сівігоігявц игіігөд i irßdäx яіігәкэхогіге-/{>і0 р м у іг у ш о т э ш а и л з л а ж н ѵ Ь Ѵ л и іт я х ѵ ім н д ѵ д о ж ічэвсіігэф^л вмиіврчэхвм рпгвд

М

. Н . И л ь я с о в

Ф

. К . Б а я х м е т о в а

Ж

о ғ а р ы

м а т е м а т и к а д а н

ж е к е ү й т а п с ы р м а л а р ы

О қ у - ә д і с т е м е л і к қ ү р а л

I бөлім

П а в л о д а р қ .

сівІГоігявц

игіігөд i irßdÄX яіігәкэхогІГе-/{>і0

р м у і г у ш о т э ш а

и л з л а ж н ѵ Ь Ѵ л и і т я х ѵ і м н д ѵ д о ж

ічэвсІІГэф^л вмиіврчэхвм рпгвднві/іго^

вяохэюскБд Х Ф 'ЯОЭКЧІГИ Н РЧ

フ々 /ブ

/ - 9

ББК 22.1я73

С. Т о р а й ғы р о в а ты н д а ғы П Г У д ің Ғ ы л ы м и Кеңесі ш еш ім і баспага ұс ы н га н Рецензенттер: Аканбай Н.Е.- доцент, Аль-Фараби атындағы КазНУды ң механико-математикалық факультетінің деканының орынбасары. Аяшинов М .М . 一 профессор, П АУдьщ «Математика》 кафедрасының меңгерушісі. Қасенүлы Ш . — П Г У д ің «Қолданбалы математика» кафедрасының Ильясов М .Н ., Баяхметова Ф .К. Жоғары математикадан үй тапсырмаларьшың жинағы. 1 бөлім.- Павлодар:111 У, 2004.-106 б. О қу әдістемелік қүрал жоғары математика курсыньщ инженерлік-техникалық мамандықтарына арналған бағдарламаға сәйкес жазылған. Ол жеке үй тапсырмаларын (Ж Ү Т ) мына бөлімдер бойынша қамтыған: векторлық алгебра, аналитикалық геометрия, шектер, бір айнымалы функцияньщ дифференциалдык жэне интегралдық есептеулері. Ж ҮТтен басқа қажетті теориялык мәліметтер, есептер шығаруға әдістемелік нүсқаулар берілген. Құрал университеггердің студентгері мен оқытушыларына арналған. Ильясов М .Н ., Баяхметова Ф.К., С. Торайғыров атындағы Павлодардың мемлекеггік университеті, 2004 доценті. a îb iH A a f ь : しい

а к а д е м и к C .b t-'іс

а ты нд а с ы » じげ

ае[

2

А лғы сөз Қазіргі уақытга жоғары математиканьщ жалпы курсынан қазак тілінде дидактикалық материалдардың және оқу әдістемелік қүралдардың жетіспеушілігі қатты сезіледі. Мемлекеттік тілде оқулықтар да жоқтың қасы. Соның салдарынан студентгер тек қана лектордың берген конспекті мен практикалық сабақтарда өткен материалдармен ғана шектеледі. Немесе орыс тілінде жазылған құралдармен пайдалануына тура келеді. Бүл терминдерді игергенше оқу процесінде қиындық келтіреді. Осы жазылган есептер жинағы «жоғары математикадан үй тапсырмасы» инженерлік-техникалық және энергетикалық мамандықтарға арналып программаға сәйкес жасалған. Сонымен қатар бүл жинақ дистанциялы оқитьш студенттерге де арналған. Оқу құралы үш бөліктен тұрады. Әр бөліктің материалы 1-3 оқу семестрлеріне сэйкес. Жоғары математика курсын екі семестр ғана оқитын мамаіідықтар қажеттісін іріктеп алады. Бірінші бөлімінде анықтауыштар, матрицалар, сызықтык және векторлық алгебра, бір айнымалыға тәуелді функцияньщ дифференциалдык жэне интегралдық есептеулері. 1 семестрдің барлық практикалық материалы тарауларға бөлінген, кейбір тараулар параграфтарға бөлінген. Бұлардың әрқасысында қажетті теориялық мәліметтер берілген, есептердің шығару әдістері көрсетілген. Жинақтың соңында жеке, үй тапсырмалары (ЖҮТ) үш бөлікпен (№ 1-3) берілген. Бұл ЖҮТты 10-12 есептен үш кезеңге бөліп (әрбір оқу аптасьша 2 тапсырмадан) беру қажет. Бір кезеңнің тапсырмасын қабылдағаннан кейін екіншісі берілуі тиіс. Практикалық сабақтарда блокты-цкклды тәсіл арқылы білім бағаланады. Мүньщ мәні мынада: әрбір семестрдің материалы үш блокка бөлінеді, оның әрқайсысынан ЖҮТ орындалады. Циклдың соңьшда бақылау жұмысы жүргізіледі，оған 6-8 есеп альшады. Бұл бағалау өте объективті және емтихан процесінде бағалау жеңілдейді. Сонында айтарымыз, қүрал орташа қабілеті бар студентке арналған. Сондықтан жинақтағы материалды игерген оқушының білімін қанағаттарлық және жақсы деп бағалауға болады. Өте жақсы үлгеретін студентке күрделілігі жоғары тапсырмалар беру қажет. Бүл жинақ студенттер мен оқьпушыларға практикалық сабақтар жүргізу үшін, жеке үй тапсырмасын беруге, бақылау жүмыстарын жүргізуге арналған.

1 Т а р а у А н ы қ т а у ы ш т а р . М а т р и ц а л а р . С ы з ы к т ы қ т е н д е у л е р ж ү й е с і a / ^ j элементінің миноры М / ^ деп а \ \ а \ 2 - а \п а \2 а 2 2 - а 2п

ап1ап2 …апп

A анықтауышының k-жатық жолымен жэне m-т ік жолын сызып тастағанда қалған анықтауыпггы атайды. Ак т ^ km ' ^ анықтауышының элементінің алгебралык толықтауышы. М ы са л 1 Анықтаупггы есепте

5 - 1 1 0

- 1 2 3 1 Ш е ш у і 4 -тік жолда үш элементті нөлге айналдырып, анықтауыпггы осы т ік жол ооиынша жіктейміз. Ол үш ін екінш і жаты қ жолды 2 -ге көбеитіп бірінш іге қосып, сонан соң төртіншіден а л ьт тастаймыз = 7 - 1 6 + 3 5 + 1 4 - 1 -2 8 0 = -2 4 1 Екі матрицаның көбеитіндісі деп, сол ж ақ матрицаның әрбір жатық жолын оң ж ақ матрицаның әрбір т ік жолына сәйкестіріп көбейтеміз де, нәтижесін қосып көбейтілген жаты қ жол мен т ік жолдың қиылысына жазамыз. 4

М ы с а л 2 Егер, болса А В ны тап Ш е ш у і ' 4 - 1 2 、 し 1 2 、 - 3 2 1 5 В : 一 3 -1 く 5 0 —3ノ J 4 ノ ' 4 - 1 2 、し 1 2 、 AB = - 3 2 1 - 3 - 1 、5 0 - 3 ノい 4 ノ г 4 (- 1 ) - 1 ( -3 ) + 2-1 4 - 2 - 1 ( - 1 ) + 2 -4 - 3 ( - 1 ) + 2 (-3) + 11 - 3 - 2 + 2 (-1) + 1-4 、5(-1) + 0 .( - 3 ) - 3 . 1 5 -2 + 0 ( - 1 ) - 3 - 4 Эрбір матрица үш ін «11 «12 ° \3 «21 °22 «23 ^ 1 °32 °33, М ына формула бойьшиш」- ，кері матрица табылды. 4 4 4 лл. лз 1 2 3 д * д* д

А

М үндағы \

А

0

- A матрицасының анықтауышы. А п , А і2, ... - алгебралык толықтауыиггар.

М ы с а л 3

Шешуі

I А | =

16+6-16—1 6 + 2 -4 8 = —5 6 式 О

А '1 матрицасын тап А= 2 - 4 6 、1 2 -1

ノ

- 4 6 2 6 2 一 4 2 -1 = 4 — 12 = —8, Аі2 = —1 - 1 =

8,^,3 =

1 2 =8, 1 - 4 4 - 4 4 1 А2\ = -2 - 1 = 一7, Аи = 1 - 1 =0ノ23 = - 1 2 1 - 4 4 - 4 4 1 為丨

=

= —10, А-

і

2 = ~

= —

32. Ао-і =

=

—18.

