工作機械構造の動特性に関する基礎的研究 構造減衰能の発生機構について: University of the Ryukyus Repository

Title

工作機械構造の動特性に関する基礎的研究 構造減衰能の

_{発生機構について}

Author(s)

平敷, 兼貴; 久米, 靖文

Citation

琉球大学理工学部紀要. 工学篇 = Bulletin of Science &

Engineering Division, University of the Ryukyus.

Engineering(11): 21-46

Issue Date

1976-03-01

URL

http://hdl.handle.net/20.500.12000/26615

工作機械構造の動特性に関する基礎的研究

構造減衰能の発生機構について

平敷兼貴*

久米靖文*

Fundamental Studies on Dynamics ofMachine Tool Structure

On

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Mechanism of Structur

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1

Damping

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Goodman makes s

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.

2

1

1

.

まえがき いろいろの機械部品などの精度の向上をはかるには、 工作機械による切削加工中に発生する“ぴぴり"と呼 ばれる振動を防止しなければならない。このぴぴり振 動は加工物の寸法精度、表面あらさ、工具寿命などに 悪影響を与える。とくに高速切削や重切削を行なうと きに、切削力の変動を生じ、ぴぴりが発生しやすくな り切削作業の高能率化を妨げる。ぴぴりを防止するた めに動的状態における金属切削の研究がなされたのは 1950年以後である。この方面における研究、とくに動 的切削過程 i乙関する研究はまだ十分でない。乙れまで なされてきた研究は、はじめはT

a

y

l

o

r

やKuzhetro

v

，

P

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i

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n

らによって，切削作業中

l

乙工具と加工 物の間で発生する切屑分離や構成刃先などの形成につ いて研究きれていたが、その後、イギリス、ドイツ、 受付:1975年10月31日 *琉球大学理工学部機械工学科 アメリカでぴぴりに関する研究が盛んになった。日本 では土井、加藤らの研究がある。乙れらの研究の結果、 ぴぴり現象は工作機械構造系と切削過程との構成系か ら発生する自励振動と工作機械の駆動系やその他の振 動源から発生する強制振動による乙とがわかった。ぴ ぴりを防止し、安定な切削をするためには、工作機械 構造系の振動特性と動的切削過程の研究が必要である。

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l

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F

i

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c

k

らにより切削過程の安 定解析が行なわれ，ぴぴりの安定限界が導かれた。最 近では工作機械構造の安定性を増加させるため、剛性、 減衰能を増大させる方向の研究がなされている。動同日 性は構造衰滅能の影響を受けるため減衰能の発生機構

2

2

平敷・久米:工作機械構造の動特性に関する基礎的研究 を明らかにしなければならない。とくに工作機械は梅 となる。乙の式を変形すると 造中 l乙多くの接合面を持っており、その挙動を知るた めには接合面における減衰能を知るととが必要である。

2

枚合せはりで接合面上の圧力分布が一様な場合には

Goodmanらによって研究がなされている。この報告

は単体はりのモデルと倭合面上の圧力分布が一様で ないモデルである 2枚合せはりの場合について、静剛 性、減表自由振動数、対数減衰率などを比較しながら 矯造減衰能の発生機嫌を明らかにするための基礎研究 である。

2

.

彼繊加工システムの安定性について

d'x

dx

m

ー ー す +

_α

_{t' . -dt}

c

一

一

+k

x = F(t) (2) となる。 (2国は強制振動の方程式である。 F(t)=0 で、

c>o

の場合に減衰自由振動となり、系は安定に なる。乙乙で問題となるのは F(t)=0、

c<o

のとき で、 ζの場合、振動振幅は増加していき自励振動とな る。

2

.

2

T

l

u

s

t

y

の安定解析 工作機械構造系と切削過程の構成系で切削力が未変 形切屑厚きの関数とした場合の安定限界を導くために、 力と未変形切屑厚さとの関係が比例すると仮定し、多

2

.

1

ぴぴり振動 自由度系についてつぎのような切削モデルを考えた。 ぴぴり振動は工作機械、加工物、工具からなる工作 F略 2において、加工物は1回転前の切削で、うねり 機械構造系と切削過程との構成系により発生する自励 振動とモーターや歯車などの駆動系や他の工作機械か らの外力により発生する強制振動に分けられる。前者 を自励ぴぴりといい、後者を強制ぴびりという。乙乙 で工作機械構造のある振動モードの場合を考え、 1自 由度の等価振動系にする。

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.

l

において、ばねは質量

加工物

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F

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.

2 C

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振幅 Y。をもち、加工物と工具の相対変位の振幅を Y とする。したがって、切削力変動量を

Pとすると

p=-~y-~) ~ となる。乙乙でTは工具と加工物との聞の相対変位と 関係づけるもので、関連係数と呼ばれる。工作機械構

x

(

t

1

)

造は無限自由度と考えられるので、F協 3 Ir.示され

F

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.

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と減衰がなく、ダッシュポットは質量とばね特性がな い。また質量はばねと減衰を持たないと仮定する。質 量を

m

、ぱね定数をk、減衰定数を

c

とする。 ζの系 に外力F(t)が作用して.x(t)t:け変位したとする。ただし 矢印の方向を正とする。そのときばねには変位 xl<::'比 例した復元力が働き、ダッシュポット1<::.は速度

dx

A

-

t

k比例した減衰力が働く。乙のときの力のつりあいを 考え、ニュートンの運動方程式をたてると、

mZE=-cEι- k

x+F(t) d

t

'

-

d

t

(1) V

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3 E

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y

琉球大学理工学部紀要(工学篇) るような振動系で示される。乙とで、ばねは乙わきk

，

減安定数 q

.

