∫ ∑∑∑ 第 7 章 定積分の応用

第

7

章 定積分の応用

（キーワード）

線積分、面積分、体積積分、立体角、重心、慣性モーメント

定積分の応用として、曲線の長さ、曲面の表面積、立体の体積、空間に分布した物理量 の曲線、曲面、および体積についての積分、および物理学への応用として重心、慣性モー メントの計算法を検討する。

7.1

曲線の弧の長さ

図 7.1(a)のように関数

^y = ^f ( ) ^x

を

x − y

平面上にプロットして曲線を描く。

x = a

から

までの曲線の長さを求める問題を考える。区間

b

x = [ ] ^{a, b}

を等間隔に分割し、分割幅を

Δ x

とする。これらの分割された区間は

x

^座標 で区切られるとする。このよ うに曲線を分割したとき、各区間の弧の長さは

x

n

x x x

x

₁

,

₂

,

₃

,

₄

,...

( x

_i

− x

_i−1

) (

²

+ y

_i

− y

_i−1

)

² で近似される。し たがって、弧の全長はこれらの和で近似され、

y

( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( )

x x x f x x f

f x f x y

y x

x

n

i

i i

n

i

i i

n

i

i i i

i

⎟ Δ

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

Δ + −

=

− +

Δ

=

− +

− ∑ ∑

∑

=

−

= −

= − −

1

2 1 1

2 1 2

1

2 1 2

1

1

と書ける。ここで、分割を細かくして

Δx → 0

の極限をとれば、弧の長さ は

s

dx dx s

^b

df

∫

a

^{+ ⎜} _⎝ ^{⎛ ⎟} _⎠ ^⎞

=

2

1

（7.1）

として求めることができる。定積分は分割と総和であることを思い出して欲しい。

次に、曲線がパラメータ

t

などにより

x

^座標と 座標を別々に指定することで表される場 合について、曲線の長さを与える式を導く。図7.1(b)に示すように、ここで、曲線は

y x

( ) x f y =

x

1

x

₂

x

_i−1

x

_i

x

_n−1

x

_n

図7.1(a) 弧の長さの和 （x-y)表示

Δ x

a b

,

y

i

−1

y

i

y (

• •

•

•

−1

t

i

t

i i

)

i

y

x ,

( x

_i−1

, y

_i−1

)

x

図7.1(b) 弧の長さの和 t 表示

^x = ^x ( ) ^t

^y = ^y ( ) ^t

（7.2）

で与えられるとする。パラメータは

t = α

から

t = β

まで変化するとし、この区間を により分割する。分割幅は

t

n

t t

t

₁

,

₂

,

₃

,... Δ t

で均一とする。このとき、

Δ t

に対応した

x

^と

の増分 と はもはや均一ではなく場所場所で異なる値をとる。曲線をパラメータの分 割に対応した折れ線で近似すれば、弧の長さは近似的に

y Δ x Δ y

( ) ( ) ( )

