空間表現を媒介とした言語・数式表現間の変換としての和差算数文章題の定式化と学習環境の設計

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空間表現を媒介とした言語・数式表現間の変換としての

和差算数文章題の定式化と学習環境の設計

A Learning Environment based on a Formulation of Arithmetic Word Problems of

Addition and Subtraction as Conversion between Linguistic and Mathematical

Representations through Graphic Representation

林雄介

1

_{，津高七海}

1

_{，岩井健吾}

1

_{，稲村健太}

1

_{，服部公祐}

1

_{，平嶋宗}

1

Yusuke HAYASHI

1

_{, Natsumi TSUDAKA}

1

_{, Kengo IWAI}

1

_{Kenta INAMURA}

1

_,

Kosuke HATTORI

1

_{and Tsukasa HIRASHIMA}

1

_{広島大学大学院工学研究科}

1

_{Graduate School of Engineering, Hiroshima University}

Abstract: Solving arithmetic word problems needs the understanding the structural relationship between

sentences and numerical equation. In this study, we suppose that learning of the relationship requires learners to explore two problem spaces: instance space and rule space. We have designed and developed a learning environment called Monsakun Tape-Block as an environment enabling learners to conduct representation conversion of arithmetic word problems in terms of the roles of quantities. The representation conversion is expected to be the search in the instance space and the roles of quantities expected to facilitate learners to make the rule space. This paper discusses this assumption with data.

1. はじめに

算数文章題を解くということは，文章を読み，その中から数量関係を取り出し，それを数式として表現し，解を導くことと言える[9]．しかし，問題の表層的な特徴に基づいて数式を作ってしまうと誤ってしまい，表層的ではなく構造的に理解することが必要である[8]．本研究では，算数文章題を学習するということは，算数文章題の言語表現としての文章と数式表現の関係の構造を理解することと考え，この構造を学習者が何らかの形で定式化して使えるようにすることを目的としている． Simon と Lea[13] は，定式化ができている well-structured な課題における一般の問題解決プロセスを「1 つの問題空間の探索」とするのに対して，定式化と問題解決の両方が求められる概念形成課題における問題解決プロセスをルール空間と事例空間という「2 つの問題空間の探索」として説明した．ルール空間では，概念の規則性に関する仮説を考え，その仮説を検証するために事例空間を探索する．この「2 つの問題空間の探索」は，洞察問題解決[10] や創造的情報導出[11]といった，少なくとも問題解決者にとって ill-defined な問題において必須の活動として考えられる．本研究では，学校などにおける基礎知識獲得の際の学習過程における課題演習においても，「2 つの問題空間の探索」が実質的に行われると仮定する．教師による教授によって，概念が学習者に正確に獲得されていれば，つまり，well-defined な問題になっていれば，演習課題は「1 つの問題空間の探索」として実行できる．しかし，学習者の概念理解が不十分，つまり，学習者にとっては ill-defined な場合は，問題空間を設定できない，問題空間を設定できても探索の制約をうまく設定できずに探索範囲が大きすぎて解にたどり着けないことが起き得る．その場合には，学習者は解を求めるための妥当な問題空間と必要な制約を設定するために事例空間とルール空間を設定して，「2 つの問題空間の探索」をする必要が生じる．ここで求められるのは，例えば，何らかの事例空間を設定し，そこでの結果に基づいて学習対象の規則性などを推測してルール空間を設定する，ルール空間の探索結果を仮説として事例空間の探索を進め，その結果をルール空間に反映する，といった 2 つの問題空間の行き来である．この2 つの問題空間の行き来は，自己調整学習の一種として考えることでき，事例空間を認知，その結果をルール空間に反映し，仮説を立てるのをメタ認知として考えることができる．そう考えると，2 人工知能学会研究会資料 SIG-ALST-B901-03

