大阪大学物理 8 を解いてみた Ⅱ. 問 ( g cosq a sin q ) m - 台 B 上の観測者から見ると, 小物体は, 斜面からの垂直抗力 N, 小物体の重力 mg, 水平左向きの慣性力 ma を受け, 台 B の斜面と平行な向きに運動するしたがって, 小物体は台 B の斜面に垂直な方

(1)

1

〔

1〕

Ⅰ．

問1 g v 2 2 0 解説最高点の座標をy_max とすると，力学的エネルギー保存則より max 2 0 2 1_mv ₌_mgy g v y 2 2 0 max = \ 補足小物体の運動方向に対する仕事は重力（保存力）の斜面に沿った成分のみであり，垂直抗力（非保存力）の仕事は0 である。よって，力学的エネルギー保存則が成り立つ。これを確かめてみよう。小物体は重力の斜面に沿った外力を受けながらその運動エネルギーを失っていく。尚，小物体に働く垂直抗力の向きと小物体の運動方向のなす角は90°だから，垂直抗力は小物体に対し仕事をしない。すなわち小物体の運動エネルギー変化に垂直抗力は寄与しない。そこで，小物体が最高点に達するまでに，すなわち小物体の運動エネルギーが0 になるまでに，小物体が斜面を上った距離をl_maxとすると，重力の斜面にそった成分が小物体に対してした仕事は，運動の向きと外力の向きのなす角が180°だから， q q cos180 sin sin l_max mgl_max mg × × °= -よって， 0 sin 2 1 max 2 0 -mgl q = mv

これと，最高点の座標をy_maxとすると，y_max =l_maxsinqより， 0 2 1 max 2 0 - mgy = mv g v y 2 2 0 max = \

(2)

2

Ⅱ．

問2

(

gcosq asinq

)

m -解説台B 上の観測者から見ると，小物体は，斜面からの垂直抗力 N ，小物体の重力 mg ， 水平左向きの慣性力 ma を受け，台B の斜面と平行な向きに運動する。したがって，小物体は台B の斜面に垂直な方向に対しては静止している。つまり，小物体が受ける外力の斜面に垂直な成分はつり合っている。よって，そのつり合いの式N+masinq =mgcosqより，

(

q q

)

q

q sin cos sin cos ma m g a mg N = - = -問3 g m M m a q q q 2 0 sin cos sin + = ， q 2 0 sin m M k b + = 解説台B が受ける外力は，台 B の重力，小物体からの垂直抗力，ばねから受ける弾性力，台A からの垂直抗力である。 N Mg kx q a q sin N ma N mg q a ' N

(3)

3 台B は水平方向に運動するから，その運動方程式は，

(

)

(

M m

)

a mg kx kx ma mg kx a g m kx N Ma -= + \ -= -= -= q q q q q q q q q q sin cos sin sin sin cos sin sin cos sin 2 2 　　　　　　 x m M k g m M m a q q q q 2 2 _sin sin cos sin + -+ = \ 補足問2 のN =m

(

gcosq-asinq

)

台B から見た小物体の運動は台 B の斜面に束縛された運動に過ぎないが，台A の観測者から見た小物体の運動は台 B が運動しているため，台B の観測者から見た運動より複雑である。したがって，台A の観測者の立場から垂直抗力 N を求めるのは大変である。 そこで，実在の力の大きさは観測者の立場が変わっても同じであるから，あらかじめ台B の観測者の立場から垂直抗力 N を求めさせ， 問3 の問題を正解しやすくしたと思われる。教訓物体に働く力を求める場合，より簡単に求められる観測者の立場からその力を求める。問4 0 0 b a 問5 0 b 解説 x b a a= ₀ - ₀ より，Ma=Ma₀ -Mb₀x ÷÷ ø ö çç è æ -= \ 0 0 0 _b a x Mb Ma これより，台B は位置 x の 1 次関数で表される外力 _÷÷ ø ö çç è æ -= 0 0 0 _b a x Mb F を受ける運動，すなわち単振動運動であることがわかる。 ÷÷ ø ö çç è æ -= 0 0 0 _b a x Mb F より，つり合いの位置，すなわち振動中心の位置は，F=0より 0 0 b a x=