，

固有振動数 Q，をもっ。ぱねは g方向とめ 傾いており、切削力変動量Pと

u

方向とのなす角は ε である。ばねは切削力変動量の振幅P、角振動数 ωで ぬ方向のみに振動する。乙乙で、ばねには質量、減衰 がなく、ダッシュポットには質量、ばねがなく、質量 にはばね、減衰がないと仮定する。 Fig・1のように i次のモードを 1自由度の等価振動系に置き換えた場 合を考えてみる。ばね定数

k

はi次のモードの等価ば ね定数k"減衰定数cはi次のモードの等価減衰定数 c"質量mはi次のモードの等価質量m，IC置き換えら れる。乙れに外力

Psin

ωtが作用したときの変位をみ とし矢印方向を正とする。切削力変動量の振幅をP、 角振動数をωとし、 Fig. 41乙示すように切削力変動 Fig.4 Force diagram 量Pを接線方向と法線方向とに分けて考えてみる。乙 乙で

Pn=

[

t

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(

ε-y

，

)

=

[

t

a

y

，

-

ε)

p

，

=

民凪(ε一戸) である。法線方向成分p，は振動する方向耳石に対して垂 直なので無視できる。したがって、

a

方向に作用する 力は

P

n

'

のみとなる。ある時刻 tにおいて作用する切削力 変動量をP(t)とすると (6) P(t)=Pnsinωt で示され、(4成より P(t)= Pcos( y

，

ーε)sinωt (7) となる。質量

m

，1C作する力のつりあいを考えてみる。 ばねには変位に比例した復元力が作用し、ダッシュポ ットには速度に比例した減衰力が作用するので、つり あいの式は

d

'

，x m，~一=-c ， 三土-'

_d

_t

_'

_-

_.

--k

，

x

，

+Pcos(r

，

-

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，

dx

，

m

，ニニ

Lー

+

c

，

.

-

.-~~ー+k， x，

d

t

'

.

-

.

dt

=R

国5(y

，

ーε)sinωt (9)

2

3

となる。乙れを復素振幅表示をして解く。

x

，

=X

，

e

'

叫 とおく。乙乙で、 j=';ご

T

で

X

，

は複素振幅である ある。

x

，

を

(

9

)

式に代入すると

-m

，

w'

X

，

e

'

w

，

+

c.jω，

X

，

e

，

w'+k

，

X

，

e

'

叫 = P

∞

s

(

r

.

-

ε)

e

'

W

'

(10) となる。乙れを整理すると X， _PC泡s(r，-~) . k

，

-m

，

c

J

+

c

，

jω となり、 g

，

=

c

，

/

(

2 m

)

，

とおくと

X

，

=P

∞

s

(

y

，

ーε)

土

1 1 1 2

k ， (.0:

-

w

'

+

2jg

，

ω) となる。自励ぴぴりを考えるためには

u

方向の成分を 必要とするため、Fig 4より

u

方向成分が次式で与 j l l ( y えられる。

Y

，

=X

，

ωs

.

r

(11)と(13)式より (13)

Y

，

=Pcos(r

，

ーε)

∞

S % A Ql ・ (14) k

，

，kQl-ω，I+2jg

，

ω となる。 (14)式において U， =cos(r，-~)∞S 九 とおく。乙れを方向係数という。交番力P(ω)は す べ てのn個の固有振動モードに同時に作用する。乙のと き

u

方向に生じた娠幅はとれらの和である。したがっ て、 n u g ω q ， “

+

Q

一

_d

一 Q

U

一

ι

n

Z

削

p

y

n E

M

-Y

=PF(

ω) (15) となる。乙こで .!!.U

，

!J: F(ω}=

I}一一一一一一よ

日 k

，

!J:

-w'+

2jωg

，

。

@

である。安定基準を作るためにFig. 2 IC示すように うねりの振幅をY。、加工物と工具の相対変位をYとし、 Y。と Yとの比巻とってみる。 (15)式を(3)式に代入する と Q-Y-F(ω)

一 一 一

_Y O F(ω)+ l/r (1司

24 平敷・久米:工作機械構造の動特性に関する基礎的研究 となる。乙乙で、 F(ω)は複素数であるから、 Qもま 変位 x(

t

ーのを時刻 tより 7時間前の加工物と工具との た複素数である。もし

I

Q

1>

1ならば、系は不安定 相対変位をすると、ある瞬間での未変形切屑厚さ S(t) になり、 IQ

1<

1のときは系は安定になる。 IQ I はつぎのようになる。 =1のときYとY。は等しくなり安定限界となる。 S(t)=So(骨-x(t)

+

tx( t-T) 凶 Rω)は複素数であり、乙れを実部と虚部i己分けると

F

(

ω

)

=

G

(

ω)+jH(ω) (18) となり、安定限界はつぎのように表わされる。 G(ω)+jH(ω) IQI=1 = G(ω

)+I

/

r+

jH(ω) (19威から 一 __

1 =G(

ω"'.) 2ru

・

(1叫

a

o

)

が得られる。あるモードを1自由度系とすると関数

F(

ω)の実部G(ω)はつぎのようになる。 U Q'(Q'ー ω') G(ω)= k

(

，

，

'

ーω

叩

+

4g'w' 自1) Tlustyは白l国を解くのに図式を用い、振動特性を決定 しようとした。このTlustyの安定解析の特徴はぴぴ りの発生する振動モードが得られることで、乙の振動 モードの動剛性を高めて工作機械の安定性を増大させ ようとするものである。 2.3 MerritとDr噌gerの安定解析法

MerritとDreggerと Roseは切削過程と振動 している機械との安定解析をFig. 5 IC示しているも ~ーーーーーー・・ーーーーーーー-ーーーーーーー Fig. 5 Model ofcutting process のと同じ切削状能を考えて解析した。 So(t)を設定切 ここでTは加工物が 1回転 l乙要する時間、