3 1 - 4 6 32 2 6 33 2 - 4 Бүдан формула бойынша таоамыз し 8 - 7 - 1 0 、 " 8 7 10、 1 8 0 - 32 =—1 - 8 0 32 一 56 56 、8 - 7 - 1 8 ノ 「 8 7 18 ノ Тексеруге болады, яғни

'I 0 0

、 A À ~ l = E = 0 1 О

く

0 0 1

ノ М ұнда 3-ретті матрицаға мысал келпрілген. Бірақ бұл әдіспен кезкелген ретті кері матрицалар табуға да болады. С ы зы қты қ теқцеулер жүйесін

а\х + Ь\у + c\z = d\

* ü2X + Ь2У + C2Z - d^i

а^х + Ъ^у + c^z = ゴ

з

2) Матрицалық әдіс Бүл әдіс A 关 0 болғанда қолданылады. Берілген жүйеден мына матрицаларды қүрамыз ^ Ct\ _{Ч q 、} ド 1 Y a j *2 c2 ,D = d2 , X = y 3 °3y A , ゾノ Сонда белгісіз матрица X формуламен табылады X — A D . 3) Гаусс әдісі Алдыңғы екі әдіс барлық жағдайда қолданыла бермеиді. Гаусс әдісімен кезкелген жүйені шешуге болады. Бүл әдіс бойынша берілген нөлге тең болмаса, қолдануға болады. Бұл жағдайда белгісіздер мьша формулалар бойынша аныкталады JC= — , v = ^ , z = — , мұндагы А , Л А Жэне оньщ кейбір шешу әдістерін қарастыраиық: 1 ) Крамер формулалары бойынша Бѵл эдісті егер жүйенің анықтауышы 功 め 4 h b q Q 1 ^ n 句 勿 . ^ ^ 均 め ^ h һ ^з А Дの 2 и A

жүйені (кезеңді түрде) эквивалентті жүйемен ауыстырамыз; ол жүйенің әрбір келесі теңдеуінде белгісіздер саны фіғашқысынан аз. Басқаша айтқанда жүйенің матрицасын жоғарғы үш бұрыш түріне (трапеция тәрізді) келтереміз.

Мысал 4

М ы на жүйені үш әдіспен шешу керек

4x-9jH-5z = 14

* 7 x - 4 y + z = 7 Зх+5タ-4 z = 2 3

Шешуі:

а) Крамер формулалары бойынша. Барлык аныктауыштарды табамыз A Y 14 一 9 - 4 1 з 5 -14 - 9 23 5 4 14 - 5 = 7 7 1 3 23 一 4 4 一 9 14 7 一 4 7 3 5 23 = 6 4 - 2 7 - 1 7 5 - 6 0 - 2 Q -2 5 2 = -470, ：224 - 204 - 175 - 460 - 70 - 252 = —940， ：-1 1 2 + 4 2 -8 0 5 + 1 0 5 -9 2 + 392 = ^ 7 0 , : - 3 6 8 - 189+490+16 8 - 1 4 0 + 144 9= 141Û Осыдан Крамер формулалары оойынша - 9 4 0 ^ - 470 470 2，タ: - 4 7 0 Жауабы: (2,1,-3)

б) матрицалық әдіспен Матрицалар құрамыз Ч - 9 - 5 、 <14、 7 一 4 1 ,D = 7 ，х : _У 、3 5 - 4 J 、23j —1 матрицаны табамыз И = -470, 丨一

4 1

斗

i =

し

,

^21=

A3 l = Сонда 一 9 - 5 5 - 4 9 - 5 11メ1 2 = - = ~61’ А22 —29, メ 32 = 17 4 - 5 4 - 5 :- 1メ23 = :-3 9メ33

_=|：

'11 一 61 - 29、 1 31 -1 - 3 9 -4 7 0 ,47 一 47 47 ノ Осыдан формула бойынша fx ^ f n - 6 1 - 2 9 、'1 4 、 X = У —A D : ---ЛП(\ 31 -1 - 3 9 7 ろ —4 /U - 4 7 _{47 ノ} 〔П . 1 4 -6 1 .7 - 2 9 .23、 し 940、 1 3 1 .1 4 -1 .7 -3 9 .2 3 1 -4 7 0 470 一 470 4 7 .1 4 -4 7 .7 + 47.23ノ く 1410ノ Жауабы: (2,1,-3) в )厂аусс эдісі бойынша. Берілген жүйені ыңғайлы түрде жазайық

Бірінш і теңдеуді 4-ке көбейтіп екінш іге қосамыз. Сосын 5-ке көбейтіп үш інш ісіне қосамыз

Сонда

z - 4 ^ + 7 x = 7 • - 11

ア

+31х = 51 -29ѵ+39Ьс=49 Е кін ш і теңдеуге үш інш ісін қосып және 10-ға бөлеміз, сосын екінш і теңцеуді 3-ке көбейтіп және үшіншіден аламыз. Сонда z -4 у -\-7 х = 7 < 4 タ ー 7 х = - 10 4ア- 5 4ズ=一104 Енді үш ін ш і теңдеуден екінш ісін аламыз z - 4 y + 7 x = 7 ' 4ア- 7 ズ= -1 0 一 47х = -94 Берілген жүйеге эквивалентті бізге керек жүйе келіп шықты. Енді соңғы теңдеуден Х -ті, екіншіден Ү -т і және біріншіден Zj-ті табамыз X = ~ — = 2;4 ァ - 7 • 2 = - 10,4v = 4; v = - =1; - 4 7 4

z - 4-1 + 7.2 = 7;z = 4 -1 4 + 7 = -3.

z-4y+7x = 7

*

-4z+5y+3x = 23

-5z-9y+4x=\4

Жауабы: (2,1,-3)

10

2 Т а р а у - векторлық көбеитінді аралас көбейтінді;

а2

Ьі

с2

a\tf\ + a っb-у н- аўу^ = 0 - “ мен わ ның перпендикулярлығының шарты;

о\ _û2

_{мен ひ ның коллинеарлығының шарты;}

“ 1 Ü2 а3

Һ

Һ

С2

_сз

C l，Ь жэне С ның компланарлығының шарты; ab - Cl мен b арасындағы бүрыштың косинусы;

1

} ~ ш \

пР а Ь ab -Ъ ның a ға проекциясы. В е кт о р л ы қ алгебра М ы н а векторларүшін а = {ах,а 2,а ъ\ Ь = { Қ , b2,b 3},с = {сх,с 2,с 3) анықталған: \а\ = y ja f + d - а векторының модулі; ab = а\Ь\ + “ 2^2 " скаляРлык көбейтіндісі; % һ q ^ аз^ 叫 ^

^

*2

•ノ ％ *2 / 叫 -g II 11

М ы с а л 5 w4(-3,l,2), 5(1,-2,3),С(4,-3,1),D ( - 1,2,-2) нүктелері берілген Табу керек: a) ab ; 6)[ab] ; в) abc; г) AA BC ның ауданы; д) A B C D пирамидасының кѳлемі, егер а = АВ,Ъ = А С ,с = Â D . Ш е ш у і: a ) ä - I ß =ト(一 3)，一2 - U - 2 } = {4,-Зд} Ъ ^А С = [і9- Л - \ ) - онда д わ= 4.7 — 3(~4) + 1(-1) = 28 + 12 —1 = 39 关 0 ， сондыктан а жэне Ъ перпендикуляр емес; Г 1 f - 3 1 \ 4 4 - 3 н = і - 4 —1 -1 7?7 -4| в) с - A D = {2,1,-4}，сонда 4 -3 1 a b c- 7 -4 -1 =64+6+7+8+4-84=5^0 2 1 -4 Сондықтан a,b9c компланар емес; г)Үшбұрыиггың ауданы үшбұрыпггы қүратын векторлардың векторлық көбейтіндісінің модулінің жартысына тең, сондыктан SM B C = ^ ] \ = \ b 2 + П 2 + 5 2 = y 4 9 + l 2 l + 2 5 = l-y /Ï9 5 -, д) A B C D пирамидасының көлемі бір төбеден шығатын пирамиданың қырларымен сәикес келетін векторлардың аралас көбейтіндісінің алтыдан біріне тең, сондықтан