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つの問題空間の行き来は，非常に負荷の高い活動と考えることができ，その負荷を緩和する必要がある [7]．その負荷が高いままであれば，その結果として，最悪の場合で事例空間解を設定できない，例え，事例空間を設定できても間違った解を導くことになると考えられる．このような認知負荷を緩和するための代表的な手段として，外化（外在化）が挙げられる[15]．内的な思考内容を再吟味可能な形式で外的表象として表現することを外化と呼び，学習者自身が外化を行うことによって，誤りを含む外的表象を作成していたとしても，それを修正して正解に至りやすくなることが示されている．また，問題解決の目標状況が明確に設定され，正しい外的表象が決まっている「1 つの問題空間の探索」の場合だけでは無く，目標状況自体を探索する必要がある「2 つの問題空間の探索」を伴う問題解決でも，学習者が自分で作成した外的表象に影響されて問題の新たな面を発見することも示されている．これは，外化が事例空間での探索に影響すると同時に，ルール空間の探索も促進しうることを示していると考えられる．本研究では，これらの知見に基づいて，オープン情報構造アプローチ[1]による思考の外在的操作化を通じて，「事例空間の明示化」，「ルール空間の構成要素の提供」の２つを提供することを目指す．オープン情報構造アプローチでは，学習対象に含まれる概念的な「構成要素」と「構成要素間の関係」を情報構造として，「思考」を「情報構造に対する操作」として定義する．「情報構造に対する操作」としては，対象から「情報構造」を取り出す「分節化操作」と取り出された「情報構造」を操作する「構造化操作」の二つを想定している．そして，ここでの「外在的操作化」とは，一般的な外化では学習者が内的に行う「情報構造に対する操作」を外的表象に反映させていくことになるが，それに加えて，外的表象を変化させることで内的表象に変化が反映されていくことを含んでいる．このような内的表象の変化に対応外的表象を変化させることを「外在的操作化」と呼ぶ．「事例空間の明示化」は，主に事例空間を設定できないという状況を回避することを目的として，オープン情報構造アプローチによる先行研究で行われてきたように，外的表象を構成する要素の提供をすることで支援する．例えば，単文統合型作問学習環境「モンサクン」[16][17]では，自由に文章を作って作問するのではなく，数量命題を表す単文を学習者に提供し，それを組み合わせることで作問する環境を提供している．キットビルド概念マップ[2][3]では，自由に概念マップを記述するのではなく，構成要素となるノードとリンクを学習者に提供し，それを組み合わせることで概念マップを作成する環境を提供している．ただし，これらは要素を提供するだけで，すべての組み合わせを許容する事例空間を提供するもので，どのような組み合わせが妥当であるかは示さない．従って，組み合わせの妥当性を検討するための制約を作り出して，事例空間の探索範囲を限定するためのルール空間の設定が学習者に求められる．例えば，モンサクンでは6 つの単文を提供し，その中から3 つの単文を使って算数文章題の作問をすることを要求するが，3 つの単文の順序を考慮しなくても20 通りの組み合わせがあり，探索空間はそれほど小さなものではない．「ルール空間の構成要素の提供」についてが，本研究の新規性であり，ルール空間の構成要素を事例空間において明示化することである．ただし，ルール空間の構成要素を提供するのみで，それらの規則性については，事例空間での探索のフィードバックに基づいて学習者が構築していくことになる．本稿では，算数文章題を対象とした研究を例として，和差算数文章題を解くことと作ることを空間表現を媒介とした言語・数式表現間の変換として定義し，事例空間とルール空間の2 つの問題解決空間を行き来する探索として捉えることで，

