小学校第6学年及び中学校の児童生徒に内在する数学的能力について（II）

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(1)Title. 小学校第6学年及び中学校の児童生徒に内在する数学的能力について（II ）. Author(s). 佐々木, 幸一. Citation. 北海道教育大学紀要. 第一部. C, 教育科学編, 39(2): 105-113. Issue Date. 1989-03. URL. http://s-ir.sap.hokkyodai.ac.jp/dspace/handle/123456789/5095. Rights. Hokkaido University of Education.

(2) . 小学校第６，学年及び中学校の児童生徒に内在する数学的能力について. ロ. 佐々木幸一. １，はじめに. 著者の前論文「小学校第６学年及び中学校の児童生徒に内在する数学的能力について. ）１１」（以. 下工と略記する）においては，その能力を見出す目的で設定した問題の実施の結果を通して思考，の様相を専ら集団の特性という視点から，学年差・性差をも含めて考察した．本稿では同じ調査結果の資料に対し個々の問題を変数としてその関係を考察し，さらにその総合化を試みるとともに，同一の被験者に対する知能・学力，関心・態度に関する資料を付加し，その分析を通して通常の学力テスト等に現れない ”潜在的能力” の所在を探ることを試みる．以下の記述では，便宜上前論文工に掲げた調査問題の１から６までを再編して問題①～⑧とする．表１はその間の対応関係を示すとともに，１に述べた各問題の内容類型とそれが要求すると考えられる思考の種類及びその程度を再録している．なお①～⑧に対する個人の得点は工に述べた基準，によって得たものとし，以下の分析の中で基本的資料として使用する．. 表１問題の特性問題番号. 対応する１の問題番号. 内. 容. 類. 型. 要. 求さ. れ. る. 思. 中心となるもの. 考. 集中拡散. ①. 問題１. ②. 問題２０）数列についてのパターン構成拡散的思考（集中的思考の要素含む）. ③. 問題２の数列のパターン発見. 集中的思考. ◎. ④. 問題３の図形列のパターン発見. 集中的思考. ◎. ⑤. 問題３０）図形列のパターン推定. 集中的思考（分析的）. ◎. ⑥. 問題４. 最簡な均衡の発見. Ｍｉｔからの脱出ｎｄｓｅ. ○. ○. ⑦. 問題５. 図形の合同分割. 集中的思考（空間洞察力）. ◎. ○. ⑨. 問題６. 数配列（２次元）生成のパタ集中的思考（帰納・一般化）ーン発見法則の成立. ２，調査問題の分析. 図形の位相的な見方. 、. 拡散的思考（流暢性・柔軟性・独創性）. ◎ ○. ◎. ○. ◎. ．. この節では問題①～⑧の得点を変量として扱い，それらの特徴と相互関連の様相を因子分析とク１０５.