(4)

4 単振動の開始位置はx=0の位置だから，振動開始位置と振動中心の距離，つまり振幅は 0 0 0 0 ₀ b a b a = -また，単振動の外力F の一般形をF=-KX ，単振動する物体の質量をM とすると， 振動周期 K M T p w p 2 2 = = より， M K = w ÷÷ ø ö çç è æ -= 0 0 0 _b a x Mb F において，Mb が K に相当するから， ₀ 0 0 _b M Mb ₌ = w 角振動数の別解振幅をA ，角振動数をw，初期位相をd，台B の振動中心からの変位を X とすると，

(

w +d

)

= A t X sin _（またはX = Acos

(

wt+f

)

fは初期位相）と表される。よって，単振動中の台B の速度 = =Aw

(

wt+d

)

dt dX v cos 単振動中の物体の加速度 A

(

t

)

X dt dv dt X d a 2 2 2 2 sinw d w w + = -= = = よって，a₌_-_w2X _・・・① 一方，a=a₀ -b₀xよりa=-b₀

(

x-a₀

)

・・・② ①，②より， 0 0 b a x X = - ，w2 =b₀ 0 b = \w

(5)

5

Ⅲ

問6 q sin g -解説座標の原点は，台A に固定されているから，この座標系による小物体の加速度とは，台A 上の観測者が観測した加速度である。台A 上の観測者が観測する小物体にはたらく外力は，台B からの垂直抗力 N と小物体の重力 mg である。 求める加速度をa とすると， '_x_' x 方向の運動方程式は， q q cos90 sin sin ' mg mg mg ma_x =- + °= -q sin ' g a_x = -\ 問7 q sin 2 ₀ g v 解説変位の 'x 成分は， ₀

(

sin

)

2 2 1 ' v t g t x= + ´ - q D もとの位置に戻ってきたとき変位Dx'=0となるから， 戻ってくるまでの時間を 't とすると， ₀ sin '2 2 1 ' 0=v t- g q×t 0 '¹ t より， q sin 2 ' 0 g v t = A 台 O ' y ' x N mg q

(6)

6 問8 w q pgsin n 解説小物体が台B を上り始めてからもとの位置に戻ってくるまでの時間 q sin 2 g V が台B の単振動周期T の整数倍であればよいから， nT g V ₌ q sin 2 T ng V 2 sinq = \ w p 2 = T より， w q pgsin n V =

(7)

7

〔

2〕

Ⅰ．

問1 m eV 2 解説加速後の電位を0 とすると加速前の電位はV （V >0）だから， 加速前の電子がもつ保存力（静電気力）の位置エネルギーは eV 加速前後において力学的エネルギーが保存されるから， 加速後の電子は速さを v とすると， 2 2 1 0 0 mv eV+ = + m eV v= 2 \ 補足 加速前の電子がもつ保存力（静電気力）の位置エネルギー eV について 0 [V] V [V] d d V E= 外力F 0 [V] V [V] d d V E=

(8)

8 極板間の距離を d とすると，電界の大きさ d V E= 電荷-e

[ ]

C の電子を電位V

[ ]

V の位置から電位0[V]の位置まで移動させるとき，必要とする外力の大きさ d eV eE F=- = である。外力の向きと変位の向きのなす角が0 だから，外力がする仕事 d eV d eV d F W = × ×cos0= × ×1= この仕事は電子がもつ保存力（静電気力）の位置エネルギーとして蓄えられる。 よって，加速前の電子がもつ保存力（静電気力）の位置エネルギーは eV である。