2. 算数文章題の表現変換モデル

本研究では，算数文章題を3 文構成モデル[4]に基づき，図1 に示す言語表現・空間表現・数式表現の関係として定義している．これをここでは，3 表現変換モデルとよぶ，言語表現は，数量関係を表す文章であり，数量の役割が明確になるように，一般的な算数文章題とは異なり，3 つの単文で表している．一つずつの単文が数量を持ち（この図ではりんごの個数），文の意味によって各数量が役割を持っている．図1 の場合では，りんご3 個が物語の最初に持っている数量（最初の数量），りんご2 個が物語の中で増えた数量（増えた数量），りんご5 個が物語の最後で持っている数量（最後の数量）といった役割を持っている．この言語表現上の数量の役割から，りんご3 個から2 個増えて 5 個になったので，3＋2＝5 という数の関係として数式が導き出せる．また，ここに現れる3 つの数については，5－3＝2，5－2＝3 という数式も成立する．この関係から，言語表現から数式表現を求めることが算数文章題を解くということ，その逆に数式表現から言語表現を作り出すのが算数文章題の作問であると言える．この言語表現と数式表現の間の変換を説明するものとして，図2 に示す全体部分スキーマを空間表現

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として設定している．全体部分スキーマは数値の関係を表しており，全体の数＝部分の数＋部分の数という数式に対応する．そして，物語の中で最大数が全体の数，非最大数が部分の数に対応する．言語表現で示されているのは前述の通り，物語に出てくる数量の役割である．一方，数式表現で示されているのは，演算子が一つの和（加算）または差（減算）の式が成立する場合には，3 つの数の間にその中での最大数は残り2 つの非最大数の和であり，最大数と非最大数の一つの差はもう一つの非最大数であることである．この数量の役割と最大数・非最大数の妥当な組み合わせを理解することが言語表現と数式表現の変換の仕組みを理解することと，ここでは定義する．図2 「言語表現」⇒「数式表現」の例 もちろん，これが唯一の理解の仕組みというわけではなく，他の理解が存在していても問題無い．ここで提案しているのは，例えば，図2 のような言語表現があり，？を求めることを要求するとき，数式表現として機械的に考えられるのは図2 右側の 2 式になる．これを事例空間と考えると，この中で探索範囲をうまく絞り込みできなく，どちらも正しそうに見える，もしくは「もらいました」だから加算の方が正しいと考えてしまう学習者である．特に，このような「もらいました」とあり，「増加」の物語であるのに，？を求める際には「減算」を求める問題は逆思考問題と呼ばれ，多くの児童が適切に立式するのが難しい種類の問題とされている．図3 「言語表現」⇒「数式表現」の例 言語表現と数式表現の間での相互変換で必要なルールは，図1 の 3 表現変換モデルの中心に示しているように，数量の役割と最大数・非最大数の対応である．例えば，このルールが分かり，言語表現から数量の役割を抽出でき，最大数・非最大数の数的関係が分かれば，言語表現から数式表現を導くことができる．つまり，言語表現で「もらいました」がある →「加算」というルールではなく，言語表現→数量の役割→最大数・非最大数→数の関係→数式表現と変換するためのルールを持つ必要がある．これがあれば，図2 の場合でも？は「増えた数量」であり，非最大数であることが分かるので，残りが最大数と非最大数なので，大きい方の5 を最大数として 5－3 という式を導くことができる．このルールを単に教えるのではなく，学習環境の中で様々な課題に取り組むことを通じて，経験的に図1 算数文章題の表現変換モデル

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理解できるようにすることを本研究では目指している．もちろん，現行の学校教育の中で問題演習を行うなども同じく仕組みを教えた上で経験的に理解することを目指していると考えられるが，本研究では，その仕組みをコンピュテーショナルな形式で明示化すること，そしてコンピュータ上の学習環境として実現して即時的なフィードバックを実現することで，より多くの学習機会を産み出すことでこれまで実現しにくかった学習の形を創出しようとしている．

