解答例 ２次数学セレクション

‹電送数学舎 2006 −−

１ [金沢大・文] まず ∠$$$ =°より

VLQ $ $

$ = ⋅ ⋅ °=

△

FRV $

$ = × °= ∠$$$ =°から

$ $

$ = ⋅ ⋅ =

△

また△$$$は正三角形なので VLQ $ $

$

= ⋅ °=

△

さいころを 回投げたとき三角形ができるのは出た目がすべて異なる場合で ある。するとこの確率は

3

=

これより三角形ができない確率は− = である。

△$$$と合同な三角形は 個存在しそれぞれの三角形について目の出る 順序が通りずつある。

よってこの確率は

= ×

である。

と同様すると△$$$と合同な直角三角形は×=個存在しそれぞれ の三角形について目の出る順序が通りずつある。

よってこの確率は

= ×

である。

また△$$$と合同な正三角形は個存在しそれぞれの三角形について目 の出る順序が通りずつある。

よってこの確率は

= ×

である。

さいころを 回投げたときこの 種類の三角形以外は図形の面積が なので 図形の面積の期待値は

× + × + × =

［解 説］

有名な問題です。期待値の計算への誘導も丁寧です。

$ $ $

$

‹電送数学舎 2006 −−

２ [東京大・文] ×が 個出る前に○が 個出る場合は×○○××○○×○×○のいずれか

なのでその確率3は

S S S S S S S S S S S

3 = − + − + − = − + + − +

_{S S S} + − −

=

×が個出る前に○が個出る場合は×○○○××○○○×○×○○ ×○○×○のいずれかなのでその確率3は

SS S SS S S SS S

3 = − + − + − + − −

_{S SS S S S S S} + − + + − + + −

=

_{S S S S} + − −

=

×が個出る前に○がQ個出る場合は L 最初の×の後○が続けてQ個出るとき

このときの確率は −

−S SQ である。

LL 最初×が個出た後○が続けてQ個出るとき このときの確率は _{S SS}Q _SSQ

− =

− − である。

LLL最初の×の後○が続けてN個次に×さらに○が続けてQ−N個出るとき

このときの確率は≦N≦Q−として

− − − −

− = −

−S SN S SQ N S SQ

L∼LLLより×が個出る前に○がQ個出る確率3Qは

¦

−

=

− −

− + −

+ −

=

Q

N

Q Q

Q

Q S S S S S S

3

− − −

− + + −

= S SQ S Q S SQ =−SSQ−

{

S+S+Q−−S

}

=−SSQ−

{

QS −Q−S+Q−

}

［解 説］

‹電送数学舎 2006 −−

３ [千葉大] ; =となるのは取り出された枚のカードが とおよび以上が枚の

場合なのでその確率は &

= =

−

枚のカードに書かれたつの整数をDEF（D＜E＜F）とおきE=Nのときの E

D+ の期待値を(Nとすると

{

}

&

N N N N N

(N = + + + +"+ − + ⋅ −

₌+N+N−+NN−_⋅−N N N− −N

=

すると;の期待値(は≦N≦から

¦

₌ − −

=

_N N N N

(

¦

=

− −

=

_N N N N

¦

=

− + − =

_N N N N

₌

(

_{−⋅⋅ +⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅}

)

=

［解 説］

‹電送数学舎 2006 −−

４ [名古屋大・文] まず試行後の新しい底面の数字とその数値になる確率を表にまとめる。

L 底面の数字がまたはのとき 新しい底面の数字は のいず れかとなる。

LL 底面の数字がまたはのとき 新しい底面の数字は のいず れかとなる。

LLL底面の数字がまたはのとき 新しい底面の数字は のいず れかとなる。

さて底面の数字がであるとき試行を回行うと新しい底面の数字は のいずれかであるので

= S +S =

T

次に試行を 回行ったとき底面が となるのは→→→→

→ → →→の場合底面が となるのは →→ →→

→ → →→の場合でそれぞれの確率は

= × + × + × + × =

S

= × + × + × + × =

S

よってT =S+S= + =

Q 回の試行の後底面の数字が または となるのは Q−回の試行後底面の 数字がまたはでないときである。

−

Q 回の試行後底面の数字がまたはのときもまたはのときもQ回の 試行後底面の数字がまたはとなる確率は + =なので

− − = Q

Q T

T TQ − =−

(

TQ− −

)

Q≧

=

T より TQ −=

(

T−

)(

−

)

Q− =−

(

−

)

Q−となり

(

)

−

− −

= Q

Q

T

{

(

)

}

−

− −

= Q ………＊

＊にQ=をあてはめるとT =となりQ=のときも満たしている。

Q 回の試行の後底面の数字が となるのはQ−回の試行後底面の数字が または でないときである。Q−回の試行後底面の数字が または のときも またはのときもQ回の試行後底面の数字がになる確率は なので

新しい底面

確 率

新しい底面

確 率

新しい底面

‹電送数学舎 2006 −−

= − Q−

Q T

S Q≧

するとより SQ= ⋅TQ

{

(

)

}

− − −

= Q ………＊＊

＊＊にQ=をあてはめるとS=となりQ=のときも満たしている。

［解 説］

一見，難しそうな題意を把握するために では考えた順にやや詳しく書きまし た。なお漸化式の威力が発揮されるこの手の問題は頻出です。名大では 年に 類題が出ています。

© 電送数学舎 2007 －6－

［北海道大・文］

(1) (i) a1≦a2≦≦an 1 , 1a1 a2an  場合 け , 1

) 1 ( 

n A

ま , 2a1≦a2≦≦an  , 1a1  n1C1 n1通 , 2a1  1通 ,

n n

An(2)( 1)1

(ii) a1≦a2≦≦an 3 , an1 , 1an1 , 2an1 , 3an1 い

あ , そ 場合 数 そ An1(1), )An1(2 , )An1(3 , )

3 ( )

2 ( )

1 ( )