t

t y t

t x t t

t y y t

t x y x

y x

x

n

i i i n

i i i

i i i

i i i n

i

i i i

i ⎟ Δ

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ Δ + Δ

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ Δ

= Δ

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

− + −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

= −

− +

−

∑ ∑

∑

− =

= −

−

−

−

= − −

1

2 2

1 1

2

1 1 2

1 1 1

2 1 2

1

と書けるので

Δt → 0

の極限において、弧の長さは

dt dt dy dt

s ⁼ ∫

α^β

^⎜ _⎝ ^⎛ dx ^⎟ _⎠ ^{⎞ + ⎜} _⎝ ^{⎛ ⎟} _⎠ ^⎞

2 2

（7.3）

として求められる。

特に、曲線が極座標で表されているなら、

x

^と

y

^は動径

r

^と偏角

θ

^{で表されるが、曲線上}

では

r

は

θ

の関数として与えられるので結局独立に変化するパラメータは

θ

である。この

θ

を上述の

t

の代わりに用い、

θ cos r

x =

^および

y = r sin θ

から、

θ θ θ

θ d ^{cos r sin} dr

d

dx = −

^および、

θ θ

θ

θ d ^{sin r cos} dr

d

dy = +

であるので、

∫

∫ ^⎜ _⎝ ^{⎛ ⎟} _⎠ ^{⎞ + ⎜} _⎝ ^{⎛ ⎟} _⎠ ^{⎞ = ⎜} _⎝ ^{⎛ ⎟} _⎠ ^{⎞ +}

=

²

1 2

1

2 2 2

2 θ

θ θ

θ

θ

θ θ θ

θ d ^{r d}

d dr d

dy d

s dx

（7.4）

が得られる。

例1

y = x

²の曲線の長さを

x = 0

から

x = 1

まで求めてみよう。（7.3）式より、

( ) x dx x dx t dt

dx dx

s ⁼ ∫ ^{+ ⎜} _⎝ ^⎛ dy ^⎟ _⎠ ^{⎞ =} ∫ ^{+ =} ∫ ^{+ =} ∫

0²

⁺

1 2

0 1 2

0 1 2

0

2

2 1 4 1

1 2

1 1

ここで、

t = 2 x

のように変数を置換した この積分を実行すると

( )

( ) ^{( )}

4

5 2 log 5 1 2

log 4 1

1

²

0 2

2

+ + + = + +

+

= t t t t

s

となる。

例2 半径

a

の円周長を（7.4）式を用いて計算する。この円周上では

r = a

で

θ

に依存しな

いで一定なので、

= 0 θ d

dr

_であり、

a a

d a d

r

s

^π

θ

^π

θ θ

^2π

2 π

0 2

0 2

0

= = =

= ∫ ∫

^となる。

例3 極座標表示の対数螺旋、

r = ce

^αθについて、

θ = 0

^から

θ = 2 π

^{までの弧の長さを求め}

る。

( ¹ )

1

1 1

²

2 2 0 2 2

0 2 2

0

2

2

+ −

+ =

= +

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

= ∫

^π

^r _d ^dr _θ ^{d θ} ∫

^π

^ce

^αθ

^{α d θ c} _α ^{α e}

^{αθ π}

^c _α ^{α e}

^πα

s

例4 アルキメデスの螺旋

r = c θ

（ は正の定数）上の弧長を

c θ = 0

から

θ = θ

₀まで求める。

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎝

⎛ + + +

+

= +

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

= ∫ ∫

0 ^{0 02 0 02}

2 0

2

2

1 log 1

1 2

0

0

θ θ θ θ θ θ θ

θ

θ

θ

c

d c

d d r dr s

7.2

線積分

次に、

x − y

平面上に曲線が与えられているとし、この曲線上の各位置で関数が定義され ているとする。この関数を

^z = ^f ( ^{x , y} )

とし、次の計算を考える。

( ) ( ) ( ) ( )

i

i

i i i

i i i i

i

i

y x x y y f x y s

x f

I = ∑ ^,

⁺¹

−

²

+

⁺¹

−

²

= ∑ ^, Δ

^（7.5）

この和は曲線を微小な長さ に分割し、この微小長さに各地点における関数値を掛けて総 和を取ったものである（図7.2参照）。ここで分割を無限に細かくし、分割数 を無限に大 きくするとき、この総和が有限な値に一様に収束するならば、この総和を次の様に表し、

関数 の曲線 に沿っての積分、あるいは

s

i

Δ

N

( ^{x y}

f , )

^A

^f ( ) ^{x , y}

^の曲線A上での線積分という。

( ^{x y} ) ^{s f} ( ) ^{x y ds}

f

I

_i

N s

i i

i

∑ ^{Δ =} ∫

=

∞

→→

Δ A

, ,

0

（7.6）

y

x z

a b

( ) a g

( ) b g

( ) x y f z = ,

A：積分路

y = g ( ) x

( x

i

, y

i

) ( x

i

y

i

)

f ,

( x

_i+1

, y

_i+1

) ( x

_i+1

, y

_i+1

)