3. 表現変換の事例空間探索環境

言語・空間・数式表現の相互変換を通じた算数文章題学習支援システムとして，「モンサクン・テープブロック」[5]がある．このシステムでは，空間表現として図3 に示す全体部分スキーマを用いて，言語表現における単文や数式表現における数をスキーマの各部と対応付けるといった，空間表現を介した言語表現と数式表現の間の変換を外在的操作として実行できる環境となっている．また，各変換の演習課題において，正誤のフィードバックが返される．ただし，数量の役割についてはシステム上で表現されておらず，学習者が内的に考えることになる．つまり，事例空間が提供され，そこでのフィードバックを通じて学習者が内的に自身のルール空間を作ることが求められる．図4 「数式表現」⇒「空間表現」変換演習 図5 「言語表現」⇒「空間表現」変換演習 このシステムは，小学校において実践的利用を行っており，算数文章題の構造把握に関するプライミングテスト[6]を用いたプレポスト，ポストテストでの評価で児童の成績が向上したことと，児童へのシステムについてのアンケートにより，有用性が示されている． [5]の実践とは別に，広島県内の公立小学校 3 年生で行った実践の結果として，全体としては，同様の学習効果があったと言えたが，学習者の演習ログからは，「数式表現」→「空間表現」への変換（図2）よりも「言語表現」→「空間表現」への変換（図3）が学習者にとって難しいことが確認された[14]．この二つの課題の正解数と不正解数を表1 に示す．この結果をフィッシャーの正確確率検定で比較すると「数式表現」→「空間表現」より「言語表現」→「空間表現」が不正解の割合が多い．さらに「言語表現」 →「空間表現」においてどのような間違いが多いのかを正確二項検定で調べると，表2 に示すように数字の位置は合っているが，意味的に違う文を当てはめている回答が多くなっている．この結果から，数量の役割を考慮した上で言語表現から空間表現への変換を行うことが難しいと考えられる．表1 正解数の比較 数式表現→空間表現言語表現→空間表現 p 値 882 86 836 620 <.01 表2 「言語表現」⇒「空間表現」での誤答 数字位置はあっている数字位置も間違っている p 値 579 41 <.01

4. ルール空間の構成要素を付与し

た事例空間探索環境

表現変換演習での結果をふまえて，津高らは図 1 に示した「数量の役割」を明示化し，言語・空間・数式の各表現の要素に「数量の役割」を対応付けする学習環境を開発した[14]．表現変換演習では，空間表現を媒介することで，通常の算数文章題の解決やモンサクン[16]での作問のような「言語表現」⇔ 「数式表現」という直接的な変換するのではなく，「言語表現」⇔「空間表現」⇔「数式表現」と段階化することで，「言語表現」⇔「数式表現」の中で必要な思考プロセスを分割した．「数量の役割」の対応付けはこの分割されたプロセスの意味を明確にする．以下では，表現変換に追加した「数量の役割」の対応付け演習の例をいくつか示す．「言語表現」と「数式表現」を直接変換できることが算数文章題を構造的に理解していることを表す．「言語表現」である「問題文」から「数式表現」である「式」への変換は，「問題文」から作ることので