3 Т а р а у Мына нүктелер

Л{хХіу х,г 1\ в [х 2 у У 2 ^ 2 \С{хѴУЪ^ъ)ІІ

：

)^хЛ^УЛ^л)і және

А н а л и т и к а л ы қ г е о м е т р и я векторлар а

=

b = ん 〜 ，れ үш ін мына теңдеулер анықталған a [( x - x l )-\-a2( y - y i ) ^ a 3( z - z l ) = 0 - A нүктесіненөтетін векторына перпендикуляр жазықтық ズーズi У - У \ z - z { ズ2 —ズ1 ア2 一 У\ z2 一 z\ ХЪ ~ Х\ ァ3 ー 少丨 z3 - zl үш нүкте арқылы А, В жэне С ѳтетін жазықтық; ズー А У - У і z- 。 ズ2 一 A ア 2 —タ1 z2 ~ zl a \ a 2 a3 векторына параллель жазықтық; А , В нүктелерінен ѳтетін жэне а ド- ズi У - У \ z -

аі

а2

аз

:0 - A нүктесінен ѳтетін а жэне b -ға параллель жазықтык; У - У \

z - z ,

ズ 2 —ズ1 У 2 - У \ Z2 А жэне В нүктелерінен өтетін түзу; 13

х - х { у ~ у х z - z x А --- = ---= --- L - A нүктесінен ѳтепн a -ға параллель. ах а 2 аъ М ы са л 6 Берілген Д - 3，1，2)，В(1，- 2 ，3)，С (4 ,-3 ，1),£)(-1，2，- 2 ) : а) А В түзуінің ; б) A B C жазықтығының; в) D нүктесінен ѳтетін ABC жазықтығына перпендикуляр түзуінің теңдеулерін құр у керек

Шешуі:

a) Формулаға қойып, табамыз ズ 一(一 3 ) ター1 z — 2 с х + 3 y - \ z - 2 АГ|

---= —---= ---，бүдан --- = --- = --- - AB тѵзуініц

1 一(―3) —2 — 1 3 — 2 4 — 3 1 канондык теңдеуі; o j Формулаға А , В, С ньщ координаттарын қойып, табамыз х + 3 у - \ z - 2 1 + 3 - 2 - 1 3 - 2 = 0 ，осыдан 4 + 3 - 3 - 1 1 - 2 (x + 3)(3 + 4 ) - ( ^ - l ) ( - 4 - 7 ) + ( z - 2 ) ( - 1 6 + 21) = 0 7(х + 3) + 1 1(ター1)+ 5(z 一 2) = 0，

7x + l l y + 5z = 0

一

белпсіз жазықтықтьщ жалпы теңдеуі;

в) вектор а = {7,11,5}жазықтық АВ С -ға перпендикуляр болса, онда ол белгісіз түзуге параллель болады, сондықтан формуладан ズ一( - 1 ) у - 2 z - ( -2 ) х + \ アー 2 z + 2 --- ---- 一 = ---= --- , осыдан --- = ---= ---іздеген 7 1 1 5 7 1 1 5 түзуіміздің канондық түрі келіп шығады. Ж азықтықтағы геометриялық есептерде барлық формулаларда z айнымалысы жоқ. Бұл жағдайда қосымша у = кх + Ь - түзудің теңдеуі, бүрыпггық коэффициенті k: 14

d = -~ ~ - M (x Q, >^0) нүктесінен Ax + By-\-C = 0

d A2 + B2

түзуіне дейінгі қаш ы қты қ kx = k2 - гіараллельдіктің шарты kxk 2 = 一1 - бүрыштық коэффициенттері к х және к 2 екі түзудің перпендикулярлығының шарты. М ы са л 7 Үш бүрыштың төбелері берілген AB C : А {\-Ъ ), Ä (-l,5 ),C (-2 ,3 ). Табу керек:

а) АС қабырғасының теңдеуі;

б) В Н б и ік тігін ің геңдеуі; в) АС -ға параллель BD түзуінің теңдеуі; г) В нүктесінен АС түзуіне дейінгі ара қаш ы кты қ. Ш е ш у і: а) А жэне С нүктелерінің координаттарын формулаға қоиып, _ x —1 у ― (一 3) x — 1 少 + 3 таоамыз ~ ~ --- , осы д ан---= --- ; ズー1 ー少+ 3 .

-1

一

2

， 2(х - 1 ) + (у + 3) = 0 ， 2ズ + ア+ 1 = 0 - АС тү зу ін ің жалпы теңдеуі; б) В Н 1 А С , өйткені К ви • К АС = - 1 . К = - 2 , болғандықтан

К вн = —

, сондыктан

ム у = —х л -b - В Н б и іктігін ің теңдеуі. “ b” ның мәнін осы теңдеуге В нүктесінің координаттарын қойып табамыз:

5 =

+ b. b = ― • Осыдан у - —jc + —

— ，jc - 2 у +11=0 - ВН тың

2

2

2

2

жалпы тевдеуі; в) B D II А С 9 бүдан К BD = К АС = - 2 ，сондыктан у ~ - 2 х + b - BD ның теңдеуі. “ b” ның мәнін алдыңғыдағыдай табамыз 5 = 一2 ( - 1)+ b, b = 3. 15

Осыдан у = - 2 х + 3 ， 2л: + ター3 = 0 - BD ның жалпы теңдеуі; г) белгісіз ара қаш ы қты қты мына формула бойынша табамыз ゴ― 丨2(- 1) + 5 + і| 一 4 Жазықтықта тікоұры пггы координат жүйесімен қатар полярлық координат жүйесі де бар. Бұл жүйеде О нүктесі (полюс) және сәуле О A (полярлық ось) берілген. О

P

入

(p

A Сонда жазықтықтың кезкелген нүктесі М мына координаттармен анықталады: О М = р - полярлы қрадиус; ZA О М = 炉-полярлық бұрыш осьтен сағат тшіне қарсы. Бүл координаттардың анықтамасынан, р > 0 және 0 < с р < 2 л келіп шығады. Бұл жүйеде қисы қты салу ү ш ін ^ -г е анықталу облысынан мәндер беріп, табьшған р -н ы ң мәндері үш ін таблица қүрамыз да, табылған нүктелерді жазықтықта осы жүйеде белгілеп, солар арқалы график (қи сы қ) сызамыз. М ы са л 8

р = 2sin3ç? қисығын сызу керек.

Ш е ш у і 2 s in 3 ^ > > 0 ,s in 3 ^ > 0 бұдан 0 < 3 ç < 7 r немесе 27T<3ç < Зтг немесе 47г <3(р <57г , яғни (p е ハп0 ; - u — \л u2л . 3_ . 3 _ 4тг Ъп берілген 16

функцияның анықталу облысы. Таблица қүрамыз <р 0 20° 40° 60° 120° 140° 160° 180° 240 0 260 0 280 0 300 0 р 0 _{Ѵз Ѵз} 0 0 _{л/З Ѵз} 0 0 _л/З 0 Бүл нүктелерді жазықтыкта белгілеп, солар бойынша қисы қты сызамыз. Параметрлік түрде берілген қисы қты да параметр t-ның мәндері аркылы табылатын X және Ү-ты ң мәндері үш ін таблица қүрып сызамыз (t мәндері анықталу облысынан алынады). Параметр t тригонометриялық функцияньщ аргументі болып келсе, онда олардьщ бүрыштық мәнін алған қолайлы. М ы сал 9 [x = cos/ Мына теңдеулер мен берілген < қисы қты салу керек. [у =

à

sm

t

Ш е ш уі Параметр t-ға 0° ден 360° қа дейін мэндер беріп X пен Y тің мәндерін гауып, таблица қүрамыз. t 0° 30° 60° 90° 120° 150° 1 180° 210° 240 0 270 0 300 0 330° x 1 0，9 0,5 0 -0,5 -0,9 -1 -0,9 -0,5 0 0,5 0,9 У 0 1,5 2,6 3 2,6 1,5 0 -1,5 -2,6 -3 -2,6 -1,5 Табылган нүктелерді жазықтықта бспгіщ ц, алмыған координаттар жүйесінде белгісіз қисы қты с|аламыз. -а к а д е г і ■： к С Б 卜: :丨 с е м б ае і 名 I а т ы н д с ：гы и л ы м и ■ К І Т А П Х А П Д С Ы