f

図7.2 線積分の説明 図

この計算において、

( ) ^{x, y}

は積分路 上の点であることに注意する。したがって、 および は積分路 を与えるために

A y

_i

y

A

^y = ^g ( ) ^x

^として

x

の関数として表されていなければならない。

この線積分は関数値

^z = ^f ( ) ^{x , y}

を

x − y

平面に対して垂直な 軸方向での値としてプロッ トしてみるとわかりやすい。図7.2 に示すように、積分路 上に高さが の曲線が形 成され、積分（7.6）はこの曲線と積分路との間にできる曲面（垂直に下がるカーテンのよ うなもの）の面積を与える。線積分は（7.6）式のようにシンボル的に表されるが、具体的 に計算しようとする場合、より具体的な形式に書き表したほうが良い。このような観点か ら、まず式（7.6）式を、独立変数としての

z

A

^f ( ^{x , y} )

x

および従属変数としての

y

で表す。

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

∫ ( )

∑

∑

∑

∑

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

=

⎟ Δ

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ Δ + −

=

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

− + −

=

− +

−

= Δ

=

+

→ Δ +

+ +

→

−

+ +

→

∞ −

→→ Δ

+

+

1 0 1

1

2

2 1 0

1 2

1 1 0

2 1 2 1 0

0

1 ,

1 , 1

,

, ,

x x

i i

i x

i i i

i i i

i i x

x

i i

i i i i x

x

i i i

s

i i

dx dx y dy

x f

x x y y y

x f x

x x x

y y y

x f

y y x x y x f s

y x f I

i i

i i i

（7.7） ここで、

x

_i+1

− x

_i

= Δ x

とした。この計算に於いては積分路を与える関係式 を に 代入するので、被積分関数は結局

( ) ^x

g

y = y

x

だけの関数となり、通常の定積分に帰着される。

次に、

x − y

平面上の座標

x

^{と がパラメータ}

t

の関数として与えられるとする。このパ ラメータを から の区間で について等間隔

y

t

0

t

₁

t Δ t

で分割する。このとき、（7.6）式は次のよ うに書き直される。

( ) ( ) (

1

)

²

2

,

_i 1 _{i i i}

i

i

i

y x x y y

x f

I = ∑

₊

− +

₊

−

( ) ( ) dt

dt dy dt

y dx x f t t

y y t

x y x

x

f

^t

i t i

i i i

i i i

i

i

∫

∑ ⎟⎟ ^{Δ = ⎜} _⎝ ^{⎛ ⎟} _⎠ ^{⎞ + ⎜} _⎝ ^{⎛ ⎟} _⎠ ^⎞

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ Δ + −

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ Δ

=

⁺

−

^{+ 1}

0

2 2 2

1 2

1

,

,

（7.8）

ただし、

x

^および

y

^は

^x = ^x ( ) ^t

^および

^y = ^y ( ) ^t

として で与えられ、これらは積分路を表す。

t

特に、

x − y

平面上の位置が極座標で与えられているならば、

x, y

を

r , θ

^で表し、

r

^を

θ

^の

関数と考えて（7.8）式の微分係数を求め代入することで（7.8）式が次のように表される。

( ) θ

θ θ

θ

θ

r d

d r dr f

I ⁼ ∫

₀¹

^{, ⎜} _⎝ ^{⎛ ⎟} _⎠ ^⎞

²

⁺

² （7.9）

ただし、

r = r ( ) θ

は積分路上の点までの動径長を偏角

θ

の関数で与えるもので、積分路の極 座標表示である。この式は簡単な図形的理解から直接求めることができる。図7.3に示すよ うに、

( x

_i

, y

_i

)

点から

( x

_i+1

, y

_i+1

)

点までの間の弧の長さを

Δ s

_iとする。

( x

_i

, y

_i

)

点および

s

i

Δ

r

i +1

r

i

θ Δ

) , ( x

_i

y

_i

) , ( x

_i+1

y

_i+1

図7.3 曲線長の見積もり （極座標）

Q

r

P

Δ

θ Δ r

) ,

( x

_i+1

y

_i+1 点までの動径の長さをそれぞれ

r

_iおよび

r

_i+1とすると

θ θ ^Δ

∂

= ∂ Δ

=

+

−

r r r r

_{i 1 i} である。したがって、

弧

^{PQ =} ( ^{r Δ θ} )

