共通因数による因数分解

日付 ݄೔༵೔


名前 ʣ

例題

共通因数による因数分解

１

ڞ௨Ҽ਺ͷݟ͚ͭํ

ʼୈ̍ষ਺鱭ࣜʼୈ̍અࣜ鱳ܭࢉʼୈ̏ߨɿҼ਺෼ղ

਺I

੔ࣜʹؚ·ΕͯΔಉ͡਺ɾจࣈͷ͜ͱ

ྫ

࣍ͷࣜΛҼ਺෼ղ͠ͳ͍͞ɻ

(1) (2)

(3) (4)

(a − b)x + (b − a)y

4ab

− 6a

b

ղ

3x

y + 2x y

(1)

(2)

(3)

(4) ڞ௨Ҽ਺ʜ

ಉ͡਺ ಉ͡਺ͰׂΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δ਺

ಉ͡จࣈ ಉ͡จࣈͷछྨΛ͢΂ͯબͿ

Ҽ਺෼ղ

੔ࣜΛੵͷʢɹɹɹʣͷܗʹͰ͖ΔݶΓ෼ղ͢Δ͜ͱ

= x

+ 5x + 6 (x + 2)(x + 3)

ల։

Ҽ਺෼ղ

x

+ 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) 3ab(a + c) = 3a

b + 3abc

3a

b + 3abc = 3ab(a + c)

ྫ

6a

b

8ab = 2ab (3a

4)

3x

y + 2x y

=

(3x

+ 2y)

4ab

6a

b

= 2ab

(2b

3a) (x − y)a − (x − y)b

(a− b)x + (b −a)y = (a− b)x −(a− b)y

= (a− b)(x −y) (x −y)a− (x − y)b = (x − y)(a− b)

例題

たすきがけの因数分解

͖͕͚ͨ͢ͷ΍Γํ

ղ ʼୈ̍ষ਺鱭ࣜʼୈ̍અࣜ鱳ܭࢉʼୈ̏ߨɿҼ਺෼ղ

਺I

acx

+ ( ad + bc ) x + bd = ( a x + b )( cx + d )

a x cx

ᶃ͔͚ࢉΛߟ͑Δ ᶄΫϩε͢Δ ᶅͨ͠ࢉ͢Δ

ᶃ

b d

ᶃ ᶄ

bcx

ad x

ᶅ

(ad + bc)x

ྫ

ࣦ ഊ

ྫ

3 x

+ 14 x + 8 3x

x

4 2

4 x 6x 10x

3x x

2 4

2x 12x 14 x

੒

ޭ

ྫ

= (3x + 2)(x + 4)

࣍ͷࣜΛҼ਺෼ղ͠ͳ͍͞ɻ

(1) (2)

(3)

2x

− 5x − 3 25a

− 20ab + 4b

a x

+ (1 + ab)x + b

(1)

(2)

2x²−5x− 3

2x

x −3

1 x

−6x

−5x

= (2x + 1)(x − 3)

25a²−20ab + 4b²

5a 5a

−2b

−2b

−10a b

−10a b

−20a b

= (5a −2b)(5a −2b)= (5a −2b)²

(3) a x²+ (1 +ab)x +b

a x

x b

1 x

a bx

= (a x + 1)(x +b)

２

例題１

置き換えを利用した因数分解

ஔ͖׵͑Δ΂͖΋ͷ

ղ ʼୈ̍ষ਺鱭ࣜʼୈ̍અࣜ鱳ܭࢉʼୈ̏ߨɿҼ਺෼ղ

਺I

ᶄಉ͡จࣈͷ૊Έ߹ΘͤΛɹͱ͓͍ͯҼ਺෼ղ͢Δ

A

ᶃಉ͡૊Έ߹ΘͤʹͳΔ΋ͷΛͭ͘ΔͨΊʹల։͢Δ

࣍ͷࣜΛҼ਺෼ղ͠ͳ͍͞ɻ

2( x − y )

+ 5( x − y ) + 2

2(x − y)²+ 5(x − y) + 2

= 2A²+ 5A+ 2

= (2A+ 1)(A+ 2)

= {2(x −y) + 1}(x − y + 2)

= (2x −2y + 1)(x + y + 2)

ྫ

(x − 1)(x − 2)(x + 3)(x + 4) − 36

= (x

+ 2x − 3)(x

+ 2x − 8) − 36

A A

A A

ผղ 2(x −y)²+ 5(x −y) + 2

2(x−y)

(x−y) 2

1 (x−y) 4(x−y) 5(x−y)

= {2(x −y) + 1}(x− y + 2)