Ⅱ

問2 時刻： eB m p x 座標： eB mv 2 -解説 磁界中で電子は向心力（ローレンツ力 evB ）を受け等速円運動をする。 円運動の半径をr とすると向心加速度 r v a= 2 より，その運動方程式は， evB r v m 2 = eB mv r= \ 荷電粒子は半円を描いた後磁界から飛び出すから，その軌道の長さはr である。 p 磁界に入射した時刻を0 とするから，磁界から飛び出す時刻は， eB m v eB mv v rp ₌ ×p ₌p 飛び出すときの x 座標は， eB mv r 2 2 =

(9)

-9

x

y

O

v

evB

r

v

(10)

10 問3 電子の軌跡時刻：

(

)

eB m f p -2 x 座標： eB mvsinf 2 -解説電子が描く円弧の長さ＝r

(

2p -2f

)

=2r

(

p -f

)

より，電子が飛び出す時刻＝

(

)

(

_{) ( )}

eB m v eB mv v rp -f ₌ × p -f ₌2p -f 2 2 また， x 座標＝ eB mv rsinf 2 sinf 2 =

-x

y

O

v

evB

r

v

φ

(11)

11

Ⅲ

問4 電子の運動：z 軸正方向に等速直線運動をする。 理由：電子の運動方向と磁場の向きが平行だから，電子は磁場から力を受けない。問5 半径： eB mv₀sinq 周期： eB m p 2 解説図3 より，電子の磁場の向きと垂直な速度成分はv₀sinq よって，電子が受けるローレンツ力の大きさはev₀sinq×B これが向心力となって，z 軸方向からみたときは等速円運動をする。 この等速円運動の半径をr とすると， 等速円運動の運動方程式は，

(

)

ev B r v m × = q q sin sin 0 2 0 eB mv r₌ 0sinq \ また，周期は， eB m v eB mv v r p q p q q p 2 sin 2 sin sin 2 0 0 0 = × = × 問6 eB mv q p cos 2 ₀ 解説等速度運動の速度成分は，v₀cosq だから，これに等速円運動の周期をかければよい。よって， eB mv eB m v L cosq 2p 2p 0cosq 0 ´ = = 問7 2 3 解説等速円運動の周期 eB m T =2p より，電子の速さが変わっても一定である。電子の速さがv のとき，電子は等速円運動をちょうど 3 回行なって位置₀

(

0,0,3L

)

に達する。。

(12)

12 よって， L T v₀cosq ×3 =3 ・・・① 速さをv から大きくしていくと， ₀ z 軸方向の速さが大きくなるので， 電子がz 3= Lに達するまでの等速円運動の回数が減少していく。したがって，次に電子が位置

(

0,0,3L

)

にある検出器に検出されるとき，等速円運動をちょうど2 回行うことになる。このときの速さをv とすると， ₀' L T v₀'cosq×2 =3 ・・・② ① ② より， L L T v T v 3 3 3 cos 2 cos ' 0 0 ₌ × × q q 0 0 ₂ 3 ' v v = \ おまけ

(13)

13

Ⅳ

問8 q sin 2m eBR v< 解説回転半径×2＝ eB mvsinq ×2<Rであればよい。 q sin 2m eBR v< \

x

y

O

v

φ

R

2mvsin θ

eB

電子の軌跡円筒

(14)

14 問9 3 2 , 3 2 2 解説検出器の座標

(

0,0,pR

)

より，q ¹0のとき電子が検出されるためには，以下の3 つの条件が満たされなければならない。・z 軸正方向に進むためには 2 0<q <p_{であること。} ・電子が検出されるためには等速円運動を少なくとも1 回しなければならないから，軌道半径×2 < 円筒の半径であること。 ・電子が検出器に達したとき等速円運動の回数がちょうど n 回（ n は自然数）であること。 軌道半径×2 < 円筒の半径 R eB mvsinq _{´ 2}_< ， eB mv R 3 2 4 = より， eB mv eB mv 3 2 4 2 sinq _´ _< 3 2 2 sin < \ q ÷ ø ö ç è æ _< _< 2 0 q p ・・・③ 電子が検出器に達したとき等速円運動の回数がちょうど n 回 z 方向の速さがvcosq だから，vcosq×nT =pR eB mv R 3 2 4 = ， eB m T=2p より， eB mv eB m n v 3 2 4 2 cosq× × p =p× n 3 2 2 cos = \ q ÷ ø ö ç è æ _< _< 2 0 q p ・・・④ あるいは，問6 より，電子が等速円運動を 1 回したとき，電子は座標