C

は重なり 率である。自衛えをラプラス変換するとつぎのようにな る。 S(P0)= So(Po)-x(P 0)+ te-TP，x(po) ω) Merritは切削力F(t)が未変形切屑厚さS(t)に比例す ると仮定してっきのように表わした。 F(t)=kcs(t) a4) ここで kcは静的方向のとわきで切削申の切削の幾何 学と力の関係より、

b

r

kr=一一一一一一一 sin¥Ocos(¥Oーα十月) 白日 となる。 bは切削幡、 τは加工物のせん断応力、#は せん断角、 αはすくい角、 βは摩擦角である。乙れを Fig. 611:示す。 Merchantのせん断角の関係から、 6 Geometry ofcuttingprocess 2 ¥O= Dー(β一α) となり、 ζれを凶式 lζ代入すると 2 bτ kr=一一一一ーー sinD-sin(β一α) 白日 世町 となる。乙乙でDは切削定数と呼ばれ、材料の性質に より決まる。 白百式のようにr、β、 b、αか ら 九 を 評 価できることを示した。白引式をラプラス変換すると F (Po)= kc S(P 0) a8) り込み量、 x(t)をある瞬間での加工物と工具との相対 となる。 Merritは工作機械構造をFig. 7のように

琉球大学理工学部紀要(工学篇)

2

5

F

i

g

.

7 E

q

u

i

v

a

l

e

n

t

v

i

b

r

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i

o

n

a

l

system

。

fc

u

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t

i

n

g

p

r

o

c

e

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s

ばね、ダyシュポット、質量の1自由度の等価系にし た。乙のときの力のつりあいをばねの方向について考 えるとつぎのように表わす乙とができる。

( x

(

t

)

i

F( t)c

o

s

(

r

，ー

ε)=

併でで

:

-

1

一 一 一 ￨ Gl' ~

c

o

s

r

，

)

切主(却叫(ま)

So(Po}

+

切削過程

の動特性

。 由 乙の式をラプラス変換するとつぎのような動的コンブ ライアンスが得られる。 x(Po)

c

，

F(Po) (P

ノ

26.Pd ¥ ￨一子一一十 . 首 1-1

I

k

，

Iα五 α，J I 乙乙で

c

， =cos(e

一

r

，)四lS

e

ω~=k ， /m

ム

，

= g

，

/[2(mk

，

)

を] である。(3

0

成において G.(Po) Pn 2ム.Pn @明 1

c

，

K

‘

k

、

一千ー十一一一一ームー+1 叫 ω1 とおくと白印式は x(Po) 1 一一一一一ー=一一G

ぷ

Po) F(Po) k鴛

。

1) となる。聞と白l成 はF(P.)1(.より関係づけられる。動 的挙動から生じた禾変形切屑厚さ変動はFig. 8 I乙お

構造中の

動 特 性

k

n

G..(Po} n X(Po}

初期フィード、パック

再 生 フ ィ ー ド パ ッ ク

_t

_e

-TPo

F

i

g

.

8

810ck diagram

o

f

machining system

いてX(P.)と te-TP

_，

_{で示される。それは初期フィー} ドパックとなる。初期フィードパックは再生ぴびりか ら生じる再生フィードパックを遅らせる。乙れはサー ボループとしてプロック線図で示される。 So(Po) と S(P.)を関連づけている伝達関数は側，側、自1)を解く ことにより得られる。乙れはつぎのようになる。 S(Po) 1 So(Po) 1 +( l-te-TP_{')(kc/k.)G.(P} o)

。

2

2

6

平敷・久米:工作機械構造の動特性に関する基礎的研究 自由式において、 S{Po)/So{Po) = 1のとき安定限界と なる。静的方向係数

k

"， 動的コンブライアンス

G

.

{

P

。， )/九は直接、系の安定性 IC影響する因子である。 ζ 乙 で 動 的 コ ン ブ ラ イ ア ン ス は x{Po)/ F{Po) で示され、動的状態での変形しやすきを示す。安定限 界を知るためには、ブロック線図で示された切削過程 の動特性、機械構造の動特性を明らかにする必要があ る。工作機微の安定性を増加させるため、最近では、 剛性、減衰能を増大する方向への研究がなされている。 とくに動剛性は工作機械構造の減表能に影響されるた め機械構造の減衰能の発生機構を明らかにしなければ ならなL。、 3.工作機織構造の減資能

3

.

I

減衰能について 構造減衰能には、材料減衰能と接合面減衰能があり、 前者は内部摩僚によりエネルギーが消散され、後者は 接合部においてエネノレギーが消散される。材料減衰能 は接合面減衰能と比較してエネルギー消散が小さいの で、構造減衰能を評価するためには、接合面減衰能の 発生機構について研究する乙とが重要である。

3

.

2

接合薗滅表能について 工作機械は摘造中には多くの接合商があり、情造減 衰能は接合面での減衰能の影響が大である。工作機械 の接合面は主として平面が多く用いられており、それ らはボルトとナットのような締結結合部であることが 多い。乙の接合函 l己変動する外荷重が作用したとき、 接合面には微小すべりが発生し、相対変位が起こる。 乙の微小すべりをスリップといい、スリ ップを生 じさせるのに最小の励振荷重を必要とする場合と 励振荷重が加えられるとすぐにスリップが始まる場 合とがあり、前者は減衰能を最大にする締結圧が存在 するといわれている。減衰能を期大させるには緩合面 での相対変位と摩僚力によって生じる消散エネルギー を増加させるよう iとすればよい。 Goodmanは接合面 U

Pd(X

，

y

)

x Fig. 9 Goodman' s model 造全体として、 x y平衝において平面応力状態である とする。

y>o

の部分を領媛1で示し、

y<o

の部分 を領滅2で示す。 ζの二つの領域は分布圧力

P.=p.

