圧電素子を利用した装置の発電特性に関する理論解析

圧電素子を利用した装置の発電特性に関する理論解析

Theoretical analysis on power generation characteristics of the device using a piezoelectric element

精密工学専攻

40

Satoshi Nomura

1. 緒言

現在，発電方法として火力発電，原子力発電などの方法が 知られているが，これらは大気汚染などの問題が指摘されて いる．加えて，再生可能エネルギーといわれる水力発電，太 陽光発電，風力発電などは，設置環境が制約されていたり，

大型で高コスト，構造が複雑であったりするなど，多くの問 題を抱えている．そのため，比較的小型で安価であり，簡単 な構造を有している発電装置が必要とされている．

そこで本研究では小型で比較的安価である圧電素子を利 用した発電装置に注目した．圧電素子とはある特定の方向か ら結晶に向けて力を加えることで，電気分極が誘起され正負 の電荷が発生する圧電効果を利用した素子である．圧電素子 を発電に利用することを考えた場合，得られる電力が小さい という問題点があるが，装置に組み込んだ場合，電池などと は異なり交換不要で，壊れなければ半永久的に電圧を出力し 続けられるという利点がある．しかし，圧電素子をより効率 的に運用するための荷重方法や形状などの条件や環境とい うのはほとんど明確にされていない

^[1]

2. 出力電圧の理論解析

Fig.1 Piezoelectric element subjected to stress

Fig.1

_𝑖

_𝑖𝑗

_𝑖𝑗

(𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑁 𝑗 = 1,2, ⋯ , 𝑀)．またそれぞれ直列で接続され

ℎ _𝑖

𝑑 ₃₁

₀

₃₁

_𝑖𝑗

_𝑖

圧電材料に残る電荷をそれぞれ𝑄

_𝑖𝑗 ^′

_𝑖 ^∗

_𝑖

_{𝑄 𝑖 = ∑ 𝑄 𝑖𝑗} ^′

𝑀

𝑗=1

+ 𝑄 _𝑖 ^∗ (𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑁) (1)

_𝑖

_𝑖𝑗

^{𝑄 𝑖}

𝐴 _𝑖 = 𝑑 ₃₁ ∑ ^𝑀 _𝑗=1 ℎ _𝑖𝑗 𝜎 _𝑖𝑗

ℎ _𝑖

ℎ _𝑖 = ∑ ℎ _𝑖𝑗

𝑀

𝑗=1

(𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑁) (2)

また，圧電素子の上面に生じる電位𝑽は圧電材料に残る電荷

𝑸 _𝒊𝒋 ^′

^𝑉

ℎ 𝑖 = ∑ ^𝑀 _𝑗=1 𝑄 _𝑖𝑗 ^′

𝐴 𝑖 𝑒𝑒 0

(𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑁) (3)

𝑹

𝑸 _𝒊 ^′

^∗

_{𝑉 =} ^{𝑑𝑄 ∗} 𝑑𝑡 𝑅

_𝑄 ^∗ _{= ∑ 𝑄 𝑖} ^∗

𝑁

𝑖=1

(4)

式(3)と式(4)より

∑ 𝑄 _𝑖𝑗 ^′

𝑀

𝑗=1

= 𝐴 𝑖 𝑒𝑒 0 𝑅 ℎ _𝑖 ∙ 𝑑𝑄 ^∗

𝑑𝑡 (𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑁) (5)

_{𝑄 𝑖} ^∗ _{= 𝑑 31 𝐴 𝑖} ^{∑ ℎ 𝑖𝑗 𝜎 𝑖𝑗}

𝑀 𝑗=1

ℎ 𝑖 − 𝐴 _𝑖 𝑒𝑒 ₀ 𝑅 ℎ 𝑖 ∙ 𝑑𝑄 ^∗

𝑑𝑡 (𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑁)

(6)

_𝑖 ^∗

^∗

𝑄 ^∗ = 𝑑 31 ∑ ∑ ( 𝐴 _𝑖 ℎ _𝑖𝑗 𝜎 _𝑖𝑗 ℎ 𝑖 )

𝑀

𝑗=1 𝑁

𝑖=1

− ∑ ( 𝐴 _𝑘 ℎ 𝑘 )

𝑁

𝑘=1

𝑒𝑒 0 𝑅 𝑑𝑄 ^∗ 𝑑𝑡 (7)

𝜎 𝑖𝑗 (𝑡) = 𝜎 _𝑖𝑗 sin(𝜔𝑡) ( 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑁 𝑗 = 1,2, ⋯ , 𝑀 ) (8)

