微分積分学
I浪川 幸彦
April 17, 2007
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記号一覧表（追加）
0.4 実数の部分集合
• [a, b] ={x∈R;a≤x≤b}, a, b ∈R（閉区間）
• (a, b) ={x∈R;a < x < b}, a ∈Ror − ∞, b∈Ror∞（開区間）
• [a, b) ={x∈R;a≤x < b}, a∈R, b∈Ror∞（左閉右開区間）
• (a, b] ={x∈R;a < x≤b}, a∈Ror − ∞, b∈R（左開右閉区間）
これらを併せて区間という。R内の「連結な」（つながっている）集合はこれらに限る（証 明は後述）。
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準備（改訂）
以下で用いる数学の言葉として「写像」に関わる用語，方法として「論理」に関する基本 事項を準備する
1.1 写像についての基本事項
・ここに述べることは（「集合」と同様）単なる「言葉」なので，慣れてほしい。もっとも この概念は線形代数学で不可欠であって，微分積分学では下記の関数，数列以外ほとんど使 うことはない。例の説明で用いる場合がある。
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CA07s-2 2 Definition 1.1.1. 集合X, Y がある。X からY への写像f :X →Y とは，X の要素xに対 し，Y の要素f(x)を対応させる仕方が定められているものをいう。これを簡単に
f :X →Y;x7→f(x)
と書く（図式の形で書く場合もある）。このときf(x)を要素xの（f による）像という。
このときX, Y を定義域X, Y を値域という。
Example. i)（実）関数f :R→R
ii)（実）数列 {an}これは写像f :N→R;n7→anと見られる。
写像とは関数の一般化であると思え！
Definition 1.1.2. 集合X から自分自身への写像のことを変換とよぶ場合がある。
Definition 1.1.3. 集合X において，要素xにそれ自身を対応させる写像を恒等写像とよび，
IdX と書く。すなわち
IdX :X →X;x7→x
Definition 1.1.4. 二つの写像f :X →Y, g :Y →Z に対し，その合成写像g◦f :X →Z を (g◦f)(a) = g(f(x))
で定義する。
Remark. i)数における「積」に似ているので積写像ともいう。このとき恒等写像は１に対応
する：IdY ◦f =f ◦IdX.
ii)これは関数の「合成関数」に対応する。
Proposition 1.1.5 (結合法則). 三つの写像f :U →X, g :X →Y, h:Y →Z に対し，
(h◦g)◦f =h◦(g◦f)
が成り立つ。したがってこれをh◦g◦f と書いて差し支えない。
Definition 1.1.6. 写像f : X → Y に対し，f−1◦f = IdX およびf ◦f−1 =IdY をみたす写 像f−1 をf の逆写像という。
Proposition 1.1.7. 逆写像は存在すれば，ただ一通りである。
Example. 逆関数
Definition 1.1.8. i)写像f :X →Y に対し，「f(x1) =f(x2)ならばx1 =x2」が必ず成り立つ とき，写像f は単射（injective）（または１対１）であるという。
ii)写像f : X → Y に対し，Y のすべての要素がf の像になっている（すなわちすべての y∈Y に対し，f(x) =yとなるx∈Xが存在するとき，写像f は全射（surjective）（または 上への写像）であるという。
iii)写像f :X →Y が単射かつ全射であるとき全単射（bijective）であるという。
Exercise 1. 写像f :X →Y が全単射であることと，逆写像が存在することとは同値である
ことを示せ。
CA07s-2 3
1.2 述語論理に関する基礎事項
高校では，背理法，数学的帰納法といった，数学に特有の証明方法を学んだ。ここではさ らに述語論理という推論の仕方を学ぶ。
その前に論理記号と呼ばれるものを用意しておこう。
名称 記号 意味