3

(  n1  n1  n1

n A A A

A

(i) , )An(3)1(n1)An1(3 An1(3)n

, n 2 ,



   n

k

n A k

A

2 1(3)

) 3

(



   n

k k 2

1 ( 1)

2

1 _

 n n

(2) an1＞an , 3an12, あ 。 (i) an12

1 2

1 a an

a ≦ ≦≦ を 満 数 列 An1(2)通 , ま an 1 , こ 場 合 , 1

1 ) 2 (

1   

 n

An 通 あ 。

(ii) 3an1

1 2

1 a an

a ≦ ≦≦ を 満 数列 An1(3)通 , ま an 1, 2 , こ 場合 , An (n 1)n 2 (n 1)n

2 1 2 ) 3 (

1      

 通 あ 。

(i)(ii) , 条件を満 数列 数 , ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1

(n  n n n n

［解 説］

漸化式を立 いう誘導 い いま , 場合 数 有名問題 。不等号

© 電送数学舎 2007 －7－

［東京大］

(1) n回硬貨を投 , 最後 ロック 高さ m , 最初nm1回

任意, 次 1回 裏 , そ 後m回続け 表 出 場合 , そ 確率pm ,

m

m p p

p (1 ) (0≦m＜n)

し, mn ,

m m p

p  あ 。

(2) 最後 ロック 高さ m以 確率qm , (1) , (i) 0≦m＜n



_   m

k

k

m p p

q 0

) 1

( 1

1

1 1

1 ) 1

( 

      

 m _pm p

p p

(ii) mn

m m

k

k

m p p p

q 



   

1

0

) 1

( 1

1 1 ) 1

(  

   

 m _pm p p p

(3) 2度 ゲーム い , 高い方 ロック 高さ m あ , 1度目m 2

度目m1以 , ま 1度目m1以 2度目m, ま 1度目2度目 もm い あ 。そ 確率rm , (1)(2) ,

(i) 0≦m＜n

) 2

( 1 2

1

1 m m m m m m

m m

m p q q p p p q p

r        

) 2

2 ( ) 1

(     1

 _{p p}m _pm _pm _pm _(1p)pm_(2pm _pm1₎

(ii) mn

2 1

1 m m m

m m

m p q q p p

r      2pm(1pm)p2m 2pm p2m

［解 説］

裏 , 過去を清算 タイプ ゲーム 。 , mn 場合を特別

© 電送数学舎 2007 －8－

［大阪大・文］

(1) Gk(1≦k≦6) 確率をpk く。

さ , G3 , 3ま 6 け n回出 , し も6 続け n回出 い場合 , そ 確率 ,

       

n n n n p

6 1 3 1 6

1 6 2

3    

(2) (i) G 6 6 n回出 場合 , そ 確率

 

n p

6 1

6  あ 。

(ii) G5 5 n回出 場合 , そ 確率

 

n p

6 1

5  あ 。

(iii) G4 4 n回出 場合 , そ 確率

 

n p

6 1

4  あ 。

(iv) G3 (1) , p

   

n n

6 1 3 1

3   あ 。

(v) G2

2, 4, 6 け n回出 , し も4 続け n回出 い, さ 6 続け n回出

い場合 , そ 確率 ,

 

n

   

n n

 

n p

6 1 2 2 1 6

1 2 6 3

2      

(vi) G1

(i)～(v) 余事象を考え , そ 確率 ,

        

n n n n

      

n n n p

3 1 2 1 1 6 1 2 2 1 6 1 3 1 6 1 3 1

1           

(i)～(vi) , G 期待値 ,

1 2 3 4 5

6 5 4 3 2

6p  p  p  p  p p

 

n

      

n n n

      

n n n

3 1 2 1 1 6 1 2 2 1 2 6 1 3 1 3 6 1 ) 4 5 6

(             



 

   

1

2 1 3 1 2 6 1

8    

 n n n

［解 説］

具体的 考え い ミスをしそう 問題 。特 G2 , 注意力を要求

© 電送数学舎 2007 －9－

［広島大・理］

(1) 辺BC 点O あ 場合 ,

) 1 , 1 2 ( , ), 2 , 2 ( ), 1 , 1 ( ) ,

(B C  n n  n n

, n1通 場合 あ 。 (2) 辺AB 点O あ 場合 ,

) 1 , ( , ), 2 , ( ), 1 , ( ) ,

(B C  n n  n n

, n1通 場合 あ 。

ま , 辺AC 点O あ 場合 ,

) , 1 2 ( , ), , 2 ( ), , 1 ( ) ,

(B C  n n n n  n n

, n1通 場合 あ 。

以 , (1) 場合も考え合わ , △ABC 辺 点O あ 確率 ,

1 2 3 ) 2 2 )( 1 2 ( ) 1 ( 6 C ) 1 ( 3 2 1

2    

 