(x. y)により接触している。さらに励振時には慣性 力が分布荷重上に作用していると仮定する。作用カサ イクルのはじめにおいては構造物は単体弾性体として 挙動する。

y=o

面 IC作用しているせん応力が限界値 を越えるとき、微視的なスリップが生じ、領域1と領 域 2のすべり領域で後合面の相対的変位がある。圧力

P

.

が接触を維持するのに十分な大きさであると仮定 すると、相対すべりは接合面に平行である。変位が不 連続であると、接合商 IC平行な直応力成分も不連続と なる。外荷重の変動部分が増加するとき、 Z方向にす べり領域は増加し、任意点における相対すべりも増加 する。乙乙で、スリップは全接合面にはひろがらない と仮定する。荷重が最大値から減少していくとき、相対 すべりの方向が逆になるのはせん断応力か初期すべり を生じるのに必要なせん断応力の 2僚になったときで ある。等方弾性体のフックの法則により、 3次元応力 状態での

z

方向のひずみはつぎのように表わされる。 ら十のーバの+の)] (33) 上の圧力分布が一様な婦合のモデルでスリップにより こ乙では平面応力状態を考えているので、

z

方向の応 消散されるエネルギーについてつぎのように報告して 力はの

=0

となる、乙れより自あえは L、る 3.3 Goodman の理蛤 ら 十 ー の ] (34) 円岳 9 I~示す結合部で、接合面を y=o とし、構 となる。ひずみらは相対変位をuとすると

琉球大学理工学部紀要(工学篇) B包 --εv oX (35) と表わされる。したがって、自伝t:1L間式を代入すると

E~u

- - の 一

ν

σ

y

oX

。

@

となる。乙乙で Eは縦弾性定数、 νはポアソン比であ なる。したがって、

K=O

となる。 ζ ζで ム

u=u

，

-u

，=

接合函での相対変位

ムσ

:

.

:

=

(

の)，ー

(

σ

:

.

:

)

，=接合面での直応力差 であり、

u

，

=u(x

，

o+)

，u，

=u(x

，

o

ー)

(

σ

r

;t

)

t

=

σ'

.

.

(

x

，

o+)

，

(

の

， =UX(x，

)

o

ー)

2

7

組防 る。 uはz方向の変位成分で、のは直応力成分である。 である。(38)式は領域1、領域2において成立する。領 側式は接合面の領域1あるいは領域 2の両側で成立す 域1の部分では る。すなわち ou(x，o) Eーで一一一

=

σ

x(x，o)ー

ν

の(x，o) dX となる。包おえを

x

について積分すると

Eu(x， o+)=ぷ(~， o+)d~ー ν1:，，(印

白骨

となる。領域2の部分では

山吋:dto)dfール(~，o)dHK 側

Eu(x

，

o

ー

)=FAO-)dt

ー

νfho-)df

幽

となり、

f

はダミー変数である。スリップが始まった 点を

z

の原点とし、その点から変伎を測定する。乙れ は一般性を失わないし、

u

(

o

，

o)=

0となり積分定数K は消える。(38)式 ILx=O~ 代入すると

山吋ト(~，o)d~イト(~，o)d~+

K

ω

である。(41成と制式より

Emo)-Eho+)=JL(ねー )d~

ーか(~，o+)d~ー ν1:

，，(

~， 0 ー)d~

+ν'l:，，(~，o+)d~

となり、

u

(

o

，

o)=

0、右辺の第1項、第2項とも Oと となり、変形すると 担割

E| 山 oー

)

-u(U+)|=jb(53 ー)ーの(~，o+ い-ν J: い(ふ0-)ーのほ，0+作

刷 となり、さらに

E(U2-ut)=f:l(

叫 ー ( の 巾 師国 となる。接合面 (y= 0)において、領域 1と領域 2の応力は等しいので、同式の右辺の芳 2項は Oとなる。した がって

E

ム

u

f

L'-.の (4

日

となる.。同国式より ム

u=E-'l

X

ムの 組司

2

8

平敷・久米:工作機械構造の動特性に関する基礎的研究

ト

相対すべりが発生し、エネルギーが消散される。それ 「一

_

.

x

はすべり領域の長さlについて摩僚力と相対すべりの

1

-積を積分したものである。Fig. 1011:示す荷重 負荷サ ; を得る。接合面lこ作用している単位長さあたりの摩擦力は μZσ'y(x，o) である。ここでμは摩擦係数、 zはz方向の結合部厚 さ、 σyは 後合 面l乙作用している圧縮圧力である。外荷 重が士首加、減少のサイクルを繰返すとき、接合面では

O

y

Fig.10 Loading and unloading cycle

イクルにおいて、1サイ クノレ当りに消散されるエネル ギーD。は荷重が0から最大値まで増加するときに消散 されたエネルギーの4倍である。乙れは次式で示され る。 仏=4μzE-1_{nσ，，(x，o)r6σ，"(f)df]dx (49)} Jo LUy¥.A.t，V

'

J

。

3.4片 持 は り の 曲 げ 援 動 F啄.111L示すように断面が一様な弾性はりが一端 固定、他端自由で横振動しているとする。また自由端 を原点とし、任意の距離zでの変位を

u

とする。密度 は

p=r

/

g

で、微小長さdxの 部 分 に 作 用 す る 力 は p ♂

u

Adx

-

ー とせん断力との差である。せん断力をF、

a

t

'

モーメントをMとすると U 一 ， r グ 一 δ

E

M

M

一

Z 3 ν -3 u

F

となる。これより (48) 2

内 白 川

M-dM

1 ι Fig. 11 Bending ofcanti lever and f ree body diagram δ

F

a'M

a

‘

u

dF弓一一

-dx=

一一一

dx=-EI-

一十dx (51) δ

x

a

x

'

ax

・

となる。 Eは縦弾性定数、 Iは断出二次モーメントで ある。 dxlこ働く力のつりあいを考えると

'

y

.