(3) . 佐々木幸一. ラスター分析によって考察する．因子分析を学年ごとに行い，結果として表２のような３因子を抽出した．各問題で要求される思考の内容が複雑に入り組んでいるだけでなく′ ，それらの中には被験者が始めて経験するものがかなり含まれており，さらには小６から中３の４年間にわたる時期が思考力と思考形式形成の上で変動期にあり，しかも個人差もまた大きいことから，抽出された因子は学年内でも意味づけが困難であ. り，学年間でも一致した傾向が現れているとはいい難い，一般に共通性の値は小さくこれらの３因子が変量を説明する程度は低いが，固有値の減少の状況から，より多くの因子を考えることは無意味と判断される，. 表２因子負荷行列（バリマックス回転後）中１. 小６ロ. 皿. ，２８，１０，１６－１，２．３９，４２－，０２．３１. ，２３－２，０９「０－．１３－０．２－４，２，０２．１５. エ. ①②③④. －２，０，５９１．５ ⑥ ，４２３，４ ⑥⑦⑧ ，００７．３４，０. 中３. 中２. 共通性. 工. 亘. ｍ. ．１３．３６９．２，２４，３８３．２４，１．１２. ９，１１，３３，３．０８３，１４．２，４６，５９. －，１７９．２３，３１．１２．３９，０－．０４９．１. ，２３－２．０ … ９．０１－．３－８，２４，０－４．２－，１２. 共通性，ｉ２．１８．２３１．１，２０７，０７．２９．３. １. １１. 皿. 共通性. ４．１，４０．３０，２８４．００，１６，５５．３. －．０９，０８１．２４．３，２０．３７．２５．４０. ．３３．１２５，０．２３，２６．００．１２－．１２. ，１４．１８４，１５．２．１１．１５８，３９．２. Ｉ. Ｄ. 皿. ９，３４．４，５２２－．０４．３１．３４．０，１５. ，３４，１４．００，３０．２７１．３，１５，３９. －７．１．００４．０－６．２．１８．１９．０９－５，１. 共通性，３０１．２．２７．１６．２３．２３．０３．１９. 以上の状況の下で変量の特徴を把握するため，各学年の各変量ごとに，３変量の因子負荷量の中から絶対値最大なものを選び，その所在を表３によって表示した．表３絶対値最大な負荷量の分布. ① 第１因子第ｎ因子第皿因子. ３６１２. ②. ③. ６１２３. ６１２３. ④ ６. ⑤ ６３. ２３Ｉ. Ｉ. ⑥ Ｉ６２３. ⑦ ６１２３. ⑧ Ｉ６２３. ２. 表中，６１２３の４個の数はそれぞれ小６，中１～中３を表わす標識で，例えば第工因子の①欄に３９）が第工因子に対するものであることを表す，とあるのは中３の①に対する因子負荷量の最大値（，３表３によると第１因子の②と③には全学年が， ⑦には中３を除く３箇学年が集中しているが，この ⑦は概ね共通に第１因子の構成要素を成していると見ることができる．因みに，ことから変量② 《◎入前記表１の内容類型によれば，この３変量のもとになっている問題は，他の問題に比べて児童生徒に意味が分かり易く且多少の関連する経験もあると考えられるものである．第１因子の中には，学習経験と親近感が得点につながる要素が多分にあると考えられる．同様に第亘因子に共通な構成要素として変量⑥と⑧を考えることができるが，表１を参照すればそれらは児童生徒にとって殆ど前提となる経験のない，しかもある種の閃きを必要とする問題から作られた変量であることがわかる．第江因子は多分に創造性と関わる因子と見ることができる，. １０６.

(4) . 小学校第６学年及び中学校の児童生徒に内在する数学的能力について. ｎ. さらに因子得点を推定することによって各児童生徒の特徴を知ることができるが，ここでは中２を例としてその布置を図１に示した，図では両軸に因子を割り当て， ×印の座標で各生徒の因子得点の推定値を示ず，. ・ｌｘ. ｝′※. × ×. ×. ズ×外 ×ｘ友×ｘ ” ｌｘ；．卒球＊，，．，，．，，．，：：：：；；１．ーご竪ご二 ‐ ｂ霊”Ｔギヤ隻ーｘ ” ＾ニヌ＾Ｘ”× ｘス交 ×ＭＸ；攻 × × × × × お × ’× 汗美ｘ ×× × ｘｘ ’ －ｌｘ. 「ふき畳も. ｌｘ. ゞ瀞・ぞ聯詰冬ぎ×≦，．き桂”“１．※. 繋ぎ. ２. 図１因子得点分布（中２）、なお，推定値の一部に大きな値（第１因子では１，２以上，第２，第３因子では１以上とする）をもつ生徒は次の９名であった，この中左の４名が男子，残りが女子である，これらは調査の目的から注目される生徒であり，後に再び考察の対象とする．生徒番号第１因子第２因子. 第３. 因子. ２４２７３６４８６３８３８７８１８８３，２６１．５０－，９５１，０１．３１１，３５－．３８，７５－．４５，３１－，２８１．７６－１，０９ ‐１．０１－．５７１，０１．４３１，１６１．０７，９６，６２．１４，０６－．２９－，０５１，２８－，４１. 図２は同じ資料に対してクラスター分析を試みた結果を，デンドログラムによって表示したものである，ここで. ｉは距離としてＳｔａｎｄａｒｄｚｅｄｉ丘ｄｅａｎｄｔ組ｌｓｑｕａｒｅｄＥｕｓｃｅｃ. を. 用い，Ｗａｄ法を適用して分ｒ析した．. １. 図２で最も特徴的なのは変. 量①の孤立である，仮に３個のクラスターを求めるとすれば，距離２００～３００の間で切断すればよいが，（小６が例外. クラスター分析の結果. □↓. なのは被験者が少ないため）. 得られるクラスターを左から・Ｃとするとき順にＡ，Ｂ，，. Ａは各学年とも変量①のみか１０７.