 n n n

n n

n

(3) △ABC 内部 点O あ 場合 , 1

1≦C≦n , n1≦B≦nC1

こ 不等式を CB 平面 図示 , 右図 網点部 。こ 領域内 あ 格子点(C, B) 個数 ,

) 1 )( 2 ( 2 1 ) 2 ( 3 2

1   n  n n

, こ 場合 確率 ,

) 1 2 ( 2 2 C 2 ) 1 )( 2 ( 2 1 2        n n n n n

(4) X 期待値をE ,





₂ 1₁

) 1 2 ( 2 2 1 2 3 1 0 ) 1 2 ( 2 2 2 1 2 3 1                

 n_n

n n n n n n E

［解 説］

び び出題さ い 確率 有名問題 。(3) , 格子点 個数を対応さ 数え いま 。

C B

1 2

O n1 1

 n

2 2n

O A 0 ₁

2

3

n n1

1 2n

1  n B

© 電送数学舎 2007 －10－

［名古屋大・理］

(1) 赤玉, 黄玉ま 青玉 個数を, (赤, 黄･青) 順

記 し, 標 平 面 格 子 点 を 対 応 さ , 右 図

う ,

5 2 5 4 4 3 3 2 ) 1 (

3     p





₁₀3

5 3 2 1 3 1 4 1 3 2 5 1 4 3 3 2 ) 2 (

3          p





₅1

5 2 2 1 3 1 5 2 2 1 3 1 4 1 3 2 ) 3 (

3          p 10 1 5 3 2 1 3 1 ) 4 (

3     p

し ,

1 : 2 : 3 : 4 ) 4 ( : ) 3 ( : ) 2 ( : ) 1

( 3 3 3

3 p p p 

p

(2) pN(1): pN(2):: pN(m):: pN(N1) N1: N :: Nm2::1

, (1) 推測 , 1≦m≦N 1 ,

) 2 )( 1 ( ) 2 ( 2 ) 1 ( 2 1 2 ) (           

 N m _{N N}N m_N m

pN



以 こ 推測 正しいこ を, 数学的帰納法を用い 証明 。 (i) N 1

3 2 ) 1 ( 1  p , 3 1 ) 2 ( 1 

p , 成立し い 。

(ii) N k

) 2 )( 1 ( ) 2 ( 2 ) (      _kk m_k

m

pk (1≦m≦k1) 仮定 。

1

 k

N m1 , (赤, 黄 ･ 青)(1, k2) 黄 ま 青 を 取

出 場合 ,

) 3 )( 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 )( 1 ( ) 1 ( 2 3 2 ) 1 ( 3 2 ) 1 ( 1              

 p _kk _k k _{k k} k _k k

k

pk k





) 3 )( 2 ( 2 1 ) 1 ( 2      _kk _k

1

 k

N ml(2≦l≦k1) , (赤, 黄･青)(l, k3l) 黄

ま 青を取 出 , (赤, 黄･青)(l1, k4l) 赤を取 出 場合 , ) 1 ( 3 1 ) ( 3 3 ) ( 1       

 p l

k l l p k l k l

pk k k

) 2 )( 1 ( ) 3 ( 2 3 1 ) 2 )( 1 ( ) 2 ( 2 3 3               

 _kl _k k l_k k k l k k l k ) 3 )( 2 ( ) 3 ( 2 ) 2 )( 1 ( 1 3 ) 3 ( 2            

 _k k _{k k} k l_k k l k





) 3 )( 2 ( 2 ) 1 ( 2      _kk _kl

2 1 4 1 4 3 3 2 5 2 2 1 3 1

O 1 2 3 4

2 3 4

赤

5

黄 青

© 電送数学舎 2007 －11－

1

 k

N mk2 , (赤, 黄･青)(k1, 2) 赤を取 出 場

合 ,

) 3 )( 2 (

2 )

2 )( 1 (

2 3

1 )

1 ( 3 1 )

2 (

1

         

 

 p k _kk _{k k k k}

k k k

pk k





) 3 )( 2 (

2 ) 2 ( ) 1 ( 2

     

 k_{k k}k

以 ,





) 3 )( 2 (

2 )

1 ( 2 ) (

1

    



k k

m k

m

pk (1≦m≦k2) あ 。

(i)(ii) ,

) 2 )( 1 (

) 2 (

2 ) (

     _NN m_N

m

pN (1≦m≦N1)

［解 説］

状態 推移を 標平面 点を対応さ 考え, (2) 証明も図を見 行いまし

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10 ［東京大・文］

(1) ま 操作(A)を4回繰 返し 後, 4回目 初

白 4 枚 , 白 枚 数 注 目 し 場 合 分 けを , そ 確率 ,

(i) 2→1→2→3→4

64 3 4 1 2 1 4 3 2

1_{   }

(ii) 2→3→2→3→4

64 3 4 1 2 1 4 3 2

1_{   }

(i)(ii) ,

32 3 64

3 64

3 _{ }

(A)を4回繰 返し 後, 4回目 初 黒 4枚 確率も同 く 32

3 _{, 4}

枚 も同 色 カード 確率 ,

16 3 32

3 32

3 _{ }

(2) ま , 操作(A)をn回繰 返し 後, 白 1枚ま 3枚 確率をan, 白 2枚

確率をbn く ,

n n b

a 1 ……… , b_n a_n 4 3

1 

 ………

, 1 1

4 3 _

  n

n b

b

ここ , 条件 , 1b0 , 0b1  , (i) n 奇数 , 0bn 

(ii) n 偶数 , 0

   

2 2 4 3 4

3 n n

n b

b  

さ , 操作(A)をn回繰 返し 後, n回目 初 4枚 も同 色 確率 ,

2 1

4 1 4

1 _{  }

n

n b

a ,

(i) n 奇数 , 0 4

1

2  n

b n1 も成立し い

(ii) n 偶数 ,

 

2

2

2

4 3 4 1 4

1 _{ } n

n b

［解 説］

状態 推移 対称性を利用し , (2) 漸化式を立 まし 。

0 ― 1 ― 2 ― 3 ― 4 2

1 2 1

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11 ［千葉大・理］

(1) 題意 値X い , X≦k 場合 次 2通 あ 。 (i) 記録し 値 べ k以

こ ,

3

k 通 場合 あ 。

(ii) 記録し 値 1 k 大, 他 2 k以

こ ,

2 2

1

3C (nk)k 3(nk)k 通 場合 あ 。

(i)(ii) , ₃

2

3 2

3 _{3( ) ( 2 3 )}

) (

n n k k n

k k n k

k X

P ≦       kn も成立

(2) (i) k1

3

2 3 ) 1 ( ) 1 (

n n X

P X

P   ≦  

(ii) 2k

) 1 (

) (

)

(X k P X k P X k

P ≦ ≦



₃



2

3

2_{( 2 3 ) ( 1) 2( 1) 3} n

n k

k n

n k

k    

   

3

2 _{6( 1) 3 2}

6

n

n k n

k    



 ………(＊)

, (＊) k1を代入 ,

3

2 3

n

n _,

成立 。

(i)(ii) , )P(X k

3

2 _{6( 1) 3 2}

6

n

n k n

k    

 

