解析 II 演習

解析 II _演習

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第

5

¹²

¹⁶

[微分演算子D]・・・D= d

dx として、関数yに対してDy= dy

dx を対応させるもの．

[微分演算子f (D)]・・・f (z)を定数係数多項式とし、演算子 f (D)は関数yに対して、多項式Dを代入して得られる微

分演算子をyに代入して得られる関数 f (D)·yのこと．

[ 1

f (D)·yの存在]・・・f (z)が定数係数多項式である場合、 1

f (D) は演算子となる．つまり、f (D)·w=yとなるような関

数wが存在する．（微分方程式の解の存在．）ただし、解は一意的とは限らず、斉次微分方程式 f (D)u=0の解の差を 無視する．

[公式1]・・・1 D·y=

∫ ydx [公式2]・・・ 1

Dⁿ ·y=

∫

· · ·

∫

ydx· · ·dx

[公式3]・・・f (D)·φ(x)=e^ax· f (D+a)·e^−axφ(x), e^axf (D+a)φ(x)= f (D)(e^axφ(x)) [公式4]・・・ 1

f (D) ·φ(x)=e^ax· 1

f (D+a)·e^−axφ(x) [公式5]・・・

∫ x x₀

∫ x₁ x₀

· · ·

∫ x_n−1 x₀

f (xn)dxn· · ·dx1=

∫ x x₀

(x−s)ⁿ⁻¹ (n−1)! f (s)ds [公式6]・・・(D−α)ⁿy= f (x)の解yは、

e^−αxy=

∫ x x0

(x−s)ⁿ⁻¹

(n−1)! e^−αsf (s)ds+

∑n

j=1

cjx^j−1

例題

-5-1. [微分演算子]

次の微分方程式を解け．

(1) (D − 1)

y = 0 (2) (D + 1)

y = xe

(3) (D

+ 4)y = 0 (4) y

+ 2y

+ y = xe

(5) y

− 2y

+ 2y = e

sin x (6) (D

+ D − 6)y = 0

例題

-5-2. [2

次の微分方程式を解け．

(1) (D

− 2D + 2)y = 0 (2) (D

− 2D

− D + 2)y = 0 (3) (D

− 2D + 2)y = e

sin x (4) y

+ y

+ y = 5x

− x (5) y

+ y = x

(6) y

− y

+ y = e

例題

-5-3. [微分方程式]

次の方程式の一般解を求めよ．

(1) y

− y = x sin x (2) y

+ 2y

+ y = xe

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問題

-5-1. [微分方程式]

次の微分方程式を解け．

(1) (D

− 3D

+ 3D − 1)y = 0 (2) (D

+ 1)y = 3x

+ 1 (3) (D

− D − 6)y = (10x + 7)e

問題

-5-2. [微分方程式]

λ

λ ) =

∑

a

λ

(a

, 0)

=

∑

a

D

次の恒等式を証明せよ．

P(D)[x φ (x)] = xP(D) φ (x) + P

(D) φ (x)

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