(5) . 佐々木. 幸一. ．被験者に経験のない位相的性質についてのものであったら成る．この変量に対する問題の視点が，・ことの現れであろう，なお，変量①の挙動は因子分析では把握し兼ねたものであった．Ｂは最大のクラスターで，全学年に共通な変量として， ②と⑦を含み，中学校に限定すればこれに⑤， ⑥が加わる，Ｃは流動的なクラスターだが， ①に次いで孤立的な変量⑧を，中１，中３の両学年で含んでいる，因子分析とクラスター分析の，基礎となる考え方の違いを超えていくつか共通な点がみられるのは興味深い，● ，. ３．変量の主成分及び外部変量との相関．. この節ではまず従前の８個の変量群について主成分分析を行い，引き続き外部の変量として知能・学力・態度の資料を導入し，両群の変量について正準相関分析を試みる．但し知能の資料は小. ６と中２のみであるため，正準相関分析は主としてこの両学年についての考察となる．調査問題に対応する変量①～⑧について主成分分析を行った結果は表４に示す通りである．因子. 分析の際に述べた複雑な条件が当然この場合にも作用し，学年間に共通に見られる傾向は僅かであり，固有値は第３主成分で殆ど１と・なるため主成分は２個．．，学年内でも主成分の解釈は困難である，，とするのが相当であるが，累積寄与率が５割を超えるまでという意味でここでは第３主成分までとることにした，. 喪４主成分分析の結果中１. 小６ｆ，. 墾，謬璽固有値. 寄与率１. 累積寄与率. ｆ２. ｆ３. ｒｆ．，. 中２ｆ２，ｆ３. ，４６，５９－，１０．１８－，０１．０１ … ，４６－．０３．２４－．２３，５０－．６３－，１９．２４．４８．３２. ．００．６９－，１９．３８，０６．４８，４３－，０２．１９．２３－，３９－，５７．３５－，４６．１５．２３，２７，１５，４０，１６－，５６．５３．２１，００. ２．０１１，３８１，０４２５・１７１３２５４２５５. １，９６１．２１１．００２５１５１２２５４０５２. ．０３，５１，４９，３３．４８．１７．３３．１６. ｆ．・. 中３ｆ２. ｆ３. ｆ．. ｆ２. ｆ３. ．１７．６９．３８．１５，３５－．０１．４３．０７，２２，２８，２４－，４３．４９．０８，４２－．４７. ．１５－．４７－．０８．１７，５９．５５－．２４－．０９. ，４６，４１．３８．１６．４１，４１，１２，３３. ，２０－．１９－．４４．６９－．１７－，１１，０２．４７. －．０４ … ．２６－．２８－，２１，１７，２０．８６．０１. ２，１０１．１４．１．０２２６１４１３２６４０５３. ｆは第. ２．０３１．２０１．０３２５１５１３２５４０５３. 主成分，寄与率は％で表示. 第１主成分は各学年とも負となるところがないので，多くの問題に共通する能力らしい，総合点といえるものを表わしていると見てよいであろう．しかし， ①と⑧などのようにこれまでの考察で特殊性が見出されている変量については，例えば中２まで第２主成分に重みづけられていた変量① が中３で第● １主成分に吸収されるなど，学年間で重みに相異が現われている．. 第２，第３主成分の意味付けが多少とも行い易いのは中２の場合で，第２主成分は未経験な局面での拡散的思考に重みをもち，第３主成分は分析的な要素を含む集中的思考に重みをもっといえる，この意味付けに従って被験者個々の特徴を見るために，主成分得点を求めその布置を示したのが図３である．. １０８.

