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三角関数関数y = tanθが登場したところで、あと2つの関数にも登場してもらわなくてはならない。tanは直角三
角形の比、(対辺) : (隣辺)を用いた。当然、他の辺の比を用いることもできる。斜辺を組み合わせた(対辺) : ( 斜辺)と(隣辺) : (斜辺)である。そこで、sinθ= 対辺
斜辺、cosθ= 隣辺
斜辺と定義しておこう*1。
□sinθ、cosθの定義
• sinθ= 対辺 斜辺
• cosθ=隣辺
斜辺 θ
斜辺 対辺 θ 斜辺
隣辺
これより、y= sinθとy= cosθなる関数ができる。ただし、これらもy= tanθ同様にθの値を代入して yの値を計算するわけにはいかない。しかし、グラフを描くことは比較的やさしい。たとえばy = sinθのグ ラフを描いてみよう。
x y
O 1
1
−90◦
−60◦
−3030◦◦ 60◦ 90◦
θ y
1
−90◦ −60◦ −30◦ 30◦ 60◦ 90◦
グラフを描くには、まず左の補助座標を使い適当な角度で線を引くまではtanの場合と同じだ。ただ、今度 はそれが円周と交わる位置を求める。その位置が、適当な角度に対するsinの値である。なぜって、sinの定 義は対辺
斜辺 だったけど、この場合、斜辺は常に1なので対辺の値—直角三角形の高さであるy—がsinの値に なるからである。それさえ分かれば、その高さを右のxy座標の適当な角度に対する場所に移してあげればよ い。図にいくつかの値を記入してみると、直線状に点があるように見えるものの、よく見ると緩やかにS字状 に曲がっていることが分かるはずだ。
そうするとy= cosθのグラフも描くことができる。cosの定義は隣辺
斜辺で、斜辺は常に1なので隣辺の値—
*1sinは“サイン”、cosは“コサイン”と読む。
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すなわちxの値—がcosの値になる。グラフに描く際には注意が必要だ。補助座標のxの値が正規のθy座標 のyの値になるので、補助座標のxの長さだけ正規の座標に立てるようにして描かなくてはならない。
x y
O 1
1
−90◦
−60◦
−3030◦◦ 60◦ 90◦
θ y
1
−90◦ −60◦ −30◦ 30◦ 60◦ 90◦
ここで、これら三角関数の重要な性質を述べよう。まず、tanθ= 対辺
隣辺、sinθ = 対辺
斜辺、cosθ = 隣辺 斜辺 と 定義していたが、ここで sinθ
cosθ の比を作れば、それはtanθの比と同じになっていることに気づく。つまり、
tanθ= sinθ
cosθ である。また、グラフを描く際に注意したことがら、つまり補助座標においてsinθの値はyの 値に等しく、cosθの値はxの値に等しかったことを思い出そう。yとxは、斜辺を1とする直角三角形の対 辺と隣辺でもあるので、三平方の定理から(sinθ)2+ (cosθ)2 = 12であることも分かる。これら2つの関係 式は、今後円周率を計算する際に重要な役割を担うことになる。
□sin, cos, tanの関係
• tanθ= sinθ cosθ
• (sinθ)2+ (cosθ)2= 1
円周率の計算に重要な関係式がもうひとつある。昔の話を蒸し返すようで悪いが、√ の計算は一筋縄では いかない。一般に√
a+√ b6=√
a+bである。あえて書くなら、√ a+√
b=√
a+b+ 2√
abだ。まあ、さ ほどかっこいい式ではない。同様に、三角関数でもsinα+ sinβ 6= sin(α+β)である。では、正しい式は何 だろう。sinα+ sinβの正確な計算をしてみよう。
α β
O H A
B C D
1
cosβ sinβ
←−α
図は少々ややこしい。直角の他に角αをもつ4OABの斜辺の上に、角βをもつ4OBCを乗せている。
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4OBCの斜辺の長さは1とする。三角関数の定義よりOB = cosβ、BC= sinβであることはすぐ分かる。
ここで4OABに目をつける。すると三角関数の定義よりsinα= AB
cosβ だからAB= sinαcosβが分かる。
続いて4BDCにも目をつける。6 B =αであることに注意してもらいたい。同じくcosα= BD
sinβ だから BD= cosαsinβも分かる。
さて、AB+BD の長さはCH に等しいが、CHは定義からsin(α+β)である。よって、sin(α+β) = sinαcosβ+ cosαsinβという関係が見えたことになる。これは、三角関数の加法定理と呼ばれ、多くの種類 の等式が公式として知られている。cosの加法定理も同じような手順で導けるので、とりあえずsinとcosの 加法定理を挙げておこう。
□ 三角関数の加法定理
• sin(α+β) = sinαcosβ+ cosαsinβ
• cos(α+β) = cosαcosβ−sinαsinβ