ハ

-3

іаоы лған қисы қ, жарты өстері а =1,6 = 3 болатын, Аокѵстары Оу осінде орналасқан, эллипс. 4 Тарау

Функциялардын шектері жэне үзіліссіздігі

Математикалық анализдің негізінде математикада ең маңызды ұғымдардың бірі — шек үғымы жатады. Осы ұғымның көмегімен функцияньщ үзіл іссіздіп мен дифференциалдануы аныкталады, интеграл туралы т ү с ін ік енеді және шексіз қатардың қосындысы анықталады т.т. Сондықтан да математика пәнін оқығанда функцияның, атап айтқанда, тізбектердің шегін таба білуді ж етік меңгерген жөн. Берілген функцияның ш ектік мәнін табу — жалпы айтқанда, оңай емес. Өиткені кезкелген функцияның шегін есептеудің немесе оның барлығына көз жеткізудің жалпы тәсілі жоқ. Бүл мәселе көп аргументті немесе векторлық функцияны қарастырғанда күрделілене түседі. Сондықтан әрбір берілген есепте шекті тапқанда өзінше әдістер қолдануға тура келеді. Шектерді өте жеңіл табатын әдістер де бар. Бүл әдістемелік қүралдьщ мақсаты нақты мысалдар келтіріп, тәсілдердің негізін түсіндіру. 4.1 Ф у н к ц и я н ь щ ш егі тура л ы т ү с ін ік . Ш е кте рд і табу Бүл болімде төмендегі типті есептер қарастырылады: 中ункцияның берілген нүктеде жинақталу не жинақталмау мәселесін шешу; функциялардың шектерін есептеу; біржақты шектерді табу. 18

Кейбір функциялардың шектерін есептегенде төменгі функциялардың белгілі шектерін пайдаланған жөн. s m x 11ГП

一

1 - бірінш і тамаша шек

х->о x

lim

1 + -

X

1 、х

X->QO

乂

八

ノ

ax -

l

,

lim --- = lna.

x.—О X

l i m O ± x N l ^ a

x->0 X . 1 - COS X 1

lim

l i m ( l + x ) x = e - екінш і тамаша шек x->0 x-->0 x 2 2. Алғаш қы екі ш екті есептеу тәсілі математикалық анализдің дерлік барлық курсында келтірілген және лекцияларда қарастырылады, ал соңғы төртеуі алдыңғы екеуін пайдаланса，жеңіл шығады. Шындығында

л->0

ズ

х-^0

ズー

>0

Ш е кті табу жэне логарифмдеу амалдарының орын ауыстыруы, In у функциясы үзіліссіз болғандықтан жэне күрделі функцияның шегі туралы теорема бойынша, м үм кін l i m l n f ( x ) = l n l i m f ( x ) Төртінш і шек жаңа айнымалы кір гіз у арқылы у=ах- 1 есептеледі, _1п(1 + 少） осыдан а =1+у жэне x = i--- • Сонымен қатар, егер x -> 0 , онда

ma

y-> 0 . Сондықтан 19

а -

1

I na

,

l i m

= 1 і т У т т

；

r = ln a h m

x-^O X ” 0 ln ( l + y j

In a

ln a

y-»1_{° l n ( l + y )ÿ} l n l i m ( l + y ) y y -> o

ln e

ln a.

Бесінші мысалла ( l+ x ) a- l= y деп аламыз. Сонда ( І + х З ^ + І ， ал a ln (l+ x )= ln (l+ y ). Сонымен ( i + x ) o - i 广 ln (l +

y) _

y

ln (l + jc)

—

—

—û ---

. X x ln(l-I- y ) x ln (l + y ) X x Ода y 0 тан

( i + x )« _ i

1

迚

4

セ

-Алтыншы мысал оңай шешіледі

1 一

cos jc = 2 sin

Шынында X 1 -c o s x

lim ö = lim

-2 sm x->0 x 2 x->0 X マL x->0

lim

sin

、

2

Енді функциялардың не тізбектердің жинақталуын не жинақталмауын айқындаитын бірнеше мысал келтірейік. ап 7 Табу керек l i m —；"，мүндағы аХ). п->оо п! 20

п

дсл+1— а

хп = ―

, болсын, =

~ болғандықтан (кезкелген п>а-1)

w!

хп

Хп+1

< 1)• Сондықтан, тізбек {x n} - кемімелі. Сонымен қатар бұл тізбек төменнен шектелген, мысалға нөлмен. Вейершграсс теоремасы бойынша ол жинақталады.

а

1ІШ х п ニ b болсын. «b» ны табу үш ін, х п^\ ~ 乂п " Т жазамыз х->0 w 十1 жэне бүл теңдіктен шекті табамыз. Сонда • ж а

lim x n+1= lim x n lim

n->00

n->00П+1

Мүнан b=b 0=0. Сонымен l i m ~ r = 0 • n->oo n! 8 Тізбек {x n} төмендегі рекурренттік қатнаспен берілген хп十

1

=

7

^ + ズ„， мұндағы Xi=Vûf, а>0, яғни X i= V â , x 2= V a + Va ,

Хз= -y^a + a + -\fa

Бүл тізбектің жинақталатындығын айқындайық, егер жинақталса, шегін табайық. Ш е ш у і Тізбек {х п} нің монотонды өспелі екендігі кө р ін іп тұр. Оньщ жоғарыдан шектелетіндігін дәлелдеиік. Математикалық индукция әдісімен пайдаланайық. Хі=л/а < -Ja +1 екеыдігі айқын. Енді x n< V ä + l деп алайық, онда х叶і үш ін

хп

ト

1= а/д + хп

く

^

+ л/û + 1 < V a + 2л/а + 1―

=

+ l ) 2 = V ä+ l.

Сонымен (кезкелген n e N + )

xn<yfa +1.

Вейерштрасс теоремасы бойынша тізбек {х п} жинақталады, яғни ІІШ x n = b. 21

«b» ның мәнін табамыз. Ол үш ін мына теңдіктен шек аламыз

,

2

x2n+i==a+xn • Сонда ІІГП x n+i = a + l i m x n . Осыдан b2=a+b. Теңдеуді

шешіп, табамыз b = --- • Теріс түбірді алып тастаймыз. Өйткені (кезкелген n e N + ) (x n>0) жэне b>0. 9 Ф ункция

/ ( x ) = s i n | i |

x -> 0 да шегі бар жоғын ノ анықтайық. Ш е ш у і Гейне бойынша функцияньщ ш егінің анықтамасымен пайдаланайық.

1

. 1

Е кі тізбек қарастырайық: х п — — және х 汽 -冗 ， neN+.

抓

— h 2ли

2

i l i m x n = l i m x n = 0 көрініп тұр (кезкелген n e N + ) ( х „ ^ 0 , n—>со П—>00 Сол кезде

lim sin ГСП-0_

f

im sm

lim sin

^ - + 2тш

Сонымен l i m ) {x n} тізбегіне тәуелді. Сондықтан l i m ズ(x ) Я-+00 Л-ХХ5 болмайды. Г x 2 - 4 10 Табу керек 22

І І І е ш у і Егер шектің астындағы өрнекке х-тің орнына формальді түрде

0

оның ш ектік мәнін 2 қойсақ，онда анықталмағандық Т шығады. Бұл анықталмағандықты шешу үш ін бөлшектің алымы мен бөлімінен х-2 көбейткішін бөліп шығарып, соған қысқартамыз. Сонда

х 2 - 4

( х - 2 ) . ( х + 2)

х + 2

l i m —ï~ г— r = lim т— vT?—

7

Т = l i m ---г •

п т о

:

г - ш и (

x->2 X — 3x + 2 x->2

(x — 2 j-( x —1)

Функциялар

f i x)

= ~ ~ жэне ^ ( ^ ) = Г үш ін, x - З х + 2 j c - 1 (кезкелген X G

U(2 {

[

パ

- 4)

(x + 2

)、

—Зх + 2

ノ

₍

_ズ

_{- 1) )}

g(x) 一 үзіліссіз функция болғандықтан х=2 нүктеде,

г

х + 2

2 + 2

^

1 іт _

х->2

x — 1

2 - 1

し онымен X - 4

,

1 і т ~ і ; — - = 4 .

