１ [11センター本試(旧課程) センター本試]
四角錐 において，三角形 と三角形 は合同で， ， ，
であり，底面の四角形 は長方形である。 とおき， ，
， とおく。
を ， ， を用いて表すと ア イ である。辺 を に 内分する点を とすると， ウ
エ
オ エ
カ
エ となる。
さらに辺 の中点を ， 点 ， ， の定める平面を とし，平面 と辺 との 交点を とする。点 は平面 上にあることから， は実数 ， を用いて
と表されるので，
キ ク
ケ コ サ シ となる。一方，
点 は辺 上にもある。これらから， ス
セ となる。
また， ･ ソ タ ， ･ チ ， ･ ツテ である。よって，
･ を計算すると， ト のとき，直線 と直線 は垂直になる ことがわかる。
ア イ ウ
エ オ カ キ ク ケ コ サ シ ス
セ ソ タ チ
ツテ ト
解説
四角形 は長方形であるから
よって
ア イ
点 は辺 を に内分するから
よって
ウ エ
オ カ
は辺 の中点であるから
よって したがって
キ
ク
ケ コ サ シ
一方，点 は辺 上にあるから， は実数 と表される。
の ， ， を用いた表し方はただ 通りであるから
， ，
これを解くと ， ， したがって
ス セ
△ と △ は合同であるから
･ であるから ･ ･
ソ タ
， ， より，△ は の直角三角形である。
よって ･
チ△ の辺 は長方形の対角線であるから
･ の場合と同様に考えて
･
ツテここで
したがって ･ ･
･ ･ ･
･ ･ ･
直線 と直線 が垂直になるのは， ･ のときである。
よって ゆえに であるから
したがって ･
ト２ [16センター本試 センター本試]
四面体 において， ， ，
であるとする。また，辺 上に点 をとり，辺 上に点 をとる。以下， ，
， とおく。
， であるような実数 ， を用いて ， と
表す。
･ ･ ア ， ･ イ であることから
ウ エ オ カ キ となる。
したがって， が最小となるのは ク
ケ ， コ
サ のときであり，この
とき シ となる。
三角形 の重心を とする。 シ のとき，三角形 の面積を 求めよう。
･ ス から， セソ である。
したがって，三角形 の面積は タ である。
また チ
ツ
テ
ト であり，点 は線分 を ナ ： に内分 する点である。
以上のことから，三角形 の面積は ニ
ヌ である。
ア イ ウ エ オ カ キ ク
ケ コ
サ シ ス セソ タ チ
ツ テ
ト ナ ナ ヌ
解説
， ，
であるから
･ ･ ･
･ ･ ･
･ ･ ･
ゆえに ･ ･
ア， ･
イよって
･ ･ ･
ウ エ オ カ キ
ゆえに， が最小となるのは
ク ケ
，
コ
サ
のときで，このとき
シのとき， より ， であるから
･ ･ ･ ･
･ ･ ･
スよって， であるから
セソで であるから ･
したがって △ ･ ･
タ点 は の重心であるから
チ ツ
テ ト
ゆえに，点 は線分 を
ナ： に内分する点である。
よって △ △ ･
ニ ヌ
３ [14センター本試(旧課程) センター本試]
座標空間において，立方体 の頂点を
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
とし， を ： に内分する点を ， を ： に内分する点を とする。
上の点 ， 上の点 および ， の 点は同一平面上にあり，四角形 は平行四辺形であるとする。
四角形 の面積を求めよう。ベクトル を成分で表すと
アイ ， ウ ， エ となり，四角形 が平行四辺形であることに より， オ である。 オ に当てはまるものを，次の ～ のうちから一 つ選べ。
ここで， ， ， ， ， ， と表すと， オ であるので， カ ， キ となり， は を ： ク に内分することがわかる。また， と について ･ ケ ， コ ， サシ となるので，四角 形 の面積は スセ である。
四角形 を含む平面を とし，点 を通り平面 と垂直に交わる直線を ， と の交点を とする。 と三角錐 の体積を求めよう。
， ， とおくと， は および と垂直であるから，
･ ･ ソ となるので， タ ， チツ
テ であることがわ かる。 と が垂直であることにより， ト
ナニ となり， を求めると
ヌ ネノ
ハヒ である。 は三角形 を底面とする三角錐
の高さであるから，三角錐 の体積は フ である。
アイ ウ エ オ カ キ ク ケ コ サシ スセ ソ タ
チツ
テ ト
ナニ ヌ ネノ
ハヒ フ
解説
， ， ， ， ， であるから
， ，
アイ
，
ウ，
エ四角形 が平行四辺形であるから
オ
， ， ， ， ， と表すと，
， ， であるから
， ゆえに
カ，
キよって ， ， ， ， ，
したがって， は を ：
クに内分する。
ここで ， ， ， ，
よって ･
ケ，
コ
，
サシ
･ より であるから，四角形 は長方形であり，その面積は
スセ
， ， とおく。
， であるから ･ ･
ソよって ゆえに
タ，
チツ テ
また ， ， ， ，
であるから ･
よって
整理すると すなわち であるから
ト ナニ
ゆえに
ヌ ネノ ハヒ
したがって，三角錐 の体積は
△
フ４ [10センター追試(旧課程) センター追試]
三角形 の 辺に接する円 内接円 を とし，その中心を とおく。この円と辺 との接点を ，辺 との接点を とし， ， とおく。 である とし， ･ とおく。
なお，一般に円の外部の点 からその円に 本の接線を引き，その接点をそれぞれ ， とするとき， が成り立つ。
ベクトル は，ベクトル ， を用いて の形に表される。
ア である。 ･ イ であることから，実数 を を用いて表すと
ウ
エ となる。
とおく。点 が辺 を に内分するとする。辺 と円 との接点を とすると， オ
カ であり， キ
ク である。
一方， であり， ケ であるから， は と ･ を 用いても表される。これより コ
サ が成り立つことがわかる。したがって，
は を用いて シ
ス セ とも表される。
線分 と線分 との交点を とする。ベクトル を実数 ， を用いて
と表すとき，実数 は
ソ タ と表される。したがっ て， チ
ツ のとき，線分 と辺 とは平行になる。このとき，点 は辺 を テ ト に内分する。
ア イ ウ エ オ
カ キ
ク ケ
コ サ シ ス セ ソ タ
チ
ツ テ ト
解説
直線 と直線 は，円 の外部の点 から
円 に引いた接線であるから よって
アまた，直線 は，点 において円 に接しているから
ゆえに ･
イより
ゆえに ･ ･ ･
･ ･ ･ より
ここで， より ･
であるから すなわち
したがって
ウ エ
オ カ
また よって
キ
ク
…… ①
一方， ，
ケであるから
ゆえに ･
･ ･ ･ …… ②
①，② から すなわち であるから
コ サ
したがって
シ
ス セ
また
点 は線分 上にあるから …… ③ 一方
点 は線分 上にあるから …… ④ ③，④ を解くと ，
ソ タ
ここで，
線分 と辺 が平行であるとき， と は平行である。
と は平行でないから
分母を払って整理すると であるから
チ ツ