²

^{+ ⎛} _⎜ ^∂ _θ ^{r Δ θ ⎞} _⎟

²

⁼ ( ) ^r

²

^{+ ⎛} _⎜ ^∂ _θ ^{r ⎞} _⎟

²

^{Δ θ}

∂ ∂

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

であるから、

⁼ ∑ ( ) ( ) ^{+ ⎜} _⎝ ^⎛ _∂ ^{∂ ⎟} _⎠ ^{⎞ Δ =} ∫ ( ) ( ) ^{+ ⎜} _⎝ ^⎛ _∂ ^{∂ ⎟} _⎠ ^⎞

=

1 0

2 2

2

2

,

,

^θ

θ

θ

θ θ θ θ

θ r d

r r r f

r r

f I

ri

r i

i

i

i (7.10)

となる。

それでは、具体的に関数の線積分を求める作業を行う。

例 5

z = f ( ) x , y = x

²

+ y

²（回転放物面）を積分路

y = 2 x + 1

に沿って積分する。積分は 点

( ^{0 , 1} )

から

( ) ^{1 , 3}

までとする。この場合は、(7.7)式を

x

^{について区間}

0 ≤ x ≤ 1

で積分するこ とで求められる。

( )

²

( ^{( )} ) ^{( )}

²

1 2 2 1 2 2

0 0

1 2 1 1 2 1 14 5

3

dy d

I zds x y dx x x x dx

dx dx

⎛ ⎞ ⎧ ⎫

= ∫ = ∫ + + ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ = ∫ + + + ⎨ ⎩ + ⎬ ⎭ =

A

例 6

z = f ( ) x , y = x + y

（原点を通る傾いた平面）を積分路

y x 2

= 1

^{に沿って から}

まで線積分する。

= 0 x

= 1 x

( )

8 5 3 4

5 3 2

1 1 2

1 1

¹

0 1 2

0 1

0

2

=

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ +

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛ +

= ∫ ^{x y dy} _dx ^dx ∫ ^{x x dx} ∫ ^xdx

I

こ れ を 極 座 表 で 求 め る 。 原 点 か ら 点

( ) x, y

ま で の 距 離 を

r

^{と す る と}

x r 5

= 2

^{お よ び}

r y

5

= 1

であるから、

( ) ∫ ∫

∫ ^{= ⎜} _⎝ ^{⎛ + ⎟} _⎠ ^{⎞ =}

=

²

5 0 2

5

0

5

3 5

1 5

, y ds 2 r r dr rdr

x f I

A

8 5 3 5 2

3 5

3

²

5

0 2 2

5

0

= =

= ∫ ^{rdr r}

と同じ結果が得られる。ここでは偏角

θ

が一定なので、線積分は

r

について行う。

例7

z = x

²

+ xy + y

² （放物面；

z = const

面との交線が楕円で、

x

軸から の方向 へ長軸を持つ）を半径

45

D

−

R

の円周

x

²

+ y

²

= R

² 上で

y ≥ 0

の領域で線積分する。まず、

y

x −

座標系では次のようになる。

( )

∫

∫ =

−

+ + + −

=

^R

R

dx

x R y x

xy x zds

I

_{2 2}

2 2

2

1

A

；ここで、

y = R

²

− x

² を代入する。

( )

( )

( ) ( )

3

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 1

R

dx x R x

R R x

R dx x R R x

R

dx R x R x x R dx x R x x R R x

dx x R x R x R x x R

R R R

R R

R

R R R

R R

R

π

π π

π

=

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ − − + −

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ′

−

−

=

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ +

= −

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + + −

= −

− − +

− +

=

∫

∫

∫

∫

∫

− −

−

−

−

−

これを極座標で計算すると、

x = r cos θ , y = r sin θ

^で

r = R

^とし、

= 0

∂

∂ θ

r

であることを用 いると、

( ) ( )

( )

∫

∫ ^{= + + +}

=

^π

θ θ θ θ θ

0

2 2 2 2

0 sin

sin cos

cos R R R d

R zds

I

A

( )