х-^2 X** - З х + 2 11 Есептеу керек ІІШ ~ ~ . Ш е ш у і

0

Ллдыңғы мысалдағыдан мүнда да Т анықталмағандығы бар. Бұл мысалды шешудің екі әдісш қарастырайық. 1 Лйнымалыны ауыстырамыз, 1+х=у6. Егер х -> 0 , онда у-> 1, сондыктан 23

! •

л

/1

+ X -

1 ア3

-

1

(У - l).(y

2

+

少

+ О

3

l ；

m

(タ

4

い り

; = I

2 Бѳлшектщ алымы мен бөлімін сэйкес түйіндестеріне көбейтеміз ■ i .

V I + x — 1

lim

= lim

д:->0 V l + 1 —1

(V l

+ x - і ) * ( л / і + Х + 1 ) .

〔

V ( l + x ) 2 + M \ + X + l

( V i+ x + 1). ( V i+ x - 1). f ^ / ( i+ x ) 2 + ѴГ+Л- -f i

_ r

x . 〔^ i + x)2 + v r r ^ + i

〕

^ ( i + x )2 + V I T 7 + i

3

^

~

( V

T

^

Ï p

— ~

= 4 S 1 ^

Ж Т 7 7 1 —

" = 2

12 Табу керек 1ІШ r~j~ " • X->CO л /х 2 + 1 0 * Ш е ш у і Қалыпты түрде х тің орнына 00 символын қойып, ① анықталмағандығына келеміз. Бүл анықталмағандықты ашу үшін бөлшектің алымын да бөлімін де х ке бөлеміз. Сонда

Үзіліссіз функцияньщ квадрат түбірі де үзіліссіз функция болғандықтан, соңғы теңдік дұрыс.

! 5

^ = ( ) ，

бүдан i ™ V ? 7 i o =1

1 -s in

13. Табу керек ІІГП Х->7С 71 一 X Ш е ш ѵі Мүнда тағы да анықталмағандық ^ ; айнымалыны ауыстырамыз 冗 • х=у, осыдан х = 兀 -y. Онда X — у_>0 жэне / ヽ

x

1

一

sin

lim

1—sin

71 7 1 - Х

lim

1

一

cos

-У

lim

” 0

2 sin*

lim

sin

lim

タ

~»o

lim

Функция

sin

кезкелген y e R үіпін үзіліссіз болғандықтан

lim sin^ J =sin0=0.

sin

Әрі карай,

lim -

_y-kO

一 бірінші тамаша шек.

Соңдықтан

14 Табу керек l i m O - x ) - tg ― ― •

х->1

V 2

ノ Ш е ш у і x - тің орына 1 қойсақ, 0 • оо анықталмағандьгғына әкеліп соғады. Бұл анықталмағандықты шешу үш ін айнымалыны ауыстырамыз 1-х=у. Егер x —>1，онда タ . Сонымен l i m ( l - x ) - t g х->1 f К 'х Л

”

f 7t) ' ― r - = lim У tg い ノ ” 0 U ノ І і ш У -tg

у-^0

1

Я _ Я-)

2

2

lim У ctg

у->0

\

---

_lim у->0 sin •lim cos у->0 V = lim _у->0 sin

n

n

15 Есептеу керек 1 іш (--- -— ъ---).

х-*3 X-З X2 —X —

6

Ш е ш у і Мүнда со-оо анықталмағандығы бар. Бүл анықталмағандықты түріне келтіріп барып, ашамыз i . x2 —6х + 9 一 ！• (х — З)2 х1!? ( х - 3 ) \ х г ~ х - б ) = О й 1 ( х - 3 ) . ( ^ - 3 ) . ( x + 2)

lim

_{х + 2 5} 1 іш И х ) Г (х) түріндегі шектерді тапқанда 0°, ° ° 0,1 х->а анықталмағандықтары пайда болуы м үм кін; оларды ашу үш ін негізгі логарифмдік тепе-теңдікпен жэне көрсеткіш тік функцияньщ үзіліссіздік қасиетімен паидаланған жөн. Сонда 1 іт ф(х>ІпГ(х)

”

(1)

Осылай lim И х ) ] * “ ) шегін есептеу І і ш ф ( х ) і п ф ) шегін есептеуге х-»а х->а әкелінеді және басқа типті анықталмағандықтарды шешуге м үм кінд ік береді. Мүнан басқа, төмендегілерді есепке алу кажет:

lim f ( x ) = А > О

_жэне ノ

=

В болса，онда егер l i m f ( x ) = А жэне 1ішф(х ) ― + 00, онда І і т Ш Ѵ х) Jоо, при А > 1， [О, при 0 < А < 1; егер 27

l i m f ^ ) ~ パ # 1 жэне lim ф(х ) = —GO，онда x-*a x~+a егер lirn f ( x) = 1 жэне 1 ітф (х )= 00，онда f(x) =1+д(х) деп аламыз, мұндағы 1 Іт а (х )= 0 . бұл жағдайда екінш і тамаша шекті пайдаланып, табамыз

r

j 'j «(

ズ

>

炉レ）

lim [

ル

)

广

=lim [

いル

)]

项

=

x->a x->a し

=

I

l i m

丨

1

+

a ( x ) ]

ゐ 丨

1 н г(

ふ

W = e^

a… w =

ル

)-

丨

]

ザ⑷ 1 о Гаоу керек

lim

х-^О

x z - 2 x + 3 x し Зх + 2

Шешуі

х 2 - 2 х

十

3

3

sinx

Һ т ~2 ： I " ' Г жэне lirn = 1 болғанды қтан,1 ереже х->ох - З х + 2 L x ^ o x бойынша lim x->0 x z - 2 x + 3 x2 - 3x + 2 16 Табу керек ІІГ П (cos ^-X)x2 28

Ш е ш у і

l i m (cos2x)* = H m [1 + (cos 2х _ 1)]

l i m ―■~2~

_{х-*0 *}

. cos2jc-1 х-»0 '•スノ 4.2 Ф у н к ц и я н ы үзіл іссізд ікке зерттеу Үзіліссіздекке зерттеудің негізгі мақсаты функцияның үзіліссіз нүктелерінің жиынын, не үзіліс нүктелерін табу және бұл нүктелер үзілістің қай түрлеріне жататындығын анықтау. Бірнеше мысалдар келтірейік. 18 М ына функцияньщ нөлден басқа барлық нүктелерде үзіліссіздігін дэлелдеу керек. Үзіліс нүктесінің түрін анықтау керек. Ш е ш у і Функцияньщ х=0 нүктесіндегі бір ж ақты шектері lim sign x =1 және lim

sign x = - 1

х->+0 х->-0 1,егер x > 0， / (jc) = sign x = < 0，егер x = 0, 一1，егер x < 0 бар, сондықтан нөлде функцияның үзіл ісін ің б ір інш і түрі. Бүл нүктеде функцияның секіртпесі f ( + 0) - f ( - 0) = 2 .

