 本研究では, 六 日町周辺地域 で得 られた実際の地形 ・ 地質情報や, 地下水 に関する情 報よ り, 赤池のべーズ情 報量規準(ABIC)に 基づ いた拡張ベ ーズ法による逆解 析により, この地域の地下 水挙動を予測するために最適 な地下水帯水層 モデルを構 築出来 ることを示 した. ABICに 基づ いた拡張ベーズ法 により観測データと事 前情報の相対的な重み付けを適切 に調整する ことができ, これにより逆解析で最 も問題となる 「不適切性」 を克服 することがで きる. さらにABICは, 最適 なモデルや事 前情報を選択す る上で も極 めて有効である ことが, この 例題を通 じて理解 された と確信す る. 今回の逆解析 は, 定常浸 透流問題の場合に限 られたが, 降雪時のデータに基づ く非定常浸透流問題で も同様の手 法が応用でき, 今後はこの手法を非定常解析 に応用する ことにより, 定常データ と非定常デ ータの持 っている情 報量の差異な どを明 らかに して行 きたい。 図一10計 算水 位分布 と実 測水位 分布 の比較 (非降雪期 、定常状 態) :計 算硫 -:実 測億 図-11観 測井 戸におけ る予測計算値 と実測値の比較 (降雪時、非定常) (a)六 日町1号 井 (b)六 日町3号 井
謝 辞:本 研 究は文 部省 統計数 理研 究所 との共 同研 究(6一 共 研A-36)の 成 果 の一部 で あ る こ とを 明 記 し, 御 指 導 いた だい た柏木 宣 久 博 士 に深 謝 の意 を 表す. ま た解 析 に 用 いた 貴重 な資 料 を 提 供 して い ただ い た, 新 潟 県 衛 生 公 害研 究所, 谷 中隆 明 氏, 大 関 正 春 氏, 新 潟 県環 境 保 険 部, 北 島永一 氏, (株)日 さ く, 水 谷 宣 明氏 に感 謝 致 しま す. さ らに計 算, デ ータ整 理 等 で 支 援 頂 い た, 現 長 岡 技 術科 学大 学 建 設系 大 学 院生 橘 川 正 男 君 に も謝意 を 表 し ます. 参考 文 献 1) 大西有三, 井尻祐二:不 均質地盤 における浸透 流の逆 問題 解析手法に関す る基礎的研究, 土木学会論文集, 第376号 /III一6, pp. 121-130, 1986. 2) 青木一男, 嘉門雅史:不 均質地盤 にお ける帯水層定数 の同 定 について, 土木学会論 文集, 第382号/1III-7, PP. 91-99, 1987. 3) 本城勇介, 森嶋章:地 下水 浸透流解析モデルのパ ラメー ター推定:推 定 の不確実性 とその予測への影響, 土木学会 論文集, 第400号/III一10, pp. 215-224, 1988. 4) 河野伊一郎, 西垣誠, 竹下祐 二1逆 解 析手法を用いた被圧 帯水層 における揚水試験結果 の解析方法, 土質 工学会論文 報告集, VoL29, No. 2, pp. 159-168, 1989. 5) 奥野哲夫, 鈴木誠=不 圧地下水 を対象 と した拡張カルマ ン フィル タによる透水係数の空 間分布推定 法, 土木学 会論文 集, :No. 469/III一23, PP. 93-102, 1993. 6) 奥野哲夫, 鈴木誠, 市川康明:複 数の揚水 試験結果 を用い た透水係数の空間分布 推定 と地下水流動 の将来予測, 土木 学会論文集, No. 493/III一27, pp. 165_174, 1gg4. 7) 長谷川高士, 村上章, 浜 口俊雄:拡 張Kalmanフ ィル タによ る地下水モデル のパ ラメータ同定 と地下水位変動評価 によ る揚水量決定, 土木学会論文集, :No. 505/III一29, pp. 297-305, 1994.
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INVERSE ANALYSIS OF A REGIONAL GROUNDWATER FLOW MODEL BY EXTENDED BAYESIAN METHOD: IN CASE OF STEADY FLOW DATA
Yusuke HONJO, Hiroyuki FUKUI and Shoji OGAWA
A regional groundwater flow model of Muika-machi area in Nugata-ken, Japan, is built by an inverse analysis procedure so called the extended Bayesian method based on Akaike bayesian information criterion (ABIC). The groundwater observation data employed in the analysis is one at a steady state condition. It is illustrated through the analysis that ill-posedness which is very often encountered in this kind of inverse analysis can be overcome by introducing prior information whose relative weight to the observation data is appropriately adjusted by ABIC. The other important problem in the inverse analysis, which is model selection or parameterization problem, can also be simultaneously solved based on ABIC. The most important contribution of this paper is considered to demonstrate the effectiveness of the extended Bayesian method by analyzing actual large scale regional groundwater flow data.