_

_

_

.

.

.

a

'

y

F+ ρAd

_-

_-

_-

_-

_-a

~

_t

二一

_'

一一(F+dF)= ρA_・ d x--'

_a

_t

ア -

_'

dF 自由 となり、側、 (5司式から δ

'y.

.

.

a

'

y

EI---dx+

ρ

Adx

一ーァ=0

a

x'

a

t

'

(53) となる。乙の式が曲げ振動の基礎Jj程式となる。乙の 片持はりの固有振動数をωn，振動モード‘形を

y

(

x

)

とす ると、方程式の解は

y

(

x

，

t

)

=y(x

)

s

i

n

叫t (54) と仮定する乙とができる。 (53)j:¥;を (54)式i乙代入するとつ ぎのようになる。 師団 ♂

y

(

x

)

EI

τニァ ーdxーρ

Ad

x

，.J，

y

(

x

)

=

0 dX' 旧日

琉球大学理工学部紀要 (工学篇) (55)式を変形すると d'y(.r) pA ァ一 一一:-，<Jy(.r)=0 d.r'

EI

となる。 (56)パで ρA A'

=

'

=

-

=

-

，

J

C

EJ とおくと6日':r¥;は d'y ι d;~--A'y= 0 工 とIJる，(58)ェ日制げくと令ー般解はつぎのようになる。 y = c，cosh入.r+ C，sinhA.r+ C， cosλ.r +

C

.

sinA.r ここで、C

.

，

C

，

.C3.C

，

は 任 必 定 数 である。 15伽むに つきのような的舛条件を.iiF;jJ日する。

rM=O

x=O

で

i

¥F= 0

rY=

0

x=l で I~u 幅0) l 二Lー=0 eJ.r ここで、

E

I

θ'y/δ:r!

=

-M

， eJM / d.r=EI d3_{y/ d.r'から}、み:式が成¥

r

.

する。 θ'y ♂

u

-ーで =0

，

ープー=0 eJ.r' dx' したが勺て、指界条件はっさのように書き改めること ができる。 I d'y/δ

.

r

'

=

G x=Oでj ld'y/dx'= 0 .1:=1

で

は

。

となる。(59以ょをxについて、偏微分して境界条件を適 Jljすると C

，

=C" C

，

=C. となる。乙乙で、 C，= C

，

=J， C

，

=C.=Nとおくと、 29 J coshλI+Nsinh λ1+J cosλ1+ Nsin入l=0 (56) J ASinhλ 1 + N AcoshAI-J ASinAI 十NACosλ1= 0 値引 となり、乙れを変形すると 信力

J (coshAI +cosAl)+N(sinhAI +sinAli= 0 (65) J (sinhλl-sinλ1)+N(coshλl+cosλ1¥=0 (58) となる。乙の式はJ

=

0.， N

=

0もj前

l

e

するが、この 向車はイ、適であるc したが「て、 Jキ0，NキOでなけ ればならなL二。これを満足するには (59i 的 町 B ( A り

一 一

l l λ A n H o a

-3

5 0

+

+

l l 、 λ 、人 ' n ' A n U c a

-o

c u p -u J ー 、 入 、 人 唱

n

α m m

+

一

I l 入 、 A ' A z n P 3 内 は A V -i

c

s

であればよい。 (66)式を変形すると 1 +coshλIcゅsλ1=0 信円 ととよる。 この土むをj前.ilょするAlの

u

u

をAとすると 入 品_一一ー となる。旧作式より (68i 同 =A'

抗

倍前 (61) である。師団式と16別式からω"はつぎのようになる。

4JZ-

。

0) となる。固有振動数fnは fηー_一一ωη_← 2π

。

1

)

部副 で示される。乙れに間式を適用すると、片持はりの固 有Jh動数fnが得られる。 したがって 制

fn=

七年吊寸土

J

尋

O

'lJ

平数・久米:工作機械構造の動特性に関する基礎的研究 3 EI ko=←一一 一 となる。乙乙で、 Aは片持はりの断面積、 7は比重量、 gは重力の加速度、 Eは縦機性係数、 Iは断面二次モ 30 。掛 とおくと、 koははりの形状iζ より決まる値でばね定数 といわれる。lJ7民と(7

8

威より ーメントである。

3

.

5片持はりの静剛性

(7

)

9

k

o

=~

U鳩 町 Fig. 12に示されるように自由端に荷重Wが作用して となり、単位長さ当りたわますのに必要な荷重を意味 する。

3

.

6

対数減衰率 Fig. 131乙示す減衰自由振動波形はFig.lの等 価 B α W

。

Spring constantof cantilever いる場合を考えてみる。このときのはりのたわみはた わみ万程式を解くと得られる。はりのたわみ万転式は 次式で示される。 Fig.12

Damped free vibration wave

振動系の力のつりあいを考え、ニュートンの運動方

1

5

1

式をたて、外力が作用しないとき、 F(t)=0の運動 方程式を解くことにより得られる。乙のときの運動万 程式はつぎのように表わされる。 Fig.13

。

3

)

ここで、

E

は縦弾性係数、

I

は断面二次モーメント、 Mは曲げモーメントである。自由端を.1.'=0とすると、 曲げモ戸メン卜は次式で示される。 d'x EIー←ー = - M

d

v

'

+

。

4) M=-Wx 協同 ことで、mは等価振動系の質量 kは等価振動系のばね定数 cは等価振動系の減衰定数 であるo

x

=exrとおいて師団式に代入すると

I

J

母式を(73)式に代入して、たわみ角i0'たわみUを求める

。

日

とつぎのようになる。

io=~~

=

:

1

(

与引

c

k x'+-x十 一

=0

押Z 押Z

。

日

u

去(;÷ぺ)

信1) T d_{、 1} 4 、 a ' 1 3 iI h e B a t t L 4 1 8 a i となり、乙れを解くと

，

=合土信弓

.1.'=0でたわみは最大となりつぎのようになる。

w

一 山 値目 となる。乙こで、根号内が

(

c

/

2

m)'-k

/

m<

0のと 。司 間式において

琉球大学理工学部紀要(工学篇) 31 き減衰自由振動となるので、この場合について考えて みる。このときの解は

XI.Z= ーな j~否

唱団 となる。乙乙で

q=J~ す2 ，

j = F

τ

個

4

となり、一般解は x=A1e吻 斗 川

'+A

，

e

l古-jq)t 唱団 となる。乙乙で、 C;=A1+A" C~=Ad-A， j であ る。この式を変形すると x=e

が.;c芹百了

sin(q

t

+

例 (88) となる。乙乙で世 =t釦 I(C~/C;) である。 Fig. 13 で示した減衰自由振動波形より

t

= 0のときの振幅を

x.

、 I周期後の振幅をXk+lとする。

x.=e

がVCi芋否

γ-sin(qt十世) 仰)

Xk+l= e-Nt+1'J

何可否;-r-

sin(q

t

+

世+qT)例) となる。乙こで、 T=2;r/qである。幅制と曲。式の比 をとると 品 目 指4

ほ可否了一

sin(q

t

十世) Xk +1 _e

_{ーが，+事'vc;可否}

_{'-----sin(qt十世+2 Jr)} =e秘 となる。との両辺の対数をとると

a

.

πC lJ= lnー ム ー = 一 一 a'+1 mq となる。 ζれを対数減衰率という。乙乙で q

吟 守

2 自1) 自由 個3) であるので、対数減衰率は質量、ばね、減衰に依存す る。 4 .実験装置 ラジアルボール盤のベースの上に溝っきブロックを 固定し、そのブロックに固定盤で、単体はりと2枚合 せはりを締結している。その概略図と寸法図をFig.14 ① 単 体 片 持 は り

②

2枚合せ片持はり ③ 加 速 度 計 ④ 締 結 部 品 ⑤ 押 え 板 ⑤ 動 ひ ず み 計 ⑦ ピ ジ グ ラ フ ⑤ オ シ ロ ス コ ー プ Fig. 14 Outl ine of experim ental巴quipment

32 平敷・久米:工作機械構造の動特性に除

l

する基礎的研究

F

i

g

.

1

5

、

F

i

g

.

1

6

1

1:.示す。実験11:.使JIjされている部材 合せはりは締結部品により締付けられる。

ι

の締結昔s の材質は5541である。商は平商研削仕上げをしてい 品は移動することができ、任志の{幻自で締めつける。 る。

F

i

g

.1

7

11:.単体はりと

2

枚合せはりを示す。

2

枚 また固定部と締結部品の締結)Jを一定にするためにト 2枚 合せはり (1枚)

~白

320 単 体はり

i

さ

白

F

i

g

.

1

5 D

im

e

n

s

i

o

n

o

f

m

o

d

e

l

ム

九

t -22 IIll.3

"

"

F

i

g

.

1

6 D

im

巴

n

s

i

o

n

o

f

f

i

x

t

i

n

g

p

l

a

t

e

Fig

.

1

7

Ph

o

t

o

g

r

a

p

h

o

f

m

o

d

e

l

硫球大学理工学部紀要(工学術) ノレクレンチを則いた。 lÏ'jt(j'_)実験て、はィ~-IT~ としてïJl錘を f日い、変位の測定lζ はダイヤルゲージ(1 div= 1/100 mm)を用いた。動的な実験では締結宮古川 lζ加速度計を取 り付けて、動的変{立を測定した。 。紅巳をハjいて単体片持はりの固有振動数をオどめる。 単体片持はりの寸法は1=28cm 、申I~bo=2cm、高さ h = 1 cm、比屯量 y=7. 7cmX'10-' kg/cm'，I=bh'/12 =0.167cm'である。ふははりの振動モードにより決 まる定数で、才1次モードの場合は1.875である。乙れ らの他を代入して固有振動数を求めると、

f

n=l06. 6

H

zとなる。実験では、荷OTIの負荷位iEを自由端から30 mmにしたため、ばね定数が荷車の負荷位慣によって、 どのように変化するかをFig.18から求めてみる。任 官 Fig. 18 8ending of cantilever

b

i

:

の点CIζ 荷主が作用している場合を考えてみる。自 由端をAとすると、 A-Cの閲において、せん断力も モーメントも 0である。したがって、荷重が作用して いる位置をZ手 Oとする。 C点ILおけるたわみれはっ き出し長さが1，で、その長IEEI端に荷重が作用している 33 W (:r:'

n

11

i

Vr=一一一I- - -X十一一 l EI¥6 2 3/ 自5) となる。また荷重の作!日点を

X

=

O

とすると、れはつ ぎのようになる。 四6) ζの式より任意の点 lζ荷重が作則したときのばね定数 kaは (97) となる。 (78)，閉式よりばね定数 ko，kaは固定端から 荷重の作用点までの ~e荷tt により異なってくる乙とがわ かる。閉式を使って単休片持はりと2校合せ片持はり のばね定数を求めるとつぎのようになる。それぞれの x はりの寸法はTable1のようになる。ただし、 lは 凶;定端から荷重の作用点までの距離である。 E=2.1 X10'kg/ cmへまた断面二次モーメントは単体はりの とき、 + & て