(6) . 小学校第６学年及び中学校の児童生徒に内在する数学的能力について. ロ. ｘｘｘｘ. ｘ . ｘ . × 翼. メ ×× ×. ｘ. ｘ０. 一３. ３. ～. ３. 図３主成分得点分布（中２）ここで，両軸には主成分の番号を記し， ×印の座標で各生徒の主成分得点を示している，この場合，後に外的変量との関わりを考察する意図があるため，何れかの主成分で高いスコアを示した生. 徒（実際には第１主成分で３以上，第２，第３主成分で２以上）に注目する，その結果次の１０名が抽出された．ここで左から７名は男子，次の３名は女子となっている，生徒番号. １７. 第１主成分. ３．３６. 第２主成分. ２４. ２６. ２７. ３０. ‐１，１１２，６９２，１３１，３４－．０４. 第３主成分. ，６０. ３６. ３９. ８８. ９７. １０５. ．９８－，０９３，１９３，１６３．９６，７８. ．４１. ，１３. ．３８－，０７１，１５－１，２１．．０２２．０２２，２８３，１７－，３３. ．５７ ′ ．３６ ‐１．５８－，９１－，４９２，０６. 続いてこの調査の結果が日常普通に使用されている資料の知能，学習成績（学力と略称する）及び態度の測定値と関連する様相を知るために，これらを新たな変量として導入する，. 変量⑨ ・知能：知能偏差値によって表わされたもの，但し小６と中２のみ．変量⑩ 学力：小６では１回の算数テストの得点，中１～中３では２回の学力テストにおける数学の得点の和を１０で除し丸めて整数としたもの，. 変量⑪ 態度：ＤＡＳ（湊三郎氏の和訳によるものを同氏の諒解の許に用いた）による態度値を１０倍した値これらの変量についての基本的統計量は次表の通りである．表５外部変量の統計量小６. 変. 量. 平. 均. 標準偏差. 最小値最大値. ⑨. 中１. ⑲. ⑪. ⑨. ⑩. ●⑪. ６１，３６５」８，７６９. －. １３．９６３．Ｉ. ７．８１１，３１４．３３８２９. －. ３．１１６，９３２９. ４０８０. ８６. ９２. －. ２０. ９１. 中２. ⑨. 中３. ⑩. ⑪. ５６，４１３，５５９．４６，８３７７５. ３．６１９，０２２３２０. ９１. ⑨ －. ⑲. ⑪. １４，４６１，４３，７２０，２. －－. ４. ２２. ２０. ９３. ①～⑧を第１変量群， ⑨～⑪を第２変量群として正準相関分析を行い，表６の結果を得た．求め１０９.

(7) . 佐々木幸一. ることが可能な正準変量の組は，この場合小６と中２で３組，中１と中３で２組であるが，前者に６と．２０）ついても２組に止めた．（小６と中２の第３正準相関係数はそれぞれ，２表６正準相関分析の結果小６Ａ. Ｂ. 中３. ．４９. ，３６. ，５２. ．１９. ，５２. ，２４. ．５１. ．２２. ．２３．３５，２１－．２５ … ，３０．２４．６５，３５. －．２１－．３５．１１－．４９－．６３，１８．１４ … ．０２. ．０７，７２．２４，２４－．３４．２０，１６．１６. ．０９．４２－．７５．４３，４６．０７－，５５．１６. －，０３．７７，１５．０６．１２，３０，１９．０４. －，８０．１４．０６－．２２－．１２－．３８．１０，３４. －．０２．６８．０１，２２．１８．３２．０１，２５. ．３５，５５－．２８ … ．６９－．１７－．５５－．１２．２９. ，６３，１２，５６. … ．４１－，６０，９３. ①②③④⑤⑥⑦⑧. ⑨⑩⑪ Ｃ. 中２. 中１. ，７７，７９，３７ ‐１，０４. ．４２，５７－．５５１．０６．１７ ‐１．０２. ，９３，５４．１６－Ｌ０６. Ａ欄は正準相関係数Ｂ欄とＣ欄はそれぞれ第１群と第２群の正準変量を構成するための標準化された変量に対する係数第１正準相関係数は０．５前後で高いとはいえないが，ある程度の相関を認めることができる，知能及び学力は認知的な外部変量であるが，これがほぼ一致して正の向きに関係するのは中学校にお. ける変量②（数列におけるパターン構成の問題に対応）であって，この変量が通常いうところの（練習効果を含む）算数・数学学力を表現していることがわかる．類似の傾向は小６でも見られるが，やや異なるのは学力に代って情意的変量である態度が強く関わること，第１変量群の中の図形の合. 同分割に対応する変量⑦が最大の重みをもつことの２点である，第１正準変量については，かなり明確に小６と中学校に分れるようである．. 第２正準変量は第１変量群と態度との関係を表わす意味がありそうだが，共通な傾向は読み取れない．ただ中３における②に対する④と⑥のように，態度と正逆それぞれの関り方をしている変量. を見出すことはできる．. ４．個別に見た数学能力の特性前論文工の目的に述べたように，この調査の主なねらいは児童生徒に潜在すると仮定される数学的能力を検出することにあり，その故に用具として使用した調査問題も通常の学力テストの問題とは著しく異なるものとなっている，従って個人の得点の分布及びその外部資料との関連の仕方も. 様々であるが，大局的に見るとそれらはかなり似た傾向を示し，変動もほぼ一定の枠内におさまっている．それにもかかわらず，その枠の上限付近にはなお突出する若干個の値が見られるのが常で，それらと外部資料とを併せて総合的に考察することにより個人の中にある隠れた特徴的数学能力を読み取ることができないかというのが筆者の視点であった．この研究ではそのような児童生徒をす. べて選び出すことの実行よりも方法的な面に重点を置くので，例として，対象を中２に限定して考察するが，既に第２節と第３節で上の意味から注目される生徒を特定してあり，その数は重複も含１１０.