(3) (2) , )P(X k

 



2 2

 

1 3

2 1 3 2

1 6

n n

n

k   

 

(i) n 奇数 ) (X k

P  最大 ,

2 1

 n

k あ 。

(ii) n 偶数 ) (X k

P  最大 , 1

2 ,

2 

n n

k あ 。

［解 説］

(1) , 問題文 流 沿 立式 こ 可能 , 出題者 意図 解

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12 ［名古屋大・文］

(1) 赤玉3個, 白玉2個 入 い 袋B 2個 玉を取 出 , 5C2通

同様 確 しい 。

, 取 出さ 玉 , 赤0個, 白2個 確率

10 1 C C 2 5 2 2 _

, 赤1個, 白1個

確率

10 6 C C C 2 5 1 2 1 3   _,

赤 2 個, 白 0 個 確率

10 3 C C 2 5 2 3

 , 赤玉 個数

期待値 ,

5 6 10 3 2 10 6 1 10 1

0     

(2) 赤玉 2 個, 白玉 2個 入 い 袋 A 1 個 玉を取 出し, そ あ 袋 B 2個 玉を取 出 。こ , 赤2個 確率 ,

(i) 袋A 赤玉を取 出し

10 3 10

6 4 2_{ }

(ii) 袋A 白玉を取 出し

20 3 10

3 4 2_{ }

(i)(ii) , 20 9 20 3 10

3 _{ }

(3) 最初 袋A 取 出し 玉 色 場合分けを 。 (i) 最初 袋A 赤玉を取 出し

(a) 次も袋A 赤1個, 白2個 2個取 出 , 赤玉 個数 期待値 ,

3 2 3 2 1 3 1 0 C C C 1 C C 0 2 3 1 2 1 1 2 3 2

2 _{ }  _{    }



(b) 次 袋B 2個取 出 , 赤玉 個数 期待値 , (1) 5 6

あ 。 (a) (b) ,

5 6 3 2

＜ , 次 袋B 2個取 出 こ を選択 。

こ 赤玉 個数 期待値 ,

10 11 10 3 4 2 3 10 6 4 2 2 10 1 4 2

1        

(ii) 最初 袋A 白玉を取 出し

(a) 次も袋A 赤2個, 白1個 2個取 出 , 赤玉 個数 期待値 ,

3 4 3 1 2 3 2 1 C C 2 C C C 1 2 3 2 2 2 3 1 1 1 2         

(b) 次 袋B 2個取 出 , 赤玉 個数 期待値 , (1) 5 6

あ 。 (a) (b) ,

5 6 3 4

＞ , 次 袋A 2個取 出 こ を選択 。

こ 赤玉 個数 期待値 ,

3 2 3 1 4 2 2 3 2 4 2

© 電送数学舎 2008 －15－

(i)(ii) , け多く 赤玉を取 出そう 選択し , 最終的 取 出

さ 赤玉 個数 期待値 , 30

53 3 2 10 11_{ }

［解 説］

期待値をも 有利 不利を判断 問題 。誘導 い い , 焦 混

© 電送数学舎 2008 －16－

13 ［東京工大］

(1) 題意 サイコロを振 , k 目 出 確率をpk く , 1 6 5 4 3 2

1p p p p p 

p ………(＊)

サイコロを2回振 , 同 目 出 確率P , (＊) ,

2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2

1 p p p p p

p

P      



 







2

6 2 2 2 1 6 1 6 1 6

1 _{    }



 p p  p

6 1 ) ( 3 1 6 2

1   

 p p  p



 







2

6 2 2 2 1 6 1 6 1 6

1 _{    }



 p p  p

6 1  , 6 1 P 。

ま , 等号 成立 ,

6 1 6 5 4 3 2

1 p  p p p p 

p あ 。

(2) サイコロを2回振 , 1回目 奇数, 2回目 偶数 出 確率Q , )

)(

(p1 p3 p5 p2 p4 p6

Q     

相加平均 相乗平均 関係を利用 , (＊) ,





1₄

2 )

)(

(p1p3p5 p2p4p6 ≦ p1p3p5p2p4p6 2 

, 4 1 ≦

Q 。

ま , 3P 2Q1 3( ) 2( 1 3 5)( 2 4 6) 1

2 6 2

2 2

1         

 p p  p p p p p p p

ここ , (＊) ,

2 6 5 4 3 2 1 ) (

1 p p p p p p 注目 , 1 ) )( ( 2 ) (

3 p₁2p₂2p₆2  p1p3p5 p2p4p6 

) (

2 ) (

2 p₁2p₂2 p₆2  p1p3p3p5p5p1p2p4 p4p6p6p2

  2 2 6 2 6 4 2 4 2 2 1 5 2 5 3 2 3

1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(p p  p p  p p  p p  p p  p p



, 3P2Q1 0 , Q P

2 3 2 1_

。

以 , Q P

2 3 2 1 4 1 _

成立 。

［解 説］

(1) , 有名 コーシー シュワルツ 不等式を利用 いう手もあ ま , こ

こ 結論を予測し 平方完成をしまし 。(2) 右側 不等式 証明 難 , 式

© 電送数学舎2009 －17－

14 ［千葉大・理］

(1) ま , 9 枚 カード 4 枚 カードを取 出 9C4通 同様 確 しい

し, 事象E 起こ 確率をP(E) く。

さ , X 5 倍数 事象をA ,

9 5 C C ) (

4 9

4 8 _



A

P ,

9 4 9 5 1 ) ( 1 )

(A  P A    P

(2) X 3 倍数 事象をB, 4 倍数 事象をC , X 12 倍数

事象 BC , ま

42 5 C C ) (

4 9

4 6 _



B

P あ 。

ま , X 4 倍数 い , 奇数 カード4枚を取 出 場合 , 2ま

6 カード 奇数 カード3枚を取 出 場合 い ,

126 25 C

C C C C ) (

4 9

3 5 1 2

4 9

4

5 _  _



C P

さ , X 3 倍数 も4 倍数 も い , 1, 2, 5, 7 カードを取

出 場合 ,

126 1 C 1 ) (

4 9 



C B

P  ,

) (

) ( ) ( 1 ) (

1 ) (

1 )