³

0 3

0

3

sin 2

2 sin 1

cos

1 d R R

R

^π

θ θ θ θ θ ⎥⎦ ⎤

^π

= π

⎢⎣ ⎡ +

= +

= ∫

となり、同じ結果を得る。

例8

線積分の応用として物体に働く力が行う仕事を計算してみよう。物体に力

F

が働いてい て変位

Δ r

が生じたとする、このとき、力が行った仕事は

F

•

Δ r

で与えられる。鉛直下方に 重力 が働いているとき、放物運動している物体にたいして重力が行う仕事を考える。

物体を水平方向（

− mg

x

^{軸とする）に速度}

v

₀^{で発射したとすると、}

t

秒後における物体の位置は

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

₀

−

²

2 , 1 gt t

v

で あ り 、

x, y

の 関 係 と し て 表 せ ば 、 軌 道 は ₂ ²

2

0

x v y = − g

)

で あ る 。 力 は

であり、軌道上の位置

( − ^mg

= 0 ,

F

( ) ^{x, y}

^{から軌道に沿って}

( ^x + Δ ^x , ^y + Δ ^y )

まで移動する際 に、この力が行う仕事は である。ここで は軌道上の位置

(

^{における接線}

ベ ク ト ル で あ る 。

ds

dW =

F•t

t ^{x, y} )

dx dx ds dy

2

1 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

=

で あ り 、 ま た 接 線 ベ ク ト ル を 成 分 で 表 す と

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

+

− +

=

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

=

2 4 0

2 2 0 2

4 0

2 2

2

1 , 1

1 1

, 1

1

v x g v x

g

v x g dx

dy dx dy

dx dy

t

^；

x

v g dx dy

2 0

−

=

^{を用いた。}

したがって、

( ) ^ds

v x g v x

g mg

ds dW

2 4 0

2 2 0

1 +

−

−

=

= F

•

t

となるので、重力がこの物体に行う仕事は、これを

軌道に沿って線積分することで求められる。つまり、軌道上で原点から

( x , y )

までの積分は

2 2 0

2

0 2

0 2 0

2 4 0

2

2 4 0

2 2 0

2

0

2

2 4 0

2 2 0

2

2 4 0

2 2 0

2

1 2 1

1 1

1

v x xdx mg v dx mg v x

g v x

g v x mg

dx dx dy v x

g v x mg ds

v x g v x mg ds

W

x x

x

=

= +

+

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛ +

= +

=

=

∫

∫

∫

∫

∫

^•

A A

t F

となる。ところで物体が落下することによる高さの変化は ₂ ²

2

0

x v

h = g

^{なので上記の積分は}

となり、結局重力が物体に対して行った仕事は

mgh

≡

mgh

重力ｘ落ちた距離 という馴染みのある結果を得る。

例9．極座標を用いた線積分の例として、半径

a

の円周上で与えられる関数

f ( ) r , θ = c θ

の

円周に沿った線積分を考える。

r = a

および

= 0 θ dr

d

^より、

( ) ( ) ( )

ac ca

d ca d a c d d

r dr r

f

I

²

2 2 0 2 2

0 2

2 2

0

2

2

, θ θ θ θ θ 2 π π

θ θ

^{π π}

π

⎟ = = = =

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

= ∫ ∫ ∫

これは螺旋状スロープ階段の側面の面積を与える。

7.3

立体の体積の計算

図7.4に示すように、立体の断面積が

x

座標の関数であたえられるときは、立体の体積を

求めることは難しくない。

x

^座標を と分割し各区間の間隔を 、各々の 位置における立体の断面積をそれぞれ

x

n

x x x

x

₁

,

₂

,

₃

,

₄

,... Δ x

( ) x

_i

S

とすれば、立体の体積は近似的に

( ) x x S V

n

i

i

Δ

≈ ∑

=1

(7.11)

x

i

( ) x

_i

S

a x

i+1

b

図7.4 断面積がxの関数で 与えら得る場合

と表される。ここで分割を細かくし、

Δx → 0

の極限においては、体積は

∫ ( )

=

^b

a

S x dx

V

(7.12) で与えらる。ただし、ここで立体の体積を

x = a

から

x = b

まで求めるものとする。

例10 半径

a

の球の体積を求めてみる。球の中心を原点におき、

x

における断面の半径を

r

とすれば、

r

²

= a

²

− x

² であり、断面積は

^{π r}

²

^{= π} ( ^a

²

^{− x}

²

)