(

0,0,L

)

に達するから，

(

0,0,pR

) (

= 0,0,nL

)

が成り立てばよい。よって， eB mv n eB mv p q p 2 cos 3 2 4 ₌ _´ ´ n 3 2 2 cos = \ q ・・・④ ③，④より， 3 2 2 3 2 2 1 cos 1 sin 2 2 _< ÷ ÷ ø ö ç ç è æ -= -= n q q 9 8 9 8 1- ₂ < \ n 8 2 _< \n n は自然数だから，n=1，2 3 2 2 cos = \ q ， 3 2

(15)

15

〔

3〕

まず，各状態量を

(

P,V,n,T

)

の形で成分表示しておく。初期状態左室 _÷÷ ø ö çç è æ 0 0 2 0 2 0, , _RT ,T V P V P 右室 _÷÷ ø ö çç è æ 0 0 1 0 1 0, , _RT ,T V P V P 解説気体の物質量は，理想気体の状態方程式より求めた。状態1 左室 _÷÷ ø ö çç è æ 0 0 1 0 1 0, , _RT ,T V P V P 右室 _÷÷ ø ö çç è æ 0 0 1 0 2 1 R , , _RT ,T V P V P 解説左室：導入弁が開くから，左室の圧力はP である。よって，気体の物質量は₀ 0 1 0 RT V P 右室：密閉状態だから気体の物質量は変化しない。また，圧力をP とおいた。 _R₁ 状態2 全体の状態 _÷÷ ø ö çç è æ + ₀ 0 1 0 2 1 2 , 2 , , T RT V P V V P 左室 _÷÷ ø ö çç è æ + × ₀ 2 1 1 0 1 0 1 2 , 2 , , T V V V RT V P V P 右室 _÷÷ ø ö çç è æ + × ₀ 2 1 2 0 1 0 2 2 , 2 , , T V V V RT V P V P 解説接続バルブが解法されるから，1 つの系になったと見なしてよく，このとき気体の物質量は 0 1 0 0 1 0 0 1 0 2 RT V P RT V P RT V P = + また，圧力をP とした。 ₂ 左室・右室で成分表示する場合，左室と右室の気体の物質量比＝左室と右室の体積比=V₁:V₂より，左室の気体の物質量 2 1 1 0 0 0 2 V V V RT V P + × = 右室の気体の物質量 2 1 2 0 1 0 2 V V V RT V P + × =

(16)

16 状態3 左室 _÷÷ ø ö çç è æ + × ₀ 2 1 1 0 1 0 2 3 L , 2 , , T V V V RT V P V P 右室 _÷÷ ø ö çç è æ 0 0 1 0 1 0, , _RT ,T V P V P 解説左室：密閉状態だから気体の物質量は変化しない。また，圧力をP とした。 _L₃ 右室：導入弁が開くから，圧力はP になる。よって，気体の物質量は₀ 0 1 0 RT V P 状態4 全体の状態 _÷÷ ø ö çç è æ + + × ₀ 2 1 2 1 0 1 0 2 4 , 3 , , T V V V V RT V P V P 左室 _÷÷ ø ö çç è æ + × + + × ₀ 2 1 2 2 1 2 1 0 1 0 2 4 , 3 , , T V V V V V V V RT V P V P 右室 _÷÷ ø ö çç è æ + × + + × ₀ 2 1 1 2 1 2 1 0 1 0 1 4 , 3 , , T V V V V V V V RT V P V P 解説接続バルブが解法されるから，1 つの系になったと見なしてよく，このとき気体の物質量は 2 1 2 1 0 1 0 0 1 0 2 1 1 0 1 0 3 2 V V V V RT V P RT V P V V V RT V P + + × = + + × また，圧力をP とした。 ₄ 左室・右室で成分表示する場合，左室と右室の気体の物質量比＝左室と右室の体積比=V₂:V₁より，左室の気体の物質量 2 1 2 2 1 2 1 0 1 0 3 V V V V V V V RT V P + × + + × = 右室の気体の物質量 2 1 1 2 1 2 1 0 1 0 3 V V V V V V V RT V P + × + + × = 状態5 左室 _÷÷ ø ö çç è æ 0 1 0 0 1 0, ,_P_V ,T RT V P 右室 _÷÷ ø ö çç è æ + × + + × ₀ 2 1 1 2 1 2 1 0 1 0 2 5 R , 3 , , T V V V V V V V RT V P V P 解説左室：導入弁が開くから，圧力はP になる。よって，気体の物質量は₀ 0 1 0 RT V P 右室：密閉状態だから気体の物質量は変化しない。また，圧力をP とした。 _R₅