(B C P B C P B C P B P C P B C

P            

126 1 126

25 42

5

1  

 _4229

(3) 5 7 い , 平方数 X 約数 可能性 い , そ 以外 数

い , 次 う カード 数 集合を設定 。



1, 4, 9





S , T 



2, 3, 6, 8



ま , 集合S 3枚, 集合T 1枚取 出 場合, 集合T 4枚取

出 場合 , X 平方数 い。そこ , X 平方数 ,

(i) 集合S 1枚, 集合T 3枚取 出 場合

集合T , )(2, 3, 6 , (3, 6, 8)を取 出 2通 場合 あ 。 (ii) 集合S 2枚, 集合T 2枚取 出 場合

集合T , )(2, 8 を取 出 1通 あ 。 (i)(ii) , X 平方数 確率 ,

14 1 C

1 C C

2 C

4 9

2 3

4 9

1

3  _  _

［解 説］

確 率 頻 出 問 題 。(1) (2) 文 系 類題 出 いま 。(3) , 闇雲 列挙し

© 電送数学舎2009 －18－

15 ［京都大・理］

n 回 試行後, 番号 n カード 山 一番 あ , n1回 試行後, 番

号n カード 一番 ま 番目 く い いけ い。

(i) n1回 試行後, 番号n カード 一番 あ 1



n 回目ま 試行 , 一番 カードを番号 n カード も し, n

回目 試行 , 番号n カードを山 一番 も こ , そ 確率 ,

n n n n n n n n

! ) 1 ( 1 1 2

1_{ }  _{ } 

(ii) n1回 試行後, 番号n カード 番目 あ

1≦k≦n1 し , k回目 試行 , 一番 カードを番号n カード

も し, そ 以外 試行 , 一番 カードを番号 n カード も 。

こ 確率 ,

n n

n k n n n n k n

k n n k n n

! ) 1 )( ( 1 1

2

1_{ }  _  _{ }  _  

(i)(ii) , n回 試行後, 番号n カード 山 一番 あ 確率P ,



_   



 1

1

! ) 1 )( ( ! ) 1

( n

k n

n _n

n k n n

n

P









   

 1

1

) ( 1 ! ) 1

( n

k

n n k

n n







_





 1

1

1 ! ) 1

( n

l

n l

n

n





n n n

n

n ₂( 1)

1 1 ! ) 1 (

  

 _nn n n n

2

! ) 1 )( 2 ( 2  



［解 説］

題 意 を 把 握 , 5n 場 合 を 具 体 的 考 え ま し 。 そ 部 分 , 解

© 電送数学舎2009 －19－

16 ［名古屋大・文］

(1) さいこ を 2 回投 , 出 目 出

目 積 一 位 対 応 を ま , 右表

う 。

こ ,

6 1 36 6 ) 0 (

2  

p , 36 1 ) 1 ( 2  p , 6 1 36 6 ) 2 (

2  

p あ 。

(2) さいこ をn1回投 , 出 目 積

一 位 1 , 次 2 場合

あ 。

(i) n回ま 積 一 位 1 , 1n 回目 1 (ii) n回ま 積 一 位 7 , 1n 回目 3

(i)(ii) , (7)

6 1 ) 1 ( 6 1 ) 1 (

1 n n

n p p

p    ………

(3) 1n 回投 , 出 目 積 一 位 3 , n回ま 積 一 位 1 n1回目 3, n回ま 積 一 位 3 n1回目 1 あ ,

) 3 ( 6 1 ) 1 ( 6 1 ) 3 (

1 n n

n p p

p    ………

1



n 回投 , 出 目 積 一 位 7 , n回ま 積 一 位

7 n1回目 1, n回ま 積 一 位 9 n1回目 3 あ , ) 9 ( 6 1 ) 7 ( 6 1 ) 7 (

1 n n

n p p

p    ………

1



n 回投 , 出 目 積 一 位 9 , n回ま 積 一 位

3 n1回目 3, n回ま 積 一 位 9 n1回目 1 あ , ) 9 ( 6 1 ) 3 ( 6 1 ) 9 (

1 n n

n p p

p    ………

, ) 9 ( ) 7 ( ) 3 ( ) 1

( 1 1 1

1   

  n  n  n

n p p p

p



(1) (3) (7) (9)



3 1

n n

n

n p p p

p   



ここ ,

6 1 ) 3 ( ) 1 ( 1

1  p 

p , p1(7)p1(9)0 ,



   

n n

n n

n

n p p p

p 3 1 3 1 0 0 6 1 6 1 ) 9 ( ) 7 ( ) 3 ( ) 1

(        1 

［解 説］

センター試験 向 う 同様 , ま 一覧表を作成し 方 ミス 少 く

ま 。 , (3) (2) 同様 考え 解法 。

1回

2回

1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6

2 2 4 6 8 0 2

3 3 6 9 2 5 8

4 4 8 2 6 0 4

5 5 0 5 0 5 0

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17 ［九州大・理］

(1) 偶 数 書 カ ー ド を 取 出 確 率

N M

M

 , 奇 数 書 カ ー ド を 取

出 確率

N M

N

 , 記録さ 1個 数 偶数 確率p1 ,

N M M p   1

ま , 記録さ 2 個 数 和 偶数 , 偶数 偶数ま 奇数 奇数

, そ 確率p2 ,



 



2

2 2 2 2 2 ) (M N

N M N M N N M M p      

(2) 記録さ n1個 数 和 偶数 , n 個 数 和 偶数 n1

回目 偶数を取 出 , n個 数 和 奇数 n1回目 奇数を取 出

い ,

N M N p N M N M p N M N p N M M

pn n n n

         

1 (1 ) ………(＊)