である。したがって体積は

( )

3 4 3

1

3 ³

2 2

2

a

x x a dx x a

a

a a

a

π

−

π ⎟ = π

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

−

∫

−

となる。

例11

底面が長方形の角錐の体積を求めてみよう。頂点を原点に置いて、角錐の中心軸を

x

軸に とり、角錐の高さを

h

とする。底面のサイズを

y

方向に 、 方向に とする。このとき、

a z b

x

の位置での断面積は

₂

x

²

h b ab h a x h

x ⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

であるので、体積は

3 3

3

3 2 0 3 0 2

2 2

h abh h x ab h dx ab h x V ab

h

h

= = =

= ∫

である。

7.4

回転体の表面積

図 7.5 に示すように関数

^y = ^f ( ) ^x

^を

x

軸回りに回転して形成される回転体について、

a

x =

から までの側面積を求める。 と に対応する y 座標の値をそれぞれ お よび とする。図の と の距離を

b

x = x

_i−1

x

_i

y

_i−1

y

i

M

_i−1

M

_i

Δ s

_iとすると、

Δ s

_i

= ( x

_i

− x

_i−1

) (

²

+ y

_i

− y

_i−1

)

²

である。この距離は の位置に応じて変化することに注意する。したがって

i

番目というこ とで と書いた。側面を描く曲線を折れ線で近似したときの、この回転体の側面積は

x

i

s

i

Δ

−1

x

i

( ) x

i

S

a x

_i

b

図7.5 回転体の表面積

s

i

Δ

−1

M

i

M

i

−1

y

i

( ) ( ) (

1

2

1 1 1

2 1 2

1 1

1

2 2 1

2

₋

−

− −

−

−

−

−

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

− + −

=

− +

−

=

Δ ∑ ∑

∑

^{i i}

i i

i i i

i i

i i

i i

i i

i

i

x x

x x

y y y

y y x

x y s

y π π

π )

と表すことができる。したがって、

Δ x = ( x

_i

− x

_i−1

) → 0

の極限では表面積は

( ) dx dx x df

f

S

^b

a

2

1

2 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

= ^π ∫

(7.13) により求めることができる。

例12

y = x

で形成される回転体の表面積を

x = 0

から

x = 1

まで求めてみる。

( ) ∫ ∫

∫ ^{+ ⎜} _⎝ ^{⎛ ⎟} _⎠ ^{⎞ = + = +}

=

¹

0 1

0 2

4 2 1

4 1 1 2

1

2 dx x dx

x x dx dx

x df f

S

^b

a

π π

π

( ) ⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛ −

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ +

= 8

1 5 3 4 4

1 3

4

³

1

0 2

3

π

π x

7.5

面積分

定積分の応用として次の積分を考える。

図7.6のように、

x − y

平面上に有限な領域 を与える。この領域において関数 を定義する。ここで、 を多数の小面積

S ^z = ^f ( ) ^{x , y}

S Δ S = Δ x Δ y

に分割し、各々の小面積の所在地を座 標

( x

i

, y

j

)

で指定する。この各々の位置における関数値を

z

i_,j

= f ( x

i

, y

j

)

^{とし、次の和を考}

える。

⁼ _∑ ^{Δ =} _∑ ( ) ^Δ

(7.14)

j i

j i j

i j i

n

z S f x y S

S

, ,

,

,

x

i

−1

x

i

y

j

−1

y

j

(

i j

)

j

i

f x y

z

_,

= ,

図7.6 S上の面積 分

S

ここで、n は分割の総数を意味する。ここで、

n → ∞

^とし、

ΔS → 0

の極限において、上 記の

S

_nが有限の値に収束するとき、つまり

S

_n

I

n

=

∞

lim

→ (7.15) が一つ存在するならば、この極限値を関数 の面

z S

上での面積分といい、記号

∫∫

(7.16)