(8) . 小学校第６学年及び中学校の児童生徒に内在する数学的能力について. 亘. めて第２学年の被験者総数１１６人中１５人である，表７はこれらの生徒のリストでありその中で因子，，主成分の欄はそれぞれの分析で高い数値を示した因子または主成分の番号をまた知能値以降の欄，内右側の数は第２学年内における偏差値を表す．表７能力特性上注目される生徒生徒番号因子主成分１７２４２６２７３０３６３９４８６３８１８３８７８８９７１０５. 知能値. ． ←“ ム５８５２ｑリ４９リム５６５８ーヱ１１１十 ▲ ５２６４６１５５ーリ ▲ ム． ← ６０５４り４５９７１７２４７３６ー ▲ ５４４７． ← ６０５５リム５８５２ｑリ５３４５リムつ４２ワム５１５７５１ＱＵ６１５７. 学力値１７１３１２１７６１８１７８１９１６１３１７１６６１１. ６０４９４６６０２９６３６０３５６５５７４９６０５７２９４３. 態度値７７８２８４９０２９９０７４３８８２３０４２７１３５５４７８. ５９６２６３６６３４６６５８３９６２３５４１５６３７４７６０. 知能・学力ともに概ね普通以上の生徒で因子・主成分の一方または両方が１となっている場合について. は，第１因子，第・１主成分の解釈から自然とも・いえる. が，同様の条件をもつ多くの生徒の中で卓越している. ことはやはり注目に値する，番号１７，２７ ’ ６３，３６，. ８１の生徒がこの型に相当する，既に触れたようにこの，. 学年に限っては第２因子，第２主成分は多分に創造的な能力を表わすと見ることができる．この意味からは２４２３９４８８３８８９７，，，，，，・の生徒が注目さ. れるが，中でも４８７は異質性を現わしているし，８８は努力型であるにもかかわらず数学に対する，９忌避があり，しかも創造的という複雑さがある．３０は恐らく数学忌避型であろうがそれを克服することによって能力の開花が期待される有望な型である．これらの生徒がこの後数学での活動面でどのような発展をするか大いに期待と興味がもたれる，ところであるが，よい将来のために，自己の特性の自覚とそれを意識した教師の指導が求められる所である，. これまでは調査で得た生データを数的に処理・解釈しその結果を主として文章によって表現し，. てきたが，次には状況を視覚に訴えて表現する一つの例としてＣｈｅｒｎｏ” のＦａｃｅｇｒａｐｈによる生徒. の特徴のグラフ表現を試みる，顔の表情はもとより各部に変量を割り当てる方法の選び方によって大きく変わるもので，この例でも例えば柔和な，あるいは厳しい顔がそれに対応する一定の意味を. もつようには構成していないため，全体として表情の類似の程度だけが問題にできる，考察の対象としたのは中２の中から抽出した３５名で，その中に表７の１５名全員を含め，中２の残りの生徒からランダムに２０名を選んで追加した．変量は①～⑪のすべてを用い準備としてまずこ，れに標準化されたユークリッド平方距離を与えＷａｄ法によってクラスター分析を行った．図４はｒその結果を示すデンドログラムで，０は表７の生徒のうち高い因子スコアによって抽出された者， ◎は高い主成分スコアによ〉これら１５名の生徒の番号は左から右へ順に ●って抽出された者である．１０５，２７，３６，１７３０６３４８８３８８８１２４２６９７３９８７，，，，，，，，，，，. となっている，. この図を距離４０の線で分割すると５個のクラスターを得るがこれを左から順に第工群～第Ｖ群，と称することにする，特徴的であると認めた１５名が集中する群の有無について考えるためにそれ，らの生徒の割合が平均値である１５／３５（＝０２９）を大きく超えるクラスターを求めると，結果的，４１１１.