(3) (i) k 偶数

4 2 2 2 2 4

2 k k k k k2

M        

4 2 2 1 1 ) 1 ( 3

1 k k k k2

N         

, N M N M   1 1 ) 2 ( ) 2 ( 2 2 2 2        _k k k k k k k

(ii) k 奇数

4 1 2 1 2 1 2 ) 1 ( 4

2          2

 _k k k k

M  4 1 2 2 1 2 1 3

1        2 

 _k k k k k

N  , N M N M   k k k k k k k ₁ ) 1 2 ( ) 1 ( ) 1 2 ( ) 1 ( 2 2 2 2           

(4) (＊) ,





2 1 2 1 1       n n p N M N M

p 変形 ,







1

1 2 1 2 1       n n N M N M p

p







1

2 1       n N M N M N M

M





n

N M N M   ₂1

, pn





n N M N M  

 ₂1 2 1

(i) k 偶数 p_n





n k 1 1 2 1 2 1   

(ii) k 奇数 pn

 

n k 1 2 1 2 1_{ }



［解 説］

© 電送数学舎2009 －21－

18 ［神戸大・理］

(1) 得点X3 表 左側, X4 表 右側 う 。

(2) X3 表 X4 表 , 3A 行 値 異 い こ ,

3 4 E E  36 3 ) 6 3 ( 36 1 ) 6 5 4 3 2 1 ( 36

1 _{  ab     } ab

 ………

(3) (2) 同様 , X₂ 表 X₃ 表 , 2A 行 値 異 い こ ,

2 3 E E  36 7 2 ) 6 2 ( 36 1 ) 6 5 4 3 2 1 ( 36

1 _{        }  

 _{a b} a b

………

1

X 表 X2 表 , 1A 行 値 異 い こ ,

1 2 E E  36 14 ) 6 1 ( 36 1 ) 6 5 4 3 2 ( 36

1 _{        }  

 _{a b} a b

………

ま , X4 表 X5 表 , 4A 行 値 異 い こ ,

4 5 E E  36 7 4 ) 6 4 ( 36 1 ) 6 5 4 3 2 1 ( 36

1 _{        }  

 _{a b} a b

………

5

X 表 X6 表 , A5 行 値 異 い こ ,

5 6 E E  36 14 5 ) 6 5 ( 36 1 ) 6 5 4 3 2 1 ( 36

1 _{        }  

 _{a b} a b

………

ここ , 条件 , E1E2 E3 E4 E5 E6 , 0

1 2E 

E , 0E3E2  , 0E4 E3  , 0E5E4  , 0E6E5

～ , 03ab …… , 02ab7 …… 0

14

 b

a …… , 04ab7 …… , 05ab14 …… , 7a , 21b , こ 値 を べ 満 。 , E1E2 E6 a, b 存在し, 7a , 21b あ 。

［解 説］

(3) a, b 値 , E4E3 E3E2 け 求ま ま 。そ 後, 十分性を確

認 方法もあ ま , 残 3 場合し い , こ を調べ いう直

接的 方法を採用しまし 。

B

A 1 2 3 4 5 6

1 ab 2 3 4 5 6 2 1 2ab 3 4 5 6 3 1 2 3ab 4 5 6

4 4 4 4 4 4 4

5 5 5 5 5 5 5

6 6 6 6 6 6 6

B

A 1 2 3 4 5 6

‹電送数学舎 2010 −−

19 [東京工大]

枚のカードから枚のカードを引く&通りの場合が同様に確からしいとする。 さて引いたカードの数字の小さい方がとなる確率は _&&

= 小さい方が

となる確率は _&&

= であるので

= + =

S

N+枚のカードから 枚のカードを引くN+&通りの場合が同様に確からし いとする。

さて引いたカードの数字の小さい方がO O= Nとなる確率は

&&

+ +

− + =

+ − +

N N N O N

O

N

N

O= の和をとると

N+

S

¦

= + +

− + =

N

O N N

O N

⋅ = +

+ − ⋅ + +

= _{N N} N N _NN

［解 説］

‹電送数学舎 2010 −−

20 [一橋大]

$ $… $Qが つも起こらないのは ;≠;≠; ≠≠;Q− ≠;Qの場

合よりその確率は

( )

−

= × × ×

× Q

これより $ $… $Qのうち少なくともつが起こる確率SQは

( )

−

−

= Q

Q

S

$ $… $Qのうち つだけが起こるのは ; =;≠; ≠≠;Q− ≠;Q

Q

Q ;

; ;

;

; ≠ = ≠≠ −≠ … ; ≠; ≠;≠≠;Q− =;Qの場合よりそ の確率は

( )

& −

−

Q

Q =Q−

( )

Q− =Q−

( )

Q−

これより $ $… $Qのうち少なくともつが起こる確率TQは の結果

を合わせて

( )

( )

( )

( )

− −

−

− ₊

− = −

− −

= −

−

= Q Q Q Q Q

Q S Q Q Q

T

［解 説］

‹電送数学舎 2010 −−

21 [広島大・理]

勝者が人であるのは人とも同じ得点のときよりその確率3Qは

Q QQ 3Q = =

Q=の場合勝者が 人であるのはまず勝者の選び方が& =通り。次に 得点を つ選び大きい方を勝者の得点に対応させるとその対応は& =通り となる。これより勝者が人である確率3は

= × =

3

勝者が人である確率はと同様に考えると

& &

Q Q Q

Q Q Q

3 Q

Q = × = − = −

すると勝者が人である確率3Qは余事象を考えて

Q Q Q Q

Q Q

3 3

3Q = − Q − Q = − − − = − −

条件より 3Q≧から

≧

Q Q Q− −

となり

Q− Q− ≧ Q Q−Q+≧………＊

ここで

(

)

(

)

[ =[ − [+ = [− + −

I とおくと

= ＞

I I=−＜

よって I＜ I＞となり＊を満たす最小のQはQ=である。

［解 説］

‹電送数学舎 2010 −−

22 [千葉大・文]