(17)

17 問1 0 1 0 RT V P 解説右室の気体の状態方程式P₀V₁ =n₀RT₀より， 0 1 0 0 _RT V P n = 問2 0 1 2 _P a a + 解説全体の状態 _÷÷ ø ö çç è æ + ₀ 0 1 0 2 1 2 , 2 , , T RT V P V V P より，

(

)

₀ 0 1 0 2 1 2 2 RT RT V P V V P + = × 0 2 1 2 1 0 2 1 1 0 2 1 2 1 2 2 P a a V V V V P V V V P P + = + = + = \ 　　　　　　問3

(

)

(

₁

)

0 1 2 1 3 V P a a + -解説状態1 の左室の内部エネルギーをU とすると，L1 ÷÷ ø ö çç è æ 0 0 1 0 1 0, ,_RT ,T V P V P より， 1 0 0 0 1 0 1 L ₂ 3 2 3 V P RT RT V P U = × = 状態2 の左室の内部エネルギーをUL2とすると， ÷÷ ø ö çç è æ + × ₀ 2 1 1 0 1 0 1 2 , 2 , , T V V V RT V P V P より， 2 1 1 1 0 0 2 1 1 0 1 0 2 L 3 2 3 2 V V V V P RT V V V RT V P U + × = × × + × = 　　　

(18)

18

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0 1 1 0 2 1 2 1 1 0 2 1 2 1 1 0 2 1 1 1 0 1 0 2 1 1 1 0 1 L 2 L 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 2 3 2 3 3 2 3 3 V P a a a a V P V V V V V P V V V V V P V V V V P V P V V V V P U U + -= + -× = ÷÷ ø ö çç è æ + ÷÷ ø ö çç è æ -× = + -× = ÷÷ ø ö çç è æ -+ = -+ × = -\ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　問4 1 2 + a a 解説右室の状態が状態2 から状態 3 に移る過程において，気体が導入され始める瞬間までの過程温度一定の閉じた系における状態変化だから，等温変化である。よって，PV =一定（等温変化）が成り立つ。気体が導入される始める瞬間の右室の圧力はP であり， ₀ このときの体積をkV とすると， ₂ ピストンを動かす前と気体が導入される始める瞬間において， = PV 一定より， 2 0 2 2V P kV P = × 0 2 P P k= \ 問2 より ₂ ₀ 1 2 _P a a P + = だから， 1 2 + = a a k 気体が導入され始めてから状態3 までの過程圧力P で変化するから，等圧変化である。 ₀

(19)

19 問5 1 0 1 1_P_V a a + -解説圧力P がする仕事により体積が₀ kV₂からV に変化する。 ₁ 1 2 + = a a k ， a V V = 2 1 _より， 1 1 2 1 2 1 2 V a a V a a kV + = × + = 1 0 1 1 0 0 ₁ 1 1 2 V P a a V a V P V P W + -= ÷ ø ö ç è æ + -= D = \ 問6 初期状態から状態1 への変化等温変化（PV =一定）により，