論理和 P ∨Q P またはQ 論理積 P ∧Q P かつQ 含意 P ⇒Q P ならばQ 否定 ¬P P でない
ここで詳しくは述べられないが，通常の論理（古典論理）では幾つかの論理式（推論規則）
は常に正しいとして推論を行う。定義および公理から（正しい）推論を重ねて到達できる命 題が「証明される」命題である。実はその範囲はそれほど明確ではない。私たちは直感的に それを認めている。幾つか例を挙げておこう。
• P ∨ ¬P（2値論理）
• (P ⇒Q)∧(Q⇒R)⇒(P ⇒R))（三段論法）
• (P ⇒(Q∧ ¬Q))⇒ ¬P （背理法）
• ¬¬P ⇔P（二重否定）
• ¬(P ∨Q)⇔(¬P ∧ ¬Q), ¬(P ∧Q)⇔(¬P ∨ ¬Q)
Remark. 例えば，「直観主義論理」では2値論理を認めない。
次に述語論理に関する言葉を用意する。
Definition 1.2.1. 値が命題である写像を命題関数とよぶ。
i)命題関数P(x)に対し，「すべてのxに対して P(x)が成立する」という命題を∀xP(x)と 書く。この形の命題を全称命題とよぶ。
ii)命題関数P(x)に対し，「P(x)が成立するようなxが存在する」（または「あるxに対して P(x)が成立する」）という命題を∃xP(x)と書く。この形の命題を存在命題とよぶ。
全称命題，存在命題を含む推論を述語論理とよぶ。
Remark. このとき定義域は定まっていて明らかであるものとする。
Example. i)X ={人間たち}として，P(x) =「xは死ぬ」とすれば，∀xP(x)「すべての人 は死ぬ」という全称命題ができる。
ii)X = {A大学の入試問題}として，P(x) =「xには誤りがある」とすれば，∃xP(x)「A 大学の入試問題には誤りがあった」という存在命題ができる。
Proposition 1.2.2.
¬{∀xP(x)}=∃x¬P(x), ¬{∃xP(x)}=∀x¬P(x).
CA07s-2 4
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実数と収束
2.1 数列の収束
高等学校では数列anがaに収束することを「限りなく近づく」こと「定義」した。しか しこれは数学的な意味がはっきりしない。ここでこれを厳密に定義する。
Definition 2.1.1. i). 数列 {an}∞n=1 ={a1, a2, a3, . . . ,}; ii). 部分列
Definition 2.1.2 (Text p.15). 数列{an}∞n=1がある。ある実数a∈Rに対し，
an→a ⇔ ∀ε >0, ∃N s.t.∀n > N,|an−a|< ε このとき数列{an}はaに収束するといい，aをその極限値という。
lim∞n=1 =aとも書かれる。
Definition 2.1.3. i). 収束しない数列は発散するという；
ii). 数列{an}に対し
∀K, ∃N s.t.∀n > N, an > K
が成り立つとき，数列{an}は∞に発散するといい，an → ∞と書く；
iii).数列{−an}が∞に発散するとき，数列{an}は−∞に発散するといい，an→ −∞と
書く
収束数列の簡単な性質を挙げる。
Proposition 2.1.4. i). 極限値は存在すればただ一つである；
ii). 収束数列は有界である。ただし実数のある部分集合Aが有界であるとは，実数a, bが存 在して，A⊂[a, b]が成り立つことである。
iii).∀n, an ≤bnで，an→a, bn →bならば，a≤bである。
Proposition 2.1.5. an→a, bn →bとするとき，
i). an±bn →a±b；
ii). can→ca（cは定数）；
iii).anbn→ ab；iv). an/bn→a/b（ただしbn 6= 0, b 6= 0とする）
Remark. この命題は，後段の数列が「収束して，その極限値が○○である」ことを意味する。
Proposition 2.1.6. i). （挟みうちの原理）an ≤ bn ≤ cn で，かつan → a, cn → a とすると き，bn→a；
ii). an ≤bnで，かつan→ ∞のとき，bn→ ∞；
iii).an ≤bnで，かつbn→ −∞のとき，an→ −∞
Exercise 2. これらの命題を証明せよ。
Exercise 3. an→aのときa¯n= (a1+a2+· · ·+an)/n →a（やや難）
