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時間遅れがもたらす

常微分方程式の解の特性の変化について

2006

11

28

非線形数理レクチャーシリーズ＠東北大学

§

1.

(1)

˙x =

−ax

=

⇒

x(t) = Ce

C

C > 0

• a < 0

x(t)

→ ∞ (t → ∞)

• a > 0

x(t)

→ 0 (t → ∞)

§ 1. 時間遅れと振動性・不安定性

(1)

τ > 0

(2)

˙x(t) =

−ax(t − τ)

§ 1. 時間遅れと振動性・不安定性

(2)





A. (2)



0 < aτ <









B. (2)



aτ >





§ 1. 時間遅れと振動性・不安定性 定理

A，定理

B

a¿

¼/2

1/e

0

=

⇒

§ 1. 時間遅れと振動性・不安定性

Mackey-Glass

(3)

˙x(t) =

−ax(t)

+

bx(t

− τ)

1 + x(t

− τ)

τ

≥ 0

§

2-1. DF

by Pyragas（不安定周期軌道の安定化）

(4)

˙x = f (x)

f : Ω

→ R

,

Ω

⊂ R

,

f : C

ω

x

(t)





DF

(5)

˙x(t) = f (x(t))

− K(x(t) − x(t − ω))

K

x

(t)





§ 2-1. DF 制御 by Pyragas

Rossler

DF

(6)

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

˙x =

−dy − ez

˙

y = hx + f y

−k(y(t) − y(t − τ))

˙z = b + gz(x

− c)

d = e = h = g = 1, f = b = 0.2, c = 5.7

Ex. 1:

k = 0 (

=

⇒ chaotic

Ex. 2:

k = 0.2, τ = 5.9

=

⇒ periodic (T ≈ 5.88867)

Ex. 3:

k = 0.2, τ = 11.75

=

⇒ periodic (T ≈ 11.7536)

Ex. 4:

k = 0.2, τ = 17.5

=

⇒ chaotic

§ 2-1. DF 制御 by Pyragas

(6) の解軌道．k = 0 の（未制御）場合．0 ≤ t ≤ 2000．

§ 2-1. DF 制御 by Pyragas

(6) の解軌道．k = 0.2, τ = 5.9 の場合．0 ≤ t ≤ 1000．

§ 2-1. DF 制御 by Pyragas

(6) の解軌道．k = 0.2, τ = 11.75 の場合．0 ≤ t ≤ 1000．

§ 2-1. DF 制御 by Pyragas

(6) の解軌道．k = 0.2, τ = 17.5 の場合．0 ≤ t ≤ 2000．

§

2-2. DF

by Atay（周期軌道の振幅・周期の制御）

(7)

x + ω

¨

x + εg(x, ˙x, ε) = 0

ω, ε

g :

R

→ R

C

∀ε

g(0, 0, ε) = 0





DF

(8)

x + ω

¨

x + εg(x, ˙x, ε) =

εf (x(t

− τ))

f

:

R → R





§ 2-2. DF 制御 by Atay

van der Pol

DF

(9)

x + ε(x

¨

− 1) ˙x + x =

εkx(t

− τ)





C. k sin τ < 1

ε

(9)

x(t) = 2

√

1

− k sin τ cos



1

−

ε

2

k cos τ



t +

O(ε

)





§ 2-2. DF 制御 by Atay 振幅

A := 2

√

1

− k sin τ

• k = 0 or sin τ = 0 =⇒ A = 2

• A = 2

τ

k

sin τ

= 0

k =

1

− (A/2)

sin τ

§ 2-2. DF 制御 by Atay 20 40 60 80 100 -2 -1 1 2 (8) の解曲線．ε = 0.1，k = 0（未制御）の場合． 振幅が

2

§ 2-2. DF 制御 by Atay 20 40 60 80 100 -3 -2 -1 1 2 3 (9) の解曲線．ε = 0.1，τ = 1，k = 1−(3/2)_{sin 1} 2 ≈ −1.48549 の場合． 振幅が

3

§ 2-2. DF 制御 by Atay 20 40 60 80 100 120 140 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 (9) の解曲線．ε = 0.1，τ = 1，k = 1−(1.5/2)_{sin 1} 2 ≈ 0.519923 の場合． 振幅が