(

P₀,V₁

)

から ÷ ø ö ç è æ a V aP 1 0, に変化状態1 から状態 2 への変化等積変化により， ÷ ø ö ç è æ a V aP 1 0, から ÷ ø ö ç è æ + a V P a a 1 0, 1 2 に変化状態2 から状態 3 への変化気体が導入されはじめるまで等温変化（PV =一定）により， ÷ ø ö ç è æ + a V P a a 1 0, 1 2 から ÷ ø ö ç è æ + 1 0 1 2 , V a P に変化気体が導入されてから等圧変化により， _÷ ø ö ç è æ + 1 0 1 2 , V a P から

(

P₀,V₁

)

に変化以上とa=7より，グラフは次図のようになる。

(20)

20

x

y

O

_V

₂

_V

₁

_(=7V

₂

₎

P

0

7P

0

7 4 P

0

初期状態

状態３

状態１

状態２

7 4 V

2

(21)

21 問7

x

y

O

_V

₂

_V

₁

_(=7V

₂

₎

P

0

7P

0

7 4 P

0

初期状態

状態３

状態１

状態２

7 4 V

2

(22)

22 解説初期状態から状態1 に至る過程で右室の気体がピストンから受けた仕事

x

y

O

_V

₂

_V

₁

_(=7V

₂

₎

P

0

7P

0

7 4 P

0

初期状態

状態３

状態１

状態２

7 4 V

2

(23)

23 状態2 から状態 3 に至る過程で右室の気体がピストンにした仕事

x

y

O

_V

₂

_V

₁

_(=7V

₂

₎

P

0

7P

0

7 4 P

0

初期状態

状態３

状態１

状態２

7 4 V

2

(24)

24 問8 0 49P 解説 状態 k における体積V の室の圧力と気体の物質量をそれぞれ₂ P ，_k n とする。 _k 状態2k-1のとき体積V の室の状態は，常に₁

(

P₀,V₁,n₀

)

体積V の室の状態は₂

(

P₂_k_-₁,V₂,n₂_k_-₁

)

それぞれの状態方程式は， P₀V₁=n₀RT₀ ・・・① 0 1 2 2 1 2 V n RT P_k_- = _k_- ・・・② 状態 k2 のとき 接続バルブを開放することによって，状態 k2 になるから， 1 つの系と見なしたときの状態は，

(

P2k,V1+V2,n0 +n2k-1

)

このときの状態方程式P₂_k

(

V₁ +V₂

) (

= n₀ +n₂_k_-₁

)

RT₀および①，②より，

(

1 2

) (

0 2 1

)

0 0 0 2 1 0 0 1 2 1 2 2 V V n n RT n RT n RT PV P V P_k + = + _k_- = + _k_- = + _k -8 7 1 1 2 0 1 2 0 2 1 2 1 2 1 0 2 - - -+ = + + = + + = \ k k k k P P a P aP V V V P V P P これとa=7より， 8 7 0 2 1 2 -+ = k k P P P ・・・③ 状態2k+1のとき 状態 k2 から状態2k+1までの変化は等温変化だから， 1 2 2 1 2 V P V P_k₊ = _k k k k k _V P aP P V P ₂ ₂ ₂ 2 1 1 2 = = =7 \ ₊ ・・・④ ③，④より， 8 7 49 ₀ ₂ ₁ 1 2 + -+ = k k P P P ・・・⑤ 「上限値がある」とあるから，上限値をP_maxとすると， max 1 2 1 2 lim limP P_k P k k k®¥ - = ®¥ + = が成り立つ。よって，⑤の両辺について極限をとると， ÷÷ ø ö çç è æ + = -¥ ® + ¥ ® ₈ 7 49 lim lim 0 2 1 1 2 k k k k P P P より， 8 7 49 0 max max P P P = + 0 max 49P P = \