、

つ ア ﹂ . 方 什 J i ， n_， 部 の つ h H ， ， + 4 0 の

M

了

問

= 2 F t 、 h H J あ で 担割 明9) となり、 二つの部材では boh' 1 1=一一一×一一 12 4 (1ω) 片持はりのたわみと等しくなる。したがって、たわみ となる。したがって、 2枚合せはりの断面二次モーメ Vclボ76国 でlがしになるだけである。 ントは単体はりの1/4である。乙れを計算すると、

Tabl日 1 Dim巴nsionof cantilever

1

2

(

c

m

)

b

o

(

c

m

)

h

(

c

m

)

単 体 は り

25

2

1

34 平敷・久米.工作機械構造の動特性に関する基礎的研究 単体はりは1=0.167

cm

ヘ 2枚合せはりは1=0.042

cm

‘となる。これらを旧7成1<:代入してばね定数を求め ると、単体はりはゐ=6.73kg/mmである。 2枚合せ はりの場合、接合商 IL摩擦力が存在するが、いま摩擦 力が

o

(たとえば摩擦係数μ=0)の場合を計算する と、 k.=1.68kg/ m mとなり、単体はりのばね定数の 1/4になる。

5

.

実験方法 実験は静的実験と動的実験を行なった。静的実験は それぞれのモデルに固定端より250mmの位置におもり をつり下げ、ダイヤルゲージを固定端より60押tm，150 m m

，

210mmの3箇所にセットして変位を測定した。 荷重と変位の関係より、等価ばね定数、ヒステリシス ループを求めた。荷重ははりの降伏を考えて、おもり は7kgまでとした。等価ばね定数はつぎのようにし て求めた。締結部品を自由端から固定端側に移動させ る。おもりを1kgCとに7kgまでつるし、そして除 荷する。固定端より210mmの位置のダイヤルゲージ の示す変位と荷重との関係より求めた。動的業験はお もりを糸でつり下げ、初期変位を与える。その糸を焼 き切って、自由振動を行わせた。乙のとき得られる減 衰自由娠動波形の対数減衰率、減衰自由振動数が締結 部品の移動によりどのように変化するかを調べた。 対数減衰率と減衰自由振動数はビッグラフに記録され た減衰自由振動波形よりつぎのようにして求めた。対 数減重量率は任意の位置での両振幅とそれよりη番目の 振帽を測定し、側式を用いて対数減衰率を求める。 1 α k 8=_::_ lπーニー η α'+n 締付カの飾付トルクとの関係 トルクレンチを使用 して、締付けを行なう場合つぎの式を用いる。締付力 をP"締付トルクを

M

，

とすると

M

t

=

E

t

h

s

U

仙 β0)+向

d

J

(101 ) で表わされる。乙こで、

M

，

は締付トルク、 P，は締付 力、 d，はねじの有効径、 μはねじ面での摩篠係数、 β は摩擦角、 tanβ

=

J

J

I

αJSa，β。はねじ山のリード角、 tan β。=Pr/πd"Prはねじのピッチ(1 条ねじ)，~はナッ ト 座面における摩線係数、 d_nはナット座面の平均直径 - z s h -h A U

_一

A u s -z o-O

B

一

_β

。

4 一 q o n A U ₍₁₀₂₎ となる。 Boはボルト頭またはナットの二面幅、 d.は ボルト穴の直径である。 締結部品の飾結カ 締結部品用のボルトはウイット ウォースねじの並目で3/8インチ、ピッチは1.5875

mm

である。乙のねじについての寸法、角度、摩擦係 数はつぎのようになる。d=0.851 cm、 μ=~=0.2 ， α=27.5" Pr=O. 159cm，Bo=1.685cm，d.= 1 cm したがって、これらの値を (101)式に代入すると、

P

，

=

旦

Lー (kg)

，

M

バ

cmkg) 0.26 となる。 固定板の締付カ 固定板用のボルトはウイットウォ ースねじの並目で、 3/4インチ、ピッチは2.54であ る。このねじについての寸法、角度、摩擦係数はつぎ のようになる。 d，=1.742cm， μ=~=0.2 ， α=27.5・， Pr=O. 254cm，Bo=3.17cm，d.=1.95cmとれらの値 ここで、 ηは山の数、 a.は任意の山の両振幅、白刊 を (101)式に代入すると は仇より n番目の山の両振幅である。減衰自由振動数

f

は任意の位置の山から

π

番目の山までの距艇をLと し、紙送り速度をV。とすると、 L進むのにかかる時間

t

は

t

= L/V(sec)となり、

t

時間1<:山がη含まれ る。したがって、減衰自由振動数

f

は

f=

π

/

t(Hz) で表わされる。対数減衰率、減衰自由振動数は得られ た波形の数箇所を測定し、その平均をとった。つぎに、 トルクレンチを用いて 、 ボ ル ト ・ ナ ッ ト を 締 め つ けたので、締付トルクを締付力へ変換する。 M， P

，

=

一 二 一 (kg)， M

，

(cm kg) 0.5 となる。

6

.

実験結果 静的実験の結果をFig.19-Fig. 291乙示す。 Fig. 19で理論値は荷重の作用点でのぱね定数をプロットし であり、実験値は周定端より 210mmの位置でダイヤ

35 琉球大学理工学部紀要(工学篇) 理 論 値 実験値

8

7

6

5

3

2

4

(

笠

)

制

提

5

変 位

(

m

m

)

Comparison between the spring constant of a single elastic cantilever and that of bileaf-cantilfver

4

3

2

Fig.19

。

- ・ : ・

~-_.一一一一一一一一-~-ム.一一一一一一一一-一一一一一滋

荷 重

. 1

.

813kg

o

5.813Kg

x 7.813Kg

( E

¥

笠

)

掛

似

品

川

て

埋

紳

2

0

0

2

6

0

締結部品移動量L

(醐)

Equivalent spring constant of a single elastic cantilever

1

4

0

ω

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Fig.20

。

3

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6

.