日付 ݄೔༵೔


名前 ʣ

３

例題３ 例題２

置き換えを利用した因数分解

ʼୈ̍ষ਺鱭ࣜʼୈ̍અࣜ鱳ܭࢉʼୈ̏ߨɿҼ਺෼ղ

਺I

ղ

࣍ͷࣜΛҼ਺෼ղ͠ͳ͍͞ɻ

(x − 1)(x − 2)(x + 3)(x + 4) − 36

ղ

࣍ͷࣜΛҼ਺෼ղ͠ͳ͍͞ɻ

x

− 3x

− 4

x⁴− 3x²−4

= A²− 3A−4

= (A+ 1)(A−4)

= (x²+ 1)(x²−4)

= (x²+ 1)(x + 2)(x− 2)

= (x²)²− 3x²− 4

A A

ผղ

x⁴− 3x²−4

x² x²

1

−4 −4x² x²

3x²

= (x²+ 1)(x²−4)

(x −1)(x − 2)(x + 3)(x + 4)− 36

= (x −1)(x + 3)(x −2)(x + 4)−36

= (x²+ 2x −3)(x²+ 2x − 8)− 36

= (A− 3)(A−8)−36

= A²−11A+ 24−36

= (A+ 1)(A− 12)

= (x²+ 2x + 1)(x²+ 2x− 12)

= (x + 1)²(x²+ 2x − 12)

A A

日付 ݄೔༵೔


名前 ʣ

３

例題

ղ

x

+ x y + x + 2y − 2

因数分解を考える順序

Ҽ਺෼ղͷ༏ઌॱҐ

̍ɽڞ௨Ҽ਺͕͋Δ͔

̎ɽ࠷௿࣍਺ͷจࣈͰ੔ཧͰ͖Δ͔

̏ɽ߱΂͖ͷॱͰ੔ཧͰ͖Δ͔

̐ɽֻ͖͚͕߱ͨ͢Մೳ͔

ྫ

6a

b

8ab = 2ab (3a

4)

̍ɽڞ௨Ҽ਺͕͋Δ͔

̎ɽ࠷௿࣍਺ͷจࣈͰ੔ཧͰ͖Δ͔

x

+ x y + x + 2y

2

2x²+ 5x y + 3y²+ 2x +y − 4

࠷௿࣍਺ͷจࣈɿ

y

̏ɽ߱΂͖ͷॱͰ੔ཧͰ͖Δ͔

x

y

x

+ x y + x + 2y

2

= (x + 2)y + (x

+ x

2)

= (x + 2)y + (x + 2)(x

1)

= (x + 2){y + (x

1)}

= (x + 2)(x +

1)

࠷௿࣍਺ͷ൑அ͕Ͱ͖ͳ͍ͱ͖͸߱΂͖ͷॱ

࠷௿࣍਺ͷ௿͍ͷจࣈɹͰ͘͘Δy ʼୈ̍ষ਺鱭ࣜʼୈ̍અࣜ鱳ܭࢉʼୈ̏ߨɿҼ਺෼ղ

਺I

日付 ݄೔༵೔


名前 ʣ

４

࣍ͷࣜΛҼ਺෼ղ͠ͳ͍͞ɻ

例題３

４

例題２

ʼୈ̍ষ਺鱭ࣜʼୈ̍અࣜ鱳ܭࢉʼୈ̏ߨɿҼ਺෼ղ

਺I

ղ

࣍ͷࣜΛҼ਺෼ղ͠ͳ͍͞ɻ

a(b + c)

+ b(c + a)

+ c (a + b)

− 4abc

ղ

࣍ͷࣜΛҼ਺෼ղ͠ͳ͍͞ɻ

2x

+ 5x y + 3y

+ 2x + y − 4

因数分解を考える順序

2x

+ 5x y + 3y

+ 2x + y

4

= 2x

+ (5y + 2)x + (3y

+ y

4)

= 2x

+ (5y + 2)x + (3y + 4)(y

1)

= (2x + 3y + 4)(x +

1)

2x x

3y + 4 y − 1

3x y + 4x 2x y− 2x (5y + 2)x

߱΂͖ͷॱͰ੔ཧ͢Δ

࠷௿࣍਺͕x, y

ͲͪΒ΋ಉ͡ a(b + c)²+ b(c +a)²+c(a +b)²− 4abc ^{࠷௿࣍਺͕}

͢΂ͯಉ͡

ҰͭͷจࣈͰ


੔ཧ͢Δ

= (b +c)²a + b(c²+ 2ca +a²)

+c(a²+ 2ab +b²) −4abc

= (b +c)²a + bc² + 2abc +a²b

+a²c + 2abc +b²c − 4abc

= (b +c)a²+ {(b + c)²+ 2bc + 2bc− 4bc}a + bc²+ b²c

= (b + c)a²+ (b +c)²a+ bc(b +c)

= (b + c){a²+ (b +c)a +bc}

日付 ݄೔༵೔


名前 ʣ