(9) . . 佐々木幸一・群第１. １０５. 第ｎ群. Ｏ. ⑦⑦①⑦⑦. ⑦◎◎⑦⑦ 第ｍ群. 江田. Ｗ. Ｖ. ４８. ８８. ８３. 第Ｎ群. ことができた，図５は各群各生徒の. ．. 第Ｖ群. ＝. “. 断であるが，１５名の生徒が表情の上で多少とも特徴を示しているというには無理がありそうである．. ・. ｏ. 図５. ｏ抽出生徒のＦａｃｅｇｒａｐｈ. ５．おわりに. 平成４・５年の教育課程改訂に向けて，昭和６２年１２月に教育課程審議会による答申が行われたが，その中で学校教育の基本に据えて育成すべき能力として思考力，判断力，表現力が挙げられ，とりわけ新たな発想を生み出すもとになる論理的な思考力と想像力，直観力が強調されている，これを算数，数学の教科領域で考えるとき，従来よりも一層積極的な形で創造的な思考の育成に取り組むことの必要を示唆していると見てよいだろう，その具体的な方策として筆者は，第一に学習者が創造的に取り組むことのできる場面を構成して提供すること，第二に学習者が時に示す数学的能力の閃きを敏感にキャッチする力量と姿勢を指導者がもつことを強調したい．一方，上の第二点がいわば「待ち」の構えであるのに対し，組織的な形で学習者の特徴ある能力を見つけ出すことも大切であり，本研究はこの面に焦点を当てたものといえる，前論文１に掲げた本研究のねらいに対し，評価用問題群の構成，処理方法の提示，及び数学的な能力の面で特徴をもつ生徒を検出する具体例を挙げることにおいて，一応の成果を得たと考えているが，次の点では後に課題を残したことになる，. ①目的に対する問題の妥当性．論文１で挙げた，問題が具備すべき条件の充足についてはさらにある．また各問題の要求する思考が複雑に絡み合って分析を困難にし適合度を高める研究が必要で・たことが反省され，より単純な思考構造の問題によって所期のねらいを達成する可能性を探ることの必要を感じた．１１２.

(10) . 小学校第６学年及び中学校の児童生徒に内在する数学的能力について１１. ②検出された能力の追跡，中２を例として特定した生徒は，あくまでも仮定的な可能性の水準で選び出したに過ぎない．その検出が結果として有効であったか否かはそこに本人の自覚や教師の，指導のあり方に関わる複雑な問題があるにしても，追跡によって検証されなければならないが今，回の研究ではそこまでは到らなかった，. この稿を終えるに当って，調査に協力された北海道教育大学教育学部附属旭川小学校及び同旭川中学校の児童生徒諸君，ならびに教職員各位に深く感謝の意を表する次第である，. 〈注〉１）佐々木幸一小学校第６学年及び中学校の児童生徒に内在する数学的能力について学紀要１部Ｃ３８巻２号（１９８８）１１８，１０３‐. 工北海道教育大. （本学教授・旭川分校）. １１３.

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