𝑄 ^∗

𝜔

^∗

_𝑄 ^∗ _{= 𝑄 0} sin(𝜔𝑡 − 𝜑) (9)

式(8)と式(9)を式(7)に代入し𝑄

₀

_{𝑄 0 = ±} ^{𝑑 31}

∑ ∑ ( 𝐴 𝑖 ℎ 𝑖𝑗 𝜎 𝑖𝑗

ℎ 𝑖 )

𝑀 𝑗=1 𝑁 𝑖=1

√1 + (∑ ( 𝐴 _𝑘 ℎ _𝑘 )

𝑁 𝑘=1 𝑒𝑒 ₀ 𝑅𝜔)

2

(10)

式(4)，(10)より，抵抗に生じる電位

𝑉

𝑉 =

𝑑 ₃₁ ∑ ∑ ( 𝐴 _𝑖 ℎ _𝑖𝑗 𝜎 _𝑖𝑗 ℎ _𝑖 )

𝑚 𝑗=1 𝑛 𝑖=1

𝑒𝑒 ₀ √{∑ ( 𝐴 _𝑘 ℎ _𝑘 )

𝑛 𝑘=1 }

2

+ ( 1 𝑒𝑒 ₀ 𝜔𝑅 )

2

cos(𝜔𝑡 − 𝜑) (11)

ここで

𝑁

𝑀

𝑉

_{𝑉 =} ^{𝑑 31 ∫ ∫} 𝜎 ℎ(𝑥)

ℎ(𝑥) 𝑑ℎ𝑑𝐴

𝐴 cos(𝜔𝑡 − 𝜑)

𝑒𝑒 ₀ √(∫ 1 ℎ(𝑥) 𝑑𝐴

𝐴 )

2

+ ( 1 𝑒𝑒 ₀ 𝜔𝑅 )

2 (12)

3. 片持ち梁の圧電素子の出力電圧の導出

長方形断面の片持ち梁の圧電素子を考える．Fig.2 のよう に圧電素子の上面と下面を電極とし，抵抗𝑅を接続する．圧 電体の縦弾性係数を𝐸

₁

₂

3.1 長さ方向に幅が一定で厚みが変化する片持ち梁

Fig.3

₀

電体部の厚みℎ

₁

ℎ ₁

ℎ ₁ (𝑥) = 𝑎 ₁ 𝑥 ² + 𝑏 ₁ 𝑥 + 𝑐 ₁ (13)

₁ , 𝑏 ₁ , 𝑐 ₁

𝜆 = 𝐸 1 {ℎ ₁ (𝑥)} ² + 𝐸 2 [{ℎ ₁ (𝑥) + ℎ ₀ } ² − {ℎ 1 (𝑥)} ² ] 2{𝐸 ₁ ℎ ₁ (𝑥) + 𝐸 ₂ ℎ ₀ } (14)

自由端の先端に以下のような集中荷重𝑃を加える．

𝑃 = 𝑃 ₀ sin(𝜔𝑡) (15)

この圧電素子に生じる曲げ応力𝜎は

^[2]

𝜎 = 12𝑃𝑥𝑦

𝑏(𝑎 1 𝑥 ² + 𝑏 1 𝑥 + 𝑐 1 + ℎ 0 ) ³ (16)

_{ ^{𝑥: 0 → 𝐿}

𝑦: 𝜆 − ℎ 1 (𝑥) → 𝜆 𝑧: 0 → 𝑏

(17)

3.1.2 上面に等分布荷重を加えている場合

圧電素子の上面に以下のような等分布荷重𝑤を加える

𝑤 = 𝑃 ₀

𝐿 sin(𝜔𝑡) (18)

このときの曲げ応力は

_{𝜎 =} ^6𝑤𝑥

2 𝑦

𝑏(𝑎 1 𝑥 ² + 𝑏 1 𝑥 + 𝑐 1 + ℎ 0 ) ³ (19)

Fig.2 Connection diagram including the cantilever

Fig.3 The cantilever with changing thickness

Fig.4 The cantilever with changing width

長さ

𝐿

ℎ ₁

ℎ ₀

𝑏

𝑏(𝑥) = 𝑎 ₂ 𝑥 ² + 𝑏 ₂ 𝑥 + 𝑐 ₂ (20)

₂ , 𝑏 ₂ , 𝑐 ₂

_{𝜆 =} ^{𝐸 1 ℎ 1 2 + 𝐸 2 {(ℎ 1 + ℎ 0 ) 2 − ℎ 1 2 }}

2(𝐸 ₁ ℎ ₁ + 𝐸 ₂ ℎ ₀ ) (21)

