基礎数学 I - 練習問題 ,
2010/07/09, 西岡 , オフィスアワー : 水曜 4 限 I.
多項式問題
7.1.
関数f (x) = 1
x + 2 + 1
のグラフは 関数g(x) = 1
x
のグラフをどのように平行移動したものか.
グラフを描いて説明せよ.
問題
7.2. (i) n
を自然数として, f (x) = 1
x
n のグラフの概形を描け. (n
が奇数および偶数の場合に別け ること.)
(ii) f (x) = x + 1
x
2+ 1
のグラフの概形を描け. (iii)
不等式5x − 6
x − 2 ≤ x + 1
をみたすx
の範囲を求めよ.
II.
指数関数問題
7.3.
次の3
つの関数のグラフを一つの座標上に描け. (i) f (x) = 3
x, (ii) f(x) =
( 1 3
)
x, (iii) f (x) = ( √ 2)
x.
問題7.4. a > 0
とする.
次の等式(i), (ii)
を m√
n (m, n > 0)
の形に, (iii), (iv)
をa
r(a > 0)
の形に変 形せよ.
(i) a
37(ii) a
0.2(iii)
5√ 1
a
3(iv) √
a √ a
問題
7.5.
次の式を簡単にせよ.
(i) (
a
14− a
−14)(
a
14+ a
−14)(
a
12+ a
−12)
(ii) (
a
13+ a
−13)(
a
23− 1 + a
−23) (iii) (a
x)
y−z(a
y)
z−x(a
z)
x−yIII.
対数関数問題
7.6.
次の等式(i), (ii)
を同値なq = log
ap
の形に,
また, (iii), (iv)
を同値なp = a
q の形に変換せよ. (i) 3
−2= 1
9 (ii) 8
−23= 0.25 (iii) log
161 2 = − 1
4 (iv) log
432 = 5 2
問題7.7.
次の式を簡単にせよ.
(i) log
22
3 + 3 log
23 − log
29 (ii) log
218 + 1 2 log
21
3 − 3 2 log
2√
312 (iii) log
32 · log
89 (iv) (log
25 − log
40.2)(log
52 + log
250.5)
問題7.8.
次の3
つの対数関数のグラフを一つの座標上に描け.
(i) f (x) = log
3(x − 1) (ii) f (x) = log
24x (iii) f (x) = − 2 log
2x + 1
問題7.9. x
について,
次の方程式および不等式を解け.
(i) (log
4x)
2= log
28x, (ii) log
2x = log
x2, (iii) − 2
log2x+ 4
log2x= 2,
(iv) log
2(x − 3) + log
2(x + 5) < 2 log
4(3x + 5), (v) log
2(x − 1) + 2 log
4(x + 3) ≥ log
25.
問題
7.10.
次のものを大小の順に並べよ.
(i) 1 < a < b < a
2 のとき, 2, log
ab, log
ba, log
aba
2(ii) (
問題訂正-
難問) a
2< b < a < 1
のとき, log
ab, log
ba, log
ab
a , log
bb a , 1
2 . ⋄
解答
解答
-
問題7.4. (i) a
3/7= √
7a
3. (ii) a
0.2= a
1/5= √
5a. (iii)
5√ 1
a
3= a
−3/5. (iv) √ a √
a =
√ √
a
3= a
3/4. 2
解答-
問題7.5.
(i) (
a
1/4− a
−1/4)(
a
1/4+ a
−1/4)(
a
1/2+ a
−1/2)
= (
a
1/2− a
1/2)(
a
1/2+ a
−1/2)
= a − a
−1. (ii) (
a
1/3+ a
−1/3)(
a
2/3− 1 + a
−2/3)
= a − a
1/3+ a
−1/3+ a
1/3− a
−1/3+ a
−1= a + a
−1. (iii) (a
x)
y−z(a
y)
z−x(a
z)
x−y= a
x(y−z)+y(z−x)+z(x−y)= a
0= 1. 2
解答
-
問題7.6. (i)
底を3
とする対数関数を考えると− 2 = log
31/9. (ii) − 2/3 = log
80.25 = log
81/4.
(iii)
対数関数の定義より1/2 = 16
−1/4. (iv)
同様に, 32 = 4
5/2. 2
解答-
問題7.7. (i) log
22
3 + 3 log
23 − log
29 = log
22
3 + log
23
3− log
29 = log
2( 2 3 · 27 · 1
9 ) = log
22 = 1.
(ii) log
218 + 1 2 log
21
3 − 3 2 log
2√
312 = log
218 + log
21
√ 3 − log
2(12
1/3)
3/2= log
218
√ 36 = log
23.
(iii) log
32 · log
89 = log
32 · log
39
log
38 = log
32 · 2 log
32
3= 2
3 . (iv) log
25 − log
40.2 = log
25 − log
41/5 = log
25 − log
21/5
log
24 = log
25 + 1
2 log
25 = 3 2 log
25.
一方
,
log
52 + log
250.5 = log
52 + log
251/2 = log
52 + log
51/2
log
525 = log
52 − 1
2 log
52 = 1 2 log
52.
よって
(log
25 − log
40.2)(log
52 + log
250.5) = 3
2 log
25 · 1
2 log
52 = 3
4 log
25 · log
22 log
25 = 3
4 . 2
解答-
問題7.9. (i) y = log
2x
とおくとy
2/4 = y + 3 ⇒ y = 6, − 2 ⇒ x = 2
y= 64, 1/4.
(ii) y = log
2x
とおくとy = 1/y ⇒ y = ± 1 ⇒ x = 2
y= 2, 1/2.
(iii)
対数を整理して− x + x
2= 2 ⇒ (x − 2)(x + 1) = 0 ⇒ x > 0
だからx = 2.
(iv)
つぎの不等式が得られる:
log
2(x − 3)(x + 5) < 2 log
4(3x + 5) = 2 log
2(3x + 5)
log
24 = log
2(3x + 5).
これより
− 4 < x < 5.
ただし対数関数の定義域からx − 3 > 0, x + 5 > 0, 3x + 5 > 0
を満たさなければ ならない.
よって3 < x < 5.
(v)
前問と同様に, log
25 ≤ log
2(x − 1)(x + 3).
これよりx < − 4 or x > 2.
ただし対数関数の定義域か らx − 1 > 0, x + 3 > 0
を満たさなければならない.
よってx > 2. 2
解答
-
問題7.10. (i) 1
2 < log
ba < log
aba
2< log
ab < 2.
(ii) 0 < a
2< b < a < 1
だから, g(x) ≡ log
ax
は減少関数で1 = log
aa < log
ab < log
aa
2= 2
となる.
大小を調べるlog
ba, · · · , log
b(b/a)
をz ≡ log
ab
で表し,
それぞれを比較.
(a) 1 < log
ab ≤ 3/2
のとき0 < log
b(b/a) < log
a(b/a) ≤ 1/2 < log
ba < 1 < log
ab < 2.
(b) 3/2 < log
ab ≤ ( √
5 + 1)/2
のとき0 < log
b(b/a) < 1/2 < log
a(b/a) ≤ log
ba < 1 < log
ab < 2.
(c) ( √
5 + 1)/2 < log
ab < 2
のとき0 < log
b(b/a) < 1/2 < log
ba < log
a(b/a) < 1 < log
ab < 2.
ここで