さいころを回投げて出た目LMNの組は_通りあり これらは同様に確からしい。

さて得点がでないのはLMNがすべて異なるとき でありその確率は

3

=

よって得点がとなる確率は− =である。 得点を ; とおき ; =Qのときの確率を3Qで表す

と ; ≠であるのは次の種類である。

L △$L$M$Nが辺の長さ の二等辺三角形の場合

$ $ $

△ △$$$ △$$$ △$$$ △$$$ △$$$の 場合が対応し

(

⋅⋅VLQ

)

=

= π

;

= × =

3

LL △$L$M$Nが辺の長さ の直角三角形の場合

長さ の斜辺は$$ $$ $$の 種類ありそれぞれに対してもう つの頂点は通りずつ決まることより

(

⋅⋅

)

=

=

;

= × × =

3

LLL△$L$M$Nが辺の長さ の正三角形の場合

$ $ $

△ △$$$の場合が対応し

(

⋅ ⋅ VLQ

)

=

= π

;

= × =

3

L∼LLLより得点がとなる確率は である。

;の期待値を(;とおくとから

; = × + × + × + × =

(

［解 説］

正六角形を題材とした確率の基本題です。ケアレスミスを防ぐためにすべての場 合の確率の和がとなっていることの確認が必要です。

$

$

$

$

$

‹電送数学舎 2010 −−

23 [名古屋大・文]

はじめに $ が赤玉を持っていて題意の操作をしたところ 赤玉は右図のように移動する。その確率はいずれもなので

=E =

D F=

( ) ( )

= + =

D E =

( )

= F=

( )

=

Q 回目の操作後から Q+回目の操作後への赤玉の移動は 右図のようになり移動の確率はいずれもから

Q Q

Q D E

D += + ………①

Q Q

Q D F

E += + ………②

Q Q

Q E F

F + = + ………③

Qが奇数ならばDQ =EQ＞FQQが偶数ならばDQ＞EQ =FQであることを数学的帰納

法を用いて証明する。 L Q=のとき

から D =E＞F D＞E =Fとなり成立する。 LL Q=Nのとき

N− =EN− F N−

D ＞ DN＞EN =FNであると仮定すると①②③より

N N

N D E

D + = + EN+=DN+FN FN+=EN+FN よって DN+ =EN+＞FN+となりさらに

N+ =D N+ +E N+

D EN+ =DN++FN+ FN+=EN++FN+ よって DN+＞EN+ =FN+である。

LLLよりQが奇数ならばDQ =EQ＞FQQが偶数ならばDQ＞EQ =FQである。

DQ +EQ +FQ =なので②からEQ+ =−EQとなり

(

)

− =− −

+ Q

Q E

E

よってEQ −=

(

E−

)(

−

)

Q =−

(

−

)

Qより EQ =−

(

−

)

Q

［解 説］

確率と連立漸化式についての有名問題です。当たり前すぎて忘れがちなポイントは

= + + Q Q

Q E F

D です。

$ $

% $

% $

&

$

%

&

$

%

&

回目

+

Q

回目

‹電送数学舎 2011

−−

24 [岡山大・理]

Q枚のカードから枚を取り出すQ&通りが同様に確からしいとする。

ここで 枚のカードの数字がすべて の倍数である取り出し方はQ&通りより

その確率は

&

&

Q Q

Q Q Q Q Q

Q Q Q Q Q

まずQ枚のカードを書かれた数字によって次のつのタイプに分類する。

すなわち書かれた数字がの倍数のQ枚のカード の倍数＋のQ枚のカー ド

の倍数＋のQ枚のカードである。

すると 枚のカードの数字の和が の倍数であるのは同じタイプから 枚を 取り出すQ& q 通り つのタイプから 枚ずつ取り出す & Q Q通りの場合

がある。これよりその確率は

&

&

Q Q

Q Q Q Q

Q Q Q

Q Q Q Q Q

枚のカードの数字の積がの倍数である確率Sは余事象を考えて

& Q_& Q

S

また枚のカードの数字の和がの倍数でない確率Sはより

& Q _&

Q Q

S

これより

& & & &

Q Q

Q Q

Q

S S となり

S S &Q QQQQ Q QQ

Q Q Q

＞

よって S＞ からS 積がの倍数である確率の方が大きい。

［解 説］

‹電送数学舎 2011

−−

25 [名古屋大・文] 玉を度取り出すとき数字の合計がであるのは の通

りよりその確率は

q q q

玉を度取り出すとき玉に書かれた数字の合計が以上となるのは を度 を度取り出す場合よりその確率は

q q q q

よって玉を度取り出すとき玉に書かれた数字の合計が以下である確率は

まず個の玉の数字の合計がより与えられた条件が満たされないのは次の

つの場合である。

L 玉を度取り出したときその数字が以上

このときの確率は である。

LL 玉を度取り出したとき

度目の数字が以下

度目までの合計が以上 の場合よりこのときの確率は q である。

LLL玉を度取り出したとき

度目の数字が以下

度目までの合計が以下 度目までの合計が以上

の場合よりこのときの確率は q q である。

LY玉を度取り出したとき

度目の数字が以下

度目までの合計が以下 度目までの合計が以下

度目までの合計が以上

の場合よりこのときの確率は q q q である。

L∼LYより与えられた条件が満たされる確率は

［解 説］

‹電送数学舎 2011

−−

26 [千葉大・理]