өйткені бүл бөлшектің бөлімі 1 де үзіліссіз. х=1 нүктесінде функция анықталмаған және нақты бір жакты шектері жоқ. 19 Ф ункция f ( x ) = ^j~ к е з к е л г е н 1 үш ін үзіліссіз,

lim

х~>і+о(1 - x ) 2 текті үзіліс нүктесі.

lim 7--- ўў

х - > і - о ( 1 - х ) : -ко _{Сондықтан х = 1 - екінші}

f ( x ) = sin

20 Ф ункция себебі, егер ズ0 关 0 болса, онда 1™ s^n

/ 1

、

( 1 Л

―

= sin

i

U J

、x 0

ノ х=0 нүктесінде функция sin анықталмаған және бүл нүктеде бір ж ақты шектер жоқ, сондықтан х=0 нүктесінде функция екінш і текті үзіліс алады. sin —

ІХ

21 Ф ункция

Л х ) =

-x • s in ^ —

J, егер д: ^ о,

0，егер x = 0 , сандар осінде узіл іссіз

Шешуі

Ш ындығында, егер х 式 0 ，онда 八」п フ 一 үзіліссіз функция; үзіліссіз функциялардың көоейтіндісі. х=0 нүктесінде lim x . s in f —^ = 0 = f( o ) Сонымен f(x ) функциясы х=0 нүктесінде үзіліссіз. 30

22 Ф ункцияны үзіліссіздікке зерттеу керек ' ノ l ] + е х-а мұндағы а - кезкелген анықталған сан. Ш е ш у і Функция f(x ) х=а нүктесінде анықталмаған. a —/ функцияньщ үзіліс нүктесі. lim --- ― = 0 , l i m --- j х->а+0 ~ ― х -> а -0

l + e x_a

l + e

x-Сондықган «a» нѵктесінде функция оірінш і текті үзіліс алады. Бұл нүктеде функцияньщ секіртгіесі f(a + 0 )-f(a -0 )= - 1. х Ф а нүктесінде функция екі үзіліссіз функцияньщ бөліндісі ретінде үзіліссіз; бөлімі нөлге тең емес. 5 Т а р а у Д и ф ф е р е н ц и а л д ы к есептеу Бұл тарауда әртүрлі тәсілдермен берілген функциялардың туындыларын табуға берілген мысалдарды, сонымен қатар туындыны пайдаланып шығарылатын есептерді қарастырамыз. 5.1 Д иф ф е р е нц и а лда уд ы ң ж а л п ы ережелері Ди 中中 еренциалдаудың жалпы ережелерін пайдаланып, төмендегі функциялардың туындыларын табу керек. е х

1 y = c t g x ^ z—

—

+ 1п2;

( l- f- x 2 y a rctg х - х л

2

у = --- —---，a

ニ

const

本

0 •

2а

Ш е ш у і 1 Қосындының және бөлшектің туындыларын табудьщ ережелерін пайдаланып

,

一

1

ех '( l —

—1

ех *(2 —д:)

у

( 1 - х ) 2~

+

( 1 - х ) 2

2 Тұрақты көбейткіш ті туындының сыртына шыгаруды, сонымен катар көбейтінді мен косындының туындысын табу ережелерін пайдаланып

2х • arctg x

H

--- - - 1

，• _

i + jc2

—x . arctg x

У 一 ô

_la

=

_a

3 «n» функциялардьщ көбейтіндісінің туындысын табу ережелерін пайдаланьш, (м1( х ) - м 2( х ) - ... - м п( х ) ) '= м ；(дг)-м2( х ) - ... - м п(дг)+

+ и х\ х ) и 2 (д:) • ww(x )+ ... + w1( x ) m 2(x)*...- и п (д:)

К у р д е л і ф у н к ц и я н ы диф ф еренциалдау Күрделі функцияны дифференциалдау ережесімен пайдаланып, тѳмендегі функциялардьщ туындысын табу керек:

4 У = { х 2 - 5 х + і

)І0°；

5 у = cos(ln 1х

) ；

6 у = е~хЪ • arcsin5;c

； Ш е ш у і:

/ 2

く

Л10О

.

4 У = \х 一）ズ + リ күрделі функция деп қарастырып, У = и [0° белгілейміз, мұндағы и = X 2 — 5 х + 1. Сонда күрделі функцияны дифференциалдау ережесі бойынша

У —У *W = lO O w " .(2

ズ一

5 ).

Енді

уақытша

енгізілген

32

айнымалы « и » дан оньщ «х» арқылы ѳрнегіне эту қалады.

Соңында

ア

= 10 0 . ( i 2 — 5

ズ

+ 1 ) . {2х

一

5) табамыз.

5

Берілген функцияны элементар функциялар арқылы оылай

кѳрсетуге

болады:

у

= cos и ,

м = ln ѵ ,

V

= І Х .

Күрделі

функцияны дифференциалдау ережесі бойынша

一

sm м •

_немесе

-sini( 1 п 7 х ) ~

7х

-sin (ln 7х)

6 Кебейтіндінің туындысын табу ережесімен жэне күрделі

функцияньщ туындысымен пайдаланып,

づ3

• arcsin 5х + е

-ズ3

I arcsin 5 х )

Бѳлектеп мына

функциялардьщ У\ = е

, У2 = arcsin 5х туындысын табамыз.

У\ , У

2

функцияларын элементар функциялар композициясы

түрінде қарастыруға болады:

= e U}，Wj = - х 3 жэне У 2 = arcsin и

2 ，

и 2 = 5 х .

Сондықтаң

(yj

■

■

(у2 )' (М2 ) ~ У ' -5~ - — = Г— =

Ѵ Г -(м 2)2

лА

一

2 5 ? ’

(

ァ丨

) ' = - 3 ?

• パ

Осыдан табамыз

- 2 5

jc

2

_.з 5 - Зл:2 • л/ï - 25х2 • arcsin 5х

e

--- т ^ -

---V1-25JC2

33

Логарифмдік туынды мына түрдегі функцияньщ (

ア

(

尤

))

онымен бірге функция

Л о г а р и ф м д ік т у ы н д ы 炉W

rr

W//2

(4 -/；

" W

ның

туаындысын

табуда

Sx' і^ )ё г

( 4 - g f " (x )

пайдаланады

Тѳменгі функциялардьщ туындыларын табу ке|рек:

(cos x ) smx

；

У

/ х - 1

л/х-\-2 •

火

x - 3)и

Ш е ш у і

7

Мына

теңдіктің

екі

жағын

да

丨

логарифмдейміз

ln

ン

= sin

X

•

ln

COS

X

. Бұдан эрі сол жағын күрделі функция деп

алып, екі жағын да х бойьшша дифференциалдаймыз

sin:c

: cos x •ln cos л: — sin

ズ

•

cosx

Осыдан,

У - y

' (cos

x

■ln cos д: - sin д: • tg x )

. Теңдікіің оң жагына «у»

тың орнына есептің шартындагы оньщ мэнін койый, табамыз

у = (cos x)

(cos

x •ln COS JC - sin x • tg x ).

I

8

Бұл

функцияньщ туындысын табу үіпін логарифмдеуді

ішйдалану

қолайлы,

өйткені

көбейтіндінщ 1

жэне

бөліндінің

дифференциалдау ережелерін пайдаланып іпы^ару күрделі. Осы

функцияньщ модулінің логарифмінен туынды ала^ыз

ln|jv)= Iny jx - l - ln l l х + 2 ~ \п у](х-З)11 = —\п\х- 1| - - - ln|^ + 2| - — \n\x- 3|.

Мынаны байқаймыз 0n|x |) ~ ― ，

өйткені 0nH ) = (іи

= —

，ズ

〉0 ;

34

( ln ( - x ))' = — = - , J C < 0 .

- x

X Сондықтан

(чм)_=

士

’

(H

ズ

+ 2I)

(H

ズ

- 31)

(ln レ丨). = 2

х + 2

х - 3

Дифференциалдап табамыз

( jc - l) - —(х + 2)---(

ズ

- 3

)， осыдан 3{х + 2). («x - 3) - 2(х —1) •(ズー 3 )—33(х - 1).(ズ + 2) 6(jc - і) - (д : + 2 ) * ( х - 3 ) = Ѵ ^ Г . 2 ..(16ぶ2 ~ 14д: + 21) . 6 ( х - і ) . ( х + 2 ) - ( х - 3 ) =

V ^ 2 - V ( ^ - 3 ) U

16х2 - 1 4 л + 21 З л / Т ^ Т

如

2 ) 4

各

3 ) 1Э П а р а м е т р л ік түрде берілген ф у н к ц и я н ы ң т у ы н д ы с ы Табу керек: 9 У х мына формуламен берілген функция үш ін

10 У xx мына формуламен берілген функция үш ін х = 2 е ' \ у = е 2і Ш е ш у і: 9 Параметрлік түрде берілген функцияның туындысы мына формула бойынша есептеледі . _ タ，— 3 è - s i n 2 / -cos/ _ - 3 è s in /

jc;

2a co st-( - sin/)

2a

Бұдан x = a co s2 1, * • - 3 ô - s in / 10 Алдымен бірінш і ретті туындыны У х табамыз , _ У ; 一 2 е 2> _ з, j x = 2 e - r ,

У і ~ Ү , ~ ^ 2 р Г ~ ~ е -бұдан

Енді табылган туындыны У х \ дифференциалдаймыз. Ол да t параметрі аркылы сондыктан тағы да параметрлік функцияны дифференциалдау ережесін У х функциясына қатысты пайдаланамыз. бойынша ѳрнектеледі, 36

Бұдан

х

= 2е~\

. З г 4/ Берыген функциялардьщ туындыларын табу керек Л й қ ы н д а л м а ғ а н ф у н к ц и я н ь щ т у ы н д ы с ы

i l

x 3 л-уъ

-Заху

= О

」 メ

12

arcîë ―

=

Ш е ш у і: Функцияның туындысы У х ты табу үш ін берілген теңцеуді x бойынша 少 функциясын күрделі деп алып, дифференциалдаймыз да, осы тендеуден У х ты табамыз.