1.5

§

2-3. Atay

(10)

x + sin x = 0

¨

A

T

T = 4



dψ

1

− sin

(A/2) sin

ψ

= 2π

1 +

1

16

A

₊

_{· · ·}

§ 2-3. Atay による制御の応用（振子の周期） 振子の運動方程式に

DF

(11)

x + sin x =

¨

1

6

k

x(t

− τ) + k

x(t

− τ)





1. k

sin τ > 0

k

k

< 0

x(t)

≈



−

4k

3k

cos

12k

12k

− k

t





§ 2-3. Atay による制御の応用（振子の周期） 予想 1 の計算過程で得られた式：振幅を A として， „ k1 + 3 4k2A 2« _{sin τ = 0} のもとで漸近安定な周期解が得られ，周期は以下のとおり： T ≈ 2π » 1 + 1 6 j 3 8A 2 ₊ 1 2 „ k1 + 3 4k2A 2« _{cos τ}ff– A2 = −4k1/(3k2) とすれば，予想 1 が得られ T ≈ 2π „ 1 − k1 12k2 « なお，この近似値は (1/6)2 ≈ 0.0277778 程度の誤差が含まれる．

§ 2-3. Atay による制御の応用（振子の周期） 20 40 60 80 100 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 (11) の解曲線．k1 = 6k2(2π − 7)/π ≈ −1.36902，k2 = 1 の場合． t1 = 390.199, t2 = 397.297 =⇒ 周期が 7.09779 初期条件を x(0) = 0.1, ˙x(0) = 0 とした場合と，x(0) = 0.2, ˙x(0) = 0 とし た場合で t = 390 あたりで周期を算出したが，それぞれ 7.0977897916112624 と 7.097789791656169 となり，小数点以下 10 桁まで一致した．

§

2-4. 2-ループフィードバック制御

by Sasaki & Miyazaki

(12)

˙x(t) =

−αx(t)

+ f (x(t

− τ))

α

f





(13)

˙x(t) =

−αx(t)

+

1

2

{f(x(t − τ)) + f(x(t − 1))}

2





§ 2-4. 2-ループフィードバック制御 by Sasaki & Miyazaki 以下ではフィードバック関数

f

f (u) :=



c

u

∈ [0, b]

0

u

∈ (b, ∞)

§ 2-4. 2-ループフィードバック制御 by Sasaki & Miyazaki なお，Mackey-Glass による白血球生成ダイナミクスモデル (3) _{˙x(t) = −ax(t)} + bx(t − τ) 1 + x(t − τ)m においては，フィードバック関数 f は次式で与えられる： f(u) = bu 1 + um , (b = 3.54, m = 10) 0.5 1 1.5 2 0.5 1 1.5 2 2.5 fu u 混合型フィードバック

§ 2-4. 2-ループフィードバック制御 by Sasaki & Miyazaki





定理 D (Heiden & Mackey). γ := c/α > b を仮定する．この とき，(13) は軌道漸近安定な周期解を持ち，その周期 T1 と振幅 A1 は T1 = 1 α log (γeα + b − γ)(γeα − b) b(γ − b) , A1 = γ(1 − e−α).





§ 2-4. 2-ループフィードバック制御 by Sasaki & Miyazaki





定理 1. 0 < τ < 1 のとき

2b(eα − 1)/(eα + eατ − 2) ≤ γ ≤ 2b(eα − 1)/(eα − eατ)

を仮定する．このとき，(13) は軌道漸近安定な周期解を持ち，そ の周期 T2 は T2 = 1 α log (γ eα+e₂ ατ + b − γ)(γ eα+e₂ ατ − b) b(γ − b) , であり，特に α ≥ log 2 のときには振幅 A2 は A2 = γ(1 − e−ατ).





§ 2-4. 2-ループフィードバック制御 by Sasaki & Miyazaki 定理

C

1

τ < 1

T

=

1

α

log

(γ

e

+ b

− γ)(γ

e

− b)

b(γ

− b)

T

=

1

α

log

(γ

+ b

− γ)(γ

− b)

b(γ

− b)

A

= γ(1

− e

),

A

= γ(1

− e

).

∴

T

> T

,

A

> A

2

=

⇒

References

[1] Atay, F. M., Delayed-feedback control of oscillations in non-linear planar systems, Int. J. Control, (2002), 75, 297–304.

[2] Pyragas, K., Continuous control of chaos by self-controlling feed-back, Phys. Lett. A, 170 (1992), 421–428.