千葉君が部屋をQ回移動した後に部屋$にいる確率をSQとおくと最初部屋$

にいたので S_Nである。

また Q回移動した後に部屋$にいるのはQ 回移動した後に部屋$以外にい

て $を_Nの確率で選んで移動する場合より

Q Q

S _N S SQ _NSQ_N………＊

＊を変形すると SQ_{N N} SQ_N

となり

Q Q

S _N S _{N N}

Q Q

N N N N N

よって SQ _N

\

_N

^

Q である。

［解 説］

‹電送数学舎 2011

−−

27 [一橋大] Q回目に$

%がサイコロを投げる確率をそれぞれDQEQとおくと条件より

D Eである。

さて Q回目に $がサイコロを投げるのは

Q回目に$ がサイコロを投げ

のいずれかの目が出るかまたはQ回目に% がサイコロを投げ のいずれ かの目が出るときなので

Q Q Q

D D E ………①

また Q回目に %がサイコロを投げるのは

Q回目に$ がサイコロを投げ のいずれかの目が出るかまたはQ回目に% がサイコロを投げ のいずれ かの目が出るときなので

Q Q Q

E D E ………②

①＋②よりDQEQ DQEQとなり

Q Q

Q Q

D E D E ………③

①−②よりDQEQ DQEQとなり

Q Q

Q Q

D E D E ………④

③④より DQ

\

Q

^

Q

Q回目のサイコロ投げで$が勝つのは

Q回目に$がサイコロを投げ の目を 出すときよりその確率SQはより

\

^

Q Q

Q Q

S D

Q回以内のサイコロ投げで$が勝つ確率TQはより

\

^

Q Q _{N N}

Q N

N N

T S

œ

œ

\

^

Q Q

¸

\ ^

Q ¸

\ ^

Q

Q

Q

［解 説］

‹電送数学舎 2011

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28 [九州大・理]

個の球が入っている袋から同時に 個の球を取り出す & 通りの場合が同 様に確からしいとしこの操作を回繰り返すとする。

さてカードが左から順に と並ぶのは 回目にLとMを取り出したと き

回目もLとMを取り出す場合よりその確率は

q q

操作を回繰り返すときカードが左から順に と並ぶのは 回目に

とを取り出し回目にとを取り出す場合か 回目にとを取り出し回 目にとを取り出す場合のいずれかなのでその確率は

q q

操作を回繰り返すとき左端のカードの数字がになるのは

L と

と

とのいずれかを回取り出すとき

この場合の確率は q q

LL とを回またはとを回またはとを回取り出すとき

この場合の確率は q q

LLLより求める確率は

操作を回繰り返すとき左端のカードの数字がになるのはと同様に

L 回の操作の後左端がの場合

回目に以外のつの数を取り出すことよりその確率は q q

LL 回の操作の後左端がでない場合

回目に左端の数とを取り出すことよりその確率は

q

LLLより左端のカードの数字がの確率は

また操作を回繰り返すとき左端のカードの数字がになることは対等 なのでその確率はそれぞれ q

である。

よって操作を回繰り返すとき左端のカードの数字の期待値(は

( q q q q

［解 説］

‹電送数学舎 2012

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29 [千葉大・医] 積; ; が より大となるのは ;;のとき ; ; で

ある。また ;;のとき ; ; ;;のとき

も同様になる。

よって積; ; が以下である確率は

¸

である。

積; ; ";Qが奇数である確率は

Q Qから偶数である確率は

Q

積; ; ";Qが の倍数でない偶数であるのは ; ; " ;Qのうちの つ

が または 残りが奇数の場合よりその確率は Q&

QQ

Qであ

る。よって積; ; ";Qがの倍数である確率はより

QQ Q Q Q

さいころの出る目をで割った余りがの場合をそれぞれ5 5 5とお

くといずれの場合も起こる確率はである。

ここで自然数を で割った余りについて 数とそ の積の関係をまとめると右表のようになる。

すると積; ; ";Qをで割ったときの余りがで

あるのは ; ;… ;Qのうち 5が Q 回または

5 がQ回で5が 回または5がQ回で5が 回……という場合がある。その確率は

Qを偶奇で分けると

L Qが偶数のとき

_{& & &}

Q Q Q Q

Q Q Q Q

"

&Q Q& Q& Q Q& Q

"

LL Qが奇数のとき

_{& & &}

Q Q Q Q

Q Q Q Q

"

&Q Q& Q& Q Q& Q

"

さて二項定理を用いて

& & & & & Q Q

Q Q Q Q " Q Q ………①

& & & & &Q Q

Q Q Q Q " Q Q ………②

L Qが偶数のとき

5 5 5

5 5 5 5

5 5 5 5

‹電送数学舎 2012

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①＋②より &Q Q& " Q Q& Q Q&Q& " Q Q& Q

LL Qが奇数のとき

①＋②より &Q Q& " Q Q& Q Q&Q& " Q Q& Q LLLより

Qの偶奇にかかわらず求める確率は

Q Q

Q _{¸ である。}

［解 説］

確率の頻出問題です。は積が5となるのは 5が回で 5がまたは偶数

‹電送数学舎 2012

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30 [広島大・文] 1≧よりさいころを投げる回数が最大となるのは偶数 回奇数1回出

た後もう回投げる場合より 1 1回である。

さいころを 回投げて操作を終了する場合は偶数が 回出たときよりその確 率は

である。

さいころを1回投げて操作を終了する場合は奇数が1回出たか 1回目ま でに偶数回奇数1回出て1回目に偶数が出たときよりその確率は

\

^

&

1 1 1

1 1 1

¸

1 1 1

最後に奇数の目が出て操作を終了する場合は

L 奇数が1回出たとき

LL 1回目までに偶数回奇数1回出て 1回目に奇数が出たとき LLL 1回目までに偶数回奇数1回出て 1回目に奇数が出たとき L∼LLLよりその確率は

_{& &}

1 1 1

1 1

¸ ¸

\

^

1

1 1

1

11

1

1 のときよりさいころを投げる回数は最大回となる。 L 回投げて操作を終了する場合 その確率はより

LL 回投げて操作を終了する場合 その確率はより

LLL 回投げて操作を終了する場合

回目までに偶数 回奇数 回出て 回目に奇数が出たか 回目までに偶数

回奇数回出て回目に偶数が出たときよりその確率は

& ¸ & ¸

LY 回投げて操作を終了する場合 その確率はより &

¸

L∼LYよりさいころを投げる回数の期待値は

q q q q

［解 説］