S

zdS

で表す。これは、つまり積分領域を無数の小面積に分解し、各面積に関数値 を掛けて加 え合わせるという作業を行うことである。このような計算では意味をしっかり捉えること が何よりも重要である。

z

例13

S

^を区間

− a ≤ x ≤ a

^と

− b ≤ y ≤ b

で囲まれる矩形の領域とし、

z = h

^{：一定としたとき、}

の における積分は

z S

( ^{x y} ) ^{S h x y h x y abh}

f zdS

j n i j

n i j

i

j n i

S

4 lim

lim ,

lim

, ,

,

∑ ∑

∫∫ ⁼

→∞

∑ ^{Δ =}

→∞

^{Δ Δ =}

→∞

^{Δ Δ =}

これはつまり、四角柱の体積に他ならない。この例でも明らかなように、関数 を面 に ついて積分するということは を面

S

内で加え合わせることと覚えるのが良い。

z S

zdS

例14

2 2

2

x y

a

z = − −

を

x − y

平面上で原点を中心とする半径 の円で囲まれる領域で積分する（図7.7参照）。こ の積分領域は半径

a

^の球の

a y

x −

平面上での切り口である。 を考えるにあたって、まず を固定し、

zdS

y x

だけについて和を求める。つまり、

zdxdy = a

²

− x

²

− y

²

dxdy

を、 を固 定し、

y

2 2 2

2

y x a y

a − ≤ ≤ −

−

の範囲で

x

について加え合わせる、つまりに

x

^ついて積

分する。ここで、

x

の範囲がこのように限定されるのは、

S

は半径 の円で囲まれる領域だ からである。

a

x y z

y

2

2

y

a

x = −

2

2

y

a

x = − − _a

a

− a

曲面

z = a

²

− x

²

− y

²

dy zdxdy

図7.7 半球の体積を面積分で求める

∫

∫ ∫

−

−

−

−

−

−

−

− − = −

=

^α

α

α x dx

dy dx y x a dy

zdx dy

^{a y}

y a

y a

y a

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2 ；

α = a

²

− y

² と置く

( )

²

(

^{2 2}

)

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2 1 2

cos d dy cos d dy dy a y

dy = + = = −

= ∫

−

∫

−

α π θ π

α θ θ θ

α

^π_π ^π_π

最 後 の 積 分 で 、

x = α sin θ

と 変 数 を 置 換 し た 。 こ の と き 積 分 領 域

− α ≤ x ≤ α

は

2

2 θ π π _{≤ ≤}

−

に対応する。幾何学的に考えるならば、このようにして

x

^{について積分したも}

のは、 のいろいろの位置において半球から切り出された厚さ のスライスの体積を与え る。もちろん、その体積は に依存する。その結果を について

y dy

y y − a ≤ y ≤ a

^{の区間で積分} すると

( )

3 4 2 1 2

3 2

2

a

dy y

a

a

a

π

π − =

∫

−

となり、半径

a

の球体の体積を半分にしたものになっている。

このように、関数 を面 について積分することは関数 と面 で形成される立体の体 積になっているが、そもそも積分の定義は体積を意識したものではない。あくまでも関数 値 と微小面積 の積を全面積 について加えたものという基本概念を忘れないように して欲しい。

z S z S

z dS S

次に、

x − y

^{平面上の領域} が極座標で表示されている場合の面積分を考える。面積分の 基本的な考え方は、

S

( )

∑

∑ ^{Δ = Δ}

=

j i

j i j

i j i

n

z S f x y S

S

, ,

,

,

(7.17)

であるが、ここで

Δ S = Δ x Δ y

および

x

_iと

y

_iをそれぞれ

r

^と

θ

で表すことである。

x − y

平 面上の図形の面積を求めるためには、図形を

Δ S = Δ x Δ y

の微小な矩形に分割してから総和 を求めたが、極座標で同様の作業を行うためには、動径と偏角を微小幅に区切って微小面 積を表し、これらの総和を取る。図 7.11(a)のように、原点を取り囲む閉曲線で与えられる 領域の面積を考える。この曲線は動径

r

が

r = r ( ) θ

(7.18) として偏角

θ

の関数であたえられるとする。この図形を角度幅

Δ θ

の細い扇状に区切る。偏 角が

θ

と

θ + Δ θ

で作られる扇形に注目し、これの面積を求める。