11

Зх2

+

Зу2

• У - За

•(ァ

+

) = 0 ;

у2 -у -аху' =ау-х2]

у =

J

タ

2 —а х .

у х - У

x 2 _ _

2 х-һ 2уу'

へ

Л 2

37

У х - у

х -^ у у

X 2 л-у1

ズ

2

十タ

2 У . ( ズーメ) = ズ+ ヌ ，

.

х -\- у

У =

---х - у •

Қ и с ы қ қ а ж ү р г із іл г е н ж а н а м а мен н о р м а л ь д ің тендеуі осыдан 13 Берілген қисы ққа У : 2; ~ нүктесінде жүргізілген жанама мен нормальдың теңдеулерш жазѵ керек. 14 М ына қисы кқа жанама ж үргізу керек

у = 4х^

一

6

ズ

+ 3 :

а)

у

= 2 х түзуіне параллель; 一 х б ) 少一т түзуіне перпендикуляр Ш е ш у і Қисы ққа ( ^ о ^ о ) нүктесінде жүргізілген жанаманьщ теңдеуі

(

ズ

-

ズ

о)

У - У о

= 少

(

ズー

^ ) ) . Нормаль У - ：

х ~ х 0 = -

у

\

х

0) - {

у

- У

о

)

і х о)

немесе 13 Табамыз タ жанаманьщ бұрыштық коэффициентін табамыз

- 2 х

2

；

|

(

-

\2

：

(1+

ズ

2)

、 5

ノ нүктесінде жүргізілген 38

у-1 —4(aj ― 2) 7 = ース；" ―一，немесе 4 х + 2 5 у - 1 3 = 0 . Нормальдің теңдеуі 1 _ 2 5 ( х - 2 )

⑵ = ヨ ~, ны жанаманьщ теңдеуіне қойып, табамыз

немесе 125л: — 20 ァ— 246 : 14 Жанама нүктесі ( х 0 ',У 0 ) болсын. Осы нүктеден өтетін жанаманьщ бұрыпггық коэффициенты табамыз У レ。) = 8д：。一 6 ; а) Жанама У = 2д：түзуіне параллель болу үш ін, оньщ бүрыштық коэффициеніті 8х0 - 6 = 2 тең болуы қажет, мұнан ズ0 = 1 —нүктенің абсциссасы келш шығады. Жанама нүктесінің ординатасын табамыз ■Уо ：Я х 0) = 4 - 1 2 - 6 - 1 + 3 Жанаманыңтеңдеуі ア ー1 = 2 ( х - 1 ) не タ ー2л: + 1 = 0 ; б) Жанама түзуге перпендикуляр болу үш ін, олардьщ бұрыштық коэффициенттері мына шартты ん疋“ —һ. ， қанағаттандырулары Kà i 1 1 қажет; à - ル болғандықтан 8 х 0 - 6 = - 4 шығады, осыдан х о = ~ —жанама нүктесінің абсциссасы, ал ординатасы メ。 4 + 3 =要 4 4 4 Жанаманьщтеңдеуі у - — = -4 -1 х - — немесе 16х + 4 у —1 1 = 0 .

39

5.2 Л оп и та л ь ережесі V l + 2 x + l lim -1л/2+ х + х

lim (лЛ + 2х + lj= lim \л/2 + x + xj= 0 болғандықтан,:

X— 1 X—►—1 I анықталмағандығы келіп шығады. Лопиталь ережесін пайдаланайық:

У

Г Т

^ + 1

鲁

(1+2

ホ

\

4

х

^ - 1

л/2 + x + x

- Ï Ï ? I ( 2 + x ) 4 + 1

1 + 1

^

Туындылардьщ қатнасыньщ шегі бар болғандықтан, Лопиталь ережесін қолдануға болады. Егер туындылардьщ катнасының шегі 0 оо тағы да « ^ » немесе « —— » ка әкелсе, онда ережені тағы да пайдаланып көруге болады.

ех - е ' х - 2 х

ц

ех + е - х —2

x^O

x —s in x

х->0 1 - cos X

lim ど-: 土 : = lim - X- e-~ = 2

X— о S i n x x -> 0 C O S X Осы тіркестегі алғашқы үш шек - « ~ » типтес анықталмағандық. е 4-е Мына шектің болуынан lim ― х- > 0 c o s x lim : келіп шығады т.т. х->о sin x 40

шексіз үлкен болады.

Осы функциялардьщ қайсысы тез өсетіндігін айқындайық.

lo g a x 1 1

7 lirn — -~ = lim ~ :---r r = lim

x ->оо да мына функциялар X (дг>0); l o g a^ ( ^ > 1 ) , “ （ö〉1)

x a x->-h» x - In a -a xa"" x->+<» a In a • x a GO

(бұл шекте Лопиталь ережесі « ― » анықталмағандығьш ашуга пай дал аны лды).

4

lim ―

= lim —7-— = lim

一1 ベа - 1)ノ ー 2

x ах a ( a - I I - x

X-^+oo 'd X->+o0

ax Ina

x->+oo

a "ln * ";

00 (эрбір сатыда Лопиталь ережесін «一» ке пайдаланып, бұл амалды бөлшектің алымьшдағы X тің дэрежесі нөлге тең болғанға деиін колданамыз, егер мұндағы a бүтін сан болса; ал a бүтін болмаса, дэрежесі нѳлден кіш і болғанға дейін; осылайша анықталмағандықты а ашамыз). Сонымен, х -и» дэрежелік функция ズ (а>0) l o gノ (а>1) функциясына қарағанда тезірек ѳседі, ал кѳрсеткіш тік x а функция “ (а> 1 ) - дәрежелік функциядан X (а>0) тез оседі. 0 оо Анықталмағандықтардың басқа түрлерін (« ~ » жэне « ― » емес) U со қандай да бір эдіспен осы анықталмағандықтарға келтіру қажет. 5 lim sin x •ln x Мұнда « 0 • oo » анықталмағандығы бар. х^0+ Теріс дэрежелерді пайдаланып, бѳлшекке түрлендіреміз. Сонда 00 Лопиталь ережесін пайдалануға болатын «一» анықталмағандығы шығады. 1 . , lnx v

lim sin x • ln x = lim 丁.~ r f = lim —7-.~ --- = x->0+ x->0+ (sin X j x-»0+

一

(Sin X j . COS X

sin2 x sinx sinx , л л

= lim ---

=一

lim --- lim X • COS X X-^- X x->0+ COS X

Жалпы жағдайда « 0 * оо » анықталмағандығын былай түрлендіреді

41

Осы типтес эрбір мысалда екі функцияньщ қайсысын бөлімге жіберуді таңдап алу керек. Тэжрибе логарифмдік функцияны алымда қалдыру тиім ді екенін көрсетеді.