で表される．

3.2.1 変動荷重を加えている場合

自由端の先端に変動荷重𝑃を加えているときこの圧電素子 に生じる曲げ応力は

_{𝜎 =} ^{12𝑃𝑥𝑦}

(𝑎 ₂ 𝑥 ² + 𝑏 ₂ 𝑥 + 𝑐 ₂ )(ℎ ₁ + ℎ ₀ ) ³ (22)

{

𝑧: 0 → 𝑏(𝑥) 𝑦: 𝜆 − ℎ ₁ → 𝜆 𝑥: 0 → 𝐿

(23)

_{𝑉 =}

𝑑 ₃₁ 3𝐸 ₂ 𝑃ℎ ₀ 𝐿 ² (𝐸 ₁ ℎ ₁ + 𝐸 ₂ ℎ ₀ )(ℎ ₁ + ℎ ₀ ) ² 𝑒𝑒 0 √( 𝐴

ℎ 1 )

2

+ ( 1 𝑒𝑒 0 𝜔𝑅 )

2 (24)

式(24)より幅が変わる梁の先端に集中荷重を加える場合は幅 の影響がないことがわかる．

3.2.2 等分布荷重を加えている場合

圧電素子の上面に式(18)と同様の等分布荷重𝑤を加えてい るとき圧電素子に生じる曲げ応力は

_{𝜎 =} ^{6𝑤𝑥 2 𝑦}

(𝑎 ₂ 𝑥 ² + 𝑏 2 𝑥 + 𝑐 2 )(ℎ ₁ + ℎ 0 ) ³ (25)

最大電圧は以下のようになる．

𝑉 =

𝑑 31 𝐸 2 𝑤ℎ 0 𝐿 ³ (𝐸 ₁ ℎ ₁ + 𝐸 ₂ ℎ ₀ )(ℎ ₁ + ℎ ₀ ) ² 𝑒𝑒 ₀ √( 𝐴

ℎ ₁ )

2

+ ( 1 𝑒𝑒 ₀ 𝜔𝑅 )

2 (26)

式(26)より幅が変わる梁に等分布荷重を加える場合において 幅の影響はないことがわかる．また，式(24) ,(26)より，集中 荷重を加えた場合は等分布荷重を加えた場合の

3倍の電圧が

3.2.3 等分布圧力を加えている場合

圧電素子の上面に以下のような等分布圧力

𝑝

_{𝑝 =} ^{𝑃 0} 𝑎 ₂

3 𝐿 ³ + 𝑏 ₂ 2 𝐿 ² + 𝑐 ₂ 𝐿

sin(𝜔𝑡)

(27)

_{𝜎 =} ^{𝑝(𝑎 2 𝑥 4 + 2𝑏 2 𝑥 3 + 6𝑐 2 𝑥 2 )𝑦}

(𝑎 ₂ 𝑥 ² + 𝑏 ₂ 𝑥 + 𝑐 ₂ )(ℎ ₁ + ℎ ₀ ) ³ (28)

(12)

(23)

_{𝑉 =}

𝑑 31 𝐸 2 𝑝ℎ 0 𝐿 ³ (2𝑎 ₂ 𝐿 ² + 5𝑏 2 𝐿 + 20𝑐 2 ) 20(𝐸 ₁ ℎ ₁ + 𝐸 ₂ ℎ ₀ )(ℎ ₁ + ℎ ₀ ) ² 𝑒𝑒 ₀ √( 𝐴

ℎ ₁ )

2

+ ( 1 𝑒𝑒 ₀ 𝜔𝑅 )

2 (29)

4. 発電特性解析

種々の条件下における圧電素子の発電特性を調べる．圧電 体にはチタン酸ジルコン酸鉛(PbTiO

₃ ⋅PbZrO 3 )を使用する．荷

₀ = 0.1[N] ,

₃₁

10 ^-12 [C/N]， 比 誘 電 率 e=2100，真空の誘電率𝑒 ₀ =8.85×10 ^-12 [N V ⁄ ² ]，圧電体の縦弾性

₁ = 129.96[GPa]，接続する抵抗𝑅 = 1[MΩ]とする．

4.1

𝒂 𝟏 = 𝒃 𝟏 = 𝟎

式(13)において𝑎

₁ = 𝑏 ₁ = 0のときの厚みℎ ₁ (𝑥)は

_{ℎ 1} (𝑥) = 𝑐 ₁ (30)

3.1.1項と3.1.2項より集中荷重を加えた場合と等分布荷重を

_{𝑉 =}

{

𝑑 31 3𝐸 ₂ 𝑃ℎ ₀ 𝐿 ² {𝐸 ₁ 𝑐 1 + 𝐸 2 ℎ 0 }{𝑐 ₁ + ℎ 0 } ² 𝑒𝑒 0 √( 𝐴

𝑐 1 )