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平敷・久米:、工作機械構造の動特性に関する基礎的研究

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一

一

一

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•

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.

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.

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8

1

3

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締結部品移動量

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.

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α

)

(

)

1

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固定端前列の締結力

(

k

g

)

Fig.22 R

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-5

琉球大学理工学部紀要(工学総)

Fig.23

Hystre

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-5

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-6

接合面アセトンふき

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-7

-8

Fig.24 H

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37

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(

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m

)

平敷・久米:工作機械構造の動特性に関する基礎的研究 38

X

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Hysteresis loop of bileaf-cantilever Fig.25

X 01

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l

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2

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R J W Hysteresis loop of bileaf-cantilever Fig.26

J

J

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戸川が;

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琉球大ミト理工学部紀要 (工学篇)

X

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m

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(

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Fig.27

X 01

o

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口

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Fig.28

40 平敷・久米:工作機械構造の動特性に関する基礎的研究

X D

，

。

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D

7.

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G

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Fig.29 Hysteresis loop of bileaf-cantilever

ルゲージの示す変位と荷重から求めた等価ばね定数で ある。理論値はダイヤルゲージの位置よりも自由端11:. 近い位置での値巻示している。したがって、ダイヤル ゲージの位置でのばね定数は図に示されている値より も大きくなる。 F泡.20， Fig.21は単体はりと 2枚 合 せはりの等価ばね定数を示している。単体はりは締結 部品の移動により変化しない。 2枚合せはりは締結部 品の移動に依存する。またFig. 22か ら 固 定 端 前 列 の 締結力を増加すると単体はりの等価ばね定数が猶加し ていることがわかる。 Fig.23は単体はりのヒステリシ いる乙とがわかる。 Fig.3311:.2枚合せはりの減衰自由 振動数とうなりの振動数を示す。 Fig. 34-Fig. 36ま では、接合面の状態を変化させたときの2枚合せはり の減衰自由振動数と対数減衰率を示している。 Fig. 37では締結部品の締結力の変動による減衰自由振動数 への影響はない。 Fig.38-Fig. 40までは

f

XlJと締 結部品の移動量との関係を示している。 締結部品の移 動 量L古>160-180m mで

f

XlJは最大になっている。

7

.

考 察 スループを示し， Fig. 24は2枚合せ1枚のヒステリ 静的実験において、Fig. 23のように単体はりがヒ ンスループを 1サイクル描かせたものである。 Fig. ステリシスループを織いている。その原因が固定端の 25-Fig. 29までは 2枚合せはりの締結部品の移動に すべりζlよるとも考えられるので、固定端の締付力を よるヒステリ シスループを示す。動的実験の結果 が 800kg以 上 に し て再 測定したが、締付力を培加して Fig. 30-Fig. 4011:.示されている。Fig.30によると、 おもりをOにした場合も、ダイヤルゲージの指示はO 単体はりの減衰自由振動数 は 固 定端前列の締結力が にならず1%の誤差を示した。乙の傾向はダイアノレゲ 800kg以上になると一定になる。 Fig.31か ら 単 体 は ージ)乙つねに現われるため、乙れはダイアルゲージの りの減衰自由振動数は締結部品の移動により変化して 計器誤差であり、系統誤差ζl属する。 Fig. 20とFig.

41 琉球大学理工学部紀要(工学篇)

一

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一

一

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一

一

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Fig.30

M_{町側輝総寂} 0.18 0.16 0.06

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.

0

8

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J

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-

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80

60

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。

Logarithmic decrement o

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平敷・久米:工作機械構造の動特性に関する基礎的研究

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₁

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30

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42

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猷拘

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e

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3

4

α

3

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∞

。

60

50

( N

出)紙面臨但佃阪寝

n u n u n u 凋 ﹃ z d 9 1

-Relationship be巴tweentheclamping force of front row

in fixed end and damped free frequencyofbileaf-cantilever

t

k

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x

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1

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Fig.32

e

5

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接合面アセトンふき

4

3

2

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1

0

1

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0

1

7

0

1

8

0

1

鈎

締結部品の移動量

L

(

m

m

)

150

140

1

鈎

1

1

0

1

2

0

X 減衰自由振動数

O

うなり振動数

。

Damped free frequency and beat frequencyforbileaf-cantilever

0.18 0.16 01.4 琉球大学理工学部紀要(工学篇) 。減衰自由娠動数

非暴ョ

M 対数減衰率

一

90 80 70 01.2 句時側窓級殺 内 u

。 。

a u

m

∞

∞

60 回 N 国

語

ω

指

gm

1 $可 篇 20

α)4

0.02 1回 200 240 締結部品の移動電L(mm) 120 釦 40 10

。

接合面アセトンふき

Damped free frequency and logari thmic decrement for bi leaf -canti 1巴ver (NE) 孤高胤由也悩誕 0.16 0.18

∞

2 80 90 10 Fig.34 1回 2

∞

240 締結部11J1移動;止L (醐) 40 t主{tilli M"S. +盆I正出'1IJI

。

Damped free frequency and logarithmic decrement for bi leaf -canti lever

平敷・久米: 工作機械構造の動特性に関する)[~礎的研究

。

.

1

6

句 悦 ト

i

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4

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1

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.

06

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8

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4

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一

一

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ー

ー

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ト

ー

ー

ー

一

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50

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40

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10

(

嶋

田

)

訴

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指

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側

握

4

4

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o

200 240

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SM

移動

:

.

t

L

120

.

w

接合函

MoS.+

デ ィ ゼ ル 油 船

。

Damped free frequency and logarithmic decrement for

bi 1 eaf-cant i 1 ever Fig.36 ( N 思 議 議選王担制定 卸

70

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12

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1

0

句 怜術援判 制 寂

O

減点(Hlill.i動数

。

Relationship between clamping force and logarithmic decr巴ment