Мысалға

s in x

lim s in x - ln x = Um ,

ч_,

х->0+ х->0+ (ІП X j 0 Бұл « ~ » анықталмағандығы. Лопиталь ережесін тағы да пайдаланғанда қайтадан (« 0 • оо » типі) келеміз, логарифмдік функци5іның дэрежесі артып, қолайсыздыққа әкеледі. s in x co s x t 2

lim -г— г т = l i m --- г - = lim cosx • lim x ln x =

h(ln x )"' x^ - ( l n x)-： х-Я>+ X lim x •ln2 x X-+0+ lim X->1 V ln X X - 1 ノ Мұнда « оо — oo » анықталмағандығы бар. Ортақ бөлімге келтіріп, « ~ » анықталмағандыгьша келіп, оған Лопиталь ережесін пайдаланамыз. / 、

1

」

1

迚

( Ü ) =l1^— -=ь'

_{( х - І ) - І п д :} 一

= l i m

X-*\ A ノ Jf-^l ln x + : JC-l

x l n x + x - l

0 Лопиталь ережесін тағы да Бұл аныкталмағандыққа « ~ » пайдаланамыз. l w x l n x + x - l = = 1 =

去

7 ノ^ 1( / さ ) . Мұндағы анықталмағандық « ° о ° ».

: ( tg x ) Ltgx деп белгілейміз де n дің орнына қарастырамыз

lim ln y = lim c tg x ln ( tg x )= lim =

х->^-0 х~Д-0 х~Д-0 (Ctg x j

ln (tg x ) COS2X 1

= lim --- = lim ---ъ--- = lim --- = 0 x - , * - 0 x - > | - 0 COS X ] g X x - ^ | - 0 t g X (Мұндағы анықталмағандық « 00 • 0 » анықталмағандық« ~ » ге келтірілген де Лопиталь ережесі қолданылған). 呼 、一 болғандықтан, е көрсеткіш тік функциясыньщ х->——0 ₂ lim у == е0 = 1 . үзіліссіздігінен 1 „ J келш шығады. х 2 Сонымен, 8 l i m (cos lim ( tg x ” 2 x y ^ = l i m 一 ₍一 ₎ノ 31n cos 2x jjm 31n cos 2x _ Л Ең соңында ^ функциясыньщ үзіліссіздігі пайдаланылған. Ыңғайлы болу үш ін е = С Хр { f l } деп белгілейміз де, 43

lim

ぃ_~+0

31ncos2x

exp] 1іщ З (- sin 2x) • --- ― I

I x-»o 2 xco s 2xJ

2xcos2x

exp{ - б} = e

〜

[

x-^o 2x

x^o cos 2x J

Тейлор формуласы Ең ж ең іл варианттан 一 «n» дэржелі кө п м ү ш е л ік ү ш ін Тейлор ф ормуласынан бастайы қ р (.х ) = 尸 С О ( ズ - ズ。) + ^ ( ^ о ) — — + … + 9 ^ ( х ) — х г —

2 х 2

+ З л + 5， ズо = 2 болганда

р (х 0) = 8 - 8 + 6 + 5 = 11

Р_(х) = 3 х 2 - 4х + 3, Р '(х0) = 1 2 - 8 + 3 = 7

Р "(х ) = 6 х - 4 ,

Р "(х 0) = 1 2 - 4 = 8

Р '"(х )= 6 ,

Р",(х 0) = 6

Сонымен,

= 11 +

і ( х

— 2)+ 4(х — 2) + (х —2)

f ( x ) = f ( x Q) + f '( x 0) - ( x - x 0) + f " ( x o ) ^ X

^

+ ...+

+ f (п )(Хо ) .

1x_z2LoJ

+ f (п+0 ( с ) , ( х - х 0 Г 1 44

мұндағы С = с (х ) Х0 мен X тің арасындагы нүкте,

с = х 0 4-Ө(х - х 0), 0<Ө<1.

Қалдық мүшенің мұндай түрде жазылуының ерекшелігі: С — с ( х ) бізге белгісіз болса да, қалдық мүшені багалауға болады. 10 Х0 = 0 нүктесінде /( л :) =

1п(і

+ х ) функциясы үш ін Тейлор формуласыньщ 10 мүшесін жазып, оның қалдық мүшесін XЕ [0 ,і] үш ін бағалау керек. Х 0 = 0 нүктесінде Тейлор формуласы мына түрде жазылады / W = / ( о ) + / (о )х + / (о )— + ... + f (n){ o ) — + +/ {п^ { Ө х ) X n+1

(«+1)

Бұл Маклорен формуласы Біздің мысалымыз үш ін / ( 0 ) = 0 ; / ' W = — ; / ' ( 0 ) = 1；

/ , ( х ) = (

^

; / , ( 0 ) = - 1; / '"w = ( ^ y ; / "'(0):

/ > ) = - 2 . 7 Г ^

т ; / " " ( О ) - - З

!；...； (1 + х )

/ (

勢

( - 1 Г

/ (л+1)(х ) = ( - 1 ) л Осыдан ( п = 9 ) .

/ W(0)=(-1广ч « - 1);

( l + x ) (1 + x )/1+1

ln (l + JC) = л

；

— ^

— 3 ! < + …+ 8 ! i —

一

.-- 91

ズ

10

，

2!

3!

4!

9 ! 10!(l + ö x ) 10

t v 2 3 4 9 \ \ X X X X ln ( l + X ) = X -- 1-- h ... +

---'

2

3

4

n

V e

ю 1 Г + Ў х ў °

， 0 < Ö < 1 Бұл формула Д： e (—1，1] үш ін дұрыс, өйткені х = —1- 1п(1 + ;с) функциясыньщ үзіліс нүктесі. Формуланың қалдық мүшесін, X

Е (0,1) үшін бағалайық.

A く _{i L} 10(1 + 0 、10 一 1 0 ，ө^ ткен' бүл бөлшектің

丨 补

PT oö^f

ең үлкен мэні бөлімінің 1 = 0 болгандағы ең к іш і мәні болады. 11 j \ x ) = • Маклорен формуласы ббйынша ж іктеу керек. Осы формуланың кѳмегімен е саньш 0.001 ге дейінгі дәлдікпен есептеп табу керек. / ( 0 ) = 1； f ' ( x ) = e x ; / ' ( 0 ) = 1; f { x ) ^ e x ; f { o ) = l„..-, / ( я) ( х ) = ど; / (я)( 0 ) = 1； / (л+,)( х ) = е \ Сонымен X X X I Ѳх 6 = 1 ~Ь X H--- 1---Һ ... H--- h 6

2!

3!

n\

Бұл (Ьормулада X е ( - с о，о о )，0 < ^ < 1 .

x

( п + l ) ! Л -X = \ ^ = 1 + 1 H---!--- һ . . л --- [■丁7 --- \ " 2! 3! п \ (w + l ) 46

e

Есептің шарты бойынша

< ( ^ ) ~ ( ^ Т Т ) ~ T^ÖÖ ' ЯҒНИ

(« + 1)!>3000.

6 ! = 7 2 0 , 7 ! = 5040 болғандықтан, w + l = 7，n = 6 . Сонда t , 1 1 1 1 1 0 1 1 1 , 1 1 一 _{” Qï}

e =1 +1 н--- 1

--- 1--- 1--- 1— = 2 H---1---1--- 1

--- 1---= 2,781

2! 3! 4! 5! 6! 2 6 24 120 720 12 Тейлор формуласыньщ үш мүшесін жазып, л / з ^ ті жуықтап есептеп, табылган нәтиженің қатесін табу керек. J { л ) = у /X функциясын қарастырамыз жэне оны Х0 = 32 де Тейлор формуласы бойынша ж іктейміз (үш мүше жэне қалдық мүше)

/ ( х 0) = 5

Ѵ32 = 2;

f ' ( x ) = —^ = - f \ x ü)

5 ^ 1 7 ' J V 0/ 5 . 2 4 8 0， 2 5 ^ 7， ノ 、°广 25プ - 3 2 0 0’ ノ ” 厂 1 2 5 が

5

j~

x - 3 2

{ x - 3 2 f

6 { x - 3 2 f

Осыдан ズ _{- 80 6400 1 2 5 ^ ё 14 '}

Бұл

формулада -X = 33 деп алып,

ѴЗЗ = 2

+ ― ― . Қатесі ，

сб [3 2 ,3 3 і

1 2 5 Ѵ с 14 Ö Ö J Сонда |Г|< 1 2 5 ^ 3 2 ^ = ! 2 5 - 2 14 1024ÔÔÔ- (Ең басынан ѴЗЗ = 2 екендігі айқын болды. Біз тің 2 ден қанша айырмашылығы барлыгын қарастьфдық). Маклорен формуласы бойынша жіктегенде төменгі функциялардьщ дайын жіктеулерін пайдалану тиімді:

47