2

+ ( 1 𝑒𝑒 0 𝜔𝑅 )

2

𝑑 ₃₁ 𝐸 ₂ 𝑤ℎ ₀ 𝐿 ³ {𝐸 ₁ 𝑐 ₁ + 𝐸 ₂ ℎ ₀ }{𝑐 ₁ + ℎ ₀ } ² 𝑒𝑒 ₀ √( 𝐴

𝑐 1 )

2

+ ( 1 𝑒𝑒 0 𝜔𝑅 )

2

(31)

式(31)より集中荷重を加えた場合は等分布荷重を加えた場合 の3倍の電圧が得られることがわかる．また，最大電圧は長 さ𝐿の二乗に比例して増加することがわかる．ここで式(31) は基盤部の厚みℎ

₀

_{ℎ 0 = −} ^{𝐸 1 − √𝐸 1 (𝐸 1 + 8𝐸 2 )}

4𝐸 ₂ 𝑐 ₁ (32)

のとき出力電圧は最大値をとる．

𝑐 1

数𝐸

₂ = 110[GPa]の黄銅を使用したときの最大値をとるℎ ₀

0.528mmとなる． Fig.5に基盤の厚みℎ ₀

す．ℎ

₀

4.2 基盤の材料の発電特性への影響

4.1節と同様の形状で基盤の材料を変えて，つまり基盤の縦

𝐸 ₂

𝐿 = 20[mm], 𝑐 1 = 1[mm], ℎ 0 = 1[mm]とする．Fig.6に𝐸 ₂

𝐸 ₂

Fig.5 Relationship between thickness

of the base and Maximum voltage

4.3

𝒂 _𝟐 = 𝟎

式(20)において

𝑎 2 = 0

𝑏(x)

_{𝑏(𝑥) = 𝑏 2 𝑥 + 𝑐 2} (33)

式(29)より等分布圧力を加えた場合の最大電圧は

𝑉 =

𝑑 31 𝐸 2 𝑝ℎ 0 𝐿 ³ (5𝑏 ₂ 𝐿 + 20𝑐 2 ) 20(𝐸 ₁ ℎ ₁ + 𝐸 ₂ ℎ ₀ )(ℎ ₁ + ℎ ₀ ) ² 𝑒𝑒 ₀ √( 𝐴

ℎ ₁ )

2

+ ( 1 𝑒𝑒 ₀ 𝜔𝑅 )

2 (34)

4.1節と同様に最大電圧は長さ𝐿の増加に伴って増加すること

₁

_{𝑠𝑢𝑟𝑓}

_{𝐴 𝑠𝑢𝑟𝑓 =} ^{𝑏 2}

2 𝐿 ² + 𝑐 2 𝐿 = const (35)

₂

₂

_{5𝑏 2 𝐿 + 20𝑐 2 = −5𝑏 2 𝐿 + 20} ^{𝐴 𝑠𝑢𝑟𝑓}

𝐿 (36)

式(36)より幅の変化の傾き𝑏

₂

₂

4.4 𝑳が𝟐𝟎𝐦𝐦のときの発電特性解析

Fig.8に長さ方向に厚みが変化する梁の先端に集中荷重を

₁ , 𝑏 ₁

₂ , 𝑏 ₂

𝐿

どちらの場合でも𝑎

₁ , 𝑏 ₁

₂ , 𝑏 ₂

5. 結言

種々の条件における圧電素子の発電特性の解析を行うた めの理論式を構築した．片持ち梁の厚みと幅が長さ方向に対 して変化する形状の圧電素子に種々の荷重を加えた場合の 出力電圧の理論式を構築した．また，一定の材料下における 圧電素子の形状と荷重方法と出力電圧の関係を明らかにし た．以下に，本研究で得られた結果を示す．

(1)

(2)片持ち梁状の圧電素子の先端に集中荷重を加えた場合は

(3)

(4)

参考文献

[1] Mitsuhiro Okayasu, Keisuke Watanabe, The electric power generation characteristics of a lead zirconate titanate piezoelectric ceramic under various cyclic loading conditions, Ceramics International ,41 ,(2015) pp15097–15102

[2]

Fig.6 Relationship between elastic coefficient of the base and Maximum voltage

Fig.7 Relationship between slope 𝑏 ₂ and maximum voltage

Fig.8 Relationship between 𝑎 ₁ and 𝑏 ₁ and maximum voltage

Fig.9 Relationship between 𝑎 ₂ and 𝑏 ₂ and maximum voltage