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きる3 つの「式」を 5 つの「式」の中から選択する．その後その物語に合った「役割カード」を「問題文」，「式」の各要素にラベル付けさせることで実現する．その役割当てはめの様子を図 4 に示す．図 4 「言語表現」⇒「数式表現」役割付け演習 「言語表現」である「問題文」から，「空間表現」である「全体部分図」への変換は，図5 に示すように，「問題文」から「全体部分図」への当てはめを行い，その後その物語に合った「役割カード」を「全体部分図」の各要素にラベル付けする．図 5 「言語表現」⇒「空間表現」役割付け演習 「数式表現」である「式」から「空間表現」である「全体部分図」への変換は，図6 に示すように「式」と「物語種類」から提供された3 枚の数値のみが書かれたカードを「全体部分図」へ当てはめる．その後その物語に合った「役割カード」を「全体部分図」の各要素にラベル付けさせることで実現する．図 6 「数式表現」⇒「空間表現」役割付け演習 システムの利用中の学習者の変化を調べる為に解答のログデータを分析した．対象者は3 章で示したデータを取得した広島県内の公立小学校3 年生であるが年度は異なっている．分析対象としたデータは学習者が取り組んだ最初のレベルであり，本システムを利用した学習者全員が解ききった．このレベルの課題は全部で12 問であり，「合併」，「増加」，「減少」，「比較」の4 つの物語種類で 1 セットとして，3 セット分の課題を用意している．さらに各課題は4 ステップに分かれており，以下のように設定されている．ステップ1：数式表現から空間表現への変換として，数字のみが書かれた数字カードの全体部分図への当てはめを行うステップ 2：数式表現から空間表現への変換として作成した全体部分図に「数量の役割」の対応付けを行う．ステップ3：は単文カードのもう 1 つの全体部分図への当てはめを行い，ステップ4：はそのもう 1 つの全体部分図へ行う「数量の役割」の対応付けを行わせる演習となっている．さらに，この減少に関してどのステップの変化が影響しているかを調べた．課題セット毎の各ステップの平均解答数を表9 に示す．5%水準のウィルコクソンの符号付順位和検定で課題セット毎にステップ間の多重比較としたところ，課題セット1 ではステップ間に有意差は無かったが，第2 セットでステップ3 とそれ以外，第 3 セットでステップ 1，4 とステップ2，3 間で有意さがあった．この結果から，「数量の役割」の対応付け演習においても依然として「言語表現」から「空間表現」への変換（ステップ 3）については難しいようではある．しかし，その一方で，変換後には変換できた理由として，「数量の役割」の対応付けができるように変化している．表3 課題セット毎ステップ別平均回答数 　　　　　　　ステップ課題セット 1 2 3 4 1 1.27557 1.46307 1.59375 1.31155 2 1.21023 1.32102 1.88352 1.28977 3 1.10796 1.39773 1.67046 1.14489 プレテスト・ポストテスト（構造把握テスト）の結果を表6 に示す．Wilcoxon の符号順位検定を行い，得点においては，多くの学習者が13 点満点中 10 点以上と高得点を取っており，優位な差はなかった一方，時間においては，効果量小で有意な差があった．このことから，得点は変わらないが回答時間が有意に短くなっていることがわかり，本システムの利用により予測可能問題の回答をより予測することができるようになっている．したがって，本システムの

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利用により学習効果が得られたといえる．表4 プライミングテストの結果 プレポスト p 値点数 10.33 (2.32) 10.30 (2.16) 0.94 時間(秒) 5767.3 (3380.7) 4621.4 (2650.3) 0.00

5. おわりに

算数文章題を理解するということは言語表現と数式表現の間の関係を構造的に理解することと言える．これを演習を通じて構成的に理解するための学習環境として，「言語表現」⇔「空間表現」⇔「数式表現」という表現変換の分解，「数量の役割」概念の明示的提供によって，two space model における事例空間の探索としての表現変換演習，ルール空間の示唆として「数量の役割」の対応付け演習を設計，開発した．また，これらの演習は実践的な利用を通じて，その有効性が示唆されている．今後の課題としては，「数量の役割」の対応付け演習の有無による学習効果の差の検証と，そのときの学習者の事例空間とルール空間の探索状況の確認である．本研究の作業仮説は，「空間表現」を媒介した「言語表現」と「数式表現」の対応の探索の促進および「数量の役割」の提供によるルール空間の構成と探索の促進である．学習の効果が現れることに加えて，その原因として本研究で意図する学習者の思考が現れているのかを確認することが必要となる．

謝辞

本研究の一部は JSPS 科研費 15H02931 の助成を受けたものです．また，モンサクン・テープブロックを利用した実践の実施にあたり協力していただいた広島市教育委員会の宮崎理恵氏に感謝します．

参考文献

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空間表現を媒介とした言語・数式表現間の変換としての 和差算数文章題の定式化と学習環境の設計